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年真题
１９８７
１９８７ 年全国硕士研究生招生考试试题
编者注 年到 年的数学试卷 为现在的数学二
【 】１９８７ １９９６ Ⅲ ．
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设ｙ ＝ ＋ ａｘ 其中ａ为非零常数 则ｙ′ ＝ ｙ″ ＝ ．
（１） ｌｎ（１ ）， ， ，
曲线ｙ ＝ ｘ在横坐标为 的点处的切线方程是 法线方程是 ．
（２） ａｒｃｔａｎ １ ；
积分中值定理的条件是 结论是 ．
（３） ，
(ｎ － )ｎ
２ ＝ ．
（４） ｎｌｉｍ ｎ ＋
→∞ １
ｂ
ｆ′ ｘ ｘ ＝ ｆ′ ｘ ｘ ＝ ．
（５）∫ （ ）ｄ ，∫ａ （２ ）ｄ
二、（本题满分 分）
６
( )
求极限 １ － １ ．
ｌｘｉｍ ｘ ｘ －
→０ ｅ １
三、（本题满分 分）
７
设
{ｘ ＝
５（
ｔ －
ｓｉｎ
ｔ
）， 求ｄ
ｙ
ｄ
２ｙ
．
ｙ ＝ － ｔ ｘ， ｘ２
５（１ ｃｏｓ ）， ｄ ｄ
四、（本题满分 分）
８
计算定积分 １ｘ ｘ ｘ．
∫ ａｒｃｓｉｎ ｄ
０
五、（本题满分 分）
８
设 Ｄ是由曲线ｙ ＝ ｘ ＋ 与三条直线ｘ ＝ ｘ ＝ ｙ ＝ 围成的曲边梯形 求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一
ｓｉｎ １ ０， π， ０ ，
周所生成的旋转体的体积．
六、证明题（本题满分 分）
１０
若ｆ ｘ 在 ａ ｂ 内可导 且导数ｆ′ ｘ 恒大于零 则ｆ ｘ 在 ａ ｂ 内单调增加．
（１） （ ） （ ， ） ， （ ） ， （ ） （ ， ）
若ｇ ｘ 在ｘ ＝ ｃ处二阶导数存在 且ｇ′ ｃ ＝ ｇ″ ｃ ＜ 则ｇ ｃ 为ｇ ｘ 的一个极大值．
（２） （ ） ， （ ） ０， （ ） ０， （ ） （ ）
七、（本题满分 分）
１０
ｘ
计算不定积分 ｄ 其中ａ ｂ是不全为 的非负常数．
∫ａ２ ２ｘ ＋ ｂ２ ２ｘ， ， ０
ｓｉｎ ｃｏｓ
１历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
八、（本题满分 分）
１０
ｙ
求微分方程ｘ ｄ ＝ ｘ － ｙ满足条件ｙ ＝ 的特解．
（１） ｘ ０
ｄ ｘ＝ ２
求微分方程ｙ″ ＋ ｙ′ ＋ ｙ ＝ ｘ ｘ 的通解．
（２） ２ ｅ
九、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
４ ， ４ ， １６
ｆ ｘ ＝ ｘ ｘ ｃｏｓ ｘ － ＜ ｘ ＜ ＋ 是
（１） （ ） ｓｉｎ ｅ （ ∞ ∞） （ ）
有界函数． 单调函数．
（Ａ） （Ｂ）
周期函数． 偶函数．
（Ｃ） （Ｄ）
函数ｆ ｘ ＝ ｘ ｘ
（２） （ ） ｓｉｎ （ ）
当ｘ 时为无穷大． 在 － ＋ 内有界．
（Ａ） →∞ （Ｂ） （ ∞， ∞）
在 － ＋ 内无界． 当ｘ 时有有限极限．
（Ｃ） （ ∞， ∞） （Ｄ） →∞
ｆ ａ ＋ ｘ － ｆ ａ － ｘ
设ｆ ｘ 在ｘ ＝ ａ处可导 则 （ ） （ ） 等于
（３） （ ） ， ｌｘｉｍ ｘ （ ）
→０
ｆ′ ａ ． ｆ′ ａ ．
（Ａ） （ ） （Ｂ）２ （ ）
． ｆ′ ａ ．
（Ｃ）０ （Ｄ） （２ ）
ｓ
ｔ
设Ｉ ＝ ｔ ｆ ｔｘ ｘ 其中ｆ ｘ 连续 ｓ ＞ ｔ ＞ 则Ｉ的值
（４） ∫ （ ）ｄ ， （ ） ， ０， ０， （ ）
０
依赖于ｓ ｔ． 依赖于ｓ ｔ ｘ．
（Ａ） ， （Ｂ） ， ，
依赖于ｔ ｘ 不依赖于ｓ． 依赖于ｓ 不依赖于ｔ．
（Ｃ） ， ， （Ｄ） ，
十、（本题满分 分）
１０
在第一象限内求曲线ｙ ＝ －ｘ２ ＋ 上的一点 使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形
１ ，
面积为最小 并求此最小面积．
，
２年真题
１９８８
１９８８ 年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ４ ， ２０
{ ｘ ＋ ａ ｘ
设ｆ ｘ ＝ ２ ， ≤０，在 － ＋ 内连续 则ａ ＝ ．
（１） （ ） ｘ ｘ ＋ ｘ ｘ ＞ （ ∞， ∞） ，
ｅ （ｓｉｎ ｃｏｓ ）， ０
( ) ｔｘ
设ｆ ｔ ＝ ｔ ＋ １ ２ 则ｆ′ ｔ ＝ ．
（２） （ ） ｘｌｉｍ １ ｘ ， （ ）
→∞
设ｆ ｘ 连续 且
ｘ３－
１ｆ ｔ ｔ ＝ ｘ 则ｆ ＝ ．
（３） （ ） ， ∫ （ ）ｄ ， （７）
０
æ öｔａｎ ｘ
ç １ ÷ ＝ ．
（４） ｘｌｉｍ＋è ｘø
→０
４ ｘ ｘ ＝ ．
（５）∫ ｅ ｄ
０
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ４ ， ２０
ｆ ｘ ＝ １ ｘ３ ＋ １ ｘ２ ＋ ｘ ＋ 的图形在点 处的切线与ｘ轴交点的坐标是
（１） （ ） ６ １ （０，１） （ ）
３ ２
( )
－ １ ． － ．
（Ａ） ，０ （Ｂ）（ １，０）
６
( )
１ ． ．
（Ｃ） ，０ （Ｄ）（１，０）
６
若ｆ ｘ 与ｇ ｘ 在 － ＋ 上皆可导 且ｆ ｘ ＜ ｇ ｘ 则必有
（２） （ ） （ ） （ ∞， ∞） ， （ ） （ ）， （ ）
ｆ － ｘ ＞ ｇ － ｘ ． ｆ′ ｘ ＜ ｇ′ ｘ ．
（Ａ） （ ） （ ） （Ｂ） （ ） （ ）
ｘ ｘ
ｆ ｘ ＜ ｇ ｘ ． ｆ ｔ ｔ ＜ ｇ ｔ ｔ．
（Ｃ） ｘｌｉｍｘ （ ） ｘｌｉｍｘ （ ） （Ｄ）∫ （ ）ｄ ∫ （ ）ｄ
→０ →０ ０ ０
若函数ｙ ＝ ｆ ｘ 有ｆ′ ｘ ＝ １ 则当 ｘ 时 该函数在ｘ ＝ ｘ 处的微分 ｙ是
（３） （ ）， （ ０） ， Δ →０ ， ０ ｄ （ ）
２
与 ｘ等价的无穷小． 与 ｘ同阶的无穷小．
（Ａ） Δ （Ｂ） Δ
比 ｘ低阶的无穷小． 比 ｘ高阶的无穷小．
（Ｃ） Δ （Ｄ） Δ
由曲线ｙ ＝ ３ｘ ｘ 与ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的旋转体的体积为
（４） ｓｉｎ２ （０≤ ≤π） （ ）
４ ． ４ ．
（Ａ） （Ｂ） π
３ ３
２ ２． ２ ．
（Ｃ） π （Ｄ） π
３ ３
设函数ｙ ＝ ｆ ｘ 是微分方程ｙ″ － ｙ′ ＋ ｙ ＝ 的一个解 且ｆ ｘ ＞ ｆ′ ｘ ＝ 则ｆ ｘ 在
（５） （ ） ２ ４ ０ ， （ ０） ０， （ ０） ０， （ ）
点ｘ 处
０ （ ）
有极大值． 有极小值．
（Ａ） （Ｂ）
某邻域内单调增加． 某邻域内单调减少．
（Ｃ） （Ｄ）
３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
三、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
３ ， ５ ， １５
已知ｆ ｘ ＝ ｘ２ ｆ φ ｘ ＝ － ｘ且φ ｘ 求φ ｘ 并写出它的定义域．
（１） （ ） ｅ ， ［ （ ）］ １ （ ） ≥０， （ ）
已知ｙ ＝ ＋ ｘ ｘｙ 求ｙ′ ｙ″ ．
（２） １ ｅ ， ，
ｘ＝ ｘ＝
０ ０
求微分方程ｙ′ ＋ １ ｙ ＝ １ 的通解 一般解 ．
（３） ｘ ｘ ｘ２ ＋ （ ）
（ １）
四、（本题满分 分）
１２
作函数ｙ ＝ ６ 的图形 并填写下表．
ｘ２ － ｘ ＋ ，
２ ４
单调增加区间
单调减少区间
极值点
极值
凹 区间
（∪）
凸 区间
（∩）
拐点
渐近线
五、（本题满分 分）
８
将长为ａ的一段铁丝截成两段 一段围成正方形 另一段围成圆形 问这两段铁丝各长为多少时 正
， ， ， ，
方形与圆形的面积之和为最小
？
六、（本题满分 分）
１０
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 满足微分方程ｙ″－ ｙ′＋ ｙ ＝ ｘ 且其图形在点 处的切线与曲线ｙ ＝ ｘ２ －ｘ ＋
（ ） ３ ２ ２ｅ ， （０，１） １
在该点处的切线重合 求函数ｙ ＝ ｙ ｘ ．
， （ ）
七、（本题满分 分）
７
ｘ
设ｘ － 求 － ｔ ｔ．
≥ １， ∫－ （１ ）ｄ
１
八、（本题满分 分）
８
设ｆ ｘ 在 － ＋ 上有连续导数 且ｍ ｆ ｘ Ｍ．
（ ） （ ∞， ∞） ， ≤ （ ） ≤
ａ
求 １ ｆ ｔ ＋ ａ － ｆ ｔ － ａ ｔ
（１） ａｌｉｍ＋ ａ２∫－ａ［ （ ） （ ）］ｄ ；
→０ ４
ａ
证明 １ ｆ ｔ ｔ － ｆ ｘ Ｍ － ｍ ａ ＞ ．
（２） ： ａ ∫－ａ （ ）ｄ （ ） ≤ （ ０）
２
４年真题
１９８９
１９８９ 年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
７ ， ３ ， ２１
ｘ ｘ ＝ ．
（１） ｌｘｉｍ ｃｏｔ ２
→０
πｔ ｔ ｔ ＝ ．
（２）∫ ｓｉｎ ｄ
０
ｘ
曲线ｙ ＝ ｔ － ｔ － ｔ在点 处的切线方程是 ．
（３） ∫ （ １）（ ２）ｄ （０，０）
０
设ｆ ｘ ＝ ｘ ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＋ ｎ 则ｆ′ ＝ ．
（４） （ ） （ １）（ ２）…（ ）， （０）
设ｆ ｘ 是连续函数 且ｆ ｘ ＝ ｘ ＋ １ｆ ｔ ｔ 则ｆ ｘ ＝ ．
（５） （ ） ， （ ） ２∫ （ ）ｄ ， （ ）
０
{
ａ ＋ ｂｘ２ ｘ
， ≤０，
设ｆ ｘ ＝ 在ｘ ＝ 处连续 则常数ａ与ｂ应满足的关系是 ．
ｂｘ
（６） （ ） ｓｉｎ ｘ ＞ ０ ，
ｘ ， ０
设 ｙ ＝ ｘ ＋ ｙ 则 ｙ ＝ ．
（７） ｔａｎ ， ｄ
二、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ４ ， ２０
已知ｙ ＝ － ｘ 求ｙ′．
（１） ａｒｃｓｉｎ ｅ ，
ｘ
求 ｄ ．
（２） ∫ｘ ２ｘ
ｌｎ
求 ｘ ＋ ｘ １ｘ．
（３） ｌｘｉｍ（２ｓｉｎ ｃｏｓ ）
→０
已知
{ｘ ＝
ｌｎ（１
＋ ｔ２
）， 求ｄ
ｙ
ｄ
２ｙ
．
（４） ｙ ＝ ｔ ｘ， ｘ２
ａｒｃｔａｎ ， ｄ ｄ
已知ｆ ＝ １ ｆ′ ＝ 及 ２ｆ ｘ ｘ ＝ 求 １ｘ２ｆ″ ｘ ｘ．
（５） （２） ， （２） ０ ∫ （ ）ｄ １， ∫ （２ ）ｄ
２ ０ ０
三、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ３ ， １８
当ｘ ＞ 时 曲线ｙ ＝ ｘ １
（１） ０ ， ｓｉｎ ｘ （ ）
有且仅有水平渐近线． 有且仅有铅直渐近线．
（Ａ） （Ｂ）
既有水平渐近线 也有铅直渐近线． 既无水平渐近线 也无铅直渐近线．
（Ｃ） ， （Ｄ） ，
若 ａ２ － ｂ ＜ 则方程ｘ５ ＋ ａｘ３ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝
（２） ３ ５ ０， ２ ３ ４ ０（ ）
无实根． 有唯一实根．
（Ａ） （Ｂ）
有三个不同实根． 有五个不同实根．
（Ｃ） （Ｄ）
( )
曲线ｙ ＝ ｘ － π ｘ π 与ｘ轴所围成的图形 绕ｘ轴旋转一周所成的旋转体的体积为
（３） ｃｏｓ ≤ ≤ ， （ ）
２ ２
２
π． ． π ． ２．
（Ａ） （Ｂ）π （Ｃ） （Ｄ）π
２ ２
５历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
设两函数ｆ ｘ 和ｇ ｘ 都在ｘ ＝ ａ处取得极大值 则函数Ｆ ｘ ＝ ｆ ｘ ｇ ｘ 在ｘ ＝ ａ处
（４） （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ）
必取极大值． 必取极小值．
（Ａ） （Ｂ）
不可能取极值． 是否取极值不能确定．
（Ｃ） （Ｄ）
微分方程ｙ″ － ｙ ＝ ｘ ＋ 的一个特解应具有形式 式中ａ ｂ为常数
（５） ｅ １ （ ， ）（ ）
ａ ｘ ＋ ｂ． ａｘ ｘ ＋ ｂ． ａ ｘ ＋ ｂｘ． ａｘ ｘ ＋ ｂｘ．
（Ａ） ｅ （Ｂ） ｅ （Ｃ） ｅ （Ｄ） ｅ
设ｆ ｘ 在点ｘ ＝ ａ的某个邻域内有定义 则ｆ ｘ 在ｘ ＝ ａ处可导的一个充分条件是
（６） （ ） ， （ ） （ ）
ｆ ａ ＋ ｈ － ｆ ａ ＋ ｈ
ｈ ｆ ａ ＋ １ － ｆ ａ 存在． （ ２ ） （ ） 存在．
（Ａ） ｈｌｉｍ＋ ［ （ ｈ） （ ）］ （Ｂ） ｌｈｉｍ ｈ
→ ∞ →０
ｆ ａ ＋ ｈ － ｆ ａ － ｈ ｆ ａ － ｆ ａ － ｈ
（ ） （ ） 存在． （ ） （ ） 存在．
（Ｃ） ｌｈｉｍ ｈ （Ｄ） ｌｈｉｍ ｈ
→０ ２ →０
四、（本题满分 分）
６
求微分方程ｘｙ′ ＋ － ｘ ｙ ＝ ２ ｘ ＜ ｘ ＜ ＋ 满足ｙ ＝ 的特解．
（１ ） ｅ （０ ∞） （１） ０
五、（本题满分 分）
７
ｘ
设ｆ ｘ ＝ ｘ － ｘ － ｔ ｆ ｔ ｔ 其中ｆ为连续函数 求ｆ ｘ ．
（ ） ｓｉｎ ∫ （ ） （ ）ｄ ， ， （ ）
０
六、（本题满分 分）
７
证明方程 ｘ ＝ ｘ － π － ｘ ｘ在区间 ＋ 内有且仅有两个不同实根．
ｌｎ ∫ １ ｃｏｓ ２ ｄ （０， ∞）
ｅ ０
七、（本题满分 分）
１１
ｘ ＋
对函数ｙ ＝ １ 填写下表．
ｘ２
单调减少区间
单调增加区间
极值点
极值
凹区间
凸区间
拐点
渐近线
八、（本题满分 分）
１０
设抛物线ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ过原点 当 ｘ 时 ｙ ．又已知该抛物线与ｘ轴及直线ｘ ＝ 所
， ０≤ ≤１ ， ≥０ １
围图形的面积为１ ．试确定ａ ｂ ｃ的值 使此图形绕ｘ轴旋转一周而成的旋转体的体积Ｖ最小．
， ， ，
３
６年真题
１９９０
１９９０ 年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
{ｘ ＝ ３ｔ
曲线 ｃｏｓ ，上对应于ｔ ＝ π 处的法线方程是 ．
（１） ｙ ＝
ｓｉｎ
３ｔ
６
设ｙ ＝ ｔａｎ １ｘ １ 则ｙ′ ＝ ．
（２） ｅ ｓｉｎ ｘ ，
１ｘ － ｘ ｘ ＝ ．
（３）∫ １ ｄ
０
－ －
下列两个积分的大小关系是 １ －ｘ３ ｘ １ ｘ３ ｘ．
（４） ：∫－ ｅ ｄ ∫－ ｅ ｄ
２ ２
{ ｘ
设函数ｆ ｘ ＝ １， ≤１，则函数ｆ ｆ ｘ ＝ ．
（５） （ ） ｘ ＞ ［ （ ）］
０， １，
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
已知
( ｘ２
－ ａｘ － ｂ
)
＝ 其中ａ ｂ是常数 则
（１） ｘｌｉｍ ｘ ＋ ０， ， ， （ ）
→∞ １
ａ ＝ ｂ ＝ ． ａ ＝ － ｂ ＝ ．
（Ａ） １， １ （Ｂ） １， １
ａ ＝ ｂ ＝ － ． ａ ＝ － ｂ ＝ － ．
（Ｃ） １， １ （Ｄ） １， １
[ ]
设函数ｆ ｘ 在 － ＋ 上连续 则 ｆ ｘ ｘ 等于
（２） （ ） （ ∞， ∞） ， ｄ ∫（ ）ｄ （ ）
ｆ ｘ ． ｆ ｘ ｘ． ｆ ｘ ＋ Ｃ． ｆ′ ｘ ｘ．
（Ａ） （ ） （Ｂ） （ ）ｄ （Ｃ） （ ） （Ｄ） （ ）ｄ
已知函数ｆ ｘ 具有任意阶导数 且ｆ′ ｘ ＝ ｆ ｘ ２ 则当ｎ为大于 的正整数时 ｆ ｘ 的ｎ阶
（３） （ ） ， （ ） ［ （ ）］ ， ２ ， （ ）
导数ｆ（ ｎ ） ｘ 是
（ ） （ ）
ｎ ｆ ｘ ｎ＋ １． ｎ ｆ ｘ ｎ＋ １． ｆ ｘ ２ ｎ． ｎ ｆ ｘ ２ ｎ．
（Ａ） ！［ （ ）］ （Ｂ） ［ （ ）］ （Ｃ）［ （ ）］ （Ｄ） ！［ （ ）］
－ｘ
设ｆ ｘ 是连续函数 且Ｆ ｘ ＝ ｅ ｆ ｔ ｔ 则Ｆ′ ｘ 等于
（４） （ ） ， （ ） ∫ｘ （ ）ｄ ， （ ） （ ）
－ －ｘｆ －ｘ － ｆ ｘ ． － －ｘｆ －ｘ ＋ ｆ ｘ ．
（Ａ） ｅ （ｅ ） （ ） （Ｂ） ｅ （ｅ ） （ ）
－ｘｆ －ｘ － ｆ ｘ ． －ｘｆ －ｘ ＋ ｆ ｘ ．
（Ｃ）ｅ （ｅ ） （ ） （Ｄ）ｅ （ｅ ） （ ）
{ｆ ｘ
（ ） ｘ
设Ｆ ｘ ＝ ｘ ， ≠０，其中ｆ ｘ 在ｘ ＝ 处可导 ｆ′ ｆ ＝ 则ｘ ＝ 是Ｆ ｘ 的
（５） （ ） （ ） ０ ， （０）≠０， （０） ０， ０ （ ） （ ）
ｆ ｘ ＝
（０）， ０，
连续点． 第一类间断点．
（Ａ） （Ｂ）
第二类间断点． 连续点或间断点不能由此确定．
（Ｃ） （Ｄ）
三、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ５ ， ２５
(ｘ ＋ ａ)ｘ
已知 ＝ 求常数ａ．
（１） ｘｌｉｍ ｘ － ａ ９，
→∞
求由方程 ｙ － ｘ ＝ ｘ － ｙ ｘ － ｙ 所确定的函数ｙ ＝ ｙ ｘ 的微分 ｙ．
（２） ２ （ ）ｌｎ（ ） （ ） ｄ
７历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
求曲线ｙ ＝ １ ｘ ＞ 的拐点．
（３） ＋ ｘ２（ ０）
１
ｘ
计算 ｌｎ ｘ．
（４） ∫ － ｘ ２ｄ
（１ ）
求微分方程ｘ ｘ ｙ ＋ ｙ － ｘ ｘ ＝ 满足条件ｙ ＝ 的特解．
（５） ｌｎ ｄ （ ｌｎ ）ｄ ０ １
ｘ＝
ｅ
四、（本题满分 分）
９
在椭圆
ｘ２
＋
ｙ２
＝ 的第一象限部分上求一点Ｐ 使该点处的切线 椭圆及两坐标轴所围图形面积为
ａ２ ｂ２ １ ， ，
最小 其中ａ ＞ ｂ ＞ ．
（ ０， ０）
五、（本题满分 分）
９
证明 当ｘ ＞ 时 有不等式 ｘ ＋ １ ＞ π．
： ０ ， ａｒｃｔａｎ ｘ
２
六、（本题满分 分）
９
ｘ ｔ ( )
设ｆ ｘ ＝ ｌｎ ｔ 其中ｘ ＞ 求ｆ ｘ ＋ ｆ １ ．
（ ） ∫ ＋ ｔｄ ， ０， （ ） ｘ
１ １
七、（本题满分 分）
９
过点Ｐ 作抛物线ｙ ＝ ｘ － 的切线 该切线与上述抛物线及ｘ轴围成一平面图形．求此平面
（１，０） ２ ，
图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积．
八、（本题满分 分）
９
求微分方程ｙ″ ＋ ｙ′ ＋ ｙ ＝ ａｘ 的通解 其中ａ为实数．
４ ４ ｅ ，
８年真题
１９９１
１９９１ 年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设ｙ ＝ ＋ －ｘ 则 ｙ ＝ ．
（１） ｌｎ（１ ３ ）， ｄ
曲线ｙ ＝ －ｘ２ 的凸区间是 ．
（２） ｅ
＋ ｘ
∞ ｌｎ ｘ ＝ ．
（３）∫ ｘ２ ｄ
１
质点以速度ｔ ｔ２ 米 ／ 秒作直线运动 则从时刻ｔ ＝ π 秒到ｔ ＝ 秒内质点所经过的
（４） ｓｉｎ（ ） ， １ ２ π
２
路程等于 米．
－ １ｘ
１ ｅ ＝ ．
（５） ｘｌ
→
ｉｍ
０
＋ ｘ ＋ １ｘ
ｅ
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
若曲线ｙ ＝ ｘ２ ＋ ａｘ ＋ ｂ和 ｙ ＝ － ＋ ｘｙ３ 在点 － 处相切 其中ａ ｂ是常数 则
（１） ２ １ （１， １） ， ， ， （ ）
ａ ＝ ｂ ＝ － ． ａ ＝ ｂ ＝ － ．
（Ａ） ０， ２ （Ｂ） １， ３
ａ ＝ － ｂ ＝ ． ａ ＝ － ｂ ＝ － ．
（Ｃ） ３， １ （Ｄ） １， １
{ ｘ２ ｘ ｘ
设函数ｆ ｘ ＝ ， ０ ≤ ≤１，记Ｆ ｘ ＝ ｆ ｔ ｔ ｘ 则
（２） （ ） － ｘ ＜ ｘ （ ） ∫ （ ）ｄ ，０ ≤ ≤２， （ ）
０
２ ， １ ≤２，
ì
ï
ｘ３
ｘ
ì
ï
ｘ３
ｘ
ï ， ０ ≤ ≤１， ï ， ０ ≤ ≤１，
Ｆ ｘ ＝ í ３ Ｆ ｘ ＝ í ３
（Ａ） （ ） ï ï ｘ２ （Ｂ） （ ） ï ï ｘ２
î１ ＋ ｘ － ＜ ｘ ． î－ ７ ＋ ｘ － ＜ ｘ ．
２ ， １ ≤２ ２ ， １ ≤２
３ ２ ６ ２
ì
ï
ｘ３
ｘ
ì
ï
ｘ３
ｘ
ï ， ０ ≤ ≤１， ï ， ０ ≤ ≤１，
Ｆ ｘ ＝ í ３ Ｆ ｘ ＝ í ３
（Ｃ） （ ） ï ïｘ３ ｘ２ （Ｄ） （ ） ï ï ｘ２
î ＋ ｘ － ＜ ｘ ． î ｘ － ＜ ｘ ．
２ ， １ ≤２ ２ ， １ ≤２
３ ２ ２
设函数ｆ ｘ 在 － ＋ 内有定义 ｘ 是函数ｆ ｘ 的极大值点 则
（３） （ ） （ ∞， ∞） ， ０ ≠０ （ ） ， （ ）
ｘ 必是ｆ ｘ 的驻点． － ｘ 必是 － ｆ － ｘ 的极小值点．
（Ａ） ０ （ ） （Ｂ） ０ （ ）
－ ｘ 必是 － ｆ ｘ 的极小值点． 对一切ｘ都有ｆ ｘ ｆ ｘ ．
（Ｃ） ０ （ ） （Ｄ） （ ） ≤ （ ０）
＋ －ｘ２
曲线ｙ ＝ １ ｅ
（４） － －ｘ２（ ）
１ ｅ
没有渐近线． 仅有水平渐近线．
（Ａ） （Ｂ）
仅有铅直渐近线． 既有水平渐近线又有铅直渐近线．
（Ｃ） （Ｄ）
如图 ｘ轴上有一线密度为常数μ 长度为ｌ的细杆 若质量为ｍ的质点到杆右端的距离为ａ 已
（５） ， ， ， ，
知引力系数为ｋ 则质点和细杆之间引力的大小为
， （ ）
９历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
０ ｋｍμ ｘ． ｌ ｋｍμ ｘ．
（Ａ）∫－ｌ ａ － ｘ ２ｄ （Ｂ）∫ ａ － ｘ ２ｄ
（ ） ０ （ ）
ｌ
０ ｋｍμ ｘ． ２ ｋｍμ ｘ．
（Ｃ）２∫－ｌ ａ ＋ ｘ ２ｄ （Ｄ）２∫ ａ ＋ ｘ ２ｄ
２ （ ） ０ （ ）
三、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ５ ， ２５
设
{ｘ ＝ ｔ
ｃｏｓ
ｔ
， 求ｄ
２ｙ
．
（１） ｙ ＝ ｔ ｔ ｘ２
ｓｉｎ ， ｄ
计算 ４ ｄ ｘ ．
（２） ∫ ｘ ＋ ｘ
１
（１ ）
ｘ － ｘ
求 ｓｉｎ ．
（３） ｌｘｉｍｘ２ ｘ －
→０ （ｅ １）
求 ｘ ２ｘ ｘ．
（４） ∫ ｓｉｎ ｄ
求微分方程ｘｙ′ ＋ ｙ ＝ ｘ ｘ 满足ｙ ＝ 的特解．
（５） ｅ （１） １
四、（本题满分 分）
９
＋ ｘ ｘ
利用导数证明 当ｘ ＞ 时 ｌｎ（１ ） ＞ ．
： １ ， ｘ ＋ ｘ
ｌｎ １
五、（本题满分 分）
９
求微分方程ｙ″ ＋ ｙ ＝ ｘ ＋ ｘ的通解．
ｃｏｓ
六、（本题满分 分）
９
曲线ｙ ＝ ｘ － ｘ － 和ｘ轴围成一平面图形 求此平面图形绕ｙ轴旋转一周所成的旋转体的体
（ １）（ ２） ，
积．
七、（本题满分 分）
９
如图 Ａ和Ｄ分别是曲线ｙ ＝ ｘ 和ｙ ＝ － ２ ｘ 上的点 ＡＢ和ＤＣ均垂直ｘ
， ｅ ｅ ，
轴 且 ＡＢ ＤＣ ＝ ＡＢ ＜ 求点Ｂ 和Ｃ 的横坐标 使梯形
， ∶ ２ ∶ １， １， ，
ＡＢＣＤ的面积最大．
八、（本题满分 分）
９
设函数ｆ ｘ 在 － ＋ 上满足 ｆ ｘ ＝ ｆ ｘ － ＋ ｘ 且 ｆ ｘ ＝ ｘ ｘ ． 计算
（ ） （ ∞， ∞） （ ） （ π） ｓｉｎ ， （ ） ， ∈ ［０，π）
３πｆ ｘ ｘ．
∫ （ ）ｄ
π
１０年真题
