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六年级数学·上 新课标[人教]
第 5 单元 圆
本单元的主要教学内容包括:圆的认识、圆的周长、圆的面积和扇形。学生已经学习了
长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积的计算公式,知道运用转化的方法得出平
行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。本单元内容是在学生已经学习了直线图形的认
识和面积计算以及圆的初步认识的基础上进行教学的。教材通过对圆的研究,使学生初步认
识到研究曲线图形的基本方法,同时,也渗透了曲线图形与直线图形的关系。学生在前面的
学习中,学会了运用折、剪、画、量、算等方法研究图形,在学习方法上有了一定的积累。
本单元通过大量的实践活动,让学生认识圆的基本特征和对称性,研究圆的周长与直径的比
值(圆周率),运用转化的思想研究圆的面积,利用圆来引入扇形。让学生在经历尝试、探究、
分析的过程中,感受学习与生活的联系,提高解决问题的能力。
1.通过实践活动认识圆,学会用圆规画圆,了解圆的各部分的名称,掌握圆的基本特征。
2.使学生会利用直尺和圆规,在教师指导下设计与圆有关的图案。
3.学生通过实践操作,理解圆周率、圆的面积的意义,理解和掌握圆的周长、面积的计
算公式及圆环的面积的计算公式,并能解决一些相应的实际问题。
4.使学生认识扇形,掌握扇形的一些基本特征。
学生经历推导圆的周长与面积的计算公式的过程,体会和掌握转化的数学思想。
1.引导学生探索并掌握圆的周长和面积的计算公式,并能解决一些简单的实际问题。
2.使学生经历尝试、探究、分析、反思等过程,积累数学活动经验,在解决一些与圆有
关的数学问题的过程中,提高解决问题的能力。六年级数学·上 新课标[人教]
1.通过生活实例、数学史料,感受数学之美,了解数学文化,提高学习兴趣。
2.培养学生自主探索能力,养成独立思考的好习惯。
【重点】
1.了解圆的各部分的名称,掌握圆的基本特征。
2.理解和掌握圆的周长、面积的计算公式、圆环的面积的计算公式,并能解决一些相应
的实际问题。
3.认识扇形。
【难点】
1.理解圆的周长的计算公式的推导过程
2.理解圆的面积的计算公式的推导过程。
3.理解圆环的面积的计算公式的推导过程。
1.合理利用生活素材,体会数学与生活的紧密联系
圆是日常生活中常见的图形,在教学中要根据教学内容创设教学情景,引发学生的研究,
成为促进学生思考、加深学生感悟的有效载体。而研究得到的结论可以应用到生活中,培养
学生灵活应用知识的能力。
2.重视学生对学具的操作、实验,引导学生经历亲身活动过程,建立知识表象,形成知识
技能
教师要组织学生更多地进行教材里安排的操作活动,融入自己设计的活动,通过折一折、
画一画、剪一剪、围一围、拼一拼等多种形式,帮助学生认识圆的特征,探索圆的周长和面
积的计算公式。要让学生不仅掌握了知识和技能,更能体会到操作活动的价值,积累活动的
经验。
3.教学中沟通知识与生活之间的联系,激发学生的学习兴趣,培养学生的探究意识和创
新精神,发展学生的空间观念
不仅是教学前的情景要贴近学生的生活,在应用所学到的知识解决问题时,所选取的问
题情景也要贴近学生的生活。六年级数学·上 新课标[人教]
1 圆的认识
教材P57~59及练习十三第1~3题。
本课时的内容很多,包括用多种方法画圆,并利用圆规画圆的方法认识圆心、半径和直
径、半径和直径的关系、圆心和半径对确定圆的位置和大小的作用以及用圆进行图案的设
计等。教材从生活情景入手,通过各种操作活动,让学生在活动中掌握知识。
1.通过实践活动认识圆,学会用圆规画圆,知道圆的各部分名称。
2.使学生掌握圆的特征,理解和掌握在同一个圆里半径和直径的关系。
3.用圆设计图案的过程中,经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解
研究几何图形的各种方法,加深对圆的特征的认识。
4.在画图的过程中提高画圆的技能,发展学生的观察能力与操作能力。
5.经历操作、观察、思考、探索等活动,提升动手实践能力,发展空间观念。六年级数学·上 新课标[人教]
【重点】
1.理解和掌握圆的特征,学会用圆规画圆的方法。
2.利用圆设计图案,体会圆的对称性,进一步加深对圆的特征的认识。
【难点】
1.理解圆上的概念,归纳圆的特征。
2.确定圆心与半径。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 圆规、尺、圆纸片、白纸
方法一
师:同学们,老师手里拿的是什么?(出示一张圆形纸片)
预设 生:圆片。
师:同学们对圆一定不会感到陌生,说一说生活中哪里有圆。(指名学生回答)
预设 生1:硬币的面。
生2:茶杯口。
生3:车轮。
……
师:生活中到处都有圆,让我们一起来欣赏一下吧!(课件出示生活中的圆)
师:今天,我们一起走进圆的世界,去探索圆的奥秘。(板书课题:圆的认识)
[设计意图] 由学生找出生活中的圆,加深对圆感官上的认识。再出示主题图,拓展学
生的视野,给学生提供更多的直观认识。
方法二
师:我们认识的平面图形有哪些?
预设 生:有三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形……
师:有一个图形与这些图形有很大的不同,是什么呢?
预设 生:圆,因为它不是由线段围成的。
师:你了解圆的哪些知识?
预设 生:生活中有很多与圆形有关的物体,但具体的不太了解。六年级数学·上 新课标[人教]
师:你想知道与圆有关的什么知识?
