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专题 4.10 函数与导数真题训练
第一部分：函数
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则
，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．记
，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断
即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而
，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到
， ，然后根据条件得到
的值，再由题意得到 从而得到 的值即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以
.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰
当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
5．（2023年新高考天津数学高考真题）若 ，则 的大小
关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
7．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以
，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函
数，令 得， ，即有 ，从
而可知 ， ，故 ，即
，所以函数 的一个周期为 ．因为 ，
， ， ，
，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中
知 ，解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以 符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以
，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函
数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
8．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
9．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不
等式，换底公式可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所
以 ，即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，
属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，
简单明了，是该题的最优解．
10．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高
效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条
件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单
位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
11．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知 ， ， ，则下列判断
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较 、 与 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 ，即 .
故选：C.
12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
13．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知
条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
14．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函
数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式
，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性
进而达到简便计算的效果．
15．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数 ，则下列函数中为奇函数
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
16．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情
况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据
L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，
则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解.【详解】由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.
17．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设 是定义域为R的奇函数，且
.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给
的条件进行转化是解决本题的关键.
18．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三
相等”，即可得出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值
为 ，A不符合题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等
号取不到，所以其最小值不为 ，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当
，即 时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ，
，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，
再结合有关函数的性质即可解出．
19．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数 是偶函数，则
______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
20．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若 为偶函数，则
________．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为
，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，所以 .
故答案为：2.
21．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若 是奇函数，则
_____， ______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的
定义域为 ，再由 可得， ．即
，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
第二部分：导数
22．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 在区间 上单调递
增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
23．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数 存在3个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出 ，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
24．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 在点 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜
率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，
所以 ，
所以
所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：C
25．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数 在区间
的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最
大值.
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
26．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数
,利用导数可得 ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，
取 得： ，故，其中 ，且
当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则
,所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因
为当 ，取 得 ，故 ，所以
．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函
数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，
属于最优解．
27．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当 时，函数 取得最大值，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而
，所以 ，即 ，所以 ，因此函数
在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有
．
故选：B.
28．（2022年新高考全国I卷数学真题）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
29．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 ， ， ．
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b
与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 ,
，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，
结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，由于
所以当00时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即
，即b