１９９２
１９９２ 年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
{ｘ ＝ ｆ ｔ － ｙ
设 （ ） π， 其中ｆ可导 且ｆ′ 则ｄ ＝ ．
（１） ｙ ＝ ｆ （ｅ ３ ｔ － １）， ， （０） ≠０， ｄ ｘ ｔ＝ ０
[ ]
函数ｙ ＝ ｘ ＋ ｘ在 π 上的最大值为 ．
（２） ２ｃｏｓ ０，
２
－ － ｘ２
１ １ ＝ ．
（３） ｌｘｉｍ ｘ － ｘ
→０ ｅ ｃｏｓ
＋ ｘ
∞ ｄ ＝ ．
（４）∫ ｘ ｘ２ ＋
１ （ １）
由曲线ｙ ＝ ｘ ｘ 与直线ｙ ＝ ｘ所围成的图形的面积Ｓ ＝ ．
（５） ｅ ｅ
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
当ｘ 时 ｘ － ｘ是ｘ２ 的
（１） →０ ， ｓｉｎ （ ）
低阶无穷小． 高阶无穷小．
（Ａ） （Ｂ）
等价无穷小． 同阶但非等价的无穷小．
（Ｃ） （Ｄ）
{ｘ２ ｘ
设ｆ ｘ ＝ ， ≤０， 则
（２） （ ） ｘ２ ＋ ｘ ｘ ＞ （ ）
， ０，
{－ ｘ２ ｘ {－ ｘ２ ＋ ｘ ｘ ＜
ｆ － ｘ ＝ ， ≤０， ｆ － ｘ ＝ （ ）， ０，
（Ａ） （ ） － ｘ２ ＋ ｘ ｘ ＞ ． （Ｂ） （ ） － ｘ２ ｘ ．
（ ）， ０ ， ≥０
{ｘ２ ｘ {ｘ２ － ｘ ｘ ＜
ｆ － ｘ ＝ ， ≤０， ｆ － ｘ ＝ ， ０，
（Ｃ） （ ） ｘ２ － ｘ ｘ ＞ ． （Ｄ） （ ） ｘ２ ｘ ．
， ０ ， ≥０
当ｘ 时 函数
ｘ２ －
１ ｘ１－ 的极限
（３） →１ ， ｘ － ｅ １ （ ）
１
等于 ． 等于 ．
（Ａ） ２ （Ｂ） ０
为 ． 不存在但不为 ．
（Ｃ） ∞ （Ｄ） ∞
ｘ２
设ｆ ｘ 连续 Ｆ ｘ ＝ ｆ ｔ２ ｔ 则Ｆ′ ｘ 等于
（４） （ ） ， （ ） ∫ （ ）ｄ ， （ ） （ ）
０
ｆ ｘ４ ． ｘ２ｆ ｘ４ ． ｘｆ ｘ４ ． ｘｆ ｘ２ ．
（Ａ） （ ） （Ｂ） （ ） （Ｃ）２ （ ） （Ｄ）２ （ ）
若ｆ ｘ 的导函数是 ｘ 则ｆ ｘ 有一个原函数为
（５） （ ） ｓｉｎ ， （ ） （ ）
＋ ｘ． － ｘ． ＋ ｘ． － ｘ．
（Ａ）１ ｓｉｎ （Ｂ）１ ｓｉｎ （Ｃ）１ ｃｏｓ （Ｄ）１ ｃｏｓ
三、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ５ ， ２５
( ＋ ｘ)ｘ－ １
求 ３ ２ ．
（１） ｘｌｉｍ ＋ ｘ
→∞ ６
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由方程ｙ － ｘ ｙ ＝ 所确定 求ｄ
２ｙ
的值．
（２） （ ） ｅ １ ， ｘ２
ｘ＝
ｄ ０
１１历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
求
ｘ３
ｘ．
（３） ∫ ＋ ｘ２ ｄ
１
求 π － ｘ ｘ．
（４） ∫ １ ｓｉｎ ｄ
０
求微分方程 ｙ － ｘ３ ｘ － ｘ ｙ ＝ 的通解．
（５） （ ）ｄ ２ ｄ ０
四、（本题满分 分）
９
设ｆ ｘ ＝
{
１
＋ ｘ２
，
ｘ
≤０，求 ３ｆ ｘ － ｘ．
（ ） －ｘ ｘ ＞ ∫ （ ２）ｄ
１
ｅ ， ０，
五、（本题满分 分）
９
求微分方程ｙ″ － ｙ′ ＋ ｙ ＝ ｘ ｘ 的通解．
３ ２ ｅ
六、（本题满分 分）
９
计算曲线ｙ ＝ － ｘ２ 上相应于 ｘ １ 的一段弧的长度．
ｌｎ（１ ） ０ ≤ ≤
２
七、（本题满分 分）
９
求曲线ｙ ＝ ｘ 的一条切线ｌ 使该曲线与切线ｌ及直线ｘ ＝ ｘ ＝ 所围成的平面图形面积最小．
， ０， ２
八、（本题满分 分）
９
已知ｆ″ ｘ ＜ ｆ ＝ 证明对任何ｘ ＞ ｘ ＞ 有ｆ ｘ ＋ ｘ ＜ ｆ ｘ ＋ ｆ ｘ ．
（ ） ０， （０） ０， １ ０， ２ ０， （ １ ２） （ １） （ ２）
１２年真题
１９９３
１９９３ 年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
ｘ ｘ ＝ ．
（１） ｘｌｉｍ＋ ｌｎ
→０
ｙ
函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由方程 ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｘ － ｘｙ２ ＝ 所确定 则ｄ ＝ ．
（２） （ ） ｓｉｎ（ ） ｅ ０ ， ｘ
ｄ
ｘæ ö
设Ｆ ｘ ＝ ç － １ ÷ ｔ ｘ ＞ 则函数Ｆ ｘ 的单调减少区间是 ．
（３） （ ） ∫ è２ ｔ øｄ （ ０）， （ ）
１
ｘ
ｔａｎ ｘ ＝ ．
（４）∫ ｘｄ
ｃｏｓ
( )
已知曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 过点 － １ 且其上任一点 ｘ ｙ 处的切线斜率为ｘ ＋ｘ２ 则ｆ ｘ
（５） （ ） ０， ， （ ， ） ｌｎ（１ ）， （ ）
２
＝ ．
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
当ｘ 时 变量１ １ 是
（１） →０ ， ｘ２ｓｉｎ ｘ （ ）
无穷小． 无穷大．
（Ａ） （Ｂ）
有界的 但不是无穷小． 无界的 但不是无穷大．
（Ｃ） ， （Ｄ） ，
{ ｘ２ －
１ ｘ
设ｆ ｘ ＝ ｘ － ， ≠１，则在点ｘ ＝ 处函数ｆ ｘ
（２） （ ） １ １ （ ）（ ）
ｘ ＝
２， １，
不连续． 连续 但不可导．
（Ａ） （Ｂ） ，
可导 但导数不连续． 可导 且导数连续．
（Ｃ） ， （Ｄ） ，
{ ｘ２ ｘ ＜ ｘ
已知ｆ ｘ ＝ ， ０ ≤ １，设Ｆ ｘ ＝ ｆ ｔ ｔ ｘ 则Ｆ ｘ 为
（３） （ ） ｘ （ ） ∫ （ ）ｄ （０ ≤ ≤２）， （ ） （ ）
１
１， １ ≤ ≤２，
{ {
１ ｘ３ ｘ ＜ １ ｘ３ － １ ｘ ＜
， ０ ≤ １， ， ０ ≤ １，
（Ａ） ３ （Ｂ） ３ ３
ｘ ｘ ． ｘ ｘ ．
， １ ≤ ≤２ ， １ ≤ ≤２
{ {
１ ｘ３ ｘ ＜ １ ｘ３ － １ ｘ ＜
， ０ ≤ １， ， ０ ≤ １，
（Ｃ） ３ （Ｄ） ３ ３
ｘ － ｘ ． ｘ － ｘ ．
１， １ ≤ ≤２ １， １ ≤ ≤２
ｘ
设常数ｋ ＞ 函数ｆ ｘ ＝ ｘ － ＋ ｋ在 ＋ 内的零点个数为
（４） ０， （ ） ｌｎ （０， ∞） （ ）
ｅ
． ． ． ．
（Ａ）３ （Ｂ）２ （Ｃ）１ （Ｄ）０
若ｆ ｘ ＝ － ｆ － ｘ 在 ＋ 内 ｆ′ ｘ ＞ ｆ″ ｘ ＞ 则ｆ ｘ 在 － 内
（５） （ ） （ ）， （０， ∞） （ ） ０， （ ） ０， （ ） （ ∞，０） （ ）
ｆ′ ｘ ＜ ｆ″ ｘ ＜ ． ｆ′ ｘ ＜ ｆ″ ｘ ＞ ．
（Ａ） （ ） ０， （ ） ０ （Ｂ） （ ） ０， （ ） ０
ｆ′ ｘ ＞ ｆ″ ｘ ＜ ． ｆ′ ｘ ＞ ｆ″ ｘ ＞ ．
（Ｃ） （ ） ０， （ ） ０ （Ｄ） （ ） ０， （ ） ０
１３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
三、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ５ ， ２５
设ｙ ＝ ｆ ｘ２ 其中ｆ具有二阶导数 求ｄ
２ｙ
．
（１） ｓｉｎ ［ （ ）］， ， ｘ２
ｄ
求 ｘ ｘ２ ＋ ＋ ｘ ．
（２） ｘｌｉｍ－ （ １００ ）
→ ∞
π ｘ
求 ４ ｘ．
（３） ∫ ＋ ｘｄ
０ １ ｃｏｓ ２
＋ ｘ
求 ∞ ｘ．
（４） ∫ ＋ ｘ ３ｄ
０ （１ ）
求微分方程 ｘ２ － ｙ ＋ ｘｙ － ｘ ｘ ＝ 满足初值条件ｙ ＝ 的特解．
（５） （ １）ｄ （２ ｃｏｓ ）ｄ ０ （０） １
四、（本题满分 分）
９
设二阶常系数线性微分方程ｙ″ ＋ αｙ′ ＋ βｙ ＝ γ ｘ 的一个特解为 ｙ ＝ ２ ｘ ＋ ＋ ｘ ｘ 试确定常数
ｅ ｅ （１ ）ｅ ，
α β γ 并求该方程的通解．
， ， ，
五、（本题满分 分）
９
设平面图形Ａ由ｘ２ ＋ｙ２ ｘ与ｙ ｘ所确定 求图形Ａ绕直线ｘ ＝ 旋转一周所得旋转体的体积．
≤２ ≥ ， ２
六、（本题满分 分）
９
作半径为ｒ的球的外切正圆锥 问此圆锥的高ｈ为何值时 其体积Ｖ最小 并求出该最小值．
， ， ，
七、（本题满分 分）
９
设ｘ ＞ 常数ａ ＞ ．证明 ａ ＋ ｘ ａ ＜ ａａ＋ｘ．
０， ｅ ：（ ）
八、（本题满分 分）
９
设ｆ′ ｘ 在 ａ 上连续 且ｆ ＝ 证明
ａ
ｆ ｘ ｘ
Ｍａ２
其中Ｍ ＝ ｆ′ ｘ ．
（ ） ［０， ］ ， （０） ０， ： ∫ ０ （ ）ｄ ≤ ２ ， ０ ｍ ≤ ｘａ ≤ ｘａ （ ）
１４年真题
１９９４
１９９４ 年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
{ ｘ ＋ ２ ａｘ －
ｓｉｎ ２ ｅ １ ｘ
若ｆ ｘ ＝ ｘ ， ≠０，在 － ＋ 上连续 则ａ ＝ ．
（１） （ ） （ ∞， ∞） ，
ａ ｘ ＝
， ０
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由参数方程
{ｘ ＝ ｔ －
ｌｎ（１
＋ ｔ
），所确定 则ｄ
２ｙ
＝ ．
（２） （ ） ｙ ＝ ｔ３ ＋ ｔ２ ，
ｄ
ｘ２
( ｘ )
ｄ ｃｏｓ３ ｆ ｔ ｔ ＝ ．
（３） ｄ ｘ ∫ ０ （ ）ｄ
ｘ３ ｘ２ ｘ ＝ ．
（４）∫ ｅ ｄ
微分方程ｙ ｘ ＋ ｘ２ － ｘ ｙ ＝ 的通解为 ．
（５） ｄ （ ４ ）ｄ ０
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设 ｌｎ（１
＋ ｘ
）
－
（
ａｘ ＋ ｂｘ２
） ＝ 则
（１） ｌｘｉｍ ｘ２ ２， （ ）
→０
ａ ＝ ｂ ＝ － ５ ． ａ ＝ ｂ ＝ － ．
（Ａ） １， （Ｂ） ０， ２
２
ａ ＝ ｂ ＝ － ５ ． ａ ＝ ｂ ＝ － ．
（Ｃ） ０， （Ｄ） １， ２
２
{
２ ｘ３ ｘ
设ｆ ｘ ＝ ， ≤１，则ｆ ｘ 在点ｘ ＝ 处的
（２） （ ） ３ （ ） １ （ ）
ｘ２ ｘ ＞
， １，
左 右导数都存在． 左导数存在 但右导数不存在．
（Ａ） 、 （Ｂ） ，
左导数不存在 但右导数存在． 左 右导数都不存在．
（Ｃ） ， （Ｄ） 、
设ｙ ＝ ｆ ｘ 是满足微分方程ｙ″ ＋ ｙ′ － ｓｉｎ ｘ ＝ 的解 且ｆ′ ｘ ＝ 则ｆ ｘ 在
（３） （ ） ｅ ０ ， （ ０） ０， （ ） （ ）
ｘ 的某个邻域内单调增加． ｘ 的某个邻域内单调减少．
（Ａ） ０ （Ｂ） ０
ｘ 处取得极小值． ｘ 处取得极大值．
（Ｃ） ０ （Ｄ） ０
曲线ｙ ＝ ｘ１ ２
ｘ２ ＋ ｘ ＋
１ 的渐近线有
（４） ｅ ａｒｃｔａｎ ｘ － ｘ ＋ （ ）
（ １）（ ２）
条． 条． 条． 条．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
π ｘ π π
设Ｍ ＝ ２ ｓｉｎ ４ｘ ｘ Ｎ ＝ ２ ３ｘ ＋ ４ｘ ｘ Ｐ ＝ ２ ｘ２ ３ｘ － ４ｘ ｘ 则有
（５） ∫－π ＋ ｘ２ｃｏｓ ｄ ， ∫－π（ｓｉｎ ｃｏｓ ）ｄ ， ∫－π（ ｓｉｎ ｃｏｓ ）ｄ ， （ ）
２ １ ２ ２
Ｎ ＜ Ｐ ＜ Ｍ． Ｍ ＜ Ｐ ＜ Ｎ．
（Ａ） （Ｂ）
Ｎ ＜ Ｍ ＜ Ｐ． Ｐ ＜ Ｍ ＜ Ｎ．
（Ｃ） （Ｄ）
１５历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
三、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ５ ， ２５
设ｙ ＝ ｆ ｘ ＋ ｙ 其中ｆ具有二阶导数 且其一阶导数不等于 求ｄ
２ｙ
．
（１） （ ）， ， １， ｘ２
ｄ
（２）
计算
∫
１ｘ
（１
－ ｘ４
）
３
２ｄ
ｘ．
０
( )
计算 ｎ π ＋ ２ ．
（３） ｎｌｉｍ ｔａｎ ｎ
→∞ ４
ｘ
计算 ｄ ．
（４） ∫ ｘ ＋ ｘ
ｓｉｎ ２ ２ｓｉｎ
如图 设曲线方程为 ｙ ＝ ｘ２ ＋ １ 梯形 ＯＡＢＣ 的面积为 Ｄ 曲边梯形
（５） ， ， ，
２
Ｄ
ＯＡＢＣ的面积为Ｄ 点Ａ的坐标为 ａ ａ ＞ ．证明 ＜ ３ ．
１， （ ，０）， ０ ：Ｄ
１ ２
四、（本题满分 分）
９
设当ｘ ＞ 时 方程ｋｘ ＋ １ ＝ 有且仅有一个解 求ｋ的取值范围．
０ ， ｘ２ １ ，
五、（本题满分 分）
９
设ｙ ＝
ｘ３ ＋
４
ｘ２ ，
求函数的增减区间及极值
（１） ；
求函数图形的凹凸区间及拐点
（２） ；
求其渐近线
（３） ；
作出其图形．
（４）
六、（本题满分 分）
９
求微分方程ｙ″ ＋ ａ２ｙ ＝ ｘ的通解 其中常数ａ ＞ ．
ｓｉｎ ， ０
七、（本题满分 分）
９
λ
设ｆ ｘ 在 上连续且递减 证明 当 ＜ λ ＜ 时 ｆ ｘ ｘ λ １ｆ ｘ ｘ．
（ ） ［０，１］ ， ： ０ １ ，∫ （ ）ｄ ≥ ∫ （ ）ｄ
０ ０
八、（本题满分 分）
９
求曲线ｙ ＝ － ｘ２ － 与ｘ轴围成的封闭图形绕直线ｙ ＝ 旋转所得的旋转体体积．
３ １ ３
１６年真题
１９９５
１９９５ 年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设ｙ ＝ ｘ２ ２ １ 则ｙ′ ＝ ．
（１） ｃｏｓ（ ）ｓｉｎ ｘ ，
微分方程ｙ″ ＋ ｙ ＝ － ｘ的通解为 ．
（２） ２
{ｘ ＝ ＋ ｔ２
曲线 １ ，在ｔ ＝ 处的切线方程为 ．
（３） ｙ ＝ ｔ３ ２
( ｎ )
１ ＋ ２ ＋ ＋ ＝ ．
（４） ｎｌｉｍ ｎ２ ＋ ｎ ＋ ｎ２ ＋ ｎ ＋ … ｎ２ ＋ ｎ ＋ ｎ
→∞ １ ２
曲线ｙ ＝ ｘ２ －ｘ２ 的渐近线方程为 ．
（５） ｅ
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设ｆ ｘ 和φ ｘ 在 － ＋ 上有定义 ｆ ｘ 为连续函数 且ｆ ｘ φ ｘ 有间断点 则
（１） （ ） （ ） （ ∞， ∞） ， （ ） ， （ ） ≠０， （ ） ，
（ ）
φ ｆ ｘ 必有间断点． φ ｘ ２ 必有间断点．
（Ａ） ［ （ ）］ （Ｂ）［ （ ）］
φ ｘ
ｆ φ ｘ 必有间断点． （ ） 必有间断点．
（Ｃ） ［ （ ）］ （Ｄ） ｆ ｘ
（ ）
曲线ｙ ＝ ｘ ｘ － － ｘ 与ｘ轴所围图形的面积可表示为
（２） （ １）（２ ） （ ）
－ ２ｘ ｘ － － ｘ ｘ．
（Ａ） ∫ （ １）（２ ）ｄ
０
１ｘ ｘ － － ｘ ｘ － ２ｘ ｘ － － ｘ ｘ．
（Ｂ）∫ （ １）（２ ）ｄ ∫ （ １）（２ ）ｄ
０ １
－ １ｘ ｘ － － ｘ ｘ ＋ ２ｘ ｘ － － ｘ ｘ．
（Ｃ） ∫ （ １）（２ ）ｄ ∫ （ １）（２ ）ｄ
０ １
２ｘ ｘ － － ｘ ｘ．
（Ｄ）∫ （ １）（２ ）ｄ
０
设ｆ ｘ 在 － ＋ 内可导 且对任意ｘ ｘ 当ｘ ＞ ｘ 时 都有ｆ ｘ ＞ ｆ ｘ 则
（３） （ ） （ ∞， ∞） ， １， ２， １ ２ ， （ １） （ ２）， （ ）
对任意ｘ ｆ′ ｘ ＞ ． 对任意ｘ ｆ′ － ｘ ．
（Ａ） ， （ ） ０ （Ｂ） ， （ ） ≤０
函数ｆ － ｘ 单调增加． 函数 － ｆ － ｘ 单调增加．
（Ｃ） （ ） （Ｄ） （ ）
设函数ｆ ｘ 在 上ｆ″ ｘ ＞ 则ｆ′ ｆ′ ｆ － ｆ 或ｆ － ｆ 的大小顺序是
（４） （ ） ［０，１］ （ ） ０， （１）， （０）， （１） （０） （０） （１）
（ ）
ｆ′ ＞ ｆ′ ＞ ｆ － ｆ ． ｆ′ ＞ ｆ － ｆ ＞ ｆ′ ．
（Ａ） （１） （０） （１） （０） （Ｂ） （１） （１） （０） （０）
ｆ － ｆ ＞ ｆ′ ＞ ｆ′ ． ｆ′ ＞ ｆ － ｆ ＞ ｆ′ ．
（Ｃ） （１） （０） （１） （０） （Ｄ） （１） （０） （１） （０）
设ｆ ｘ 可导 Ｆ ｘ ＝ ｆ ｘ ＋ ｘ ．若Ｆ ｘ 在ｘ ＝ 处可导 则必有
（５） （ ） ， （ ） （ ）（１ ｓｉｎ ） （ ） ０ ， （ ）
ｆ ＝ ． ｆ′ ＝ ．
（Ａ） （０） ０ （Ｂ） （０） ０
ｆ ＋ ｆ′ ＝ ． ｆ － ｆ′ ＝ ．
（Ｃ） （０） （０） ０ （Ｄ） （０） （０） ０
１７历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
三、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ５ ， ３０
－ ｘ
求 １ ｃｏｓ ．
（１） ｘｌｉｍ＋ ｘ － ｘ
→０ （１ ｃｏｓ ）
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由方程ｘ ｆ （ ｙ ） ＝ ｙ 确定 其中ｆ具有二阶导数 且ｆ′ 求ｄ
２ｙ
．
（２） （ ） ｅ ｅ ， ， ≠１， ｘ２
ｄ
设ｆ ｘ２ － ＝
ｘ２
且ｆ φ ｘ ＝ ｘ 求 φ ｘ ｘ．
（３） （ １） ｌｎ ｘ２ － ， ［ （ ）］ ｌｎ ， ∫ （ ）ｄ
２
{
ｘ １ ｘ
设ｆ ｘ ＝ ａｒｃｔａｎ ｘ２， ≠０， 试讨论ｆ′ ｘ 在ｘ ＝ 处的连续性．
（４） （ ） （ ） ０
ｘ ＝
０， ０，
{ｘ ＝ － ｔ
求摆线 １ ｃｏｓ ，一拱 ｔ 的弧长Ｓ．
（５） ｙ ＝ ｔ － ｔ （０ ≤ ≤２π）
ｓｉｎ
设单位质点在水平面内作直线运动 初速度ｖ ＝ ｖ ．已知阻力与速度成正比 比例常数为
（６） ， ｔ＝ ０ （ １），
０
ｖ
问ｔ为多少时此质点的速度为 ０ 并求到此时刻该质点所经过的路程．
？
３
四、（本题满分 分）
８
求函数ｆ ｘ ＝
ｘ２
－ ｔ －ｔ ｔ的最大值和最小值．
（ ） ∫ （２ ）ｅ ｄ
０
五、（本题满分 分）
８
设ｙ ＝ ｘ 是微分方程ｘｙ′ ＋ ｐ ｘ ｙ ＝ ｘ的一个解 求此微分方程满足条件ｙ ＝ 的特解．
ｅ （ ） ， ０
ｘ＝
ｌｎ２
六、（本题满分 分）
８
如图 设曲线Ｌ的方程为ｙ ＝ ｆ ｘ 且ｙ″ ＞ ．又ＭＴ ＭＰ分别为该曲线
， （ ）， ０ ，
在点 Ｍ ｘ ｙ 处 的 切 线 和 法 线． 已 知 线 段 ＭＰ 的 长 度 为
（ ０， ０）
（１ ＋ ｙ′ ０ ２ ） ３ ２ 其中ｙ′＝ ｙ′ ｘ ｙ″＝ ｙ″ ｘ 试推导出点 Ｐ ξ η 的坐
ｙ″ （ ０ （ ０）， ０ （ ０））， （ ， ）
０
标表达式．
七、（本题满分 分）
８
设ｆ ｘ ＝ ｘ ｓｉｎ ｔ ｔ 计算 πｆ ｘ ｘ．
（ ） ∫ － ｔｄ ， ∫ （ ）ｄ
０ π ０
八、（本题满分 分）
８
ｆ ｘ
设 （ ） ＝ 且ｆ″ ｘ ＞ 证明ｆ ｘ ｘ．
ｌｘｉｍ ｘ １， （ ） ０， （ ） ≥
→０
１８年真题
１９９６
１９９６ 年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设ｙ ＝ ｘ ＋
－ｘ
２ 则ｙ′ ＝ ．
（１） （ ｅ ２）３，
ｘ＝
０
１ ｘ ＋ － ｘ２ ２ ｘ ＝ ．
（２）∫－ （ １ ） ｄ
１
微分方程ｙ″ ＋ ｙ′ ＋ ｙ ＝ 的通解为 ．
（３） ２ ５ ０
[ ( ) ( )]
ｘ ＋ ３ － ＋ １ ＝ ．
（４） ｘｌｉｍ ｓｉｎ ｌｎ １ ｘ ｓｉｎ ｌｎ １ ｘ
→∞
由曲线ｙ ＝ ｘ ＋ １ ｘ ＝ 及ｙ ＝ 所围图形的面积Ｓ ＝ ．
（５） ｘ ， ２ ２
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设当ｘ 时 ｘ － ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ 是比ｘ２ 高阶的无穷小 则
（１） →０ ，ｅ （ １） ， （ ）
ａ ＝ １ ｂ ＝ ． ａ ＝ ｂ ＝ ． ａ ＝ － １ ｂ ＝ － ． ａ ＝ － ｂ ＝ ．
（Ａ） ， １ （Ｂ） １， １ （Ｃ） ， １ （Ｄ） １， １
２ ２
设函数ｆ ｘ 在区间 － δ δ 内有定义 若当ｘ － δ δ 时 恒有 ｆ ｘ ｘ２ 则ｘ ＝ 必是
（２） （ ） （ ， ） ， ∈（ ， ） ， （ ） ≤ ， ０
ｆ ｘ 的
（ ） （ ）
间断点． 连续而不可导的点．
（Ａ） （Ｂ）
可导的点 且ｆ′ ＝ ． 可导的点 且ｆ′ ．
（Ｃ） ， （０） ０ （Ｄ） ， （０） ≠０
设ｆ ｘ 处处可导 则
（３） （ ） ， （ ）
当 ｆ ｘ ＝ － 必有 ｆ′ ｘ ＝ － ．
（Ａ） ｘｌｉｍ－ （ ） ∞， ｘｌｉｍ－ （ ） ∞
→ ∞ → ∞
当 ｆ′ ｘ ＝ － 必有 ｆ ｘ ＝ － ．
（Ｂ） ｘｌｉｍ－ （ ） ∞， ｘｌｉｍ－ （ ） ∞
→ ∞ → ∞
当 ｆ ｘ ＝ ＋ 必有 ｆ′ ｘ ＝ ＋ ．
（Ｃ） ｘｌｉｍ＋ （ ） ∞， ｘｌｉｍ＋ （ ） ∞
→ ∞ → ∞
当 ｆ′ ｘ ＝ ＋ 必有 ｆ ｘ ＝ ＋ ．
（Ｄ） ｘｌｉｍ＋ （ ） ∞， ｘｌｉｍ＋ （ ） ∞
→ ∞ → ∞
在区间 － ＋ 内 方程 ｘ １ ＋ ｘ １ － ｘ ＝
（４） （ ∞， ∞） ， ４ ２ ｃｏｓ ０（ ）
无实根． 有且仅有一个实根．
（Ａ） （Ｂ）
有且仅有两个实根． 有无穷多个实根．
（Ｃ） （Ｄ）
设ｆ ｘ ｇ ｘ 在区间 ａ ｂ 上连续 且ｇ ｘ ＜ ｆ ｘ ＜ ｍ ｍ为常数 由曲线ｙ ＝ ｇ ｘ ｙ ＝ ｆ ｘ
（５） （ ）， （ ） ［ ， ］ ， （ ） （ ） （ ）， （ ）， （ ），
ｘ ＝ ａ及ｘ ＝ ｂ所围平面图形绕直线ｙ ＝ ｍ旋转而成的旋转体体积为
（ ）
ｂ
ｍ － ｆ ｘ ＋ ｇ ｘ ｆ ｘ － ｇ ｘ ｘ．
（Ａ）∫ａπ［２ （ ） （ ）］［ （ ） （ ）］ｄ
ｂ
ｍ － ｆ ｘ － ｇ ｘ ｆ ｘ － ｇ ｘ ｘ．
（Ｂ）∫ａπ［２ （ ） （ ）］［ （ ） （ ）］ｄ
ｂ
ｍ － ｆ ｘ ＋ ｇ ｘ ｆ ｘ － ｇ ｘ ｘ．
（Ｃ）∫ａπ［ （ ） （ ）］［ （ ） （ ）］ｄ
ｂ
ｍ － ｆ ｘ － ｇ ｘ ｆ ｘ － ｇ ｘ ｘ．
（Ｄ）∫ａπ［ （ ） （ ）］［ （ ） （ ）］ｄ
１９历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
三、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ５ ， ３０
计算 ｌｎ２ － － ２ ｘ ｘ．
（１） ∫ １ ｅ ｄ
０
ｘ
求 ｄ ．
（２） ∫ ＋ ｘ
１ ｓｉｎ
{ ｔ
设
ｘ ＝
∫
ｆ
（
ｕ２
）ｄ
ｕ
，其中ｆ ｕ 具有二阶导数 且ｆ ｕ 求ｄ
２ｙ
．
（３） ０ （ ） ， （ ） ≠０， ｘ２
ｙ ＝ ｆ ｔ２ ２ ｄ
［ （ ）］ ，
－ ｘ
求函数ｆ ｘ ＝ １ 在点ｘ ＝ 处带拉格朗日型余项的ｎ阶泰勒展开式．
（４） （ ） ＋ ｘ ０
１
求微分方程ｙ″ ＋ ｙ′ ＝ ｘ２ 的通解．
（５）