预设 生1:我想知道怎样画圆。
生2:我想知道如何求出圆的周长。
生3:我想知道如何求出圆的面积。
……
师:你们想了解的知识还真不少呢。今天,我们就从最简单、最基本的知识开始。(板书:
圆的认识)
[设计意图] 《数学课程标准》明确指出:数学教学,要紧密联系学生的生活实际,从学
生的生活经验和已有知识出发,创设生动有趣的情景。通过从学生已有的知识出发,引入新
的学习内容,符合学生的认知规律。从已认识的平面图形引入圆,一是回忆旧知识,为知识的
迁移做好准备,二是加深对圆的表象认识。
方法三
(课件出示图片)
师:漂亮吗?观察一下它们都是由什么图形构成的,是使用什么工具画出来的呢?
预设 生1:好漂亮的图案,是怎么画出来的?
生2:这是由许多的圆组成的吧。
[设计意图] 展示由多个圆组成的美丽图案,吸引学生的求知欲望,培养审美意识,并且
这是本课中的一个内容,为后续学习埋下伏笔。
一、认识圆
1.画圆。
(1)用生活中的物体画圆。
师:你能用生活中的物体画一个圆吗?六年级数学·上 新课标[人教]
组织学生用硬币、瓶盖、杯盖、带圆孔的尺画圆。
师:你对这样的画圆方法有什么想法?
预设 生1:画的圆不太标准,
生2:大小受到限制。
……
(2)用圆规画圆。
师:俗话说“没有规矩,不成方圆”,是说没有圆规,是画不出圆的。认识一下“圆规”。
(介绍圆规)
师:它是常用的画圆工具。由两只脚组成,一只脚上有针尖,一只脚上装的是铅笔芯。两
只脚可以任意地张开合拢。
师:试着用圆规画一个圆。
师:想一想圆规为什么能够画圆,它有什么特点?用圆规画圆有什么优点?
展示交流,归纳画圆的方法。
分别展示画的成功的和不成功的作品,分析没有画成功的原因。
预设 生1:可能是移动了有针尖的那只脚。
生2:可能是随意地变动了两只脚之间的张开度。
……
师:画圆时,圆规两脚间的距离不能改变,有针尖的一脚不能移动,旋转时要把重心放在
有针尖的一脚。
师:掌握方法后,我们再画几个圆,看看是不是漂亮一些了。
2.认识圆的各部分名称。
(1)教师用圆规在黑板上演示画一个圆。
学生观察老师画圆,并注意画圆的每一个细节。
(2)介绍圆的各部分名称,并用字母表示出来。
师:用圆规画圆时,针尖所在的点叫做圆心,一般用字母O表示。连接圆心和圆上任意一
点的线段叫做半径,一般用字母r表示,半径的长度就是圆规两脚之间的距离。通过圆心并
且两端都在圆上的线段叫做直径,一般用字母d表示。
师:请你画出一个圆,并标出它的圆心、半径和直径。
学生操作,教师巡视。
(3)师:在同样的一张作业纸上,你有办法让你和你的小组同学所画圆的大小一样,且画
在同一个地方吗?
小组讨论,说说怎么办,然后画一画。六年级数学·上 新课标[人教]
汇报交流。
预设 生:首先我们要把圆心画在同一个地方,然后使圆规两只脚张开的大小一样,最后
就能画出位置相同且大小一样的圆了。
师:那么说明圆心决定圆的什么?半径决定圆的什么?
预设 生:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。(板书)
3.同一个圆内,半径与直径的特征。
师:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。请同学们在自己的纸上画一个半径是2 cm
的圆,并剪下来,用字母标出圆的各部分名称。沿着直径折一折、量一量,你有什么发现?
学生活动。(课件出示)
思考1:在同一个圆里可以画出多少条半径?所有半径的长度有什么关系?
思考2:在同一个圆里可以画出多少条直径?所有直径的长度有什么关系?
汇报交流。
预设 生1:我画的这个圆的半径是2 cm,我画了5条,都是同样长。我知道,有无数条半
径,所有的半径都相等。
生2:我量了一下我画的3条直径,它们的长度也都相等。
生3:一个圆里有无数条直径,所有的直径都相等。
生4:我还发现,一条直径是由两条半径组成的,所以直径的长度是半径的2倍。
师:你们的探究结论真的很伟大,我们重新归纳一下。(板书)
①在同一个圆内有无数条半径,所有半径的长度都相等。
②在同一个圆内有无数条直径,所有直径的长度都相等。
③同一个圆内,直径的长度是半径的2倍。
师:如何用字母表示直径和半径的这种关系?
预设 生:d=2r。
师:反过来,半径是直径的多少?怎样用字母表示?
d
预设 生:半径是直径的一半,r= 。
2
1
师:在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径长度的是直径的 。(板书)
2
d
用字母表示为:d=2r,r= 。(板书)
2
4.知识巩固。
教材第58页“做一做”第1题。
(1)学生读题,理解题意。六年级数学·上 新课标[人教]
(2)小组讨论,交流方法。
方法:①利用圆的特征——直径是圆里面最长的线段,用直尺量出几条圆内最长的线段,
它们的交点就是圆心。
②剪下圆,把它对折几次,折痕所在的交点就是圆的圆心。
二、用圆设计图案
1.师:用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来
的。
(课件出示图)
2.尝试画图。
(1)观察上面的图,说说这个图形是利用什么设计出来的。
(2)思考:图中四个“花瓣”是怎样得出来的?
小组交流讨论。
(3)尝试画图。
同学们拿出圆规和尺子在草稿纸上试一试。
(4)展示学生的作品。
教师选择一些画图出现错误的作品,利用投影展示,引导学生分析错误原因。
3.探究画法。
(1)师:在画圆时,怎样确定不同圆的大小呢?
预设 生:量出半径的长度,把圆规两脚间的距离定为半径的长度。
(2)师:如何在圆内画一个最大的正方形呢?
预设 生:可以以圆心为交点,画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交,所形
成的4个交点,就是正方形的4个顶点,顺次连接4个交点,即可得到圆内最大的正方形。六年级数学·上 新课标[人教]
(3)师:如何确定圆内其他圆的圆心的位置呢?
预设 生:找到正方形各边的中点,也就找到了圆心的位置。
(4)师:请同学们根据步骤,再一次画出图案。
(课件展示分解图)
(5)投影展示优秀的学生作品。
4.知识巩固。
(课件展示教材第59页下面的图案。)
(1)师:漂亮吗?你能画出来吗?
