文档内容
2025 年中考第一次模拟考试（长沙卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列数中是无理数的是（ ）
π 22
A． B．0 C． D．0.1223
2 7
2．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对
称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播
种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．710×103 B．71×106 C．7.1×107 D．7.1×108
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．4xy−3xy=1 B．(−a2) 3 =−a6
C．√(−5) 2=−5 D．√3+√12=√15
5．为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的
折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．乙班视力值的众数是4.7
B．甲、乙两班视力值的平均数相等
C．甲、乙两班视力值的中位数相等
D．视力值的波动程度甲班大于乙班
6．如图，将一块有30°角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为2cm的长方形纸带边上．另一个顶点A
在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边AC与纸带边所在的直线成45°角，则该三角板斜边AB的长
为（ ）
A．4cm B．4√2cm C．4√3cm D．6cm
7．在平面直角坐标系中，已知点M(m,3m−8)，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（ ）
A．±2 B．±4 C．−2或−4 D．2或4
8．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车
销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，
设第一月月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ）
A．a(1+x) 2=3a B．a(1+2x) 2=3a
C．a(1+2x)(1+3x)=3a D．a(1+x)(1+2x)=3a
9．对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断
都是正确的，设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，则下列结论中错误的是（ ）
1
A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=− b
2
10．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司于点H，∠E=60°，若CG=6，AH=14，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．18√3 B．16√3 C．18 D．16
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解4x2−4= ．
12．已知一元二次方程x2−5x+a=0的一个根是3，则a=
k
13．在平面直角坐标系中，双曲线y= 同时经过点A(a,2)，B(4,a+1)，则a的值为 ．
x
14．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径OQ=25cm，用长
为125cm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点
O转动，OA⊥AB，OA=80cm．若磨盘转动过程中，则点P到A的最小距离为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别
1
交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射
2
线AG交BC边于点D．若CD=5，AB=12，则△ABD的面积是
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3=22−12，
7=42−32，16=52−32，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小
题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)
17．（6分）计算： ( − 1) −2 +(π−3) 0−4cos30°+|3−√12|．
2
18．（6分）先化简，再求值：
x2−4x+4 ( 3 )
÷ −x+1 ，请从−2、−1、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．
x+1 x+1
19．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测
量一条河的宽度MN，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为α=60°和
β=37°，测得无人机离水平地面的高度PQ为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河
的宽度MN为多少米？（参考数据：tan37°≈0.75，√3≈1.73，结果保留整数）
20．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，H为EC中点，
BE=AC．
(1)求证：AH⊥BC；
(2)若∠B=36°，求∠BAC的度数．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司21．（8分）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知
晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本
了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统
计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
(1)初三（1）班参加这次调查的学生有 人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为 °；
(2)求出类别B的学生数，并补全条形统计图；
(3)类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分
类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
22．（9分）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满
成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天
宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的
售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过
1
“天宫”模型数量的 ，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多
4
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23．（9分）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且AE⊥BF，AE=BF．
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)连接BE、EF，若DF2=AF⋅AD，求证：∠≝=∠ABE．
24．（10分）在△ABC中，BC为⊙O的直径，AC为过C点的切线．
(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大
小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE=EC；
3
(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA= ，求S :S 的值．
4 △ADE △ACM
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25．（10分）若一次函数y=mx+n与反比例函数y= 同时经过点P(x,y)则称二次函数y=mx2+nx−k
x
为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
3
(1)判断y=2x−1与y= 是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理
x
由；
2024
(2)已知：整数m，n，t满足条件t