设有一正椭圆柱体 其底面的长 短轴分别为 ａ ｂ 用过此柱体底
（６） ， 、 ２ ，２ ，
( )
面的短轴且与底面成α角 ＜ α ＜ π 的平面截此柱体 得一楔形体
０ ，
２
如图 求此楔形体的体积Ｖ．
（ ），
四、（本题满分 分）
８
ｘ
计算不定积分 ａｒｃｔａｎ ｘ．
∫ｘ２ ＋ ｘ２ ｄ
（１ ）
五、（本题满分 分）
８
ì ï － ｘ２ ｘ ＜ －
ï１ ２ ， １，
设函数ｆ
（
ｘ
）
＝ í
ïï
ｘ３
，
－
１ ≤
ｘ
≤２，
î ｘ － ｘ ＞ ．
１２ １６， ２
写出ｆ ｘ 的反函数ｇ ｘ 的表达式
（１） （ ） （ ） ；
ｇ ｘ 是否有间断点 不可导点 若有 指出这些点．
（２） （ ） 、 ， ，
六、（本题满分 分）
８
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由方程 ｙ３ － ｙ２ ＋ ｘｙ － ｘ２ ＝ 所确定 试求ｙ ＝ ｙ ｘ 的驻点 并判别它是否为
（ ） ２ ２ ２ １ ， （ ） ，
极值点．
七、（本题满分 分）
８
设ｆ ｘ 在区间 ａ ｂ 上具有二阶导数 且 ｆ ａ ＝ ｆ ｂ ＝ ｆ′ ａ ｆ′ ｂ ＞ ．证明 存在ξ ａ ｂ
（ ） ［ ， ］ ， （ ） （ ） ０， （ ） （ ） ０ ： ∈（ ， ）
和η ａ ｂ 使ｆ ξ ＝ 及ｆ″ η ＝ ．
∈（ ， ）， （ ） ０ （ ） ０
八、（本题满分 分）
８
设ｆ ｘ 为连续函数
（ ） ，
{ｙ′ ＋ ａｙ ＝ ｆ ｘ
（ ），
求初值问题 的解ｙ ｘ 其中ａ是正常数
（１） ｙ ＝ （ ）， ；
０
ｘ＝
０
ｋ
若 ｆ ｘ ｋ ｋ为常数 证明 当ｘ 时 有 ｙ ｘ － －ａｘ ．
（２） （ ） ≤ （ ）， ： ≥０ ， （ ） ≤ ａ（１ ｅ ）
２０年真题
１９９７
１９９７ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
{ ｘ ｘ－ ２ ｘ
已知函数ｆ ｘ ＝ （ｃｏｓ ） ， ≠０，在ｘ ＝ 处连续 则ａ ＝ ．
（１） （ ） ａ ｘ ＝ ０ ，
， ０
－ ｘ
设ｙ ＝ １ 则ｙ″ ＝ ．
（２） ｌｎ ＋ ｘ２，
ｘ＝
１ ０
ｘ
ｄ ＝ ．
（３）∫ ｘ － ｘ
（４ ）
＋ ｘ
∞ ｄ ＝ ．
（４）∫ ｘ２ ＋ ｘ ＋
０ ４ ８
已知向量组α ＝ － α ＝ ｔ α ＝ － － 的秩为 则ｔ ＝ ．
（５） １ （１，２， １，１）， ２ （２，０， ，０）， ３ （０， ４，５， ２） ２，
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设ｘ 时 ｔａｎ ｘ － ｘ 与ｘｎ 是同阶无穷小 则ｎ为
（１） →０ ，ｅ ｅ ， （ ）
． ． ． ．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
ｂ
设在闭区间 ａ ｂ 上ｆ ｘ ＞ ｆ′ ｘ ＜ ｆ″ ｘ ＞ ．记Ｓ ＝ ｆ ｘ ｘ Ｓ ＝ ｆ ｂ ｂ － ａ
（２） ［ ， ］ （ ） ０， （ ） ０， （ ） ０ １ ∫ａ （ ）ｄ ， ２ （ ）（ ），
Ｓ ＝ １ ｆ ａ ＋ ｆ ｂ ｂ － ａ 则
３ ［ （ ） （ ）］（ ）， （ ）
２
Ｓ ＜ Ｓ ＜ Ｓ ． Ｓ ＜ Ｓ ＜ Ｓ ． Ｓ ＜ Ｓ ＜ Ｓ ． Ｓ ＜ Ｓ ＜ Ｓ ．
（Ａ） １ ２ ３ （Ｂ） ２ １ ３ （Ｃ） ３ １ ２ （Ｄ） ２ ３ １
已知函数ｙ ＝ ｆ ｘ 对一切ｘ满足ｘｆ″ ｘ ＋ ｘ ｆ′ ｘ ２ ＝ － －ｘ 若ｆ′ ｘ ＝ ｘ 则
（３） （ ） （ ） ３ ［ （ ）］ １ ｅ ， （ ０） ０（ ０≠０）， （ ）
ｆ ｘ 是ｆ ｘ 的极大值．
（Ａ） （ ０） （ ）
ｆ ｘ 是ｆ ｘ 的极小值．
（Ｂ） （ ０） （ ）
ｘ ｆ ｘ 是曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的拐点．
（Ｃ）（ ０， （ ０）） （ ）
ｆ ｘ 不是ｆ ｘ 的极值 ｘ ｆ ｘ 也不是曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的拐点．
（Ｄ） （ ０） （ ） ，（ ０， （ ０）） （ ）
ｘ＋
设Ｆ ｘ ＝ ２π ｓｉｎ ｔ ｔ ｔ 则Ｆ ｘ
（４） （ ） ∫ｘ ｅ ｓｉｎ ｄ ， （ ）（ ）
为正常数． 为负常数． 恒为零． 不为常数．
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
{ － ｘ ｘ {ｘ２ ｘ ＜
设函数ｇ ｘ ＝ ２ ， ≤０， ｆ ｘ ＝ ， ０， 则ｇ ｆ ｘ ＝
（５） （ ） ｘ ＋ ｘ ＞ （ ） － ｘ ｘ ［ （ ）］ （ ）
２， ０， ， ≥０，
{ ＋ ｘ２ ｘ ＜ { － ｘ２ ｘ ＜
２ ， ０， ２ ， ０，
（Ａ） － ｘ ｘ ． （Ｂ） ＋ ｘ ｘ ．
２ ， ≥０ ２ ， ≥０
{ － ｘ２ ｘ ＜ { ＋ ｘ２ ｘ ＜
２ ， ０， ２ ， ０，
（Ｃ） － ｘ ｘ ． （Ｄ） ＋ ｘ ｘ ．
２ ， ≥０ ２ ， ≥０
三、（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ５ ， ３０
求极限 ４
ｘ２ ＋ ｘ －
１
＋ ｘ ＋
１ ．
（１） ｘｌ
→
ｉｍ－
∞
ｘ２ ＋ ｘ
ｓｉｎ
２１历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
{ｘ ＝ ｔ ｙ
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由 ａｒｃｔａｎ ， 所确定 求ｄ ．
（２） （ ）
２
ｙ － ｔｙ２ ＋
ｅ
ｔ ＝
５
，
ｄ
ｘ
计算 ２ ｘ ｘ ＋ ２ ｘ．
（３） ∫ｅ （ｔａｎ １） ｄ
求微分方程 ｘ２ ＋ ｘｙ － ｙ２ ｘ ＋ ｘ２ － ｘｙ ｙ ＝ 的通解．
（４） （３ ２ ）ｄ （ ２ ）ｄ ０
已知ｙ ＝ ｘ ｘ ＋ ２ ｘ ｙ ＝ ｘ ｘ ＋ －ｘ ｙ ＝ ｘ ｘ ＋ ２ ｘ － －ｘ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个
（５） １ ｅ ｅ ， ２ ｅ ｅ ， ３ ｅ ｅ ｅ
解 求此微分方程．
，
æ － ö
ç１ １ １÷
（６）
已知矩阵Ａ ＝
çç０ １ １ ÷÷，
且Ａ２ － ＡＢ ＝ Ｅ
，
其中Ｅ是
３
阶单位矩阵
，
求矩阵Ｂ．
è － ø
０ ０ １
四、（本题满分 分）
８
ì ｘ ＋ λｘ － ｘ ＝
ï ï２ １ ２ ３ １，
λ取何值时 方程组íλｘ － ｘ ＋ ｘ ＝ 无解 有唯一解或有无穷多解 并在有无穷多解时写出
， ïï １ ２ ３ ２， ， ？
î
ｘ ＋ ｘ － ｘ ＝ －
４ １ ５ ２ ５ ３ １
方程组的通解．
五、（本题满分 分）
８
设曲线Ｌ的极坐标方程为ｒ ＝ ｒ θ Ｍ ｒ θ 为Ｌ上任一点 Ｍ 为Ｌ上一定点．若极径ＯＭ ＯＭ
（ ）， （ ， ） ， ０（２，０） ０，
与曲线Ｌ所围成的曲边扇形面积值等于Ｌ上Ｍ Ｍ两点间弧长值的一半 求曲线Ｌ的方程．
０， ，
六、（本题满分 分）
８
ａ
设函数ｆ ｘ 在闭区间 上连续 在开区间 内大于零 并满足ｘｆ′ ｘ ＝ ｆ ｘ ＋３ ｘ２ ａ为
（ ） ［０，１］ ， （０，１） ， （ ） （ ） （
２
常数 又曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 与ｘ ＝ ｙ ＝ 所围的图形Ｓ的面积值为 求函数ｙ ＝ ｆ ｘ 并问ａ为何
）， （ ） １， ０ ２， （ ），
值时 图形Ｓ绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．
，
七、（本题满分 分）
８
设函数ｆ ｘ 连续 φ ｘ ＝ １ｆ ｘｔ ｔ 且 ｆ （ ｘ ） ＝ Ａ Ａ为常数 求φ′ ｘ 并讨论φ′ ｘ 在ｘ ＝
（ ） ， （ ） ∫ （ ）ｄ ， ｌｘｉｍ ｘ （ ）， （ ） （ ） ０
０ →０
处的连续性．
八、（本题满分 分）
８
( )
就ｋ的不同取值情况 确定方程ｘ － π ｘ ＝ ｋ在开区间 π 内根的个数 并证明你的结论．
， ｓｉｎ ０， ，
２ ２
２２年真题
１９９８
１９９８ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
＋ ｘ ＋ － ｘ －
１ １ ２ ＝ ．
（１） ｌｘｉｍ ｘ２
→０
曲线ｙ ＝ － ｘ３ ＋ ｘ２ ＋ ｘ与ｘ轴所围成的图形的面积Ａ ＝ ．
（２） ２
ｘ
ｌｎ（ｓｉｎ ） ｘ ＝ ．
（３）∫ ２ｘ ｄ
ｓｉｎ
ｘ
设ｆ ｘ 连续 则ｄ ｔｆ ｘ２ － ｔ２ ｔ ＝ ．
（４） （ ） ， ｘ ∫ （ ）ｄ
ｄ ０
( )
曲线ｙ ＝ ｘ ＋ １ ｘ ＞ 的渐近线方程为 ．
（５） ｌｎ ｅ ｘ （ ０）
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设数列 ｘ 与 ｙ 满足 ｘ ｙ ＝ 则下列断言正确的是
（１） ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ｎｌｉｍ ｎ ｎ ０， （ ）
→∞
若 ｘ 发散 则 ｙ 必发散．
（Ａ） ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝
若 ｘ 无界 则 ｙ 必有界．
（Ｂ） ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝
若 ｘ 有界 则 ｙ 必为无穷小．
（Ｃ） ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝
{ }
若 １ 为无穷小 则 ｙ 必为无穷小．
（Ｄ） ｘ ， ｛ ｎ｝
ｎ
函数ｆ ｘ ＝ ｘ２ － ｘ － ｘ３ － ｘ 的不可导点的个数为
（２） （ ） （ ２） （ ）
． ． ． ．
（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３
ｙ ｘ
已知函数ｙ ＝ ｙ ｘ 在任意点ｘ处的增量 ｙ ＝ Δ ＋ α 其中α是比 ｘ ｘ 高阶的无
（３） （ ） Δ ＋ ｘ２ ， Δ （Δ →０）
１
穷小 且ｙ ＝ 则ｙ ＝
， （０） π， （１） （ ）
π． ． ． π．
（Ａ）πｅ４ （Ｂ）２π （Ｃ）π （Ｄ）ｅ４
设函数ｆ ｘ 在ｘ ＝ ａ的某个邻域内连续 且ｆ ａ 为其极大值 则存在δ ＞ 当ｘ ａ －δ ａ ＋δ
（４） （ ） ， （ ） ， ０， ∈（ ， ）
时 必有
， （ ）
ｘ － ａ ｆ ｘ － ｆ ａ ． ｘ － ａ ｆ ｘ － ｆ ａ ．
（Ａ）（ ）［ （ ） （ ）］ ≥０ （Ｂ）（ ）［ （ ） （ ）］ ≤０
ｆ ｔ － ｆ ｘ ｆ ｔ － ｆ ｘ
（ ） （ ） ｘ ａ ． （ ） （ ） ｘ ａ ．
（Ｃ） ｌｔｉｍａ ｔ － ｘ ２ ≥０（ ≠ ） （Ｄ） ｌｔｉｍａ ｔ － ｘ ２ ≤０（ ≠ ）
→ （ ） → （ ）
设Ａ 是任一 ｎ ｎ 阶方阵 Ａ∗ 是其伴随矩阵 又 ｋ 为常数 且 ｋ ± 则必有
（５） （ ≥ ３） ， ， ， ≠ ０， １，
ｋＡ ∗ ＝
（ ） （ ）
ｋＡ∗． ｋｎ－ １Ａ∗． ｋｎＡ∗． ｋ－ １Ａ∗．
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
三、（本题满分 分）
５
ｘ
求函数ｆ
（
ｘ
）
＝
（１
＋ ｘ
）ｔａｎ（
ｘ－π
４）
在区间
（０，２π）
内的间断点
，
并判断其类型．
２３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
四、（本题满分 分）
５
ａｘ － ｘ
确定常数ａ ｂ ｃ的值 使 ｓｉｎ ＝ ｃ ｃ ．
， ， ， ｌｘｉｍ ｘ ＋ ｔ３ （ ≠０）
→０ ｌｎ（１ ） ｔ
∫ｂ ｔ ｄ
五、（本题满分 分）
５
ｕ
利用代换ｙ ＝ 将方程
ｘ
ｃｏｓ
ｙ″ ｘ － ｙ′ ｘ ＋ ｙ ｘ ＝ ｘ
ｃｏｓ ２ ｓｉｎ ３ ｃｏｓ ｅ
化简 并求出原方程的通解．
，
六、（本题满分 分）
６
３ ｘ
计算积分 ２ ｄ ．
∫１
２
ｘ － ｘ２
七、（本题满分 分）
６
从船上向海中沉放某种探测仪器 按探测要求 需确定仪器的下沉深度ｙ 从海平面算起 与下沉速
， ， （ ）
度ｖ之间的函数关系．设仪器在重力作用下 从海平面由静止开始垂直下沉 在下沉过程中还受到
， ，
阻力和浮力的作用．设仪器的质量为ｍ 体积为Ｂ 海水比重为 ρ 仪器所受的阻力与下沉速度成正
， ， ，
比 比例系数为ｋ ｋ ＞ ．试建立ｙ与ｖ所满足的微分方程 并求出函数关系式ｙ ＝ ｙ ｖ ．
， （ ０） ， （ ）
八、（本题满分 分）
８
设ｙ ＝ ｆ ｘ 是区间 上的任一非负连续函数．
（ ） ［０，１］
试证存在ｘ 使得在区间 ｘ 上以ｆ ｘ 为高的矩形面积 等于在区间 ｘ 上以
（１） ０∈（０，１）， ［０， ０］ （ ０） ， ［ ０，１］
ｙ ＝ ｆ ｘ 为曲边的曲边梯形面积
（ ） ；
－ ｆ ｘ
又设ｆ ｘ 在区间 内可导 且ｆ′ ｘ ＞ ２ （ ） 证明 中的ｘ 是惟一的．
（２） （ ） （０，１） ， （ ） ｘ ， （１） ０
九、（本题满分 分）
８
设有曲线ｙ ＝ ｘ － 过原点作其切线 求由此曲线 切线及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ 轴旋转一周
１， ， 、
所得到的旋转体的表面积．
十、（本题满分 分）
８
设ｙ ＝ ｙ ｘ 是一向上凸的连续曲线 其上任意一点 ｘ ｙ 处的曲率为 １ 且此曲线上点
（ ） ， （ ， ） ， （０，１）
＋ ｙ′２
１
处的切线方程为ｙ ＝ ｘ ＋ 求该曲线的方程 并求函数ｙ ＝ ｙ ｘ 的极值．
１， ， （ ）
十一、（本题满分 分）
８
设ｘ 证明
∈（０，１）， ：
＋ ｘ ２ ＋ ｘ ＜ ｘ２
（１）（１ ）ｌｎ （１ ） ；
２４年真题
１９９８
１ － ＜ １ － １ ＜ １ ．
（２） １ ＋ ｘ ｘ
ｌｎ ２ ｌｎ（１ ） ２
十二、（本题满分 分）
５
设 Ｅ － Ｃ－ １Ｂ ＡＴ ＝ Ｃ－ １ 其中Ｅ是 阶单位矩阵 ＡＴ 是 阶矩阵Ａ的转置矩阵
（２ ） ， ４ ， ４ ，
æ － － ö æ ö
１ ２ ３ ２ １ ２ ０ １
ç ÷ ç ÷
－
Ｂ ＝ ç０ １ ２ ３÷ Ｃ ＝ ç０ １ ２ ０÷ ．
çç ÷÷ ， çç ÷÷
０ ０ １ ２ ０ ０ １ ２
è ø è ø
０ ０ ０ １ ０ ０ ０ １
求Ａ．
十三、（本题满分 分）
６
已知α ＝ Ｔ α ＝ Ｔ α ＝ － ａ Ｔ β ＝ ｂ Ｔ 问
１ （１，４，０，２） ， ２ （２，７，１，３） ， ３ （０，１， １， ） ， （３，１０， ，４） ， ：
ａ ｂ取何值时 β 不能由α α α 线性表示
（１） ， ， １， ２， ３ ？
ａ ｂ取何值时 β 可由α α α 线性表示 并写出此表示式．
（２） ， ， １， ２， ３ ？
２５历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
１９９９ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
{ｘ ＝ ｔ ｔ
曲线 ｅ ｓｉｎ ２ 在点 处的法线方程为 ．
（１） ｙ ＝ ｔ ｔ （０，１）
ｅ ｃｏｓ
ｙ
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由方程 ｘ２ ＋ ｙ ＝ ｘ３ｙ ＋ ｘ确定 则ｄ ＝ ．
（２） （ ） ｌｎ（ ） ｓｉｎ ， ｘ
ｄ ｘ＝ ０
ｘ ＋
５ ｘ ＝ ．
（３）∫ｘ２ － ｘ ＋ ｄ
６ １３
函数ｙ ＝
ｘ２
在区间
[ ]
上的平均值为 ．
１ ３
（４） － ｘ２ ，
１ ２ ２
微分方程ｙ″ － ｙ ＝ ２ ｘ 的通解为 ．
（５） ４ ｅ
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
{ － ｘ
１ ｃｏｓ ｘ ＞
设ｆ ｘ ＝ ｘ ， ０，其中ｇ ｘ 是有界函数 则ｆ ｘ 在ｘ ＝ 处
（１） （ ） （ ） ， （ ） ０ （ ）
ｘ２ｇ ｘ ｘ
（ ）， ≤０，
极限不存在． 极限存在 但不连续．
（Ａ） （Ｂ） ，
连续 但不可导． 可导．
（Ｃ） ， （Ｄ）
设α ｘ ＝ ５ ｘ ｓｉｎ ｔ ｔ β ｘ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ｔ １ｔ ｔ 则当ｘ 时 α ｘ 是β ｘ 的
（２） （ ） ∫ ｔ ｄ ， （ ） ∫ （１ ） ｄ ， →０ ， （ ） （ ） （ ）
０ ０
高阶无穷小． 低阶无穷小．
（Ａ） （Ｂ）
同阶但不等价的无穷小． 等价无穷小．
（Ｃ） （Ｄ）
设ｆ ｘ 是连续函数 Ｆ ｘ 是ｆ ｘ 的原函数 则
（３） （ ） ， （ ） （ ） ， （ ）
当ｆ ｘ 是奇函数时 Ｆ ｘ 必是偶函数．
（Ａ） （ ） ， （ ）
当ｆ ｘ 是偶函数时 Ｆ ｘ 必是奇函数．
（Ｂ） （ ） ， （ ）
当ｆ ｘ 是周期函数时 Ｆ ｘ 必是周期函数．
（Ｃ） （ ） ， （ ）
当ｆ ｘ 是单调增函数时 Ｆ ｘ 必是单调增函数．
（Ｄ） （ ） ， （ ）
对任意给定的ε 总存在正整数Ｎ 当ｎ Ｎ时 恒有 ｘ －ａ ε 是数列 ｘ 收
（４） “ ∈（０，１）， ， ≥ ， ｎ ≤２ ” ｛ ｎ｝
敛于ａ的
（ ）
充分条件但非必要条件． 必要条件但非充分条件．
（Ａ） （Ｂ）
充分必要条件． 既非充分条件又非必要条件．
（Ｃ） （Ｄ）
ｘ － ｘ － ｘ － ｘ －
２ １ ２ ３
ｘ － ｘ － ｘ － ｘ －
记行列式 ２ ２ ２ １ ２ ２ ２ ３ 为ｆ ｘ 则方程ｆ ｘ ＝ 的根的个数为
（５） ｘ － ｘ － ｘ － ｘ － （ ）， （ ） ０ （ ）
３ ３ ３ ２ ４ ５ ３ ５
ｘ ｘ － ｘ － ｘ －
４ ４ ３ ５ ７ ４ ３
． ． ． ．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
２６年真题
１９９９
三、（本题满分 分）
５
＋ ｘ － ＋ ｘ
求 １ ｔａｎ １ ｓｉｎ ．
ｌｘｉｍ ｘ ＋ ｘ － ｘ２
→０ ｌｎ（１ ）
四、（本题满分 分）
６
＋ ｘ
计算 ∞ ａｒｃｔａｎ ｘ．
∫ ｘ２ ｄ
１
五、（本题满分 分）
７
{
ｙ ＋ ｘ２ ＋ ｙ２ ｘ － ｘ ｙ ＝ ｘ ＞
求初值问题 （ ）ｄ ｄ ０（ ０），的解．
ｙ ＝
０
ｘ＝
１
六、（本题满分 分）
７
为清除井底的污泥 用缆绳将抓斗放入井底 抓起污泥后提出井口 已知井深
， ， ，
抓斗自重 缆绳每米重 抓斗抓起的污泥重 提升速度为
３０ｍ， ４００Ｎ， ５０Ｎ， ２０００Ｎ，
在提升过程中 污泥以 的速率从抓斗缝隙中漏掉 现将抓起污泥的
３ｍ／ｓ． ， ２０Ｎ／ｓ ．
抓斗提升至井口 问克服重力需作多少焦耳的功
， ？
说明 分别表示米 牛顿 秒 焦耳 抓斗的高度及
（ ：①１Ｎ ×１ｍ ＝ １Ｊ；ｍ，Ｎ，ｓ，Ｊ ， ， ， ．②
位于井口上方的缆绳长度忽略不计
．）
七、（本题满分 分）
８
已知函数ｙ ＝
ｘ３
求
ｘ － ２，
（ １）
函数的增减区间及极值
（１） ；
函数图形的凹凸区间及拐点
（２） ；
函数图形的渐近线．
（３）
八、（本题满分 分）
８
设函数ｆ ｘ 在闭区间 － 上具有三阶连续导数 且ｆ － ＝ ｆ ＝ ｆ′ ＝ 证明
（ ） ［ １，１］ ， （ １） ０， （１） １， （０） ０， ：
在开区间 － 内至少存在一点ξ 使ｆ‴ξ ＝ ．
（ １，１） ， （ ） ３
九、（本题满分 分）
８
设函数ｙ ｘ ｘ 二阶可导 且ｙ′ ｘ ＞ ｙ ＝ ．过曲线ｙ ＝ ｙ ｘ 上任意一点Ｐ ｘ ｙ 作该
（ ）（ ≥０） ， （ ） ０， （０） １ （ ） （ ， ）
曲线的切线及ｘ 轴的垂线 上述两直线与 ｘ 轴所围成的三角形的面积记为 Ｓ 区间 ｘ 上以
， １， ［０， ］
ｙ ＝ ｙ ｘ 为曲边的曲边梯形面积记为Ｓ 并设 Ｓ － Ｓ 恒为 求此曲线ｙ ＝ ｙ ｘ 的方程．
（ ） ２， ２ １ ２ １， （ ）
２７历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
十、（本题满分 分）
７
ｎ ｎ
设ｆ ｘ 是区间 ＋ 上单调减少且非负的连续函数 ａ ＝ ｆ ｋ － ｆ ｘ ｘ ｎ ＝
（ ） ［０， ∞） ， ｎ ｋ＝
１
（ ） ∫
１
（ ）ｄ （ １，２，…），
证明数列 ａ 的极限存在．
｛ ｎ｝
十一、（本题满分 分）
６
æ － ö
ç １ １ １÷
设矩阵Ａ ＝ çç － １ １ １ ÷÷， 矩阵Ｘ满足Ａ∗Ｘ ＝ Ａ－ １ ＋ ２ Ｘ ， 其中Ａ∗是Ａ的伴随矩阵 ， 求矩阵Ｘ．
è － ø
１ １ １
十二、（本题满分 分）
８
设向量组α ＝ Ｔ α ＝ － － Ｔ α ＝ － ｐ ＋ Ｔ α ＝ － － ｐ Ｔ．
１ （１，１，１，３） ， ２ （ １， ３，５，１） ， ３ （３，２， １， ２） ， ４ （ ２， ６，１０， ）
ｐ为何值时 该向量组线性无关 并在此时将向量α ＝ Ｔ 用α α α α 线性表示
（１） ， ？ （４，１，６，１０） １， ２， ３， ４ ；
ｐ为何值时 该向量组线性相关 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．
（２） ， ？
２８年真题
２０００
２０００ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
ｘ － ｘ
ａｒｃｔａｎ ＝ ．
（１） ｌｘｉｍ ＋ ｘ３
→０ ｌｎ（１ ２ ）
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由方程 ｘｙ ＝ ｘ ＋ ｙ所确定 则 ｙ ＝ ．
（２） （ ） ２ ， ｄ
ｘ＝
０
＋ ｘ
∞ ｄ ＝ ．
（３）∫ ｘ ＋ ｘ －
２
（ ７） ２
曲线ｙ ＝ ｘ － １ｘ 的斜渐近线方程为 ．
（４） （２ １）ｅ
æ ö
１ ０ ０ ０
ç ÷
－
设Ａ ＝ ç ２ ３ ０ ０÷ Ｅ为 阶单位矩阵 且Ｂ ＝ Ｅ ＋Ａ － １ Ｅ －Ａ 则 Ｅ ＋Ｂ － １ ＝
（５） çç － ÷÷ ， ４ ， （ ） （ ）， （ ）
０ ４ ５ ０
è ø
－
０ ０ ６ ７
．
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
ｘ
设函数ｆ ｘ ＝ 在 － ＋ 内连续 且 ｆ ｘ ＝ 则常数ａ ｂ满足
（１） （ ） ａ ＋ ｂｘ （ ∞， ∞） ， ｘｌｉｍ－ （ ） ０， ， （ ）
ｅ → ∞
ａ ＜ ｂ ＜ ． ａ ＞ ｂ ＞ ．
（Ａ） ０， ０ （Ｂ） ０， ０