(2)小组先交流画法,再独立画图。教师在学生画图的过程中巡视,发现问题立即给予帮
助。
(3)集体交流,投影展示学生作品。六年级数学·上 新课标[人教]
[设计意图] 学生小组合作、交流,能提升辨别能力,并完善画图方法。由学生尝试画
图,增强学生的探究欲望和作图能力。
教材第60页练习十三第2题。
(1)观察题目,理解题意。
(2)指名说一说同一个圆内,半径与直径的关系。
(3)独立完成,集体订正。
【参考答案】 2.d=6 cm r=3 cm d=10 cm r=3.5 cm
师:通过这节课了解了圆的哪些知识?
预设 生1:认识了圆的圆心、半径、直径。
生2:通常圆心用O,半径用r,直径用d来表示。
1
生3:d=2r或r= d。
2
生4:用圆可以设计很多美丽的图案。
生5:我会在圆里画一个最大的正方形。
作业1
教材第61页练习十三第6,7,8,9题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)
(1)两端都在圆上的线段,( )最长。
(2)从圆心到圆上任意一点的线段都( )。
(3)经过一点可以画( )个圆。
(4)圆心决定圆的( ),半径决定圆的( )。
(5)半径一般用字母( )表示,
直径一般用字母( )表示,
圆心一般用字母( )表示。
2.(基础题)填表。六年级数学·上 新课标[人教]
半径
20 cm 0.8 m
(r)
直径
8 dm 100 cm
(d)
3.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)在同一个圆中,直径是半径的2倍。 ( )
(2)通过圆心的线段一定是直径。 ( )
(3)一个圆的直径是4 cm,它的半径就是2 cm。 ( )
(4)所有的圆的半径都相等。 ( )
(5)将圆对折,打开后,折痕一定通过圆心。( )
(6)一个圆有无数条半径,有无数条直径。 ( )
(7)画圆时,圆规两脚之间的距离等于半径的长。 ( )
【提升培优】
4.(重点题)如下图所示,大圆的直径是6 cm,两个小圆的半径分别是多少?
【思维创新】
5.(探究题)你知道自行车的车轴为什么要装在轮子的圆心处吗?
【参考答案】
作业1:6.等腰三角形(1条) 长方形(2条) 正方形(4条) 等边三角形(3条) 圆(无数
条)等
7.六年级数学·上 新课标[人教]
8.
9.直径:18÷3=6(cm),同时也是长方形的宽 长方形的周长:(18+6)×2=48(cm)
作业2:1.(1)直径 (2)相等 (3)无数 (4)位置 大小 (5)r d O 2.4 dm 50 cm
40 cm 1.6 m 3.(1)√ (2)✕ (3)√ (4)✕ (5)√ (6)√ (7)√
4.6÷2÷2=1.5(cm) 5.车轴装在圆心,行驶时车轮胎上各点到车轴的距离都相等,这样才不
会颠簸。
圆的认识
在同一个圆内有无数条半径,所有半径的长度都相等。
在同一个圆内有无数条直径,所有直径的长度都相等。
1
在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的 ,即:
2
d
d=2r或r=
2六年级数学·上 新课标[人教]
圆的认识是在学生直观认识圆和已经比较系统地认识了平面直线图形的基础上进行教
学的,在教学中充分联系生活实际,让学生找出日常生活中与圆形有关的物体,并通过观察、
操作、讨论,使学生认识圆,掌握圆的画法、圆各部分的名称及圆的特征。
内容稍微有点多,致使没有完成。
减少前面的推导过程。
【做一做·58页】
1.(1)可以将圆形剪下,并且对折,使两个半圆完全重叠,这时圆中出现一条折痕,然后换一个
角度,用同样的方法得到另一条折痕,两条折痕的交点就是圆心。
(2)如图所示,先在圆上任取三点A,B,C,然后连接AB,AC,并且用尺找出AB,AC的中点D,E,最
后分别过D,E作AB,AC的垂线,两条垂线的交点O就是圆心。
【练习十三·60页】
2.d=6 cm r=3 cm d=10 cm r=3.5 cm 4.先固定一点,然后以此为圆心,长为5 m的绳子
绕此点旋转一周即可画出。 5.如下表所示。
r 0.24 0.43 1.42 0.52 2.6
d 0.48 0.86 2.84 1.04 5.2
6.等腰三角形(1条) 长方形(2条) 正方形(4条) 等边三角形(3条) 圆(无数条)等
7.六年级数学·上 新课标[人教]
8.
9.直径:18÷3=6(cm),同时也是长方形的宽 长方形的周长:(18+6)×2=48(cm)
为什么下水井的盖子是圆形的?
[名师点拨] 圆形井盖边缘到圆心的距离处处相等,无论怎样翻转,井盖都不会掉到井
中。方形的任何一边都比其对角线短,一旦井盖翻转,就可能掉到井中。
[解答] 井盖做成圆形会更安全。
【知识拓展】 在同圆或等圆中,半径扩大为原来的几倍,直径也扩大为原来的几倍;半
径缩小为原来的几分之几,直径也缩小为原来的几分之几。
欣赏图案六年级数学·上 新课标[人教]
圆的来历
2000多年前,墨子给出了圆的概念:一中同长也。意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆上
的任意一点的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义的时间要早100年。
2 圆的周长
教材P62~64及练习十四第1~4题。六年级数学·上 新课标[人教]
本课时内容包括探究圆的周长和直径之间的关系、圆周率的意义、圆的周长的计算公
式等。在解决生活实际问题“分别需要多长的铁皮”时,由于学生在三年级学习周长时,能
找到多种方法测量物体的周长,因此运用知识迁移,也很容易解决。
1.使学生理解圆的周长的概念,自主探索圆的周长与直径的倍数关系,知道圆周率的意
义,理解并掌握圆的周长的计算公式。
2.使学生经历操作、探究、猜想等学习活动,体验转化、归纳的数学思想,提升数学思
维的水平,感受数学文化的魅力。
3.结合圆周率的学习,对学生进行爱国主义教育。
【重点】
理解圆周率的意义、圆的周长的计算公式的推导过程并能运用圆的周长的计算公式进
行计算。
【难点】
深入理解圆周率的意义。
【教师准备】 PPT、实物展台
【学生准备】 圆规、尺、直径分别为整厘米数的圆形纸片若干个、下面的表格每组
一张
周长
的比值
直径
物品名称 周长 直径
(保留两位小数)
方法一六年级数学·上 新课标[人教]
师:老师准备组织一场跑步比赛,现有两条跑道(课件出示),圆形跑道的直径与正方形跑
道的边长相等,两个人各选一条跑道,以同样的进度,看谁先跑完一圈。如果让你先选,你会
选择哪条跑道?