ａ ｂ ＞ ． ａ ｂ ＜ ．
（Ｃ） ≤０， ０ （Ｄ） ≥０， ０
设函数ｆ ｘ 满足关系式ｆ″ ｘ ＋ ｆ′ ｘ ２ ＝ ｘ 且ｆ′ ＝ 则
（２） （ ） （ ） ［ （ ）］ ， （０） ０， （ ）
ｆ 是ｆ ｘ 的极大值．
（Ａ） （０） （ ）
ｆ 是ｆ ｘ 的极小值．
（Ｂ） （０） （ ）
点 ｆ 是曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的拐点．
（Ｃ） （０， （０）） （ ）
ｆ 不是ｆ ｘ 的极值 点 ｆ 也不是曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的拐点．
（Ｄ） （０） （ ） ， （０， （０）） （ ）
设函数ｆ ｘ ｇ ｘ 是大于零的可导函数 且ｆ′ ｘ ｇ ｘ －ｆ ｘ ｇ′ ｘ ＜ 则当ａ ＜ ｘ ＜ ｂ时 有
（３） （ ）， （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ） ０， ， （ ）
ｆ ｘ ｇ ｂ ＞ ｆ ｂ ｇ ｘ ． ｆ ｘ ｇ ａ ＞ ｆ ａ ｇ ｘ ．
（Ａ） （ ） （ ） （ ） （ ） （Ｂ） （ ） （ ） （ ） （ ）
ｆ ｘ ｇ ｘ ＞ ｆ ｂ ｇ ｂ ． ｆ ｘ ｇ ｘ ＞ ｆ ａ ｇ ａ ．
（Ｃ） （ ） （ ） （ ） （ ） （Ｄ） （ ） （ ） （ ） （ ）
ｘ ＋ ｘｆ ｘ ＋ ｆ ｘ
若 ｓｉｎ ６ （ ） ＝ 则 ６ （ ） 为
（４） ｌｘｉｍ ｘ３ ０， ｌｘｉｍ ｘ２ （ ）
→０ →０
． ． ． ．
（Ａ）０ （Ｂ）６ （Ｃ）３６ （Ｄ）∞
具有特解ｙ ＝ －ｘ ｙ ＝ ｘ －ｘ ｙ ＝ ｘ 的 阶常系数齐次线性微分方程是
（５） １ ｅ ， ２ ２ ｅ ， ３ ３ｅ ３ （ ）
ｙ‴－ ｙ″ － ｙ′ ＋ ｙ ＝ ． ｙ‴＋ ｙ″ － ｙ′ － ｙ ＝ ．
（Ａ） ０ （Ｂ） ０
ｙ‴－ ｙ″ ＋ ｙ′ － ｙ ＝ ． ｙ‴－ ｙ″ － ｙ′ ＋ ｙ ＝ ．
（Ｃ） ６ １１ ６ ０ （Ｄ） ２ ２ ０
三、（本题满分 分）
５
＋ ｘ
设ｆ ｘ ＝ ｌｎ（１ ） 计算 ｆ ｘ ｘ．
（ｌｎ ） ｘ ， ∫（ ）ｄ
２９历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
四、（本题满分 分）
５
设ｘＯｙ平面上有正方形Ｄ ＝ ｘ ｙ ｘ ｙ 及直线ｌ ｘ ＋ ｙ ＝ ｔ ｔ ．若Ｓ ｔ 表
｛（ ， ） ０≤ ≤１，０≤ ≤１｝ ： （ ≥０） （ ）
ｘ
示正方形Ｄ位于直线ｌ左下方部分的面积 试求 Ｓ ｔ ｔ ｘ ．
， ∫ （ ）ｄ （ ≥０）
０
五、（本题满分 分）
５
求函数ｆ ｘ ＝ ｘ２ ＋ ｘ 在ｘ ＝ 处的ｎ阶导数ｆ（ ｎ ） ｎ ．
（ ） ｌｎ（１ ） ０ （０）（ ≥３）
六、（本题满分 分）
６
ｘ
设函数Ｓ ｘ ＝ ｔ ｔ
（ ） ∫ ｃｏｓ ｄ ，
０
当ｎ为正整数 且ｎ ｘ ＜ ｎ ＋ 时 证明 ｎ Ｓ ｘ ＜ ｎ ＋
（１） ， π≤ （ １）π ， ：２ ≤ （ ） ２（ １）；
Ｓ ｘ
求 （ ）．
（２） ｘｌｉｍ＋ ｘ
→ ∞
七、（本题满分 分）
７
Ｖ Ｖ
某湖泊的水量为Ｖ 每年排入湖泊内含污染物Ａ的污水量为 流入湖泊内不含Ａ的水量为 流出
， ， ，
６ ６
Ｖ
湖泊的水量为 ．已知 年底湖中 Ａ 的含量为 ｍ 超过国家规定指标．为了治理污染 从
１９９９ ５ ０， ， ２０００
３
ｍ
年初起 限定排入湖泊中含Ａ污水的浓度不超过 ０．问至多需经过多少年 湖泊中污染物 Ａ 的含量
， Ｖ ，
才可降至ｍ 以内 注 设湖水中Ａ的浓度是均匀的 ．
０ ？（ ： ）
八、（本题满分 分）
６
设函数 ｆ ｘ 在 上连续 且 πｆ ｘ ｘ ＝ πｆ ｘ ｘ ｘ ＝ ．试证明 在 内至少存在两
（ ） ［０，π］ ， ∫ （ ）ｄ ０，∫ （ ）ｃｏｓ ｄ ０ ： （０，π）
０ ０
个不同的点ξ ξ 使ｆ ξ ＝ ｆ ξ ＝ ．
１， ２， （ １） （ ２） ０
九、（本题满分 分）
７
已知ｆ ｘ 是周期为 的连续函数 它在ｘ ＝ 的某个邻域内满足关系式
（ ） ５ ， ０
ｆ ＋ ｘ － ｆ － ｘ ＝ ｘ ＋ α ｘ
（１ ｓｉｎ ） ３ （１ ｓｉｎ ） ８ （ ），
其中α ｘ 是当ｘ 时比ｘ高阶的无穷小 且ｆ ｘ 在ｘ ＝ 处可导 求曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 在点 ｆ
（ ） →０ ， （ ） １ ， （ ） （６， （６））
处的切线方程．
十、（本题满分 分）
８
设曲线ｙ ＝ ａｘ２ ａ ＞ ｘ 与ｙ ＝ － ｘ２ 交于点Ａ 过坐标原点Ｏ和点Ａ的直线与曲线ｙ ＝ ａｘ２
（ ０， ≥０） １ ，
围成一平面图形．问ａ 为何值时 该图形绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体体积最大 最大体积是多少
， ？ ？
十一、（本题满分 分）
８
函数ｆ ｘ 在 ＋ 上可导 ｆ ＝ 且满足等式
（ ） ［０， ∞） ， （０） １，
３０年真题
２０００
ｘ
ｆ′ ｘ ＋ ｆ ｘ － １ ｆ ｔ ｔ ＝ ．
（ ） （ ） ｘ ＋ ∫ （ ）ｄ ０
１ ０
求导数ｆ′ ｘ
（１） （ ）；
证明 当ｘ 时 不等式 －ｘ ｆ ｘ 成立．
（２） ： ≥０ ， ｅ ≤ （ ） ≤１
十二、（本题满分 分）
６
æ ö
æ ö ç １ ÷ æ ö
ç１÷ ç０÷
设α ＝ çç２ ÷÷， β ＝ ç çç １ ÷ ÷÷ ， γ ＝ çç０ ÷÷， Ａ ＝ αβＴ ， Ｂ ＝ βＴα ， 其中βＴ 是β 的转置 ， 求解方程
è ø ２ è ø
è ø
１ ８
０
Ｂ２Ａ２ｘ ＝ Ａ４ｘ ＋ Ｂ４ｘ ＋ γ．
２
十三、（本题满分 分）
７
æ ö æａö æｂö æ ö æ ö æ ö
ç ０ ÷ ç ÷ ç ÷ ç １ ÷ ç３÷ ç ９ ÷
已知向量组β ＝ β ＝ β ＝ 与向量组α ＝ α ＝ α ＝ 具有
１
çç
１
÷÷，
２
çç２ ÷÷，
３
çç１ ÷÷
１
çç
２
÷÷，
２
çç０ ÷÷，
３
çç
６
÷÷
è－ ø è ø è ø è－ ø è ø è－ ø
１ １ ０ ３ １ ７
相同的秩 且β 可由α α α 线性表示 求ａ ｂ的值．
， ３ １， ２， ３ ， ，
３１历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
２００１ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
－ ｘ － ＋ ｘ
３ １ ＝ ．
（１） ｌｘｉｍ ｘ２ ＋ ｘ －
→１ ２
设函数ｙ ＝ ｆ ｘ 由方程 ２ ｘ＋ｙ － ｘｙ ＝ － 所确定 则曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 在点 处的法线
（２） （ ） ｅ ｃｏｓ（ ） ｅ １ ， （ ） （０，１）
方程为 ．
π
２ ｘ３ ＋ ２ｘ ２ｘ ｘ ＝ ．
（３）∫－π（ ｓｉｎ ）ｃｏｓ ｄ
２
( ) ｙ
过点 １ 且满足关系式ｙ′ ｘ ＋ ＝ 的曲线方程为 ．
（４） ，０ ａｒｃｓｉｎ １
２
－ ｘ２
１
æａ öæｘ ö æ ö
ç １ １÷ç １÷ ç １ ÷
（５） 设方程组 çç１ ａ １ ÷÷ç ç ｘ ２ ÷ ÷ ＝ çç １ ÷÷ 有无穷多解 ， 则ａ ＝ ．
è ａøèｘ ø è－ ø
１ １ ２
３
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
{ ｘ
设ｆ ｘ ＝ １， ≤１，则ｆ ｆ ｆ ｘ 等于
（１） （ ） ｘ ＞ ｛ ［ （ ）］｝ （ ）
０， １，
{ ｘ { ｘ
． ． １， ≤１， ０， ≤１，
（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ） ｘ ＞ ． （Ｄ） ｘ ＞ ．
０， １ １， １
设当ｘ 时 － ｘ ＋ ｘ２ 是比ｘ ｘｎ 高阶的无穷小 ｘ ｘｎ 是比 ｘ２ － 高阶的
（２） →０ ，（１ ｃｏｓ ）ｌｎ（１ ） ｓｉｎ ， ｓｉｎ ｅ １
无穷小 则正整数ｎ等于
， （ ）
． ． ． ．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
曲线ｙ ＝ ｘ － ２ ｘ － ２ 的拐点个数为
（３） （ １） （ ３） （ ）
． ． ． ．
（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３
已知函数 ｆ ｘ 在区间 － δ ＋ δ 内具有二阶导数 ｆ′ ｘ 严格单调减少 且 ｆ ＝ ｆ′ ＝
（４） （ ） （１ ，１ ） ， （ ） ， （１） （１）
则
１， （ ）
在 － δ 和 ＋ δ 内均有ｆ ｘ ＜ ｘ．
（Ａ） （１ ，１） （１，１ ） （ ）
在 － δ 和 ＋ δ 内均有ｆ ｘ ＞ ｘ．
（Ｂ） （１ ，１） （１，１ ） （ ）
在 － δ 内 ｆ ｘ ＜ ｘ 在 ＋ δ 内 ｆ ｘ ＞ ｘ．
（Ｃ） （１ ，１） ， （ ） ， （１，１ ） ， （ ）
在 － δ 内 ｆ ｘ ＞ ｘ 在 ＋ δ 内 ｆ ｘ ＜ ｘ．
（Ｄ） （１ ，１） ， （ ） ， （１，１ ） ， （ ）
已知函数ｙ ＝ ｆ ｘ 在其定义域内可导 它的图形如右图所示 则其
（５） （ ） ， ，
导函数ｙ ＝ ｆ′ ｘ 的图形为
（ ） （ ）
３２年真题
２００１
三、（本题满分 分）
６
ｘ
求 ｄ ．
∫ ｘ２ ＋ ｘ２ ＋
（２ １） １
四、（本题满分 分）
７
( ｔ)
ｔ－
ｘ
ｘ
求极限 ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ 记此极限为ｆ ｘ 求函数ｆ ｘ 的间断点并指出其类型．
ｌｔｉｍｘ ｘ ， （ ）， （ ）
→ ｓｉｎ
五、（本题满分 分）
７
设ρ ＝ ρ ｘ 是抛物线ｙ ＝ ｘ上任一点Ｍ ｘ ｙ ｘ 处的曲率半径 ｓ ＝ ｓ ｘ 是该抛物线上介
（ ） （ ， ）（ ≥１） ， （ ）
于点Ａ 与Ｍ之间的弧长 计算 ρｄ
２ρ
－
(
ｄ
ρ)
２ 的值．
（１，１） ， ３ ｓ２ ｓ
ｄ ｄ
ｙ″
在直角坐标系下曲率公式为Ｋ ＝ ．
（
（１
＋ ｙ′２
）
３
２
）
六、（本题满分 分）
７
ｆ ｘ
设函数ｆ ｘ 在 ＋ 上可导 ｆ ＝ 且其反函数为ｇ ｘ ．若 （ ）ｇ ｔ ｔ ＝ ｘ２ ｘ 求ｆ ｘ ．
（ ） ［０， ∞） ， （０） ０， （ ） ∫ （ ）ｄ ｅ ， （ ）
０
七、（本题满分 分）
７
设函数 ｆ ｘ ｇ ｘ 满足 ｆ ′ ｘ ＝ ｇ ｘ ｇ′ ｘ ＝ ｘ － ｆ ｘ 且 ｆ ＝ ｇ ＝ 求
（ ）， （ ） （ ） （ ）， （ ） ２ｅ （ ）， （０） ０， （０） ２，
π [ｇ （ ｘ ） － ｆ （ ｘ ） ] ｘ．
∫ ０ １ ＋ ｘ （１ ＋ ｘ ） ２ ｄ
八、（本题满分 分）
９
设Ｌ是一条平面曲线 其上任意一点Ｐ ｘ ｙ ｘ ＞ 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在ｙ轴
， （ ， ）（ ０）
( )
上的截距 且Ｌ经过点 １ ．
， ，０
２
试求曲线Ｌ的方程
（１） ；
求Ｌ位于第一象限部分的一条切线 使该切线与Ｌ以及两坐标轴所围图形的面积最小．
（２） ，
九、（本题满分 分）
７
一个半球体状的雪堆 其体积融化的速率与半球面面积Ｓ成正比 比例常数Ｋ ＞ ．假设在融化过程
， ， ０
３３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
中雪堆始终保持半球体状 已知半径为ｒ 的雪堆在开始融化的 小时内 融化了其体积的７ 问雪
， ０ ３ ， ，
８
堆全部融化需要多少小时
？
十、（本题满分 分）
８
设ｆ ｘ 在区间 － ａ ａ ａ ＞ 上具有二阶连续导数 ｆ ＝ ．
（ ） ［ ， ］（ ０） ， （０） ０
写出ｆ ｘ 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
（１） （ ） ；
ａ
证明在 － ａ ａ 上至少存在一点η 使ａ３ｆ″ η ＝ ｆ ｘ ｘ．
（２） ［ ， ］ ， （ ） ３∫－ａ （ ）ｄ
十一、（本题满分 分）
６
æ ö æ ö
ç１ ０ ０÷ ç０ １ １÷
已知矩阵Ａ ＝ Ｂ ＝ 且矩阵Ｘ满足ＡＸＡ ＋ ＢＸＢ ＝ ＡＸＢ ＋ ＢＸＡ ＋ Ｅ 其中
çç１ １ ０ ÷÷， çç１ ０ １ ÷÷， ，
è ø è ø
１ １ １ １ １ ０
Ｅ是 阶单位矩阵 求Ｘ．
３ ，
十二、（本题满分 分）
６
已知α α α α 是线性方程组Ａｘ ＝ ０的一个基础解系 若β ＝ α ＋ ｔα β ＝ α ＋ ｔα β ＝
１， ２， ３， ４ ， １ １ ２， ２ ２ ３， ３
α ＋ｔα β ＝ α ＋ｔα 讨论实数ｔ满足什么关系时 β β β β 也是Ａｘ ＝ ０的一个基础解系．
３ ４， ４ ４ １， ， １， ２， ３， ４
３４年真题
２００２
２００２ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
ì ï ï１ － ｅ ｔａｎ ｘ ｘ ， ｘ ＞ ０，
设函数ｆ ｘ ＝ í 在ｘ ＝ 处连续 则ａ ＝ ．
（１） （ ） ïï ａｒｃｓｉｎ ２ ０ ，
î
ａ ２ ｘ ｘ
ｅ ， ≤０，
位于曲线ｙ ＝ ｘ －ｘ ｘ ＜ ＋ 下方 ｘ轴上方的无界图形的面积是 ．
（２） ｅ （０ ≤ ∞） ，
微分方程ｙｙ″ ＋ ｙ′２ ＝ 满足初始条件ｙ ＝ ｙ′ ＝ １ 的特解是 ．
（３） ０ １，
ｘ＝ ｘ＝
０ ０ ２
æ ｎ ö
（４） ｎｌｉｍ １ ｎ è ç １ ＋ ｃｏｓ π ｎ ＋ １ ＋ ｃｏｓ ２ ｎ π ＋ … ＋ １ ＋ ｃｏｓ ｎ πø ÷＝ ．
→∞
æ － － ö
ç ０ ２ ２÷
矩阵 － 的非零特征值是 ．
（５） çç ２ ２ ２ ÷÷
è－ － ø
２ ２ ２
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
５ ， ３ ， １５
设函数ｆ ｕ 可导 ｙ ＝ ｆ ｘ２ 当自变量ｘ在ｘ ＝ － 处取得增量 ｘ ＝ － ． 时 相应的函数增
（１） （ ） ， （ ）， １ Δ ０ １ ，
量 ｙ的线性主部为 ． 则ｆ′ ＝
Δ ０ １， （１） （ ）
－ ． ． ． ． ． ．
（Ａ） １ （Ｂ）０ １ （Ｃ）１ （Ｄ）０ ５
设函数ｆ ｘ 连续 则下列函数中 必为偶函数的是
（２） （ ） ， ， （ ）
ｘ ｘ
ｆ ｔ２ ｔ． ｆ２ ｔ ｔ．
（Ａ）∫ （ ）ｄ （Ｂ）∫ （ ）ｄ
０ ０
ｘ ｘ
ｔ ｆ ｔ － ｆ － ｔ ｔ． ｔ ｆ ｔ ＋ ｆ － ｔ ｔ．
（Ｃ）∫ ［ （ ） （ ）］ｄ （Ｄ）∫ ［ （ ） （ ）］ｄ
０ ０
设ｙ ＝ ｙ ｘ 是二阶常系数微分方程ｙ″ ＋ ｐｙ′ ＋ ｑｙ ＝ ３ ｘ 满足初始条件ｙ ＝ ｙ′ ＝ 的特
（３） （ ） ｅ （０） （０） ０
解 则当ｘ 时 函数ｌｎ（１
＋ ｘ２
） 的极限
， →０ ， ｙ ｘ （ ）
（ ）
不存在． 等于 ． 等于 ． 等于 ．
（Ａ） （Ｂ） １ （Ｃ） ２ （Ｄ） ３
设函数ｙ ＝ ｆ ｘ 在 ＋ 内有界且可导 则
（４） （ ） （０， ∞） ， （ ）
当 ｆ ｘ ＝ 时 必有 ｆ′ ｘ ＝ ．
（Ａ） ｘｌｉｍ＋ （ ） ０ ， ｘｌｉｍ＋ （ ） ０
→ ∞ → ∞
当 ｆ′ ｘ 存在时 必有 ｆ′ ｘ ＝ ．
（Ｂ） ｘｌｉｍ＋ （ ） ， ｘｌｉｍ＋ （ ） ０
→ ∞ → ∞
当 ｆ ｘ ＝ 时 必有 ｆ′ ｘ ＝ ．
（Ｃ） ｘｌｉｍ＋ （ ） ０ ， ｘｌｉｍ＋ （ ） ０
→０ →０
当 ｆ′ ｘ ＝ 存在时 必有 ｆ′ ｘ ＝ ．
（Ｄ） ｘｌｉｍ＋ （ ） ０ ， ｘｌｉｍ＋ （ ） ０
→０ →０
设向量组α α α 线性无关 向量β 可由α α α 线性表示 而向量β 不能由α α α 线
（５） １， ２， ３ ， １ １， ２， ３ ， ２ １， ２， ３
性表示 则对于任意常数ｋ 必有
， ， （ ）
α α α ｋβ ＋ β 线性无关． α α α ｋβ ＋ β 线性相关．
（Ａ） １， ２， ３， １ ２ （Ｂ） １， ２， ３， １ ２
α α α β ＋ ｋβ 线性无关． α α α β ＋ ｋβ 线性相关．
（Ｃ） １， ２， ３， １ ２ （Ｄ） １， ２， ３， １ ２
３５历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
三、（本题满分 分）
６
已知曲线的极坐标方程是ｒ ＝ － θ 求该曲线上对应于θ ＝ π 处的切线与法线的直角坐标方程．
１ ｃｏｓ ，
６
四、（本题满分 分）
７
ì
ï ｘ ＋ ３ ｘ２ － ｘ ＜
ï２ ， １ ≤ ０， ｘ
设ｆ ｘ ＝ í ２ 求函数Ｆ ｘ ＝ ｆ ｔ ｔ的表达式．
（ ）
î
ï
ï ｘ
ｘ
＋ ｅ
ｘ
２， ０ ≤ ｘ ≤１，
（ ） ∫－
１
（ ）ｄ
（ｅ １）
五、（本题满分 分）
７
已知函数ｆ ｘ 在 ＋ 内可导 ｆ ｘ ＞ ｆ ｘ ＝ 且满足
（ ） （０， ∞） ， （ ） ０，ｘｌｉｍ＋ （ ） １，
→ ∞
[ｆ
（
ｘ ＋ ｈｘ
）
]１ｈ
＝ １ｘ
ｌｈｉｍ ｆ ｘ ｅ ，
→０ （ ）
求ｆ ｘ ．
（ ）
六、（本题满分 分）
７
求微分方程ｘ ｙ ＋ ｘ － ｙ ｘ ＝ 的一个解ｙ ＝ ｙ ｘ 使得由曲线ｙ ＝ ｙ ｘ 与直线ｘ ＝ ｘ ＝
ｄ （ ２ ）ｄ ０ （ ）， （ ） １， ２
以及ｘ轴所围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周的旋转体体积最小．
七、（本题满分 分）
７
某闸门的形状与大小如图所示 其中直线ｌ为对称轴 闸门的上部为矩形 ＡＢＣＤ
， ， ，
下部由二次抛物线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上端相平时 欲使闸门矩
，
形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 闸门矩形部分的高ｈ
５∶４，
应为多少 米
ｍ（ ）？
八、（本题满分 分）
８
设 ＜ ｘ ＜ ｘ ＝ ｘ － ｘ ｎ ＝ 证明数列 ｘ 的极限存在 并求此极限．
０ １ ３， ｎ＋ １ ｎ（３ ｎ）（ １，２，…）， ｛ ｎ｝ ，
九、（本题满分 分）
８
设 ＜ ａ ＜ ｂ 证明不等式
０ ，
ａ ｂ － ａ
２ ＜ ｌｎ ｌｎ ＜ １ ．
ａ２ ＋ ｂ２ ｂ － ａ ａｂ
十、（本题满分 分）
８
设函数ｆ ｘ 在ｘ ＝ 的某邻域内具有二阶连续导数 且ｆ ｆ′ ｆ″ ．证明 存
（ ） ０ ， （０） ≠０， （０） ≠０， （０） ≠０ ：
在唯一的一组实数λ λ λ 使得当ｈ 时 λ ｆ ｈ ＋ λ ｆ ｈ ＋ λ ｆ ｈ － ｆ 是比ｈ２ 高阶
１， ２， ３， →０ ， １ （ ） ２ （２ ） ３ （３ ） （０）
的无穷小．
３６年真题
２００２
十一、（本题满分 分）
６
已知Ａ Ｂ为 阶矩阵 且满足 Ａ－ １Ｂ ＝ Ｂ － Ｅ 其中Ｅ是 阶单位矩阵．
， ３ ， ２ ４ ， ３
证明 矩阵Ａ － Ｅ可逆
（１） ： ２ ；
æ － ö
ç１ ２ ０÷
若Ｂ ＝ 求矩阵Ａ．
（２） çç１ ２ ０ ÷÷，
è ø
０ ０ ２
十二、（本题满分 分）
６
已知 阶方阵Ａ ＝ α α α α α α α α 均为 维列向量 其中α α α 线性无关 α ＝
４ （ １， ２， ３， ４）， １， ２， ３， ４ ４ ， ２， ３， ４ ， １
α － α ．如果β ＝ α ＋ α ＋ α ＋ α 求线性方程组Ａｘ ＝ β 的通解．
２ ２ ３ １ ２ ３ ４，
３７历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
２００３ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ４ ， ２４
（１）
若ｘ
→０
时
，（１
－ ａｘ２
）
１
４
－
１
与ｘ
ｓｉｎ
ｘ是等价无穷小
，
则ａ ＝ ．
设函数ｙ ＝ ｆ ｘ 由方程ｘｙ ＋ ｘ ＝ ｙ４ 所确定 则曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 在点 处的切线方程是
（２） （ ） ２ｌｎ ， （ ） （１，１）
．
ｙ ＝ ｘ 的麦克劳林公式中ｘｎ 项的系数是 ．
（３） ２
设曲线的极坐标方程为ρ ＝ ａθ ａ ＞ 则该曲线上相应于θ从 变到 的一段弧与极轴所
（４） ｅ （ ０）， ０ ２π
围成的图形的面积为 ．
æ － ö
ç １ １ １ ÷
（５）
设α为
３
维列向量
，
αＴ 是α的转置
，
若ααＴ ＝
çç
－
１ １
－
１ ÷÷，
则αＴα ＝ ．
è － ø
１ １ １
æ ö
ç １ ０ １÷
（６）
设
３
阶方阵Ａ
，
Ｂ满足Ａ２Ｂ－Ａ－Ｂ ＝ Ｅ
，
其中Ｅ为
３
阶单位矩阵
，
若Ａ ＝
çç ０ ２ ０ ÷÷，
则 Ｂ ＝
è－ ø
２ ０ １
．
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ４ ， ２４
设 ａ ｂ ｃ 均为非负数列 且 ａ ＝ ｂ ＝ ｃ ＝ 则必有
（１） ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ， ｎｌｉｍ ｎ ０，ｎｌｉｍ ｎ １，ｎｌｉｍ ｎ ∞， （ ）
→∞ →∞ →∞
ａ ＜ ｂ 对任意ｎ成立． ｂ ＜ ｃ 对任意ｎ成立．
（Ａ） ｎ ｎ （Ｂ） ｎ ｎ
极限 ａ ｃ 不存在． 极限 ｂ ｃ 不存在．
（Ｃ） ｎｌｉｍ ｎ ｎ （Ｄ） ｎｌｉｍ ｎ ｎ
→∞ →∞
ｎ
（２） 设ａ ｎ ＝ ３ ∫ ｎ＋ １ｘｎ－ １ １ ＋ ｘｎ ｄ ｘ ， 则极限 ｎｌｉｍ ｎａ ｎ 等于 （ ）
２ ０ →∞
（Ａ）（１ ＋ ｅ） ３ ２ ＋ １ ． （Ｂ）（１ ＋ ｅ － １ ） ３ ２ － １ ． （Ｃ）（１ ＋ ｅ － １ ） ３ ２ ＋ １ ． （Ｄ）（１ ＋ ｅ） ３ ２ － １ ．
ｘ ｙ ( ｘ ) ( ｘ )
已知ｙ ＝ 是微分方程ｙ′ ＝ ＋ φ 的解 则φ 的表达式为
（３） ｘ ｘ ｙ ， ｙ （ ）
ｌｎ
ｙ２ ｙ２ ｘ２ ｘ２
－ ． ． － ． ．
（Ａ） ｘ２ （Ｂ） ｘ２ （Ｃ） ｙ２ （Ｄ） ｙ２
设函数ｆ ｘ 在 － ＋ 内连续 其导函数的图形如图所示 则
（４） （ ） （ ∞， ∞） ， ，
ｆ ｘ 有
（ ） （ ）
一个极小值点和两个极大值点．
（Ａ）
两个极小值点和一个极大值点．
（Ｂ）
两个极小值点和两个极大值点．
（Ｃ）
三个极小值点和一个极大值点．
（Ｄ）
π ｘ π ｘ
设Ｉ ＝ ４ ｔａｎ ｘ Ｉ ＝ ４ ｘ 则
（５） １ ∫ ｘ ｄ ， ２ ∫ ｘｄ ， （ ）
０ ０ ｔａｎ
Ｉ ＞ Ｉ ＞ ． ＞ Ｉ ＞ Ｉ ． Ｉ ＞ Ｉ ＞ ． ＞ Ｉ ＞ Ｉ ．
（Ａ） １ ２ １ （Ｂ）１ １ ２ （Ｃ） ２ １ １ （Ｄ）１ ２ １
３８年真题
２００３
设向量组 α α α 可由向量组 β β β 线性表示 则
（６） Ⅰ： １， ２，… ， ｒ Ⅱ： １， ２，…， ｓ ， （ ）
当ｒ ＜ ｓ时 向量组 必线性相关．
（Ａ） ， Ⅱ
当ｒ ＞ ｓ时 向量组 必线性相关．
（Ｂ） ， Ⅱ
当ｒ ＜ ｓ时 向量组 必线性相关．
（Ｃ） ， Ⅰ
当ｒ ＞ ｓ时 向量组 必线性相关．
（Ｄ） ， Ⅰ
三、（本题满分 分）
１０
ì
ï ｌｎ（１
＋ ａｘ３
） ｘ ＜
ï ｘ － ｘ， ０，
ａｒｃｓｉｎ
ïï
ｘ ＝
设函数ｆ ｘ ＝ í ６， ０， 问 ａ 为何值时 ｆ ｘ 在 ｘ ＝ 处连续 ａ 为何值时
（ ） ï ａｘ ＋ ｘ２ － ａｘ － ， （ ） ０ ； ，
ïｅ １ ｘ ＞
ｘ ， ０，
ï ｘ
î
ｓｉｎ
４
ｘ ＝ 是ｆ ｘ 的可去间断点
０ （ ） ？
四、（本题满分 分）
９
{ｘ ＝ ＋ ｔ２
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由参数方程
１
＋
２
ｔ
，
ｕ ｔ ＞ 所确定 求ｄ
２ｙ
．
（ ） ｙ ＝ ∫ １ ２ｌｎ ｅ ｕｄ ｕ ， （ １） ， ｄ ｘ２ ｘ＝ ９
１
五、（本题满分 分）
９
计算不定积分 ｘ ｅ ａｒｃｔａｎ ｘ ｘ．
∫ ＋ ｘ２ ３ ／ ２ｄ
（１ ）
六、（本题满分 分）
１２
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 在 － ＋ 内具有二阶导数 且ｙ′ ｘ ＝ ｘ ｙ 是ｙ ＝ ｙ ｘ 的反函数．
（ ） （ ∞， ∞） ， ≠０， （ ） （ ）
试将ｘ ＝ ｘ ｙ 所满足的微分方程ｄ
２ｘ
＋ ｙ ＋ ｘ
(
ｄ
ｘ)
３ ＝ 变换为ｙ ＝ ｙ ｘ 满足的微分方程
（１） （ ） ｙ２ （ ｓｉｎ ） ｙ ０ （ ） ；
ｄ ｄ
求变换后的微分方程满足初始条件ｙ ＝ ｙ′ ＝ ３ 的解．
（２） （０） ０， （０）
２
七、（本题满分 分）
１２
讨论曲线ｙ ＝ ｘ ＋ ｋ与ｙ ＝ ｘ ＋ ４ｘ的交点个数．
４ｌｎ ４ ｌｎ
八、（本题满分 分）
１２
( )
设位于第一象限的曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 过点 ２ １ 其上任一点Ｐ ｘ ｙ 处的法线与ｙ轴的交点为Ｑ
（ ） ， ， （ ， ） ，
２ ２
且线段ＰＱ被ｘ轴平分．
求曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的方程
（１） （ ） ；
已知曲线ｙ ＝ ｘ在 上的弧长为ｌ 试用ｌ表示曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的弧长ｓ．
（２） ｓｉｎ ［０，π］ ， （ ）
３９历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
九、（本题满分 分）
１０
有一平底容器 其内侧壁是由曲线ｘ ＝ φ ｙ ｙ 绕ｙ轴旋转而成
， （ ）（ ≥０）
的旋转曲面 如图 容器的底面圆的半径为 根据设计要求 当以
（ ）， ２ｍ． ，
３ 的速率向容器内注入液体时 液面的面积将以 ２ 的
３ｍ ／ｍｉｎ ， πｍ ／ｍｉｎ
速率均匀扩大 假设注入液体前 容器内无液体
（ ， ）．
根据ｔ时刻液面的面积 写出ｔ与φ ｙ 之间的关系式
（１） ， （ ） ；
求曲线ｘ ＝ φ ｙ 的方程．
（２） （ ）
注 表示长度单位米 表示时间单位分．
（ ：ｍ ，ｍｉｎ ）
十、（本题满分 分）
１０
ｆ ｘ － ａ
设函数ｆ ｘ 在闭区间 ａ ｂ 上连续 在开区间 ａ ｂ 内可导 且ｆ′ ｘ ＞ ．若极限 （２ ）存
（ ） ［ ， ］ ， （ ， ） ， （ ） ０ ｘｌｉｍａ＋ ｘ － ａ
→
在 证明
， ：
在 ａ ｂ 内ｆ ｘ ＞
（１） （ ， ） （ ） ０；
在 ａ ｂ 内存在点ξ 使
ｂ２ － ａ２
＝ ２
ξ
（２） （ ， ） ， ｂ ｆ ξ ；
ｆ ｘ ｘ （ ）
∫ａ （ ）ｄ
在 ａ ｂ 内存在与 中ξ相异的点η 使
（３） （ ， ） （２） ，
ξ ｂ
ｆ′ η ｂ２ － ａ２ ＝ ２ ｆ ｘ ｘ．
（ ）（ ） ξ － ａ ∫ａ （ ）ｄ
十一、（本题满分 分）
１０
æ ö
ç２ ２ ０÷
若矩阵Ａ ＝
çç８ ２
ａ
÷÷
相似于对角矩阵Λ
，
试确定常数ａ的值
，
并求可逆矩阵Ｐ使Ｐ－ １ＡＰ ＝ Λ．
è ø
０ ０ ６
十二、（本题满分 分）
８
已知平面上三条不同直线的方程分别为
ｌ ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃ ＝
１： ２ ３ ０，
ｌ ｂｘ ＋ ｃｙ ＋ ａ ＝
２： ２ ３ ０，
ｌ ｃｘ ＋ ａｙ ＋ ｂ ＝ ．
３： ２ ３ ０
试证 这三条直线交于一点的充分必要条件为ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ．
： ０
４０年真题
２００４
２００４ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ４ ， ２４
ｎ － ｘ
设ｆ ｘ ＝ （ １） 则ｆ ｘ 的间断点为ｘ ＝ ．
（１） （ ） ｎｌｉｍ ｎｘ２ ＋ ， （ ）
→∞ １
{ｘ ＝ ｔ３ ＋ ｔ ＋
设函数ｙ ｘ 由参数方程 ３ １，确定 则曲线 ｙ ＝ ｙ ｘ 向上凸的 ｘ 的取值范围为
（２） （ ） ｙ ＝ ｔ３ － ｔ ＋ ， （ ）
３ １
．
＋ ｘ
∞ ｄ ＝ ．
（３）∫
１ ｘ ｘ２ －
１
ｚ ｚ
设函数ｚ ＝ ｚ ｘ ｙ 由方程ｚ ＝ ２ ｘ－ ３ ｚ ＋ ｙ确定 则 ∂ ＋ ∂ ＝ ．
（４） （ ， ） ｅ ２ ， ３ ｘ ｙ
∂ ∂
微分方程 ｙ ＋ ｘ３ ｘ － ｘ ｙ ＝ 满足ｙ ＝ ６ 的特解为 ．
（５） （ ）ｄ ２ ｄ ０
ｘ＝
１ ５
æ ö
ç２ １ ０÷
（６）
设矩阵Ａ ＝
çç１ ２ ０ ÷÷，
矩阵Ｂ满足ＡＢＡ∗ ＝
２
ＢＡ∗ ＋ Ｅ
，
其中Ａ∗ 为Ａ的伴随矩阵
，
Ｅ是单位
è ø
０ ０ １
矩阵 则 Ｂ ＝ ．
，
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
８ ， ４ ， ３２
把ｘ ＋ 时的无穷小量α ＝
ｘ
ｔ２ ｔ β ＝
ｘ２
ｔ ｔ γ ＝
ｘ
ｔ３ ｔ排列起来 使排在后
（７） →０ ∫ ｃｏｓ（ ）ｄ ， ∫ ｔａｎ ｄ ， ∫ ｓｉｎ（ ）ｄ ，
０ ０ ０
面的是前一个的高阶无穷小 则正确的排列次序是
， （ ）
α β γ． α γ β． β α γ． β γ α．
（Ａ） ， ， （Ｂ） ， ， （Ｃ） ， ， （Ｄ） ， ，
设ｆ ｘ ＝ ｘ － ｘ 则
（８） （ ） （１ ） ， （ ）
ｘ ＝ 是ｆ ｘ 的极值点 但 不是曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的拐点．
（Ａ） ０ （ ） ， （０，０） （ ）
ｘ ＝ 不是ｆ ｘ 的极值点 但 是曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的拐点．
（Ｂ） ０ （ ） ， （０，０） （ ）
ｘ ＝ 是ｆ ｘ 的极值点 且 是曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的拐点．
（Ｃ） ０ （ ） ， （０，０） （ ）
ｘ ＝ 不是ｆ ｘ 的极值点 也不是曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 的拐点．
（Ｄ） ０ （ ） ，（０，０） （ ）
ｎ ( ＋ １ ) ２ ( ＋ ２ ) ２ ( ＋ ｎ ) ２ 等于
（９） ｎｌｉｍ ｌｎ １ ｎ １ ｎ … １ ｎ （ ）
→∞
２ ２ｘ ｘ． ２ ｘ ｘ． ２ ＋ ｘ ｘ． ２ ２ ＋ ｘ ｘ．
（Ａ）∫ ｌｎ ｄ （Ｂ）２∫ ｌｎ ｄ （Ｃ）２∫ ｌｎ（１ ）ｄ （Ｄ）∫ ｌｎ （１ ）ｄ
１ １ １ １
设函数ｆ ｘ 连续 且ｆ′ ＞ 则存在δ ＞ 使得
（１０） （ ） ， （０） ０， ０， （ ）
ｆ ｘ 在 δ 内单调增加．
（Ａ） （ ） （０， ）
ｆ ｘ 在 － δ 内单调减少．
（Ｂ） （ ） （ ，０）
对任意的ｘ δ 有ｆ ｘ ＞ ｆ ．
（Ｃ） ∈（０， ） （ ） （０）
对任意的ｘ － δ 有ｆ ｘ ＞ ｆ ．
（Ｄ） ∈（ ，０） （ ） （０）
４１历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
微分方程ｙ″ ＋ ｙ ＝ ｘ２ ＋ ＋ ｘ的特解形式可设为
（１１） １ ｓｉｎ （ ）
ｙ∗ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＋ ｘ Ａ ｘ ＋ Ｂ ｘ ．
（Ａ） （ ｓｉｎ ｃｏｓ ）
ｙ∗ ＝ ｘ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＋ Ａ ｘ ＋ Ｂ ｘ ．
（Ｂ） （ ｓｉｎ ｃｏｓ ）
ｙ∗ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＋ Ａ ｘ．
（Ｃ） ｓｉｎ
ｙ∗ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＋ Ａ ｘ．
（Ｄ） ｃｏｓ
设函数ｆ ｕ 连续 区域Ｄ ＝ ｘ ｙ ｘ２ ＋ ｙ２ ｙ 则 ｆ ｘｙ ｘ ｙ等于
（１２） （ ） ， ｛（ ， ） ≤２ ｝， ∬ （ ）ｄ ｄ （ ）
Ｄ
１ ｘ １
－ｘ２
ｆ ｘｙ ｙ． ２ ｙ ２
ｙ－ｙ２
ｆ ｘｙ ｘ．
（Ａ）∫－ １ ｄ ∫－ １ －ｘ２ （ ）ｄ （Ｂ）２∫ ０ ｄ ∫ ０ （ ）ｄ
θ θ
π θ ２ｓｉｎ ｆ ｒ２ θ θ ｒ． π θ ２ｓｉｎ ｆ ｒ２ θ θ ｒ ｒ．
（Ｃ）∫ ｄ ∫ （ ｓｉｎ ｃｏｓ ）ｄ （Ｄ）∫ ｄ ∫ （ ｓｉｎ ｃｏｓ ） ｄ
０ ０ ０ ０
设Ａ是 阶方阵 将Ａ的第 列与第 列交换得Ｂ 再把Ｂ的第 列加到第 列得Ｃ 则满足
（１３） ３ ， １ ２ ， ２ ３ ，
ＡＱ ＝ Ｃ的可逆矩阵Ｑ为
（ ）
æ ö æ ö æ ö æ ö
ç０ １ ０÷ ç０ １ ０÷ ç０ １ ０÷ ç０ １ １÷
． ． ． ．
（Ａ）çç１
０ ０
÷÷ （Ｂ）çç１
０ １
÷÷ （Ｃ）çç１
０ ０
÷÷ （Ｄ）çç１
０ ０
÷÷
è ø è ø è ø è ø
１ ０ １ ０ ０ １ ０ １ １ ０ ０ １
设Ａ Ｂ为满足ＡＢ ＝ Ｏ的任意两个非零矩阵 则必有
（１４） ， ， （ ）
Ａ的列向量组线性相关 Ｂ的行向量组线性相关．
（Ａ） ，
Ａ的列向量组线性相关 Ｂ的列向量组线性相关．
（Ｂ） ，
Ａ的行向量组线性相关 Ｂ的行向量组线性相关．
（Ｃ） ，
Ａ的行向量组线性相关 Ｂ的列向量组线性相关．
（Ｄ） ，
三、解答题（本题共 小题 满分 分． 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
９ ， ９４ 、
本题满分 分
（１５） （ １０ ）
[( ＋ ｘ)ｘ ]
求极限 １ ２ ｃｏｓ － ．
ｌｘｉｍ ｘ３ １
→０ ３
本题满分 分
（１６） （ １０ ）
设函数ｆ ｘ 在 － ＋ 内有定义 在区间 上 ｆ ｘ ＝ ｘ ｘ２ － 若对任意的ｘ都
（ ） （ ∞， ∞） ， ［０，２］ ， （ ） （ ４），
满足ｆ ｘ ＝ ｋｆ ｘ ＋ 其中ｋ为常数．
（ ） （ ２），
写出ｆ ｘ 在 － 上的表达式
（Ⅰ） （ ） ［ ２，０） ；
问ｋ为何值时 ｆ ｘ 在ｘ ＝ 处可导．
（Ⅱ） ， （ ） ０
本题满分 分
（１７） （ １１ ）
ｘ＋π
设ｆ ｘ ＝ ２ ｔ ｔ
（ ） ∫ｘ ｓｉｎ ｄ ，
证明ｆ ｘ 是以 为周期的周期函数
（Ⅰ） （ ） π ；
求ｆ ｘ 的值域．
（Ⅱ） （ ）
本题满分 分
（１８） （ １２ ）
ｘ ＋ －ｘ
曲线ｙ ＝ ｅ ｅ 与直线ｘ ＝ ｘ ＝ ｔ ｔ ＞ 及ｙ ＝ 围成一曲边梯形．该曲边梯形绕ｘ轴旋
０， （ ０） ０
２
转一周得一旋转体 其体积为Ｖ ｔ 侧面积为Ｓ ｔ 在ｘ ＝ ｔ处的底面积为Ｆ ｔ ．
， （ ）， （ ）， （ ）
４２年真题
２００４
Ｓ ｔ
求 （ ） 的值
（Ⅰ） Ｖ ｔ ；
（ ）
Ｓ ｔ
计算极限 （ ）．
（Ⅱ） ｔｌｉｍ＋ Ｆ ｔ
→ ∞ （ ）
本题满分 分
（１９） （ １２ ）
设 ＜ ａ ＜ ｂ ＜ ２ 证明 ２ｂ － ２ａ ＞ ４ ｂ － ａ ．
ｅ ｅ ， ｌｎ ｌｎ ２（ ）
ｅ
本题满分 分
（２０） （ １１ ）
某种飞机在机场降落时 为了减少滑行距离 在触地的瞬间 飞机尾部张开减速伞 以增大阻
， ， ， ，
力 使飞机迅速减速并停下．
，
现有一质量为 的飞机 着陆时的水平速度为 ． 经测试 减速伞打开后 飞机
９０００ｋｇ ， ７００ ｋｍ／ｈ ， ，
所受的总阻力与飞机的速度成正比 比例系数为ｋ ＝ ． × ６ ． 问从着陆点算起 飞机滑行
（ ６ ０ １０ ） ，
的最长距离是多少
？
注 表示千克 表示千米 小时
：ｋｇ ，ｋｍ／ｈ ／ ．
本题满分 分
（２１） （ １０ ）
设ｚ ＝ ｆ ｘ２ － ｙ２ ｘｙ 其中ｆ具有连续二阶偏导数 求∂
ｚ
∂
ｚ
∂
２ｚ
．
（ ，ｅ ）， ， ｘ， ｙ， ｘ ｙ
∂ ∂ ∂ ∂
本题满分 分
（２２） （ ９ ）
设有齐次线性方程组
ì ＋ ａ ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＝
ï（１ ） １ ２ ３ ４ ０，
ïï ｘ ＋ ＋ ａ ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＝
í２ １ （２ ） ２ ２ ３ ２ ４ ０，
ï ｘ ＋ ｘ ＋ ＋ ａ ｘ ＋ ｘ ＝
ï３ １ ３ ２ （３ ） ３ ３ ４ ０，
î
ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＋ ＋ ａ ｘ ＝
４ １ ４ ２ ４ ３ （４ ） ４ ０，
试问ａ取何值时 该方程组有非零解 并求出其通解．
， ，
本题满分 分
（２３） （ ９ ）
æ － ö
ç １ ２ ３÷
设矩阵Ａ ＝ － － 的特征方程有一个二重根 求ａ的值 并讨论Ａ是否可相似对角化．
çç １ ４ ３ ÷÷ ， ，
è ａ ø
１ ５
４３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
２００５ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ４ ， ２４
设ｙ ＝ ＋ ｘ ｘ 则 ｙ ＝ ．
（１） （１ ｓｉｎ ） ， ｄ
ｘ＝
π
＋ ｘ ３
曲线ｙ ＝ （１ ）２ 的斜渐近线方程为 ．
（２） ｘ
１ ｘ ｄ ｘ ＝ ．
（３）∫
０ － ｘ２ － ｘ２
（２ ） １
微分方程ｘｙ′ ＋ ｙ ＝ ｘ ｘ满足ｙ ＝ － １ 的解为 ．
（４） ２ ｌｎ （１）
９
当ｘ 时 α ｘ ＝ ｋｘ２ 与β ｘ ＝ ＋ ｘ ｘ － ｘ是等价无穷小量 则ｋ ＝ ．
（５） →０ ， （ ） （ ） １ ａｒｃｓｉｎ ｃｏｓ ，
设α α α 均为 维列向量 记矩阵
（６） １， ２， ３ ３ ，
Ａ ＝ α α α Ｂ ＝ α ＋ α ＋ α α ＋ α ＋ α α ＋ α ＋ α ．
（ １， ２， ３）， （ １ ２ ３， １ ２ ２ ４ ３， １ ３ ２ ９ ３）
如果 Ａ ＝ 那么 Ｂ ＝ ．
１，
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
８ ， ４ ， ３２
设函数ｆ ｘ ＝ ｎ ＋ ｘ ３ ｎ 则ｆ ｘ 在 － ＋ 内
（７） （ ） ｎｌｉｍ １ ， （ ） （ ∞， ∞） （ ）
→∞
处处可导． 恰有一个不可导点．
（Ａ） （Ｂ）
恰有两个不可导点． 至少有三个不可导点．
（Ｃ） （Ｄ）
设Ｆ ｘ 是连续函数ｆ ｘ 的一个原函数 Ｍ Ｎ 表示 Ｍ的充分必要条件是Ｎ 则必有
（８） （ ） （ ） ，“ ⇔ ” “ ”， （ ）
Ｆ ｘ 是偶函数 ｆ ｘ 是奇函数．
（Ａ） （ ） ⇔ （ ）
Ｆ ｘ 是奇函数 ｆ ｘ 是偶函数．
（Ｂ） （ ） ⇔ （ ）
Ｆ ｘ 是周期函数 ｆ ｘ 是周期函数．
（Ｃ） （ ） ⇔ （ ）
Ｆ ｘ 是单调函数 ｆ ｘ 是单调函数．
（Ｄ） （ ） ⇔ （ ）
{ｘ ＝ ｔ２ ＋ ｔ
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由参数方程 ２ ， 确定 则曲线ｙ ＝ ｙ ｘ 在ｘ ＝ 处的法线与ｘ轴
（９） （ ） ｙ ＝ ＋ ｔ ， （ ） ３
ｌｎ（１ ）
交点的横坐标是
（ ）
１ ＋ ． － １ ＋ ． － ＋ ． ＋ ．
（Ａ） ｌｎ ２ ３ （Ｂ） ｌｎ ２ ３ （Ｃ） ８ｌｎ ２ ３ （Ｄ）８ｌｎ ２ ３
８ ８
设区域Ｄ ＝ ｘ ｙ ｘ２ ＋ ｙ２ ｘ ｙ ｆ ｘ 为Ｄ上的正值连续函数 ａ ｂ为常数
（１０） ｛（ ， ） ≤４， ≥０， ≥０｝， （ ） ， ， ，
ａ ｆ ｘ ＋ ｂ ｆ ｙ
则 （ ） （ ） σ ＝
∬ ｆ ｘ ＋ ｆ ｙ ｄ （ ）
Ｄ （ ） （ ）
ａｂ ａ ＋ ｂ
ａｂ ． ． ａ ＋ ｂ ． ．
（Ａ） π （Ｂ） π （Ｃ）（ ）π （Ｄ） π
２ ２
ｘ＋ｙ
设函数ｕ ｘ ｙ ＝ φ ｘ ＋ ｙ ＋ φ ｘ － ｙ ＋ ψ ｔ ｔ 其中函数φ具有二阶导数 ψ具有一阶
（１１） （ ， ） （ ） （ ） ∫ｘ－ｙ （ ）ｄ ， ，
导数 则必有
， （ ）
４４年真题
２００５
２ｕ ２ｕ ２ｕ ２ｕ ２ｕ ２ｕ ２ｕ ２ｕ
∂ ＝ － ∂ ． ∂ ＝ ∂ ． ∂ ＝ ∂ ． ∂ ＝ ∂ ．
（Ａ） ｘ２ ｙ２ （Ｂ） ｘ２ ｙ２ （Ｃ） ｘ ｙ ｙ２ （Ｄ） ｘ ｙ ｘ２
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
设函数ｆ ｘ ＝ １ 则
（１２） （ ） ｘ ， （ ）
ｘ－ －
ｅ １ １
ｘ ＝ ｘ ＝ 都是ｆ ｘ 的第一类间断点．
（Ａ） ０， １ （ ）
ｘ ＝ ｘ ＝ 都是ｆ ｘ 的第二类间断点．
（Ｂ） ０， １ （ ）
ｘ ＝ 是ｆ ｘ 的第一类间断点 ｘ ＝ 是ｆ ｘ 的第二类间断点．
（Ｃ） ０ （ ） ， １ （ ）
ｘ ＝ 是ｆ ｘ 的第二类间断点 ｘ ＝ 是ｆ ｘ 的第一类间断点．
（Ｄ） ０ （ ） ， １ （ ）
设λ λ 是矩阵Ａ的两个不同的特征值 对应的特征向量分别为α α 则α Ａ α ＋ α 线
（１３） １， ２ ， １， ２， １， （ １ ２）
性无关的充分必要条件是
（ ）
λ ． λ ． λ ＝ ． λ ＝ ．
（Ａ） １ ≠０ （Ｂ） ２ ≠０ （Ｃ） １ ０ （Ｄ） ２ ０
设Ａ为ｎ ｎ 阶可逆矩阵 交换Ａ的第 行与第 行得矩阵Ｂ Ａ∗ Ｂ∗ 分别为Ａ Ｂ的伴
（１４） （ ≥２） ， １ ２ ， ， ，
随矩阵 则
， （ ）
交换Ａ∗ 的第 列与第 列得Ｂ∗．
（Ａ） １ ２
交换Ａ∗ 的第 行与第 行得Ｂ∗．
（Ｂ） １ ２
交换Ａ∗ 的第 列与第 列得 － Ｂ∗．
（Ｃ） １ ２
交换Ａ∗ 的第 行与第 行得 － Ｂ∗．
（Ｄ） １ ２
三、解答题（本题共 小题 满分 分． 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
９ ， ９４ 、
本题满分 分
（１５） （ １１ ）
ｘ
ｘ － ｔ ｆ ｔ ｔ
设函数ｆ ｘ 连续 且ｆ 求极限 ∫ ０ （ ） （ ）ｄ ．
（ ） ， （０） ≠０， ｌｘｉｍ ｘ
→０ ｘ ｆ ｘ － ｔ ｔ
∫ （ ）ｄ
０
本题满分 分
（１６） （ １１ ）
如图 Ｃ 和Ｃ 分别是ｙ ＝ １ ＋ ｘ 和ｙ ＝ ｘ的图像 过点
， １ ２ （１ ｅ ） ｅ ， （０，１）
２
的曲线Ｃ 是一单调增函数的图像 过Ｃ 上任一点Ｍ ｘ ｙ 分别作
３ ， ２ （ ， ）
垂直于ｘ轴和ｙ轴的直线ｌ 和ｌ ．记Ｃ Ｃ 与ｌ 所围图形的面积为
ｘ ｙ １， ２ ｘ
Ｓ ｘ Ｃ Ｃ 与ｌ 所围图形的面积为 Ｓ ｙ ． 如果总有 Ｓ ｘ ＝
１（ ）； ２， ３ ｙ ２（ ） １（ ）
Ｓ ｙ 求曲线Ｃ 的方程ｘ ＝ φ ｙ ．
２（ ）， ３ （ ）
本题满分 分
（１７） （ １１ ）
如图 曲线Ｃ的方程为ｙ ＝ ｆ ｘ 点 是它的一个拐点 直线
， （ ）， （３，２） ，
ｌ 与ｌ 分别是曲线 Ｃ 在点 与 处的切线 其交点为
１ ２ （０，０） （３，２） ，
． 设函数ｆ ｘ 具有三阶连续导数 计算定积分
（２，４） （ ） ，
３ ｘ２ ＋ ｘ ｆ‴ｘ ｘ．
∫ （ ） （ ）ｄ
０
４５历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
本题满分 分
（１８） （ １２ ）
用变量代换ｘ ＝ ｔ ＜ ｔ ＜ 化简微分方程 －ｘ２ ｙ″ －ｘｙ′ ＋ｙ ＝ 并求其满足ｙ ＝
ｃｏｓ （０ π） （１ ） ０， １，
ｘ＝
０
ｙ′ ＝ 的特解．
２
ｘ＝
０
本题满分 分
（１９） （ １２ ）
已知函数ｆ ｘ 在 上连续 在 内可导 且ｆ ＝ ｆ ＝ ．证明
（ ） ［０，１］ ， （０，１） ， （０） ０， （１） １ ：
存在ξ 使得ｆ ξ ＝ － ξ
（Ⅰ） ∈（０，１）， （ ） １ ；
存在两个不同的点η ζ 使得ｆ′ η ｆ′ ζ ＝ ．
（Ⅱ） ， ∈（０，１）， （ ） （ ） １
本题满分 分
（２０） （ １０ ）
已知函数ｚ ＝ ｆ ｘ ｙ 的全微分 ｚ ＝ ｘ ｘ － ｙ ｙ 并且 ｆ ＝ ． 求 ｆ ｘ ｙ 在椭圆域
（ ， ） ｄ ２ ｄ ２ ｄ ， （１，１） ２ （ ， ）
Ｄ ＝
{
ｘ ｙ ｘ２ ＋
ｙ２ }
上的最大值和最小值．
（ ， ） ≤１
４
本题满分 分
（２１） （ ９ ）
计算二重积分 ｘ２ ＋ ｙ２ － σ 其中Ｄ ＝ ｘ ｙ ｘ ｙ ．
∬ １ ｄ ， ｛（ ， ） ０ ≤ ≤１，０ ≤ ≤１｝
Ｄ
本题满分 分
（２２） （ ９ ）
确定常数ａ 使向量组 α ＝ ａ Ｔ α ＝ ａ Ｔ α ＝ ａ Ｔ 可由向量组 β ＝
， １ （１，１， ） ， ２ （１， ，１） ， ３ （ ，１，１） １
ａ Ｔ β ＝ － ａ Ｔ β ＝ － ａ ａ Ｔ 线性表示 但向量组β β β 不能由向量
（１，１， ） ， ２ （ ２， ，４） ， ３ （ ２， ， ） ， １， ２， ３
组α α α 线性表示．
１， ２， ３
本题满分 分
（２３） （ ９ ）