指名回答,说一说为什么这样选择。
预设 生1:我会选择正方形。
生2:我会选择圆形,我感觉是这样。
生3:我认为先要算出周长,然后才能比较长短。
生4:比较这两条跑道的长短,也就是比较正方形和圆的周长。
师:究竟哪一条跑道长,口说无凭,我们必须计算出它们的周长,才能进行比较。这节课
我们一起研究圆的周长的计算。(板书课题:圆的周长)
(课件出示情景图)
师:你能想出什么办法来得出圆桌和菜板需要多长的铁皮?
预设 生1:可以拿卷尺或皮尺直接绕一圈量,量出长度。
生2:可以拿线在圆桌和菜板上绕一圈,再分别量出线的长度。
[设计意图] 由两个不同的图形“正方形”和“圆”的周长无法比较,引出圆的周长计
算的必要性,问题情景更能激发学习的积极性。
方法二
(课件出示情景图)
师:你从图中知道了什么?六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生:爸爸要给圆桌和菜板的边缘箍上一圈铁皮。要解决的问题是分别需要多长的
铁皮。
师:实际上是解决什么问题?
预设 生:绕一圈,就是求周长。
师:今天我们就来学习圆的周长。(板书课题)
[设计意图] 由教材中的情景图引入新知识的学习,使学生明白数学与生活的联系,更
能体会数学知识的重要性。
方法三
师:昨天我们认识了圆,你还记得学习了圆的哪些知识吗?
预设 生1:圆各部分的名称。
生2:圆的特点。
……
师:今天我们来研究“圆的周长”。(板书课题)
[设计意图] 由圆的相关知识引入进一步的学习内容,展现知识的连续性和知识之间的
融会贯通。
一、圆的周长的意义
师:首先我们要理解什么是圆的周长?
预设 生1:就是这个曲线的长度。
生2:围成圆的曲线的长度。
生3:就是绕圆一周的长度。
二、测量圆的周长
1.师:下面,老师要请各小组利用手中的测量工具,互相合作,动手测量圆的周长。测量
完后,相互交流一下,有几种方法?(学生讨论,动手测量)
2.全班交流方法。
各小组派一个代表说一说你们小组是怎样测量出圆的周长的?
3.学生汇报。
4.根据学生回答,教师演示各种方法。
①绳测法六年级数学·上 新课标[人教]
②滚动法
总结:这两种方法都是将曲线转化成直线。
5.创设冲突,体会测量的局限性。
师:在刚才的操作中,我们用绳测、滚动的方法都能测量出圆的周长,但测出的周长准不
准确?是不是所有的圆都能用这两种方法测量出它的周长?
预设 生:测量不准确。不是所有的圆都能用这两种方法测量出它的周长。
三、探索圆周长与直径的关系
1.师:还记得正方形的周长与边长有什么关系吗?
预设 生:正方形的周长是边长的4倍。
2.圆的周长与它的直径长短有关。(课件演示)
师:请同学们看屏幕,认真观察比较一下,想一想,圆的周长跟什么有关系?
预设 生1:圆的直径越长,它的周长就越长。这说明圆的周长和直径有关系。
生2:圆的半径越长,它的周长就越长。这说明圆的周长和半径有关系。
师:一个圆的直径等于半径的2倍,所以可以统一看成周长和直径有关系。
3.学生测量出圆的周长,并计算周长和直径的比值。(课件出示)
师:圆的周长跟直径究竟有什么关系?圆的周长跟直径是否也像正方形的周长与边长一
样存在着倍数关系呢?下面我们来做个实验。拿出课前准备的圆形纸片,小组分工合作,用你
喜欢的方法测量出圆的周长和直径,并计算出周长和直径的比值,得数保留两位小数。
(课件出示)
周长
的比值
直径
物品名称 周长 直径
(保留两位小
数)六年级数学·上 新课标[人教]
4.观察发现。
师:请同学上台用投影展示自己的表格。说一说从这些测量、计算的数据中你发现了什
么?周长与直径的比值有什么特点?
预设 生:圆的周长总是它的直径的3倍多一些。
三、认识圆周率,介绍祖冲之
1.介绍圆周率。
师:圆的周长与直径的比值是一个固定的数字,我们把它叫做圆周率,用字母π表示。
它是一个无限不循环小数,π=3.1415926535……但在实际应用中一般取它的近似值,保留两
位小数:π≈3.14。(板书)
2.课件展示教材第63页下面方框里的内容。
师:看完这段资料,你有何感想?
预设 生1:祖冲之很伟大!
生2:中国古代人民很有智慧。
……
3.圆的周长公式的推导。
(1)师:通过刚才的实验,圆周率是怎样得出来的呢?
预设 生:圆周率(π)=圆的周长÷直径。
(2)师:把此关系式转换,说出另外的关系式。(板书)
预设 生1:圆周长=圆周率×直径。(板书)
生2:直径=圆的周长÷圆周率。(板书)
师:如果用字母C表示圆的周长,d表示圆的直径,那么圆的周长公式用字母怎样表示?
预设 生:C=πd。(板书)
师:用字母表示出求直径的公式。
预设 生:d=C÷π。(板书)
师:如果知道圆的半径,怎样求圆的周长?
预设 生1:C=πd,d=2r。
生2:C=2πr。
师:我们一般习惯说成C=2πr。(板书)
4.圆周长公式的应用。
(课件出示教材第64页例1)六年级数学·上 新课标[人教]
这辆自行车轮子转1圈,大约可以走多远?(结果保留整米数。)小明家离学校1 km,骑车
从家到学校,轮子大约转了多少圈?
师:我们能够把所学的知识运用到生活中去解决实际的问题。你能解决这道题吗?
学生尝试解答。
教师巡视指导。
指名学生到黑板上计算。
集体订正,教师强调格式的规范性。
师:我们在计算前会先写出公式,再利用公式进行计算。
1.教材第64页“做一做”第1,2题。
(1)第1题。
指定3位同学到黑板上计算,其他同学独立完成,集体订正。
(2)第2题。
学生读题,理解题意,说一说已知什么,求什么?小组交流解题思路,再独立完成,集体订
正。
2.教材第65页练习十四第1题。
学生独立完成,集体订正。
【参考答案】 1.(教材第64页“做一做”)1.18.84 cm 18.84 cm 31.4 cm 2.1.5
m 2.(教材第65页练习十四)1.31.4 m
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:知道了圆周率用字母π来表示,它是圆的周长与它的直径的比值,它是一个
无限不循环小数,通常取3.14。
生2:我知道了圆的周长公式:C=πd。
生3:知道周长,也可以求出它的直径:d=C÷π。
生4:知道半径,求它的周长:C=2πr。
师:你能知道哪条跑道长了吗?六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生:正方形的跑道长一些。因为正方形的周长=边长×4,圆的周长=直径
×3.14(π)。
作业1
教材第65页练习十四第2,3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填表。
圆的半径(r) 2.5 cm
圆的直径(d) 10 dm
圆的周长(C) 12.56 m
2.(易错题)看一看,选一选。
(1)甲圆的半径是乙圆的3倍,甲圆的周长是乙圆的( )倍。
A.3 B.6 C.9
(2)小圆的圆周率( )大圆的圆周率。
A.小于 B.大于 C.等于
(3)直径是10 cm的圆,它的周长是( )。
A.3.14 cm B.15.7 cm C.31.4 cm
【提升培优】
3.(重点题)求下列各圆的周长
(1)
(2)
4.(重点题)一个摩天轮的直径是20 m,坐着它转动2周,大约在空中转过多少米?
5.(重点题)一个圆形水池的周长是37.68米,它的直径是多少?
6.(探究题)一个圆形桌面的周长是25.12分米,这张桌面的直径是多少分米?
【思维创新】六年级数学·上 新课标[人教]
7.(竞赛题)甲、乙两只蚂蚁分别沿如下图所示的圆和正方形各爬一周,谁爬的路程长?为什
么?
【参考答案】
作业1:2.55×12×3.14=2072.4(cm) 2072.4 cm=20.724 m 3.3.77÷3.14≈1.2(m)
30 45
4.2×20×3.14× =62.8(cm) 2×20×3.14× =94.2(cm)
60 60
作业2:1.(从上往下,从左往右)5 cm 15.7 cm 5 dm 31.4 dm 2 m 4 m 2.(1)A
(2)C (3)C
3.(1)2×3.14×20=125.6(cm) (2)3.14×16=50.24(dm) 4.20×3.14×2=125.6(m)
5.37.68÷3.14=12(米) 6.25.12÷3.14=8(分米) 7.乙爬的路程长 因为3.14×6<6×4六年级数学·上 新课标[人教]
本节课主要采取自主探究、合作学习的方法,在学生掌握基本知识的同时,促进他们的
学习方法的养成,培养他们的数学素养,其主要为合作学习,让学生学会分析、学会分工、学
会分享。
引导过程中,语言不够精炼。
再教这个内容时,引导语言要精练准确,要多给学生发言的机会。
【做一做·64页】
1.2×3.14×3=18.84(cm) 3.14×6=18.84(cm) 2×3.14×5=31.4(cm)
2.4.71÷3.14=1.5(m)
【练习十四·65页】
1.2×3.14×5=31.4(m) 2.12×55=660(cm) 3.14×660=2072.4(cm) 2072.4 cm=20.724
1 3
m 3.3.77÷3.14≈1.2(m) 4.2×3.14×20× =62.8(cm) 2×3.14×20× =94.2(cm)
2 4
5.2×3.14×15×3=282.6(m) 2×3.14×15÷2≈47(根) 6.3.14×40=125.6(cm) 50.24
m=5024 cm 5024÷125.6=40(周) 7.(1)16 12.56
1
(2)9.42 21 8.100÷4÷2=12.5(cm) 9.50×4+50×3.14× =278.5(cm) 278.5
2
cm=2.785 m 10.2×3.14×5÷2+5×3.14=31.4(cm)
11.3.14×7+7×2=35.98(cm) 3.14×7+7×4=49.98(cm) 3.14×7+7×2×4=77.98(cm)
圆上的二分之一周长或四分之一周长,合在一起为一个圆的周长,再分别加上2个、4个或8
个直径即为绳子的长度。
一个圆形花坛的周长是18.84 dm,它的直径和半径分别是多少?