æ ö
ç１ ２ ３÷
已知 阶矩阵 Ａ 的第一行是 ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 不全为零 矩阵 Ｂ ＝ ｋ 为常数 且
３ （ ， ， ）， ， ， ， çç２ ４ ６ ÷÷（ ），
è ｋø
３ ６
ＡＢ ＝ Ｏ 求线性方程组Ａｘ ＝ ０ 的通解．
，
４６年真题
２００６
２００６ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ４ ， ２４
ｘ ＋ ｘ
曲线ｙ ＝ ４ｓｉｎ 的水平渐近线方程为 ．
（１） ｘ － ｘ
５ ２ｃｏｓ
{ ｘ
１ ｔ２ ｔ ｘ
设函数ｆ ｘ ＝ ｘ３∫ ｓｉｎ（ ）ｄ ， ≠０，在ｘ ＝ 处连续 则ａ ＝ ．
（２） （ ） ０ ０ ，
ａ ｘ ＝
， ０
＋ ｘ ｘ
反常积分 ∞ ｄ ＝ ．
（３） ∫ ＋ ｘ２ ２
０ （１ ）
ｙ － ｘ
微分方程ｙ′ ＝ （１ ） 的通解是 ．
（４） ｘ
ｙ
设函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由方程ｙ ＝ － ｘ ｙ 确定 则ｄ ＝ ．
（５） （ ） １ ｅ ， ｘ
ｘ＝
ｄ ０
æ ö
设矩阵Ａ ＝ ç ２ １÷ Ｅ为 阶单位矩阵 矩阵Ｂ满足ＢＡ ＝ Ｂ ＋ Ｅ 则 Ｂ ＝ ．
（６） è－ ø， ２ ， ２ ，
１ ２
二、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
８ ， ４ ， ３２
设函数ｙ ＝ ｆ ｘ 具有二阶导数 且ｆ′ ｘ ＞ ｆ″ ｘ ＞ ｘ 为自变量 ｘ 在点 ｘ 处的增量
（７） （ ） ， （ ） ０， （ ） ０，Δ ０ ，
ｙ与 ｙ分别为ｆ ｘ 在点ｘ 处对应的增量与微分 若 ｘ ＞ 则
Δ ｄ （ ） ０ ， Δ ０， （ ）
＜ ｙ ＜ ｙ． ＜ ｙ ＜ ｙ． ｙ ＜ ｙ ＜ ． ｙ ＜ ｙ ＜ ．
（Ａ）０ ｄ Δ （Ｂ）０ Δ ｄ （Ｃ）Δ ｄ ０ （Ｄ）ｄ Δ ０
ｘ
设ｆ ｘ 是奇函数 除ｘ ＝ 外处处连续 ｘ ＝ 是其第一类间断点 则 ｆ ｔ ｔ是
（８） （ ） ， ０ ， ０ ， ∫ （ ）ｄ （ ）
０
连续的奇函数． 连续的偶函数．
（Ａ） （Ｂ）
在ｘ ＝ 间断的奇函数． 在ｘ ＝ 间断的偶函数．
（Ｃ） ０ （Ｄ） ０
设函数ｇ ｘ 可微 ｈ ｘ ＝ １ ＋ｇ （ ｘ ） ｈ′ ＝ ｇ′ ＝ 则ｇ 等于
（９） （ ） ， （ ） ｅ ， （１） １， （１） ２， （１） （ ）
－ ． － － ． － － ． － ．
（Ａ）ｌｎ ３ １ （Ｂ） ｌｎ ３ １ （Ｃ） ｌｎ ２ １ （Ｄ）ｌｎ ２ １
函数ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ － ２ ｘ ＋ ｘ ｘ 满足的一个微分方程是
（１０） １ｅ ２ｅ ｅ （ ）
ｙ″ － ｙ′ － ｙ ＝ ｘ ｘ． ｙ″ － ｙ′ － ｙ ＝ ｘ．
（Ａ） ２ ３ ｅ （Ｂ） ２ ３ｅ
ｙ″ ＋ ｙ′ － ｙ ＝ ｘ ｘ． ｙ″ ＋ ｙ′ － ｙ ＝ ｘ．
（Ｃ） ２ ３ ｅ （Ｄ） ２ ３ｅ
π
设ｆ ｘ ｙ 为连续函数 则 ４ θ １ｆ ｒ θ ｒ θ ｒ ｒ等于
（１１） （ ， ） ， ∫ ｄ ∫ （ ｃｏｓ ， ｓｉｎ ） ｄ （ ）
０ ０
２
２
ｘ １
－ｘ２
ｆ ｘ ｙ ｙ． ２
２
ｘ １
－ｘ２
ｆ ｘ ｙ ｙ．
（Ａ）∫
０
ｄ ∫ｘ （ ， ）ｄ （Ｂ）∫
０
ｄ ∫
０
（ ， ）ｄ
２
２
ｙ １
－ｙ２
ｆ ｘ ｙ ｘ． ２
２
ｙ １
－ｙ２
ｆ ｘ ｙ ｘ．
（Ｃ）∫
０
ｄ ∫ｙ （ ， ）ｄ （Ｄ）∫
０
ｄ ∫
０
（ ， ）ｄ
设ｆ ｘ ｙ 与φ ｘ ｙ 均为可微函数 且φ′ ｘ ｙ ．已知 ｘ ｙ 是ｆ ｘ ｙ 在约束条件φ ｘ ｙ
（１２） （ ， ） （ ， ） ， ｙ（ ， ）≠０ （ ０， ０） （ ， ） （ ， ）
＝ 下的一个极值点 下列选项正确的是
０ ， （ ）
若ｆ′ ｘ ｙ ＝ 则ｆ′ ｘ ｙ ＝ ． 若ｆ′ ｘ ｙ ＝ 则ｆ′ ｘ ｙ ．
（Ａ） ｘ（ ０， ０） ０， ｙ（ ０， ０） ０ （Ｂ） ｘ（ ０， ０） ０， ｙ（ ０， ０） ≠０
若ｆ′ ｘ ｙ 则ｆ′ ｘ ｙ ＝ ． 若ｆ′ ｘ ｙ 则ｆ′ ｘ ｙ ．
（Ｃ） ｘ（ ０， ０） ≠０， ｙ（ ０， ０） ０ （Ｄ） ｘ（ ０， ０） ≠０， ｙ（ ０， ０） ≠０
设α α α 均为ｎ维列向量 Ａ是ｍ × ｎ矩阵 下列选项正确的是
（１３） １， ２，…， ｓ ， ， （ ）
若α α α 线性相关 则Ａα Ａα Ａα 线性相关．
（Ａ） １， ２，…， ｓ ， １， ２，…， ｓ
若α α α 线性相关 则Ａα Ａα Ａα 线性无关．
（Ｂ） １， ２，…， ｓ ， １， ２，…， ｓ
若α α α 线性无关 则Ａα Ａα Ａα 线性相关．
（Ｃ） １， ２，…， ｓ ， １， ２，…， ｓ
４７历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
若α α α 线性无关 则Ａα Ａα Ａα 线性无关．
（Ｄ） １， ２，…， ｓ ， １， ２，…， ｓ
设Ａ为 阶矩阵 将Ａ的第 行加到第 行得Ｂ 再将Ｂ的第 列的 － 倍加到第 列得Ｃ
（１４） ３ ， ２ １ ， １ １ ２ ，
æ ö
ç１ １ ０÷
记Ｐ ＝ 则
ç ÷
０ １ ０ ， （ ）
è ø
０ ０ １
Ｃ ＝ Ｐ－ １ＡＰ． Ｃ ＝ ＰＡＰ－ １． Ｃ ＝ ＰＴＡＰ． Ｃ ＝ ＰＡＰＴ．
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
三、解答题（本题共 小题 满分 分． 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
９ ， ９４ 、
本题满分 分
（１５） （ １０ ）
试确定常数Ａ Ｂ Ｃ的值 使得 ｘ ＋ Ｂｘ ＋ Ｃｘ２ ＝ ＋ Ａｘ ＋ ο ｘ３ 其中ο ｘ３ 是当ｘ 时
， ， ， ｅ （１ ） １ （ ）， （ ） →０
比ｘ３ 高阶的无穷小量．
本题满分 分
（１６） （ １０ ）
ｘ
求 ａｒｃｓｉｎ ｅ ｘ．
∫ ｘ ｄ
ｅ
本题满分 分
（１７） （ １０ ）
＋ ｘｙ
设区域Ｄ ＝ ｘ ｙ ｘ２ ＋ ｙ２ ｘ 计算二重积分Ｉ ＝ １ ｘ ｙ．
｛（ ， ） ≤１， ≥０｝， ∬ ＋ ｘ２ ＋ ｙ２ｄ ｄ
Ｄ １
本题满分 分
（１８） （ １２ ）
设数列 ｘ 满足 ＜ ｘ ＜ ｘ ＝ ｘ ｎ ＝ ．
｛ ｎ｝ ０ １ π， ｎ＋ １ ｓｉｎ ｎ（ １，２，…）
（Ⅰ） 证明 ｎｌｉｍ ｘ ｎ 存在 ， 并求该极限 ； （Ⅱ） 计算 ｎｌｉｍ æ è ç ｘ ｘ ｎ＋ １ ö ø ÷ ｘ １ ２ｎ．
→∞ →∞ ｎ
本题满分 分
（１９） （ １０ ）
证明 当 ＜ ａ ＜ ｂ ＜ 时 ｂ ｂ ＋ ｂ ＋ ｂ ＞ ａ ａ ＋ ａ ＋ ａ．
： ０ π ， ｓｉｎ ２ｃｏｓ π ｓｉｎ ２ｃｏｓ π
本题满分 分
（２０） （ １２ ）
设函数ｆ ｕ 在 ＋ 内具有二阶导数 且ｚ ＝ ｆ ｘ２ ＋ ｙ２ 满足等式
２ｚ
＋
２ｚ
＝ ．
（ ） （０， ∞） ， （ ） ｘ２ ｙ２ ０
ｆ′ ｕ
验证ｆ″ ｕ ＋ （ ） ＝ 若ｆ ＝ ｆ′ ＝ 求函数ｆ ｕ 的表达式．
（Ⅰ） （ ） ｕ ０； （Ⅱ） （１） ０， （１） １， （ ）
本题满分 分
（２１） （ １２ ）
{ｘ ＝ ｔ２ ＋
已知曲线Ｌ的方程为 １， ｔ ．
ｙ ＝ ｔ － ｔ２ （ ≥０）
４ ，
讨论Ｌ的凹凸性
（Ⅰ） ；
过点 － 引Ｌ的切线 求切点 ｘ ｙ 并写出切线的方程
（Ⅱ） （ １，０） ， （ ０， ０）， ；
求此切线与Ｌ 对应于ｘ ｘ 的部分 及ｘ轴所围成的平面图形的面积．
（Ⅲ） （ ≤ ０ ）
本题满分 分
（２２） （ ９ ）
{ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＝ －
１ ２ ３ ４ １，
已知非齐次线性方程组 ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ － ｘ ＝ － 有三个线性无关的解．
４ １ ３ ２ ５ ３ ４ １，
ａｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＋ ｂｘ ＝
１ ２ ３ ３ ４ １
证明方程组系数矩阵Ａ的秩ｒ Ａ ＝ 求ａ ｂ的值及方程组的通解．
（Ⅰ） （ ） ２； （Ⅱ） ，
本题满分 分
（２３） （ ９ ）
设 阶实对称矩阵Ａ的各行元素之和均为 向量α ＝ － － Ｔ α ＝ － Ｔ 是
３ ３， １ （ １，２， １） ， ２ （０， １，１）
线性方程组Ａｘ ＝ ０ 的两个解．
求Ａ的特征值与特征向量 求正交矩阵Ｑ和对角矩阵Λ 使得ＱＴＡＱ ＝ Λ．
（Ⅰ） ； （Ⅱ） ，
４８年真题
２００７
２００７ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
１ ０ ， ４ ， ４０
当ｘ ＋ 时 与 ｘ 等价的无穷小量是
（１） →０ ， （ ）
＋ ｘ
－ ｘ． １ ． ＋ ｘ － ． － ｘ．
（Ａ）１ ｅ （Ｂ）ｌｎ － ｘ （Ｃ） １ １ （Ｄ）１ ｃｏｓ
１
１ｘ ＋ ｘ
函数ｆ ｘ ＝ （ｅ ｅ）ｔａｎ 在 － 上的第一类间断点是ｘ ＝
（２） （ ） ｘ １ｘ － ［ π，π］ （ ）
（ｅ ｅ）
． ． － π． π．
（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ） （Ｄ）
２ ２
如图 连续函数ｙ ＝ ｆ ｘ 在区间 － － 上的图形
（３） ， （ ） ［ ３， ２］，［２，３］
分别是直径为 的上 下半圆周 在区间 － 上的
１ 、 ， ［ ２，０］，［０，２］
ｘ
图形分别是直径为 的下 上半圆周．设Ｆ ｘ ＝ ｆ ｔ ｔ 则
２ 、 （ ） ∫ （ ）ｄ ，
０
下列结论正确的是
（ ）
Ｆ ＝ － ３ Ｆ － ． Ｆ ＝ ５ Ｆ ．
（Ａ） （３） （ ２） （Ｂ） （３） （２）
４ ４
Ｆ － ＝ ３ Ｆ ． Ｆ － ＝ － ５ Ｆ － ．
（Ｃ） （ ３） （２） （Ｄ） （ ３） （ ２）
４ ４
设函数ｆ ｘ 在ｘ ＝ 处连续 下列命题错误的是
（４） （ ） ０ ， （ ）
··
ｆ ｘ ｆ ｘ ＋ ｆ － ｘ
若 （ ） 存在 则ｆ ＝ ． 若 （ ） （ ） 存在 则ｆ ＝ ．
（Ａ） ｌｘｉｍ ｘ ， （０） ０ （Ｂ） ｌｘｉｍ ｘ ， （０） ０
→０ →０
ｆ ｘ ｆ ｘ － ｆ － ｘ
若 （ ） 存在 则 ｆ′ 存在． 若 （ ） （ ） 存在 则 ｆ′ 存在．
（Ｃ） ｌｘｉｍ ｘ ， （０） （Ｄ） ｌｘｉｍ ｘ ， （０）
→０ →０
曲线ｙ ＝ １ ＋ ＋ ｘ 渐近线的条数为
（５） ｘ ｌｎ（１ ｅ ） （ ）
． ． ． ．
（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３
设函数ｆ ｘ 在 ＋ 内具有二阶导数 且 ｆ″ ｘ ＞ 令ｕ ＝ ｆ ｎ ｎ ＝ 则下列
（６） （ ） （０， ∞） ， （ ） ０， ｎ （ ） （ １，２，…），
结论正确的是
（ ）
若ｕ ＞ ｕ 则 ｕ 必收敛． 若ｕ ＞ ｕ 则 ｕ 必发散．
（Ａ） １ ２， ｛ ｎ｝ （Ｂ） １ ２， ｛ ｎ｝
若ｕ ＜ ｕ 则 ｕ 必收敛． 若ｕ ＜ ｕ 则 ｕ 必发散．
（Ｃ） １ ２， ｛ ｎ｝ （Ｄ） １ ２， ｛ ｎ｝
二元函数ｆ ｘ ｙ 在点 处可微的一个充分条件是
（７） （ ， ） （０，０） （ ）
ｆ ｘ ｙ － ｆ ＝ ．
（Ａ） ｘ ｙｌｉｍ ［ （ ， ） （０，０）］ ０
（ ，）→（０，０）
ｆ ｘ － ｆ ｆ ｙ － ｆ
（ ，０） （０，０） ＝ 且 （０， ） （０，０） ＝ ．
（Ｂ） ｌｘｉｍ ｘ ０， ｌｙｉｍ ｙ ０
→０ →０
ｆ ｘ ｙ － ｆ
（ ， ） （０，０） ＝ ．
（Ｃ） （ ｘ ， ｙｌ ） ｉ → ｍ （０，０） ｘ２ ＋ ｙ２ ０
４９历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
ｆ′ ｘ － ｆ′ ＝ 且 ｆ′ ｙ － ｆ′ ＝ ．
（Ｄ） ｌｘｉｍ［ ｘ（ ，０） ｘ（０，０）］ ０， ｌｙｉｍ［ ｙ（０， ） ｙ（０，０）］ ０
→０ →０
设函数ｆ ｘ ｙ 连续 则二次积分 π ｘ １ ｆ ｘ ｙ ｙ等于
（８） （ ， ） ， ∫πｄ ∫ ｘ （ ， ）ｄ （ ）
２ ｓｉｎ
１ ｙ π ｆ ｘ ｙ ｘ． １ ｙ π ｆ ｘ ｙ ｘ．
（Ａ）∫ ｄ ∫＋ ｙ （ ， ）ｄ （Ｂ）∫ ｄ ∫－ ｙ （ ， ）ｄ
０ π ａｒｃｓｉｎ ０ π ａｒｃｓｉｎ
＋ ｙ － ｙ
１ ｙ π ａｒｃｓｉｎ ｆ ｘ ｙ ｘ． １ ｙ π ａｒｃｓｉｎ ｆ ｘ ｙ ｘ．
（Ｃ）∫ ｄ ∫π （ ， ）ｄ （Ｄ）∫ ｄ ∫π （ ， ）ｄ
０ ２ ０ ２
设向量组α α α 线性无关 则下列向量组线性相关的是
（９） １， ２， ３ ， （ ）
α － α α － α α － α ． ∙∙∙α∙ ＋ α α ＋ α α ＋ α ．
（Ａ） １ ２， ２ ３， ３ １ （Ｂ） １ ２， ２ ３， ３ １
α － α α － α α － α ． α ＋ α α ＋ α α ＋ α ．
（Ｃ） １ ２ ２， ２ ２ ３， ３ ２ １ （Ｄ） １ ２ ２， ２ ２ ３， ３ ２ １
æ － － ö æ ö
ç ２ １ １÷ ç１ ０ ０÷
设矩阵Ａ ＝ － － Ｂ ＝ 则Ａ与Ｂ
（１０） çç １ ２ １ ÷÷ ， çç０ １ ０ ÷÷， （ ）
è－ － ø è ø
１ １ ２ ０ ０ ０
合同且相似． 合同 但不相似．
（Ａ） （Ｂ） ，
不合同 但相似． 既不合同 也不相似．
（Ｃ） ， （Ｄ） ，
二、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分
６ ， ４ ， ２４ ）
ｘ － ｘ
ａｒｃｔａｎ ｓｉｎ ＝ ．
（１１） ｌｘｉｍ ｘ３
→０
{ｘ ＝ ｔ ＋ ２ｔ
曲线 ｃｏｓ ｃｏｓ ，上对应于ｔ ＝ π 的点处的法线斜率为 ．
（１２） ｙ ＝ ＋ ｔ
１ ｓｉｎ ４
设函数ｙ ＝ １ 则ｙ（ ｎ ） ＝ ．
（１３） ｘ ＋ ， （０）
２ ３
二阶常系数非齐次线性微分方程ｙ″ － ｙ′ ＋ ｙ ＝ ２ ｘ 的通解为 ．
（１４） ４ ３ ２ｅ
( ｙ ｘ ) ｚ ｚ
设ｆ ｕ ｖ 是二元可微函数 ｚ ＝ ｆ 则ｘ － ｙ ＝ ．
（１５） （ ， ） ， ｘ ，ｙ ， ｘ ｙ
æ ö
０ １ ０ ０
ç ÷
设矩阵Ａ ＝ ç０ ０ １ ０÷ 则Ａ３ 的秩为 ．
（１６） çç ÷÷ ，
０ ０ ０ １
è ø
０ ０ ０ ０
三、解答题（本题共 小题 满分 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
８ ， ８６ ， 、
本题满分 分
（１７） （ １０ ）
[ ]
设ｆ ｘ 是区间 π 上的单调 可导函数 且满足
（ ） ０， 、 ，
４
ｆ （ ｘ ）ｆ－ １ ｔ ｔ ＝ ｘ ｔｃｏｓ ｔ － ｓｉｎ ｔ ｔ
∫ （ ）ｄ ∫ ｔ ＋ ｔｄ ，
０ ０ ｓｉｎ ｃｏｓ
其中ｆ－ １是ｆ的反函数 求ｆ ｘ ．
， （ ）
本题满分 分
（１８） （ １１ ）
设Ｄ是位于曲线ｙ ＝
ｘａ－ｘ
ａ ａ ＞ ｘ ＜ ＋ 下方 ｘ轴上方的无界区域．
２ （ １，０ ≤ ∞） 、
求区域Ｄ绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积Ｖ ａ
（Ⅰ） （ ）；
５０年真题
２００７
当ａ为何值时 Ｖ ａ 最小 并求此最小值．
（Ⅱ） ， （ ） ？
本题满分 分
（１９） （ １０ ）
求微分方程ｙ″ ｘ ＋ ｙ′２ ＝ ｙ′满足初始条件ｙ ＝ ｙ′ ＝ 的特解．
（ ） （１） （１） １
本题满分 分
（２０） （ １１ ）
已知函数ｆ ｕ 具有二阶导数 且 ｆ′ ＝ 函数ｙ ＝ ｙ ｘ 由方程ｙ － ｘ ｙ－ １ ＝ 所确定．设
（ ） ， （０） １， （ ） ｅ １
ｚ ＝ｆ ｙ － ｘ 求ｄ
ｚ
ｄ
２ｚ
．
（ｌｎ ｓｉｎ ）， ｘ ｘ＝ ， ｘ２ ｘ＝
ｄ ０ ｄ ０
本题满分 分
（２１） （ １１ ）
设函数ｆ ｘ ｇ ｘ 在 ａ ｂ 上连续 在 ａ ｂ 内具有二阶导数且存在相等的最大值 ｆ ａ ＝
（ ）， （ ） ［ ， ］ ， （ ， ） ， （ ）
ｇ ａ ｆ ｂ ＝ ｇ ｂ 证明 存在ξ ａ ｂ 使得 ｆ″ ξ ＝ ｇ″ ξ ．
（ ）， （ ） （ ）， ： ∈（ ， ）， （ ） （ ）
本题满分 分
（２２） （ １１ ）
设二元函数
{ｘ２ ｘ ＋ ｙ
， ≤１，
ｆ ｘ ｙ ＝
（ ， ） １ ＜ ｘ ＋ ｙ
， １ ≤２，
ｘ２ ＋ ｙ２
计算二重积分 ｆ ｘ ｙ σ 其中Ｄ ＝ ｘ ｙ ｘ ＋ ｙ ．
∬ （ ， ）ｄ ， ｛（ ， ） ≤２｝
Ｄ
本题满分 分
（２３） （ １１ ）
设线性方程组
ìｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＝
ï ï １ ２ ３ ０，
íｘ ＋ ｘ ＋ ａｘ ＝
ïï １ ２ ２ ３ ０， ①
î
ｘ ＋ ｘ ＋ ａ２ｘ ＝
１ ４ ２ ３ ０，
与方程组
ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＝ ａ －
１ ２ ２ ３ １ ②
有公共解 求ａ的值及所有公共解．
，
本题满分 分
（２４） （ １１ ）
设 阶实对称矩阵Ａ的特征值为λ ＝ λ ＝ λ ＝ － α ＝ － Ｔ 是Ａ的属于λ
３ １ １， ２ ２， ３ ２， １ （１， １，１） １
的一个特征向量．记Ｂ ＝ Ａ５ － Ａ３ ＋ Ｅ 其中Ｅ为 阶单位矩阵．
４ ， ３
验证α 是矩阵Ｂ的特征向量 并求Ｂ的全部特征值与特征向量
（Ⅰ） １ ， ；
求矩阵Ｂ．
（Ⅱ）
５１历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
２００８ 年全国硕士研究生招生考试试题
一、选择题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
８ ， ４ ， ３２
设函数ｆ ｘ ＝ ｘ２ ｘ － ｘ － 则 ｆ′ ｘ 的零点个数为
（１） （ ） （ １）（ ２）， （ ） （ ）
． ． ． ．
（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３
如图 曲线段的方程为ｙ ＝ ｆ ｘ 函数ｆ ｘ 在区间 ａ 上有连
（２） ， （ ）， （ ） ［０， ］
ａ
续的导数 则定积分 ｘｆ′ ｘ ｘ等于
， ∫ （ ）ｄ （ ）
０
曲边梯形ＡＢＯＤ的面积．
（Ａ）
梯形ＡＢＯＤ的面积．
（Ｂ）
曲边三角形ＡＣＤ的面积．
（Ｃ）
三角形ＡＣＤ的面积．
（Ｄ）
在下列微分方程中 以 ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ ｘ ＋ Ｃ ｘ Ｃ Ｃ Ｃ 为任意常数 为通解的是
（３） ， １ｅ ２ｃｏｓ ２ ３ｓｉｎ ２ （ １， ２， ３ ）
（ ）
ｙ‴＋ ｙ″ － ｙ′ － ｙ ＝ ． ｙ‴＋ ｙ″ ＋ ｙ′ ＋ ｙ ＝ ．
（Ａ） ４ ４ ０ （Ｂ） ４ ４ ０
ｙ‴－ ｙ″ － ｙ′ ＋ ｙ ＝ ． ｙ‴－ ｙ″ ＋ ｙ′ － ｙ ＝ ．
（Ｃ） ４ ４ ０ （Ｄ） ４ ４ ０
ｘ
设函数ｆ ｘ ＝ ｌｎ ｘ 则ｆ ｘ 有
（４） （ ） ｘ － ｓｉｎ ， （ ） （ ）
１
个可去间断点 个跳跃间断点． 个可去间断点 个无穷间断点．
（Ａ）１ ，１ （Ｂ）１ ，１
个跳跃间断点． 个无穷间断点．
（Ｃ）２ （Ｄ）２
设函数ｆ ｘ 在 － ＋ 内单调有界 ｘ 为数列 下列命题正确的是
（５） （ ） （ ∞， ∞） ，｛ ｎ｝ ， （ ）
若 ｘ 收敛 则 ｆ ｘ 收敛． 若 ｘ 单调 则 ｆ ｘ 收敛．
（Ａ） ｛ ｎ｝ ， ｛ （ ｎ）｝ （Ｂ） ｛ ｎ｝ ， ｛ （ ｎ）｝
若 ｆ ｘ 收敛 则 ｘ 收敛． 若 ｆ ｘ 单调 则 ｘ 收敛．
（Ｃ） ｛ （ ｎ）｝ ， ｛ ｎ｝ （Ｄ） ｛ （ ｎ）｝ ， ｛ ｎ｝
设函数ｆ连续．若Ｆ ｕ ｖ ＝
ｆ
（
ｘ２ ＋ ｙ２
） ｘ ｙ 其中区域Ｄ 为图中
（６） （ ， ）
Ｄ
∬
ｕｖ
ｘ２ ＋ ｙ２ ｄ ｄ ， ｕｖ
Ｆ
阴影部分 则 ＝
， ｕ （ ）
ｖ
ｖｆ ｕ２ ． ｆ ｕ２ ．
（Ａ） （ ） （Ｂ） ｕ （ ）
ｖ
ｖｆ ｕ ． ｆ ｕ ．
（Ｃ） （ ） （Ｄ） ｕ （ ）
设Ａ为ｎ阶非零矩阵 Ｅ为ｎ阶单位矩阵 若Ａ３ ＝ Ｏ 则
（７） ， ， ， （ ）
Ｅ － Ａ不可逆 Ｅ ＋ Ａ不可逆． Ｅ － Ａ不可逆 Ｅ ＋ Ａ可逆．
（Ａ） ， （Ｂ） ，
Ｅ － Ａ可逆 Ｅ ＋ Ａ可逆． Ｅ － Ａ可逆 Ｅ ＋ Ａ不可逆．
（Ｃ） ， （Ｄ） ，
æ ö
设Ａ ＝ ç１ ２÷ 则在实数域上与Ａ合同的矩阵为
（８） è ø， （ ）
２ １
æ－ ö æ － ö æ ö æ － ö
ç ２ １ ÷． ç ２ １÷． ç２ １÷． ç １ ２÷．
（Ａ）è － ø （Ｂ）è－ ø （Ｃ）è ø （Ｄ）è－ ø
１ ２ １ ２ １ ２ ２ １
５２年真题
２００８
二、填空题（本题共 小题 每小题 分 满分 分）
６ ， ４ ， ２４
－ ｘｆ ｘ
已知函数ｆ ｘ 连续 且 １ ｃｏｓ［ （ ）］ ＝ 则ｆ ＝ ．
（９） （ ） ， ｌｘｉｍ ｘ２ － ｆ ｘ １， （０）
→０ （ｅ １） （ ）
微分方程 ｙ ＋ ｘ２ －ｘ ｘ － ｘ ｙ ＝ 的通解是ｙ ＝ ．
（１０） （ ｅ ）ｄ ｄ ０
曲线 ｘｙ ＋ ｙ － ｘ ＝ ｘ在点 处的切线方程是 ．
（１１） ｓｉｎ（ ） ｌｎ（ ） （０，１）
曲线ｙ ＝ ｘ － ｘ２ 的拐点坐标为 ．
（１２） （ ５） ３
( ｙ )ｘ ｙ ｚ
设ｚ ＝ 则 ＝ ．
（１３） ｘ ， ｘ
（１，２）
设 阶矩阵Ａ的特征值为 λ．若行列式 Ａ ＝ － 则λ ＝ ．
（１４） ３ ２，３， ２ ４８，
三、解答题（本题共 小题 满分 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
９ ， ９４ ， 、
本题满分 分
（１５） （ ９ ）
ｘ － ｘ ｘ
求极限 ［ｓｉｎ ｓｉｎ（ｓｉｎ ）］ｓｉｎ ．
ｌｘｉｍ ｘ４
→０
本题满分 分
（１６） （ １０ ）
{ｘ ＝ ｘ ｔ
（ ），
设函数 ｙ ＝ ｙ ｘ 由参数方程 确定 其中 ｘ ｔ 是初值问题
（ ） ｙ ＝
ｔ２
＋ ｕ ｕ ， （ ）
∫ ｌｎ（１ ）ｄ
０
{ ｘ
ｄ
ｔ
－
２
ｔ
ｅ
－ｘ ＝
０，的解 求ｄ
２ｙ
．
ｄ ， ｘ２
ｘ ＝ ｄ
ｔ＝ ０ ０
本题满分 分
（１７） （ ９ ）