[名师点拨] 由公式C=πd可得d=C÷π,由公式C=2πr可得r=C÷π÷2。可根据公式
直接求出直径和半径。也可以设直径为x dm,半径为y dm,根据公式列方程解答。六年级数学·上 新课标[人教]
[解法1] 直径:18.84÷3.14=6(dm),
半径:18.84÷3.14÷2=3(dm)。
答:这个圆形花坛的直径是6 dm,半径是3 dm。
[解法2] 设直径为x dm,半径为y dm。
3.14x=18.84,x=6。
2×3.14×y=18.84,6.28y=18.84,y=3。
答:这个圆形花坛的直径是6 dm,半径是3 dm。
【知识拓展】 圆的半径的比等于直径的比,也等于它们周长的比。
圆周率
约2000年前,我国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法,意思是说
圆的周长约是它的直径的3倍。
早在一千七百多年前,我国古代数学家刘徽曾用割圆术求出圆周率是3.141024。继刘徽
之后,我国古代数学家祖冲之在推求圆周率的研究方面又有了重要发展。他计算的
结果共得到了两个数:一个数为3.1415927,另一个数为3.1415926。圆周率的值正好在
22
这两个数之间。祖冲之采用了两个分数值:一个是 (约等于3.14),称为“约率”,另一个
7
355
是 (约等于3.1415929),称为“密率”。祖冲之求得的密率,比外国数学家求得这个值
113
大约要早一千年。
π的故事
你想记住圆周率的小数点后22位的数字吗?通过下面这个故事,你就能记住。
从前有一位很有学问而且记忆力很强的教书先生喜欢饮酒,常常跑到山上的寺庙里找和
尚一起对饮,一边喝酒一边谈天说地。
一次,和尚想考考这位先生的学问和记忆力,就要这位先生背诵一遍圆周率,背到小数点
后22位,然后对先生说:“我再念上三遍,你如果能马上背出来,我愿意罚酒三十杯。”圆周
率的小数点后面的数字无穷无尽而且排列得毫无规律,一般人是不容易背出来的,何况和尚六年级数学·上 新课标[人教]
只念三遍。但是,这位聪明的先生想出了一个高招,很快就背出来了。原来,他根据读音相近
的特点,听和尚念第二遍时,就编了一首歌谣:“山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀
尔,杀不死,乐尔乐。”这样,当和尚念第三遍时,他很快就说出了这一长串复杂的数字。这
个和尚听了,惊奇得连连赞叹先生记忆超人,确实非凡,只好连饮三十杯酒以践诺言。
3.1415926535897932384626谐音:山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,
乐尔乐。
3 圆的面积
本节的内容包括圆的面积的认识、面积公式的推导及应用、圆环的面积和解决实际问
题等。教材从解决实际问题出发,引导学生利用转化的方法把圆转化为长方形来计算其面积。
这样的转化过程能够让学生深刻体会到“化曲为直”的转化思想和“无限逼近”的极限思
想。在计算圆环的面积时,直接运用类推的思想,由圆的面积迁移而来。教材在解决实际问
题的设计中,采用了很多典型的生活素材,让学生充分感受所学知识的价值,体会数学与生活
的紧密联系。
1.理解圆的面积和圆环的意义。
2.经历圆的面积的推导过程,理解圆的面积公式,掌握圆和圆环的面积计算公式,能运用
公式解决实际问题。
3.通过圆的面积的推导过程,体验“化曲为直”的转化思想和“无限逼近”的极限思想,
培养学生的动手操作、自主探索的能力。
4.能灵活运用知识解决“外方内圆”和“外圆内方”等生活实际问题。
【重点】
理解和掌握圆及圆环的面积公式,能应用公式解决实际问题。
【难点】六年级数学·上 新课标[人教]
理解圆的面积公式的推导过程。
第 课时 圆的面积
1.使学生理解圆的面积的含义,理解圆的面积的计算公式的推导过程,掌握圆的面积的
计算公式。
2.培养学生动手操作、抽象概括的能力,运用所学知识解决简单实际问题。
3.通过猜测、操作、验证、讨论等活动,使学生进一步体会转化的数学思想。
【重点】
圆的面积的计算公式的推导过程以及公式的应用。
【难点】
利用转化的思想推导出圆的面积的计算公式。
【教师准备】 PPT课件、实物展台、把圆分成16等份和32等份的模型
【学生准备】 圆规、圆形纸片、把圆分成16等份和32等份的模型
方法一
师:什么是面积?
预设 生:一个图形所占平面的大小就是它的面积。
师:我们学习了哪些平面图形的面积公式?分别是什么?
预设 生1:长方形的面积等于长乘宽,正方形的面积等于边长的平方。
生2:三角形的面积等于底乘高除以2。
生3:平行四边形的面积等于底乘高。梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2。
师:看来同学们学得不错。这段时间,老师所住的小区进行环境美化,工人叔叔正在植草
皮。看看图,你能收集到哪些信息?(课件出示)六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生1:这是一个圆形草坪。
生2:每平方米的草皮8元。
生3:这个圆形草坪的面积是多少?
师:这个圆形的草坪的面积是多少呢?如何求一个圆的面积?今天我们一起来探索圆的面
积计算方法。(板书课题)
[设计意图] 先复习面积的意义、各种平面图形的面积公式,为圆的面积的意义及计算
公式的推导做好铺垫。圆的面积公式的推导是难点,它要运用转化和类推的思想方法,这里
的复习能给学生提示,减小思维的难度。
方法二
师:同学们,我们已经学习了圆的哪些相关知识?
预设 生1:认识了圆的各部分名称及圆的特征。
生2:知道了圆的周长计算公式是C=πd,会应用公式解决问题。
……
师:这一节课我们就一起来研究怎样计算圆的面积。(板书课题:圆的面积)
[设计意图] 由同类知识顺势引出学习内容,让学生体会到知识的连续性和关联性,并
且能把圆的周长公式的推导中运用到的“化曲为直”的思想迁移到圆的面积公式的推导中
来。
一、圆面积的含义
1.师:同学们,我们来进行一个小比赛,以同桌两人为比赛的小组。每个人挑选一张圆形
纸片,同桌两人所选的要是大小不同的圆形纸片。
师:比赛要求是用彩笔涂出你所挑选的圆片的面积,比赛开始!
2.学生涂色。
师:说说比赛的结果,和你赢(或输)的原因。
预设 生1:我输了,因为我拿的圆比他的大,所以涂色的面积就大些。
生2:我赢了,因为我拿的圆面积小一些。六年级数学·上 新课标[人教]
……
师:圆的面积是指什么?它的大小和什么有关呢?你们考虑这个问题没有?