计算 １ ｘ２ ａｒｃｓｉｎ ｘ ｘ．
∫ ０ － ｘ２ ｄ
１
本题满分 分
（１８） （ １１ ）
计算 ｘｙ ｘ ｙ 其中Ｄ ＝ ｘ ｙ ｜ ｘ ｙ ．
∬ｍａｘ｛ ，１｝ｄ ｄ ， ｛（ ， ） ０ ≤ ≤２，０ ≤ ≤２｝
Ｄ
本题满分 分
（１９） （ １１ ）
设ｆ ｘ 是区间 ＋ 上具有连续导数的单调增加函数 且 ｆ ＝ ． 对任意的
（ ） ［０， ∞） ， （０） １
ｔ ＋ 直线ｘ ＝ ｘ ＝ ｔ 曲线ｙ ＝ ｆ ｘ 以及ｘ轴所围成的曲边梯形绕ｘ轴旋转一周
∈［０， ∞）， ０， ， （ ）
生成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 倍 求函数ｆ ｘ 的表达式．
２ ， （ ）
本题满分 分
（２０） （ １１ ）
证明积分中值定理 若函数ｆ ｘ 在闭区间 ａ ｂ 上连续 则至少存在一点η ａ ｂ 使
（Ⅰ） ： （ ） ［ ， ］ ， ∈［ ， ］，
ｂ
得 ｆ ｘ ｘ ＝ ｆ η ｂ － ａ
∫ａ （ ）ｄ （ ）（ ）；
若函数φ ｘ 具有二阶导数 且满足φ ＞ φ φ ＞ ３φ ｘ ｘ 则至少存在一点
（Ⅱ） （ ） ， （２） （１）， （２） ∫ （ ）ｄ ，
２
ξ 使得φ″ ξ ＜ ．
∈（１，３）， （ ） ０
本题满分 分
（２１） （ １１ ）
求函数ｕ ＝ ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ２ 在约束条件ｚ ＝ ｘ２ ＋ ｙ２ 和ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝ 下的最大值与最小值．
４
５３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
本题满分 分
（２２） （ １２ ）
设ｎ元线性方程组Ａｘ ＝ ｂ 其中
，
æ ａ ö
２ １
ç ÷
Ａ ＝ ç ç ç ａ２ ２ ａ ａ ２ ２ １ ａ １ ÷ ÷ ÷ ｘ ＝ æ ç ç ｘ ｘ １ ２ ö ÷ ÷ ｂ ＝ æ ç ç １ ０ ö ÷ ÷ ．
ç ⋱ ⋱ ⋱ ÷ ， ç ç ︙ ÷ ÷ ， çç ︙ ÷÷
ç
ç
ａ２
２
ａ
１
÷
÷
èｘ
ｎ
ø è
０
ø
è ø
ａ２
２
ａ
ｎ×ｎ
证明行列式 Ａ ＝ ｎ ＋ ａｎ
（Ⅰ） （ １） ；
当ａ为何值时 该方程组有唯一解 并求ｘ
（Ⅱ） ， ， １；
当ａ为何值时 该方程组有无穷多解 并求通解．
（Ⅲ） ， ，
本题满分 分
（２３） （ １０ ）
设Ａ为 阶矩阵 α α 为 Ａ 的分别属于特征值 － 的特征向量 向量 α 满足 Ａα ＝
３ ， １， ２ １，１ ， ３ ３
α ＋α ．
２ ３
证明α α α 线性无关
（Ⅰ） １， ２， ３ ；
令Ｐ ＝ α α α 求Ｐ－ １ＡＰ．
（Ⅱ） （ １， ２， ３），
５４参考答案
１９８７ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
ａ － ａ２
．
（１） ＋ ａｘ； ＋ ａｘ ２
１ （１ ）
ｙ － π ＝ １ ｘ － ｙ － π ＝ － ｘ － ．
（２） （ １）； ２（ １）
４ ２ ４
ｂ
ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上连续 在 ａ ｂ 上至少存在一点ξ 使 ｆ ｘ ｘ ＝ ｆ ξ ｂ － ａ 成立．
（３） （ ） ［ ， ］ ； ［ ， ］ ， ∫ａ （ ）ｄ （ ）（ ）
－ ３．
（４） ｅ
ｆ ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数 １ ｆ ｂ － ｆ ａ ．
（５） （ ） ， ； ［ （２ ） （２ ）］
２
二、１ ．
２
三、ｄ
ｙ
＝ ｓｉｎ
ｔ
ｄ
２ｙ
＝ － １ ．
ｘ － ｔ； ｘ２ － ｔ ２
ｄ １ ｃｏｓ ｄ ５（１ ｃｏｓ ）
四、π．
８
五、π ＋ ．
（８ ３π）
２
六、 证明略． 可利用拉格朗日中值定理．
（１） （ ）
证明略． 可利用导数 二阶导数 的定义和极限的保号性．
（２） （ （ ） ）
( ａ )
七、当ａ ｂ 时 积分为１ ｘ ＋ Ｃ 当 ａ ＝ ｂ 时 积分为１ ｘ ＋ Ｃ
≠０， ≠０ ， ａｂ ａｒｃｔａｎ ｂ ｔａｎ ； ０， ≠０ ， ｂ２ｔａｎ ；
当ａ ｂ ＝ 时 积分为 － １ ｘ ＋ Ｃ．其中的Ｃ均为任意常数．
≠０， ０ ， ａ２ｃｏｔ
ｘ
八、 ｙ ＝ － １ ．
（１） ｘ
２
ｙ ｘ ＝ Ｃ ＋ Ｃ ｘ －ｘ ＋ １ ｘ － ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
（２） （ ） （ １ ２ ）ｅ （ １）ｅ ， １， ２
４
九、选择题
（１） Ｄ． （２） Ｃ． （３） Ｂ． （４） Ｄ．
æ ö æ ö
十、在点ç １ ２ ÷处取得最小面积 最小面积为Ｓç １ ÷＝ ２ － ．
è ， ø ， è ø （２ ３ ３）
３ ３ ３ ９
５５历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
１９８８ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
． ＋ ｔ ２ ｔ． １ ． ． ２ ＋ ．
（１） １ （２） （１ ２ ）ｅ （３） （４） １ （５） ２（ｅ １）
１２
二、选择题
（１） Ａ． （２） Ｃ． （３） Ｂ． （４） Ｂ． （５） Ａ．
三、 φ ｘ ＝ － ｘ ｘ ．
（１） （ ） ｌｎ（１ ）， ≤ ０
ｙ′ ＝ ｙ″ ＝ ．
（２） ｘ＝ ０ １， ｘ＝ ０ ２
ｙ ＝ １ ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（３） ｘ （ａｒｃｔａｎ ），
四、
单调增加区间 －
（ ∞， １）
单调减少区间 ＋
（１， ∞）
极值点
１
极值
２
凹区间 － 及 ＋
（ ∞， ０） （２， ∞）
凸区间
（０， ２）
( ) ( )
拐点 ３ 及 ３
０， ２，
２ ２
渐近线 ｙ ＝
０
ａ ａ
五、当圆的周长为ｘ ＝ π 正方形的周长为ａ － ｘ ＝ ４ 时 两图形的面积之和最小．
＋ ， ＋ ，
４ π ４ π
六、ｙ ＝ － ｘ ｘ．
（１ ２ ）ｅ
七、当 － ｘ ＜ 时 积分为１ ＋ ｘ ２ 当ｘ 时 积分为 － １ － ｘ ２．
１ ≤ ０ ， （１ ） ； ≥０ ， １ （１ ）
２ ２
八、 ｆ′ ．
（１） （０）
证明略． 可利用ｆ ｘ 的有界性以及积分估值定理．
（２） （ （ ） ）
５６参考答案
１９８９ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
１ ． ． ｙ ＝ ｘ． ｎ ． ｘ － ． ａ ＝ ｂ．
（１） （２） π （３） ２ （４） ！ （５） １ （６）
２
２ｙ ｘ或者 １ ｘ．
（７） ｃｏｔ ｄ ｘ ＋ ｙ ２ｄ
（ ）
－ ｘ
二、 － １ ｅ ． － １ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（１） ２ · ｘ － － ２ ｘ （２） ｌｎ ｘ ，
（１ ｅ ）
ｙ ２ｙ ＋ ｔ２
２． ｄ ＝ １ ｄ ＝ － １ ．
（３） ｅ （４） ｘ ｔ； ｘ２ ｔ３
ｄ ２ ｄ ４
．
（５） ０
三、选择题
（１） Ａ． （２） Ｂ． （３） Ｃ． （４） Ｄ． （５） Ｂ． （６） Ｄ．
ｘ
四、ｙ ＝ ｅ ｘ － ．
ｘ （ｅ ｅ）
ｘ
五、 ｆ ｘ ＝ １ ｘ ＋ ｘ．
（ ） ｓｉｎ ｃｏｓ
２ ２
六、证明略． 可利用零点定理和Ｆ ｘ 的单调性．
（ （ ） ）
七、
单调增加区间 －
（ ２， ０）
单调减少区间 － － ＋
（ ∞， ２）， （０， ∞）
极值点 －
２
极值 － １
４
凹区间 － ＋
（ ３， ０）， （０， ∞）
凸区间 － －
（ ∞， ３）
( )
拐点 － － ２
３，
９
渐近线 ｘ ＝ 和ｙ ＝
０ ０
八、当ａ ＝ － ５ ｂ ＝ ３ ｃ ＝ 时 体积Ｖ 最小．
， ， ０ ，
４ ２
５７历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
１９９０ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
( )
ｙ ＝ ｘ － ． － １ ｔａｎ １ｘ ２ １ １ ＋ １ ． ４ ． ＞． ．
（１） ３ １ （２） ｘ２ｅ ｓｅｃ ｘ ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ （３） （４） （５） １
１５
二、选择题
（１） Ｃ． （２） Ｂ． （３） Ａ． （４） Ａ． （５） Ｂ．
三、 ａ ＝ ．
（１） ｌｎ ３
ｘ
ｙ ＝ ｘ．
（２）ｄ ｘ － ｙｄ
２
æ ö
ç １ ３ ÷．
（３） è ， ø
３ ４
ｘ － ｘ
ｌｎ ＋ １ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（４） － ｘ ｌｎ ｘ ，
１
( )
１ ｘ ＋ １ ．
（５） ｌｎ ｘ
２ ｌｎ
æ ａ ｂ ö
四、所求点为ç ÷．
è ， ø
２ ２
五、证明略． 可考虑函数ｆ ｘ ＝ ｘ ＋ １ － π ｘ ＞ 计算ｆ′ ｘ 并利用ｆ ｘ 的单调性．
（ （ ） ａｒｃｔａｎ ｘ ， ０， （ ）， （ ） ）
２
六、１ ２ｘ．
ｌｎ
２
七、所求旋转体的体积Ｖ ＝ π．
６
八、通解为
ì ï ï（ Ｃ １ ＋ Ｃ ２ ｘ ）ｅ － ２ ｘ ＋ ａ ＋ １ ２ｅ ａｘ ， ａ ≠ － ２，
ｙ ＝ í （ ２） 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
ï ( ) １， ２
î ï Ｃ ＋ Ｃ ｘ ＋ １ ｘ２ － ２ ｘ ａ ＝ －
１ ２ ｅ ， ２，
２
５８参考答案
１９９１ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
æ ö
（１） － ｌ ｘ ｎ ＋ ３ ｄ ｘ． （２） è ç－ ２ ， ２ø ÷． （３） １ ． （４） １ ． （５） － １ ．
３ １ ２ ２ ２
二、选择题
（１） Ｄ． （２） Ｂ． （３） Ｂ． （４） Ｄ． （５） Ａ．
三、 ｄ
２ｙ
＝ ２
＋ ｔ２
．
（１） ｘ２ ｔ － ｔ ｔ ３
ｄ （ｃｏｓ ｓｉｎ ）
４ ．
（２） ２ｌｎ
３
１ ．
（３）
６
ｘ２
－ １ ｘ ｘ － １ ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（４） ｓｉｎ ２ ｃｏｓ ２ ，
４ ４ ８
ｘ －
ｙ ＝ １ ｘ ＋ １ ．
（５） ｘ ｅ ｘ
四、证明略． 可考虑函数ｆ ｘ ＝ ＋ ｘ ＋ ｘ － ｘ ｘ 计算ｆ′ ｘ 并利用ｆ ｘ 的单调性．
（ （ ） （１ ）ｌｎ（１ ） ｌｎ ， （ ）， （ ） ）
五、ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ ｘ ＋ ｘ ＋ １ ｘ ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
１ｃｏｓ ２ｓｉｎ ｓｉｎ ， １， ２
２
六、π．
２
七、当点Ｂ 的横坐标为１ － 点Ｃ的横坐标为１ ＋ １ 时 梯形面积最大．
ｌｎ ２ １， ｌｎ ２ ，
３ ２ ３
八、 ２ － ．
π ２
５９历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
１９９２ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
． ＋ π． ． １ ． １ － ．
（１） ３ （２） ３ （３） ０ （４） ｌｎ ２ （５） ｅ １
６ ２ ２
二、选择题
（１） Ｂ． （２） Ｄ． （３） Ｄ． （４） Ｃ． （５） Ｂ．
三、
－３
２．
（１）ｅ
２．
（２） ２ｅ
（３）
１
（１
＋ ｘ２
）
３
２
－
（１
＋ ｘ２
）
１
２
＋ Ｃ
，
其中Ｃ 为任意常数．
３
－ ．
（４） ４（ ２ １）
ｙ ＝ Ｃ ｘ － １ ｘ３ ｘ ＞ ｙ ＝ Ｃ － ｘ － １ ｘ３ ｘ ＜ 其中Ｃ为任意常数．
（５） ， （ ０）， ， （ ０），
５ ５
四、７ － １ ．
３ ｅ
五、ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ ２ ｘ －
(ｘ２
＋ ｘ
)
ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
１ｅ ２ｅ ｅ ， １， ２
２
六、 － １ ．
ｌｎ ３
２
ｘ
七、当ｔ ＝ 时 Ｓ取最小值 此时ｌ的方程为ｙ ＝ ＋ １ ．
１ ， ，
２ ２
八、证明略． 可利用拉格朗日中值定理．
（ ）
６０参考答案
１９９３ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
．
（１） ０
ｙ２ － ｘ ｘ２ ＋ ｙ２ － ｘ
２ ｃｏｓ（ ） ｅ ．
（２） ｙ ｘ２ ＋ ｙ２ － ｘｙ
２ ｃｏｓ（ ） ２
( )
１ ．
（３） ０，
４
２ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（４） ｘ ，
ｃｏｓ
１ ＋ ｘ２ ＋ ｘ２ － ．
（５） （１ ）［ｌｎ（１ ） １］
２
二、选择题
（１） Ｄ． （２） Ａ． （３） Ｄ． （４） Ｂ． （５） Ｃ．
三、 ｄ
２ｙ
＝ ｆ′ ｘ２ ｆ ｘ２ ＋ ｘ２ ｆ″ ｘ２ ｆ ｘ２ － ｆ′ ｘ２ ２ ｆ ｘ２ ．
（１） ｘ２ ２ （ ）ｃｏｓ［ （ ）］ ４ ｛ （ ）ｃｏｓ［ （ ）］ ［ （ ）］ ｓｉｎ［ （ ）］｝
ｄ
－ ．
（２） ５０
π － １ ．
（３） ｌｎ ２
８ ４
１ ．
（４）
２
ｘ －
ｙ ＝ ｓｉｎ １．
（５） ｘ２ －
１
四、ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ ２ ｘ ＋ ｘ ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
１ｅ ２ｅ ｅ ， １， ２
五、Ｖ ＝ π ２ － ２ ．
π
２ ３
六、当ｈ ＝ ｒ时 Ｖ取最小值 Ｖ ｒ ＝ ８π
ｒ３
．
４ ， ， （４ ）
３
七、证明略． 可利用ｙ ＝ ｘ的单调性 考虑函数ｆ ｘ ＝ ａ ＋ｘ ａ －ａ ａ ＋ｘ 计算ｆ′ ｘ 并
（ ｌｎ ， （ ） （ ）ｌｎ ｌｎ（ ）， （ ），
利用ｆ ｘ 的单调性．
（ ） ）
八、证明略． 可利用拉格朗日中值定理．
（ ）
６１历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
１９９４ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
－ ．
（１） ２
１ ｔ ＋ ｔ ＋ ．
（２） ｔ （６ ５）（ １）
－ ｆ ｘ ｘ．
（３） ３ （ｃｏｓ ３ ）ｓｉｎ ３
１ ｘ２ － ｘ２ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（４） （ １）ｅ ，
２
ｘ － ｙ４ ＝ Ｃｘ 其中Ｃ为任意常数．
（５） （ ４） ，
二、选择题
（１） Ａ． （２） Ｂ． （３） Ｃ． （４） Ｂ． （５） Ｄ．
三、 ｄ
２ｙ
＝
ｆ″
．
（１） ｘ２ － ｆ′ ３
ｄ （１ ）
３ ．
（２） π
３２
４．
（３） ｅ
ｘ ｘ
１ ２ ＋ １ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（４） ｔａｎ ｌｎ ｔａｎ ，
８ ２ ４ ２
证明略． 分别计算Ｄ和Ｄ ．
（５） （ １ ）
四、当ｋ 或ｋ ＝ ２ 时 方程有且仅有一个解．
≤０ ３ ，
９
五、 － 和 ＋ 为增区间 为减区间 ｘ ＝ 为
（１） （ ∞，０） （２， ∞） ，（０，２） ， ２
极小值点 极小值为ｙ ＝ ．
， ３
－ 和 ＋ 均为凹区间 无拐点．
（２）（ ∞， ０） （０， ∞） ，
ｘ ＝ 为铅直渐近线 ｙ ＝ ｘ为斜渐近线．
（３） ０ ，
如右图．
（４）
六、当ａ 时 通解为ｙ ＝ Ｃ ａｘ ＋Ｃ ａｘ ＋ １ ｘ 当ａ ＝
≠１ ， １ｃｏｓ ２ｓｉｎ ａ２ － ｓｉｎ ；
１
时 通解为ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋Ｃ ｘ － １ ｘ ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意
１ ， １ｃｏｓ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ， １， ２
２
常数．
λ
七、证明略． 注意到 １ｆ ｘ ｘ ＝ ｆ ｘ ｘ ＋ １ｆ ｘ ｘ 可利用积分中值定理
（ ∫ （ ）ｄ ∫ （ ）ｄ ∫λ （ ）ｄ ， ）
０ ０
八、Ｖ ＝ ４４８ ．
π
１５
６２参考答案
１９９５ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
－ ｘ ｘ２ ２ １ － １ ２ ｘ２ ．
（１） ２ ｓｉｎ（ ）ｓｉｎ ｘ ｘ２ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ（ ）
ｙ ＝ － ｘ ＋ Ｃ ｘ ＋ Ｃ ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
（２） ２ １ｃｏｓ ２ｓｉｎ ， １， ２
ｘ － ｙ － ＝ ．
（３） ３ ７ ０
１ ．
（４）
２
ｙ ＝ ．
（５） ０
二、选择题
（１） Ｄ． （２） Ｃ． （３） Ｄ． （４） Ｂ． （５） Ａ．
三、 １ ．
（１）
２
２ｙ ｆ″ ｙ － － ｆ′ ｙ ２
ｄ ＝ （ ） ［１ （ ）］ ．
（２） ｘ２ ｘ２ － ｆ′ ｙ ３
ｄ ［１ （ ）］
ｘ － ＋ ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（３） ２ｌｎ（ １） ，
ｆ′ ｘ 在ｘ ＝ 处连续．
（４） （ ） ０
Ｓ ＝ ．
（５） ８
２ ｖ ．
（６） ０
３
四、 ｆ ｘ 的最大值是 ＋ － ２ 最大值点是ｘ ＝ ± ｆ ｘ 的最小值是 最小值点是ｘ ＝ ．
（ ） １ ｅ ， ２， （ ） ０， ０
五、ｙ ＝ ｅ ｘ － ｅ ｘ＋ ｅ －ｘ－１ ２ ．
六、点Ｐ的坐标为
æ
è çｘ ０ －
ｙ
０
′
（１ ｙ
＋
″
ｙ
０
′２
） ， ｙ ０ ＋ １
＋
ｙ″
ｙ
０
′２ö
ø ÷．
０ ０
七、 ．
２
八、证明略． 可考虑函数Ｆ ｘ ＝ ｆ ｘ － ｘ 计算Ｆ′ ｘ 并证明Ｆ 是Ｆ ｘ 的最小值．
（ （ ） （ ） ， （ ）， （０） （ ） ）
６３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
１９９６ 年真题参考答案
（试卷 ）
Ⅲ
一、填空题
１ ．
（１）
３
．
（２） ２
ｙ ＝ －ｘ Ｃ ｘ ＋ Ｃ ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
（３） ｅ （ １ｃｏｓ ２ ２ｓｉｎ ２ ）， １， ２
．
（４） ２
－ １ ．
（５） ｌｎ ２
２
二、选择题
（１） Ａ． （２） Ｃ． （３） Ｄ． （４） Ｃ． （５） Ｂ．
三、 ＋ － ３ ．
（１） ｌｎ（２ ３）
２
ｘ － ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（２） ｔａｎ ｓｅｃ ，
２ｙ ｆ′ ｔ２ ＋ ｔ２ｆ″ ｔ２
ｄ ＝ ４［ （ ） ２ （ ）］ ．
（３） ｘ２ ｆ ｔ２
ｄ （ ）
ｆ ｘ ＝ － ｘ ＋ ｘ２ ＋ ＋ － ｎ ｘｎ ＋ － ｎ＋ １ ２
ｘｎ＋
１ ＜ θ ＜ ．
（４） （ ） １ ２ ２ … （ １） ２ （ １） ＋ θｘ ｎ＋ ２， ０ １
（１ ）
ｙ ＝ １ ｘ３ － ｘ２ ＋ ｘ ＋ Ｃ ＋ Ｃ －ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
（５） ２ １ ２ｅ ， １， ２
３
ａ２ｂ
Ｖ ＝ ２ α．
（６） ｔａｎ
３
四、 － ａｒｃｔａｎ
ｘ
－ １ ｘ ２ ＋ １
ｘ２
＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
ｘ （ａｒｃｔａｎ ） ｌｎ ＋ ｘ２ ，
２ ２ １
ì ï － ｘ
－ １ ｘ ＜ －
ï ， １，
ï ２
五、 ｇ ｘ ＝ í
（１） （ ） ï
３ｘ
，
－
１ ≤
ｘ
≤８，
ïｘ ＋
î ï １６ ｘ ＞ ．
， ８
１２
ｇ ｘ 在 － ＋ 内处处连续 没有间断点．ｇ ｘ 的不可导点是ｘ ＝ 和ｘ ＝ － ．
（２） （ ） （ ∞， ∞） ， （ ） ０ １
六、唯一驻点为ｘ ＝ 也是ｙ ＝ ｙ ｘ 的极小值点．
１， （ ）
七、证明略． 可用反证法．
（ ）
ｘ
八、 ｙ ｘ ＝ －ａｘ ｆ ｔ ａｔ ｔ．
（１） （ ） ｅ ∫ （ ）ｅ ｄ
０
简要证明
（２） ：
ｘ ｘ ｋ ｋ
ｙ ｘ －ａｘ ｆ ｔ ａｔ ｔ ｋ －ａｘ ａｔ ｔ －ａｘ ａｘ － ＝ － －ａｘ ｘ ．
（ ） ≤ｅ ∫ （ ） ｅ ｄ ≤ ｅ ∫ ｅ ｄ ≤ ａｅ （ｅ １） ａ（１ ｅ ）， ≥０
０ ０
６４参考答案
１９９７ 年真题参考答案
一、填空题
－１．
（１） ｅ ２
－ ３ ．
（２）
２
ｘ ｘ －
＋ Ｃ或 ２ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（３） ２ａｒｃｓｉｎ ａｒｃｓｉｎ ，
２ ２
π．
（４）
８
．
（５） ３
二、选择题
（１） Ｃ． （２） Ｂ． （３） Ｂ． （４） Ａ． （５） Ｄ．
三、 ．
（１） １
ｙ ｙ２ － ｔ ＋ ｔ２
ｄ ＝ （ ｅ ）（１ ） ．
（２） ｘ － ｔｙ
ｄ ２（１ ）
２ ｘ ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（３） ｅ ｔａｎ ，
ｘｙ２ － ｘ２ｙ － ｘ３ ＝ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（４） ，
ｙ″ － ｙ′ － ｙ ＝ ｘ － ｘ ｘ．
（５） ２ ｅ ２ ｅ
æ ö
ç０ ２ １÷
Ｂ ＝ ．
（６） çç０ ０ ０ ÷÷
è ø
０ ０ ０
四、当λ 且λ － ４ 时 原方程组有唯一解． 当 λ ＝ 时 原方程组有无穷多解 其通解为
≠１ ≠ ， １ ， ，
５
ｘ ｘ ｘ Ｔ ＝ － Ｔ ＋ｋ Ｔ 其中ｋ为任意常数．当λ ＝ － ４ 时 原方程组无解．
（ １， ２， ３） （１， １，０） （０，１，１） ， ，
５
五、所求曲线Ｌ的方程为ｘ ＋ ｙ ＝ 和ｘ － ｙ ＝ ．
３ ２ ３ ２
六、ａ ＝ － 时 旋转体体积最小．
５ ，
ｘ
ì
ïｘｆ ｘ － ｆ ｕ ｕ
ïï （ ） ∫ ０ （ ）ｄ ｘ
七、φ′ ｘ ＝ í ｘ２ ， ≠０，φ′ ｘ 在ｘ ＝ 处连续．
（ ） ï （ ） ０
ïＡ
î ｘ ＝ ．
， ０
２
( )
八、记ｘ ＝ ２ ｙ ＝ ｘ － π ｘ ．当ｋ ＜ ｙ 或ｋ 时 原方程在 π 内没有根 当ｋ ＝
０ ａｒｃｃｏｓ ， ０ ０ ｓｉｎ ０ ０ ≥０ ， ０， ；
π ２ ２
( ) ( )
ｙ 时 原方程在 π 内有唯一根ｘ 当ｙ ＜ ｋ ＜ 时 原方程在 π 内恰有两个不同的根．
０ ， ０， ０； ０ ０ ， ０，
２ ２
６５历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
１９９８ 年真题参考答案
一、填空题
－ １ ． ３７． － ｘ ｘ － ｘ － ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（１） （２） （３） ｃｏｔ ｌｎ（ｓｉｎ ） ｃｏｔ ，
４ １２
ｘｆ ｘ２ ． ｙ ＝ ｘ ＋ １ ．
（４） （ ） （５）
ｅ
二、选择题
（１） Ｄ． （２） Ｃ． （３） Ａ． （４） Ｃ． （５） Ｂ．
三、 ｆ ｘ 的间断点有ｘ ＝ π ３ ５ ７ 其中ｘ ＝ π ５ 是ｆ ｘ 的第二类间断点 无穷间
（ ） ， π， π， π， ， π （ ） （
４ ４ ４ ４ ４ ４
断点 ｘ ＝ ３ ７ 是ｆ ｘ 的可去间断点．
）， π， π （ ）
４ ４
四、ａ ＝ ｂ ＝ ｃ ＝ １ ．
１， ０，
２
ｘ ｘ
五、原方程可化简为ｕ″ ＋ ｕ ＝ ｘ 原方程的通解为ｙ ＝ Ｃ ｃｏｓ ２ ＋ Ｃ ｘ ＋ ｅ 其中Ｃ Ｃ 为
４ ｅ ， １ ｘ ２ ２ｓｉｎ ｘ， １， ２
ｃｏｓ ５ｃｏｓ
任意常数．
六、π ＋ ＋ ．
ｌｎ（２ ３）
２
ｖ
七、ｙ与ｖ所满足的微分方程为ｍｖ ｄ ＝ ｍｇ － Ｂρ － ｋｖ．
ｙ
ｄ
ｍ ｍ ｍｇ － Ｂρ ｍｇ － Ｂρ － ｋｖ
所求函数关系为ｙ ＝ － ｖ － （ ） ．
ｋ ｋ２ ｌｎ ｍｇ － Ｂρ
八、 证明略． 考虑函数Ｆ ｘ ＝ － ｘ １ｆ ｔ ｔ 对Ｆ ｘ 在区间 上使用罗尔定理．
（１） （ （ ） ∫ｘ （ ）ｄ ， （ ） ［０， １］ ）
证明略． 证明Ｆ′ ｘ 单调．
（２） （ （ ） ）
九、所求表面积为π － ．
（１１ ５ １）
６
( )
十、所求曲线方程为ｙ ＝ π － ｘ ＋ ＋ １ － π ＜ ｘ ＜ ３π．
ｌｎｃｏｓ １ ｌｎ ２，
４ ２ ４ ４
当ｘ ＝ π 时 ｙ取极大值 极大值为ｙ ＝ ＋ １ ．函数无极小值．
， ， １ ｌｎ ２
４ ２
十一、 证明略． 考虑函数ｆ ｘ ＝ ＋ ｘ ２ ＋ ｘ － ｘ２ 计算ｆ′ ｘ 并利用ｆ ｘ 的单调性．
（１） （ （ ） （１ ）ｌｎ （１ ） ， （ ）， （ ） ）
证明略． 考虑函数ｆ ｘ ＝ １ － １ ｘ 计算ｆ′ ｘ 并利用ｆ ｘ 的单调性．
（２） （ （ ） ＋ｘ ｘ ， ∈（０，１］， （ ）， （ ） ）
ｌｎ（１ ）
æ ö
１ ０ ０ ０
ç ÷
－
十二、Ａ ＝ ç ２ １ ０ ０÷ ．
çç － ÷÷
１ ２ １ ０
è ø
－
０ １ ２ １
十三、 当ｂ 时 β 不能由α α α 线性表示．
（１） ≠２ ， １， ２， ３
当ｂ ＝ ａ 时 β 可唯一表示为β ＝ － α ＋ α 当 ｂ ＝ ａ ＝ 时 β 可表示为
（２） ２， ≠１ ， １ ２ ２； ２， １ ，
－ ｋ ＋ α ＋ ｋ ＋ α ＋ ｋα 其中ｋ为任意常数．
（２ １） １ （ ２） ２ ３，
６６参考答案
１９９９ 年真题参考答案
一、填空题
ｙ ＋ ｘ － ＝ ．
（１） ２ １ ０
．
（２） １
ｘ －
１ ｘ２ － ｘ ＋ ＋ ３ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（３） ｌｎ（ ６ １３） ４ａｒｃｔａｎ ，
２ ２
＋
３ １ ．
（４） π
１２
( )
ｙ ＝ Ｃ － ２ ｘ ＋ Ｃ ＋ １ ｘ ２ ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
（５） １ｅ ２ ｅ ， １， ２
４
二、选择题
（１） Ｄ． （２） Ｃ． （３） Ａ． （４） Ｃ． （５） Ｂ．
三、 － １ ．
２
四、π ＋ １ ．
ｌｎ ２
４ ２
五、ｙ ＝ １ ｘ２ － １ ．
２ ２
六、需要作功 ．
９１５００ Ｊ
七、 函数的单调增区间为 － 和 ＋ 单调减区间为 极小值点为ｘ ＝ 对应
（１） （ ∞，１） （３， ∞）， （１，３）， ３，
的极小值为２７ ．
４
函数的凹区间为 和 ＋ 凸区间为 － 拐点为 ．
（２） （０， １） （１， ∞）， （ ∞， ０）， （０， ０）
ｘ ＝ 是函数图形的铅直渐近线 ｙ ＝ ｘ ＋ 是函数图形的斜渐近线．
（３） １ ， ２
八、证明略． 可应用泰勒中值定理 展开到 阶．
（ ， ３ ）
九、所求曲线方程为ｙ ＝ ｘ．
ｅ
ｋ＋
十、证明略． 利用ｆ ｋ ＋ １ｆ ｘ ｘ ｆ ｋ 可得ａ 再由ａ －ａ 可知数列 ａ 单
（ （ １） ≤∫ｋ （ ）ｄ ≤ （ ）， ｎ≥０， ｎ＋ １ ｎ≤０ ｛ ｎ｝
调减少．由单调有界准则可知数列 ａ 极限存在
｛ ｎ｝ ）
æ ö
ç１ １ ０÷
十一、Ｘ ＝ １ ．
çç０
１ １
÷÷
４ è ø
１ ０ １
十二、 ｐ 时 向量组α α α α 线性无关
（１） ≠２ ， １， ２， ３， ４ ，
ｐ － － ｐ
α ＝ α ＋ ３ ４α ＋ α ＋ １ α ．
２ １ ｐ － ２ ３ ｐ － ４
２ ２
当ｐ ＝ 时 向量组α α α α 线性相关 它的秩为 α α α 或α α α 构成其一
（２） ２ ， １， ２， ３， ４ ， ３， １， ２， ３ １， ３， ４
个极大线性无关组．
６７历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
２０００ 年真题参考答案
一、填空题
æ ö
１ ０ ０ ０
ç ÷
－
－ １ ． － ｘ． π． ｙ ＝ ｘ ＋ ． ç １ ２ ０ ０÷ ．
（１）
６
（２） （ｌｎ ２ １）ｄ （３）
３
（４） ２ １ （５）çç
０
－
２ ３ ０
÷÷
è ø
－
０ ０ ３ ４
二、选择题
（１） Ｄ． （２） Ｃ． （３） Ａ． （４） Ｃ． （５） Ｂ．
三、ｘ － ＋ －ｘ ＋ ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（１ ｅ ）ｌｎ（１ ｅ ） ，
ì
ï１ ｘ３ ｘ
ï ， ０ ≤ ≤１，
ｘ ï６
四、 Ｓ ｔ ｔ ＝ í
∫ （ ）ｄ ï－ １ ｘ３ ＋ ｘ２ － ｘ ＋ １ ＜ ｘ
０ ， １ ≤２，
ïï ６ ３
î
ｘ － ｘ ＞ ．
１， ２
五、 ｆ（ ｎ ） ＝ （
－
１）
ｎ－ １ｎ
！ ｎ ．
（０） ｎ － （ ≥３）
２
ｎ
六、 证明略． ｘ是周期函数 可利用 π ｘ ｘ ＝ ｎ π ｘ ｘ ＝ ｎ．
（１） （ｃｏｓ ， ∫ ｃｏｓ ｄ ∫ ｃｏｓ ｄ ２ ）
０ ０
２ ．
（２）
π
七、 年．
６ｌｎ ３
ｘ
八、证明略． 考虑函数Ｆ ｘ ＝ ｆ ｔ ｔ 找 内一点ξ 使得Ｆ ξ ＝ ．与Ｆ ＝ Ｆ ＝ 相
（ （ ） ∫ （ ）ｄ ， （０，π） ， （ ） ０ （０） （π） ０
０
结合 使用两次罗尔定理．
， ）
九、所求切线方程为 ｘ － ｙ － ＝ ．
２ １２ ０
十、当ａ ＝ 时 旋转体体积最大 为３２ ５ ．
４ ， ， π
１８７５
－ｘ
十一、 ｆ′ ｘ ＝ － ｅ ．
（１） （ ） ｘ ＋
１
证明略． 考虑函数φ ｘ ＝ ｆ ｘ － －ｘ 计算φ′ ｘ 并利用φ ｘ 的单调性．
（２） （ （ ） （ ） ｅ ， （ ）， （ ） ）
( )
十二、方程的通解为ｋ Ｔ ＋ － １ Ｔ 其中ｋ为任意常数．
（１， ２， １） ０， ０， ，
２
十三、ａ ＝ ｂ ＝ ．
１５， ５
６８参考答案
２００１ 年真题参考答案
一、填空题
－ ２ ． ｘ － ｙ ＋ ＝ ． π． ｙ ｘ ＝ ｘ － １ ． － ．
（１） （２） ２ ２ ０ （３） （４） ａｒｃｓｉｎ （５） ２
６ ８ ２
二、选择题
（１） Ｂ． （２） Ｂ． （３） Ｃ． （４） Ａ． （５） Ｄ．
æ ｘ ö
三、 ç ÷＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
ａｒｃｔａｎ è ＋ ｘ２ ø ，
１
ｘ
四、 ｆ ｘ ＝ ｘ．ｘ ＝ 是ｆ ｘ 的可去间断点 ｘ ＝ ｋ ｋ ＝ ± ± 都是ｆ ｘ 的无穷间断点．
（ ） ｅｓｉｎ ０ （ ） ， π（ １， ２， …） （ ）
五、 ．
９
六、 ｆ ｘ ＝ ｘ ＋ ｘ － ．
（ ） （ １）ｅ １
七、１ ＋ ｅ π ．
＋
１ π
八、 曲线Ｌ的方程为ｙ ＝ １ － ｘ２．
（１）
４
所求切线为ｙ ＝ － ３ｘ ＋ １ ．
（２）
３ ３
九、 小时．
６
ｆ″ ξ
十、 ｆ ｘ ＝ ｆ ＋ ｆ′ ｘ ＋ （ ） ｘ２ 其中ξ ｘ ．
（１） （ ） （０） （０） ， ∈（０， ）
２！
证明略．
（２）
æ ö
ç１ ２ ５÷
十一、Ｘ ＝ ．
çç０
１ ２
÷÷
è ø
０ ０ １
十二、当ｔ ± 时 β β β β 是方程组Ａｘ ＝ ０ 的一个基础解系．
≠ １ ， １， ２， ３， ４
６９历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
２００２ 年真题参考答案
一、填空题
－ ． ． ｙ ＝ ｘ ＋ ． ２ ２ ． ．
（１） ２ （２） １ （３） １ （４） （５） ４
π
二、选择题
（１） Ｄ． （２） Ｄ． （３） Ｃ． （４） Ｂ． （５） Ａ．
三、切线方程 ｙ ＝ ｘ ＋ ５ － ３ ３．法线方程 ｙ ＝ － ｘ － １ ＋ ３．
： ：
４ ４ ４ ４
ì ïｘ３
ï
＋ ｘ２ － １
，
－
１ ≤
ｘ ＜
０，
四、Ｆ ｘ ＝ í２ ２
（ ） ï ｘ ｘ
ï ｅ － ＋ － １ ｘ ．
îｌｎ ｘ ＋ ｘ ＋ ｌｎ ２ ， ０ ≤ ≤１
ｅ １ ｅ １ ２
五、 ｆ ｘ ＝ －１ｘ．
（ ） ｅ
六、ｙ ＝ ｘ － ７５ ｘ２ 为所求解．
１２４
七、 米．
２
八、证明略． 可用数学归纳法证明数列 ｘ 有界 再证明数列 ｘ 单调增 从而由单调有界准则
（ ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝ ，
可知数列极限存在．等式两边求极限解代数方程得 ｘ ＝ ３ ．
ｎｌｉｍ ｎ ）
→∞ ２
九、证明略． 分别证明左右两个不等式．
（ ）
十、证明略． 可用洛必达法则
（ ）
十一、 证明略．
（１）
æ ö
ç ０ ２ ０ ÷
Ａ ＝ － － ．
（２） çç １ １ ０ ÷÷
è － ø
０ ０ ２
十二、方程组的通解为ｋ － Ｔ ＋ Ｔ 其中ｋ为任意常数．
（１， ２， １， ０） （０， ３， ０， １） ，
７０参考答案
２００３ 年真题参考答案
一、填空题
ｎ
－ ． ｘ － ｙ ＝ ． （ｌｎ ２） ． １ ４π ａ － ． ． １ ．
（１） ４ （２） ０ （３） ｎ （４） ａ（ｅ １） （５） ３ （６）
！ ４ ２
二、选择题
（１） Ｄ． （２） Ｂ． （３） Ａ． （４） Ｃ． （５） Ｂ． （６） Ｄ．
三、ａ ＝ － 时 ｆ ｘ 在ｘ ＝ 处连续．ａ ＝ － 时 ｘ ＝ 是ｆ ｘ 的可去间断点．
１ ， （ ） ０ ２ ， ０ （ ）
四、ｄ
２ｙ
＝ － ｅ ．
ｘ２ ｘ＝ ＋ ２
ｄ ９ １６（１ ２ｌｎ ２）
五、（ ｘ － １）ｅ ａｒｃｔａｎ ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
，
＋ ｘ２
２ １
六、 ｙ″ － ｙ ＝ ｘ．
（１） ｓｉｎ
ｙ ｘ ＝ ｘ － －ｘ － １ ｘ．
（２） （ ） ｅ ｅ ｓｉｎ
２
七、当ｋ ＜ 时 两曲线无交点 当ｋ ＝ 时 两曲线只有一个交点 当ｋ ＞ 时 两曲线有两个交点．
４ ， ； ４ ， ； ４ ，
八、 曲线方程为ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ．
（１） ２ １
曲线弧长为 ２ｌ．
（２）
４
九、 ｔ ＝ φ２ ｙ － ．
（１） （ ） ４
ｘ ＝ πｙ．
（２） ２ｅ６
十、 证明略． 可证明ｆ ａ ＝ 以及ｆ ｘ ＞ ｆ ａ ．
（１） （ （ ） ０ （ ） （ ） ）
证明略． 可利用柯西中值定理．
（２） （ ）
证明略． 可利用拉格朗日中值定理．
（３） （ ）
æ ö æ ö
ç０ １ １ ÷ ç６ ÷
十一、ａ ＝
０，
Ｐ ＝
çç０ ２
－
２ ÷÷，
Ｐ－ １ＡＰ ＝
çç ６ ÷÷
．
è ø è － ø
１ ０ ０ ２
十二、证明略． 三条平面直线交于一点等价于联立三条直线方程所得二元一次线性方程组有唯一
（
解 可利用非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件．
， ）
７１历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
２００４ 年真题参考答案
一、填空题
． － ． π ． ． ｙ ＝ １ ｘ３ ＋ ｘ． １ ．
（１） ０ （２） （ ∞， １） （３） （４） ２ （５） （６）
２ ５ ９
二、选择题
（７） Ｂ． （８） Ｃ． （９） Ｂ． （１０） Ｃ． （１１） Ａ． （１２） Ｄ． （１３） Ｄ． （１４） Ａ．
三、解答题
－ １ ．
（１５）
６
ｆ ｘ ＝ ｋｘ ｘ ＋ ｘ ＋ ．
（１６） （Ⅰ） （ ） （ ２）（ ４）
当ｋ ＝ － １ 时 ｆ ｘ 在ｘ ＝ 处可导．
（Ⅱ） ， （ ） ０
２
证明略． ｆ ｘ ＋ ＝ ｘ＋３ ２π ｔ ｔ ｔ ＝ ｕ ＋ π ｘ＋π ２ ｕ ＋ ｕ ＝ ｘ＋π ２ ｕ ｕ
（１７） （Ⅰ） （ （ π） ∫ｘ＋ ｓｉｎ ｄ ∫ｘ ｓｉｎ（ π） ｄ ∫ｘ ｓｉｎ ｄ
π
＝ ｆ ｘ ．
（ ） ）
－ ．
（Ⅱ）［２ ２， ２］
Ｓ ｔ
（ ） ＝ ．
（１８） （Ⅰ） Ｖ ｔ ２
（ ）
．
（Ⅱ）１
证明略． 考虑函数φ ｘ ＝ ２ｘ － ４ ｘ 计算φ′ ｘ 并利用φ ｘ 的单调性．
（１９） （ （ ） ｌｎ ２ ， （ ）， （ ） ）
ｅ
． ．
（２０）１ ０５ ｋｍ
ｚ ｚ
＝ ｘｆ′＋ ｙ ｘｙｆ′ ＝ － ｙｆ′＋ ｘ ｘｙｆ′
（２１） ｘ ２ １ ｅ ２， ｙ ２ １ ｅ ２，
２ｚ
＝ － ｘｙｆ″ ＋ ｘ２ － ｙ２ ｘｙｆ″ ＋ ｘｙ ２ ｘｙｆ″ ＋ ｘｙ ＋ ｘｙ ｆ′．
ｘｙ ４ １１ ２（ ）ｅ １２ ｅ ２２ ｅ （１ ） ２
当ａ ＝ 时 方程组有非零解 其通解为 ｘ ＝ ｋ － Ｔ ＋ ｋ － Ｔ ＋
（２２） ０ ， ， １（ １， １， ０， ０） ２（ １， ０， １， ０）
ｋ － Ｔ 其中ｋ ｋ ｋ 为任意常数．
３（ １， ０， ０， １） ， １， ２， ３
当ａ ＝ － 时 方程组也有非零解 其通解为ｘ ＝ ｋ Ｔ 其中ｋ为任意常数．
１０ ， ， （１， ２， ３， ４） ，
当ａ ＝ － 和ａ ＝ － ２ 时 矩阵Ａ有二重特征值 当ａ ＝ － 时 Ａ可相似对角化 当ａ ＝ － ２
（２３） ２ ， ， ２ ， ，
３ ３
时 Ａ不可相似对角化．
，
７２参考答案
２００５ 年真题参考答案
一、填空题
ｘ ( )
－ ｘ． ｙ ＝ ｘ ＋ ３ ． π． ｙ ＝ ｘ － １ ． ３ ． ．
（１） πｄ （２） （３） （４） ｌｎ （５） （６） ２
２ ４ ３ ３ ４
二、选择题
（７） Ｃ． （８） Ａ． （９） Ａ． （１０） Ｄ． （１１） Ｂ． （１２） Ｄ． （１３） Ｂ． （１４） Ｃ．
三、解答题
１ ．
（１５）
２
所求曲线方程为ｘ ＝ ｙ ＋ １ － １ ．
（１６） ｌｎ ｙ
２ ２
．
（１７）２０
ｙ ＝ ｘ ＋ － ｘ２．
（１８） ２ １
证明略． 考虑函数ｇ ｘ ＝ ｆ ｘ ＋ ｘ － 可利用介值定理．
（１９） （Ⅰ） （ （ ） （ ） １， ）
证明略． 可利用拉格朗日中值定理．
（Ⅱ） （ ）
ｆ ｘ ｙ 在椭圆域Ｄ上的最大值为 最小值为 － ．
（２０） （ ， ） ３， ２
π － １ ．
（２１）
４ ３
ａ ＝ ．
（２２） １
当ｋ 时 ｘ ＝ ｋ Ｔ ＋ ｋ ｋ Ｔ 其中ｋ ｋ 为任意常数．当ｋ ＝ 时 若Ａ的
（２３） ≠９ ， １（１， ２， ３） ２（３， ６， ） ， １， ２ ９ ，
秩为 则通解为 ｘ ＝ ｋ Ｔ 其中 ｋ 为任意常数 若 Ａ 的秩为 则通解为 ｘ ＝
２， １（１， ２， ３） ， １ ； １，
ｋ － ｂ ａ Ｔ ＋ ｋ － ｃ ａ Ｔ 其中ｋ ｋ 为任意常数．
１（ ， ， ０） ２（ ， ０， ） ， １， ２
７３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
２００６ 年真题参考答案
一、填空题
ｙ ＝ １ ． １ ． １ ． ｙ ＝ Ｃｘ －ｘ 其中Ｃ为任意常数． － ． ．
（１） （２） （３） （４） ｅ ， （５） ｅ （６） ２
５ ３ ２
二、选择题
（７） Ａ． （８） Ｂ． （９） Ｃ． （１０） Ｄ． （１１） Ｃ． （１２） Ｄ． （１３） Ａ． （１４） Ｂ．
三、解答题
Ａ ＝ １ Ｂ ＝ － ２ Ｃ ＝ １ ．
（１５） ， ，
３ ３ ６
ｘ
－ ａｒｃｓｉｎ ｅ ＋ － － ２ ｘ － ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数．
（１６） ｘ ｌｎ（１ １ ｅ ） ，
ｅ
π ．
（１７） ｌｎ ２
２
证明略． 可利用数学归纳法证明 ｘ 单调下降且有界．
（１８） （Ⅰ） （ ｛ ｎ｝ ）
－１．
（Ⅱ）ｅ ６
证明略． 考虑函数ｆ ｘ ＝ ｘ ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ｘ 计算ｆ′ ｘ 证明ｆ ｘ 在
（１９） （ （ ） ｓｉｎ ２ｃｏｓ π ， ∈［０，π］， （ ）， （ ） ［０，π］
上单调增加．
）
证明略．
（２０） （Ⅰ）
ｆ ｕ ＝ ｕ．
（Ⅱ） （ ） ｌｎ
Ｌ是凸曲线．
（２１） （Ⅰ）
切点为 切线方程为ｙ ＝ ｘ ＋ ．
（Ⅱ） （２， ３）， １
７ ．
（Ⅲ）
３
证明略． 分别证明ｒ Ａ 和ｒ Ａ ．
（２２） （Ⅰ） （ （ ） ≥２ （ ） ≤２ ）
ａ ＝ ｂ ＝ － 通解为ｘ ＝ ｋ － Ｔ ＋ ｋ － Ｔ ＋ － Ｔ
（Ⅱ） ２， ３， １（ ２，１，１，０） ２（４， ５，０，１） （２， ３，０，０） ，
其中ｋ ｋ 为任意常数．
１， ２
Ａ的特征值为 对应于特征值 的全体特征向量为ｋ α ＋ｋ α 其中ｋ ｋ 为不全
（２３） （Ⅰ） ０，０，３， ０ １ １ ２ ２， １， ２
为零的任意常数 对应于特征值 的全体特征向量为ｋ Ｔ 其中ｋ 为任意非零常数．
， ３ ３（１，１，１） ， ３
æ ö
－ １ － １ １
ç ÷
ç ６ ２ ３÷ æ ö
ç ÷ ç０ ÷
（Ⅱ）
Ｑ ＝
ç
２
０
１
÷ ，
Λ ＝
çç ０ ÷÷，
Ｑ为正交矩阵
，
满足ＱＴＡＱ ＝ Λ．
ç ６ ３÷ è ø
çç ÷÷ ３
－ １ １ １
è ø
６ ２ ３
７４参考答案
２００７ 年真题参考答案
一、选择题
（１）Ｂ． （２）Ａ． （３）Ｃ． （４）Ｄ． （５）Ｄ． （６）Ｄ． （７）Ｃ． （８）Ｂ． （９）Ａ． （１０）Ｂ．
二、填空题
－ ｎ ｎｎ
－ １ ． ＋ ． （ １） ２ ！．
（１１） （１２）１ ２ （１３） ｎ＋ １
６ ３
ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ ３ ｘ － ２ ｘ 其中Ｃ Ｃ 为任意常数．
（１４） １ｅ ２ｅ ２ｅ ， １， ２
ｙ ｘ
－ ２ ｆ′＋ ２ ｆ′． ．
（１５） ｘ １ ｙ ２ （１６）１
三、解答题
[ ]
ｆ ｘ ＝ ｘ ＋ ｘ ｘ π ．
（１７） （ ） ｌｎ（ｓｉｎ ｃｏｓ ）， ∈ ０，
４
ａ２
Ｖ ＝ π ．
（１８） （Ⅰ） ａ ２
（ｌｎ ）
ａ ＝ 为Ｖ ａ 的最小值点 最小值为 ２．
（Ⅱ） ｅ （ ） ， πｅ
ｙ ＝ ２ ｘ３ ＋ １ ．
（１９） ２
３ ３
ｚ ２ｚ
ｄ ＝ ｄ ＝ ．
（２０） ｘ ｘ＝ ０， ｘ２ ｘ＝ １
ｄ ０ ｄ ０
证明略．
（２１）
１ ＋ ＋ ．
（２２） ４ ２ｌｎ（ ２ １）
３
当ａ ＝ 时 ｘ ＝ ｋ － Ｔ 其中ｋ为任意常数 是方程组 和 的公共解 当ａ ＝ 时
（２３） １ ， （１，０， １） ， ， ① ② ； ２ ，
ｘ ＝ － Ｔ 是方程组 和 的唯一公共解．
（０， １， １） ① ②
矩阵Ｂ的属于特征值 － 的特征向量为ｋ － Ｔ 其中ｋ 为任意非零常数 矩阵
（２４） （Ⅰ） ２ １（１， １，１） ， １ ；
Ｂ的属于特征值 的特征向量为ｋ Ｔ ＋ ｋ － Ｔ 其中ｋ ｋ 为不全为零的常
１ ２（１，１，０） ３（ １，０，１） ， ２， ３
数．
æ － ö
ç ０ １ １÷
Ｂ ＝ ．
（Ⅱ） çç １ ０ １ ÷÷
è－ ø
１ １ ０
７５历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
２００８ 年真题参考答案
一、选择题
（１）Ｄ． （２）Ｃ． （３）Ｄ． （４）Ａ． （５）Ｂ． （６）Ａ． （７）Ｃ． （８）Ｄ．
二、填空题
． ｘ － －ｘ ＋ Ｃ 其中Ｃ为任意常数． ｙ ＝ ｘ ＋ ． － － ．
（９）２ （１０） （ ｅ ）， （１１） １ （１２） （ １， ６）
２ － ． － ．
（１３） （ｌｎ ２ １） （１４） １
２
三、解答题
１ ．
（１５）
６
ｘ ｘ ＋ ．
（１６） ｅ （ １）
２
π ＋ １ ．
（１７）
１６ ４
１９ ＋ ．
（１８） ｌｎ ２
４
ｘ ＋ －ｘ
ｆ ｘ ＝ ｅ ｅ ｘ ＋ ．
（１９） （ ） ， ∈［０， ∞）
２
证明略．
（２０）
最大值
（２１） ７２，
最小值 ．
６
证明略．
（２２） （Ⅰ）
ｎ
ａ 时 方程组有唯一解 ｘ ＝ ．
（Ⅱ） ≠０ ， ， １ ｎ ＋ ａ
（ １）
ａ ＝ 时 方程组有无穷多解 通解为ｘ ＝ ｋ Ｔ ＋ Ｔ 其中ｋ
（Ⅲ） ０ ， ， （１，０， …，０） （０，１，０， …，０） ，
为任意常数．
证明略．
（２３） （Ⅰ）
æ－ ö
ç １ ０ ０÷
．
（Ⅱ）çç
０ １ １
÷÷
è ø
０ ０ １
７６