预设 生1:圆的面积是指圆所占平面的大小。它有大有小。(板书)
生2:我想圆的面积和它的直径有关。
生3:我想圆的面积应该和它的半径有关,半径越大,面积越大。
……
[设计意图] 用涂色比赛的方式,在活动中让学生感受圆的面积的意义、圆的面积的大
小与圆的半径有关等,为概念的形成提供切身体会。比赛的方式,会让学生学习的积极性更
高。
二、回顾旧知,渗透转化思想
1.小组讨论:平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是怎样推导出来的?
2.汇报交流。
(根据学生汇报课件演示,教师讲解)
师:这些图形的面积公式的推导过程有什么共同点?
预设 生:都要把图形转化为已经学过的图形来推导。
师:我们学习一种新图形的面积时,通常都要运用拼、凑、割、补的方法,把它转化成已
经学过的图形,再根据两者之间的关系,推导出新图形的面积公式。那么是否也可以把圆转
化成一个已学过的图形来推导圆面积的计算公式呢?六年级数学·上 新课标[人教]
[设计意图] 巩固旧知识的理解和掌握,为后续圆的面积的推导做好知识迁移和类推的
铺垫。
三、探究圆的面积公式
1.师:请同学们拿出准备好的圆形纸片及等份模型,小组合作,动手拼一拼,看可以把圆
转化成什么图形。
动手操作,小组交流。
每个小组确定一位同学发言。
2.请同学上台展示交流。
教师利用课件边演示边描述:把这个圆平均分成16份,沿着直径来切,变成16个近似的
等腰三角形,拼成一个近似的平行四边形。(课件出示)
如果把这个圆平均分成32份,沿着直径来切,变成32个近似的等腰三角形,拼成一个近
似的长方形。六年级数学·上 新课标[人教]
师:如果老师再继续分下去,分的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就会越接近于
什么图形?
预设 生:长方形。
3.师:观察拼成的长方形与原来的圆。讨论完成这三个问题:(课件出示)
(1)①转化的过程中它们的 发生了变化,但是它们的 不变;
②转化后长方形的长相当于圆的 ,宽相当于圆的 。
(2)师:你能从计算长方形的面积推导出计算圆的面积的公式吗?
(汇报交流并板书)
长方形的面积=长 × 宽
⇓ ⇓ ⇓
圆的面积=圆周长的一半×半径
4.得出圆的面积计算公式。
师:如果圆的半径用r表示,那么圆周长的一半用字母怎么表示?圆的面积的计算公式呢?
小组讨论、交流,再汇报。
预设 生1:S=πr×r
生2:可以简单点嘛,两个r相乘就是r的平方,所以S=πr2。
[设计意图] 全开放性地操作、讨论、交流,让学生经历圆面积的推导全过程,理解圆
的面积公式,体会转化、割补等思想方法。
四、应用圆的面积计算公式六年级数学·上 新课标[人教]
(课件出示教材第68页例1)
圆形草坪的直径是20 m。铺满草皮需要多少钱?
师:你知道了什么?
预设 生1:我知道圆形草坪的直径是20 m,每平方米草皮8元。
生2:要求“铺满草皮需要多少钱?”
师:你如何来解决这个问题?
预设 生1:我要先求出圆形草坪的面积,再求钱数。
生2:我要先求出半径的长度,因为圆的面积公式是S=πr2。
师:请大家独立完成,然后请两名同学上台板演。
全班交流。
预设 生:先求出圆形草坪的半径:20÷2=10(m),再求出圆形草坪的面
积:3.14×102=314(m2),最后求出钱数:314×8=2512(元)。(板书)
师:计算圆的面积关键是什么?
预设 生:关键是要知道圆的半径是多少。如果不知道,也要先求出来,再运用面积公式
计算。
1.教材第68页“做一做”第1题。
学生读题,理解题意。
师:说一说已知圆的什么,求什么,要先求出什么。
预设 生:已知圆的直径,求面积,要先求出半径,再利用公式计算出面积。
独立完成,集体订正。
2.教材第71页练习十五第1题。
独立完成,集体订正。
【参考答案】 1.(教材第68页“做一做”)1.1÷2=0.5(m) 3.14×0.52=0.785(m2)
2.(教材第71页练习十五)1.(从左往右,从上往下)8 cm 50.24 cm2 4.5 cm 63.585 cm2
3 cm 28.26 cm2 40 cm 1256 cm2六年级数学·上 新课标[人教]
师:这节课我们学习的内容是什么?
预设 生:圆的面积。
师:圆的面积公式是如何推导出来的?
预设 生1:先把圆等分,再剪开,接着穿插拼组,成为一个近似的长方形。
生2:用的是转化的方法,把圆转化成长方形,再根据对应的关系,得出圆的面积公式。
作业1
教材第71页练习十五第2,3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
半径(r) 5 cm
直径(d) 8 dm
周长(C) 37.68 m
面积(S)
2.(重点题)一块圆形铁片的直径是10 cm,它的面积是多少平方厘米?
3.(重点题)一个圆形喷水池的底面周长是62.8 m,这个喷水池占地多少平方米?
【提升培优】
4.(探究题)爷爷用18.84 m长的篱笆靠墙围了一个半圆形的鸡舍。这个鸡舍的面积是多少
平方米?
【思维创新】
5.(竞赛题)求图中阴影部分的面积。(单位:cm)
【参考答案】六年级数学·上 新课标[人教]
作业1 2.C=πd 3.14×10=31.4(cm) S=πr2 3.14×(10÷2)2=78.5(cm2) C=2πr
3.14×2×3=18.84(cm) S=πr2 3.14×32=28.26(cm2) 3.3.14×102=314(m2)
4.125.6÷3.14÷2=20(cm) 3.14×202=1256(cm2)
作业2:1.(从上往下,从左往右)10 cm 31.4 cm 78.5 cm2 4 dm 25.12 dm 50.24 dm2
6 m 12 m 113.04 m2 2.(10÷2)2×3.14=78.5(cm2)
3.(62.8÷3.14÷2)2×3.14=314(m2) 4.18.84×2÷3.14÷2=6(m)
3.14×62÷2=56.52(m2) 5.42×3.14-(4÷2)2×3.14=37.68(cm2)
圆的面积
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
长方形的面积=长 × 宽
⇓ ⇓ ⇓
圆的面积=圆周长的一半×半径
πr r
S=πr×r=πr2
草坪半径:20÷2=10(m)
草坪面积:3.14×102=314(m2)
314×8=2512(元)
本节课利用学生已有经验,渗透转化的思想。运用多媒体演示,学生操作学具,让学生多
种感官参与,通过观察、比较、分析,发现转化前后的区别与联系,让学生推导出圆的面积计
算公式。这样由“扶”到“放”,由现象到本质的引导,又使学生亲身经历数学化的学习过
程,学生思维在交流中碰撞,在碰撞中发散,在想象中得以提升。探索能力、分析问题和解决
问题的能力得到了提高。六年级数学·上 新课标[人教]
操作过程中有点乱,主要是小组成员不明白自己该做什么。
再教这个内容时,对于操作活动要分配任务,让每一个学生都有序地活动。
一个圆形花坛的周长是37.68 m。这个花坛的占地面积是多少?
[名师点拨] 题中给出的是圆形花坛的周长,要想求花坛的占地面积,可先求出花坛的
半径。半径等于周长除以圆周率π,再除以2,然后根据圆的面积公式计算。
[解法1] 37.68÷3.14÷2=6(m),
3.14×62=3.14×36=113.04(m2)。
答:这个花坛的占地面积是113.04 m2。
(
37.68
)
2
[解法2] 3.14×
3.14×2
=3.14×62
=3.14×36
=113.04(m2)。
答:这个花坛的占地面积是113.04 m2。
( C ) 2 C2 C2
【知识拓展】 (1)已知C求S,利用公式S=π =π = 。(2)已知d求S,利
2π 4π2 4π
(d) 2 d2 πd2
用公式S=π =π = 。
2 4 4
长阔共几何
我国南宋时期的著名数学家杨辉1275年所著的《田亩比类乘除算法》一书中有这样一
道题:
直田积八百六十四步,只云阔不及长十二步,问长阔共几何?六年级数学·上 新课标[人教]
“步”是古代的长度单位。题目的意思是有一块长方形田,面积为864平方步,已知它
的宽比长少12步,则它的长和宽共多少步?你能算出来吗?
【参考答案】 60步
《九章重差图》
刘徽于263年左右,发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积则可无限
逼近圆的面积,即所谓“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所
失矣。”刘徽采用了“以直代曲、无限趋近、内外夹逼”的思想,创立了“割圆术”。《重
差》原为《九章算术注》的第十卷,即后来的《海岛算经》,内容是测量目标物的高和远的
计算方法。重差法是数学中的重要方法。
第 课时 圆环的面积
1.认识圆环的特征,掌握圆环的面积的计算方法,合理地进行计算。
2.培养学生灵活、综合运用知识的能力,运用所学的知识解决简单的实际问题。
3.通过操作、探索、发现、交流等活动,培养学生的合作意识和创新意识,进一步提升
学生的空间观念和交流能力。
【重点】
掌握圆环的面积的计算方法,合理地进行计算。
【难点】
圆环的特征、圆环的面积公式的推导及运用。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 圆规、剪刀
方法一六年级数学·上 新课标[人教]
1.画圆。
(1)师:请同学们在准备好的纸上画一个半径是4 cm的圆,标出圆心。
(2)师:再以刚才画的圆的圆心为圆心,画一个半径是3 cm的圆。
(3)分别计算这两个圆的面积。
独立完成,指名汇报。
说一说圆的面积计算公式。
预设 生1:大圆的面积是3.14×42=50.24(cm2)。
生2:小圆的面积是3.14×32=28.26(cm2)。
生3:圆的面积计算公式是:S=πr2。
2.动手操作。
(1)从纸上剪下半径为4 cm的圆。
(2)然后从半径为4 cm的圆上剪下半径为3 cm的圆。
师:观察剩下的图形,说一说它是什么形状。
预设 生1:环形。
生2:圆环。
师:在日常生活中,你见过哪些物体或物体的横截面是圆环吗?
(课件出示相关图片)
(课件出示两个大小不同的圆环)六年级数学·上 新课标[人教]
师:比较一下,你能看出这两个圆环的面积哪个大?哪个小吗?
预设 生1:第一个环比较粗,面积应该大一些。
生2:第二个要大一些。
师:你们的结果到底谁的正确呢?通过今天的学习,你会很容易解决这个问题。今天我们
一起来学习圆环的面积。(板书:圆环的面积)
[设计意图] 在画一画的活动中,学生能巩固圆的面积的计算,初步感知圆环的特点:外
圆和内圆同一个圆心。从剪一剪的活动中,体会圆环的面积是外圆的面积减去内圆的面积,
为新课的学习做好铺垫,并且学生能进一步理解圆环的意义。
方法二
师:(出示光盘实物)这是什么?你们了解吗?
预设 生:这是光盘。
(师介绍:光盘是利用激光原理进行读、写的设备,是迅速发展的一种辅助存储器,可以
存放各种文字、声音、图形、图像和动画等多媒体数字信息。)
师:它是什么形状的?
预设 生1:环形。
生2:圆环。
师:你还在哪些地方见过这种图形?
预设 生1:游泳圈。
生2:轮胎。
……
师:今天这节课我们就一起来研究圆环的面积,怎么样?(板书课题)
[设计意图] 由生活中的实际物品引入,一是可以直观地了解圆环的特点,二是能体会
数学与生活的密切联系。
一、认识圆环
1.师:说说刚才这个圆环你是怎样得到的。
预设 生:从大圆中剪掉一个小圆。
2.师:下面图形的阴影部分是不是环形,为什么?
(课件出示一组图形)六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生1:第一个图形的阴影部分不是圆环。
生2:第二个图形的阴影部分是圆环。
生3:我想第二个图形是,因为外面的圆和里面圆的圆心相同。
师:圆环必须是两个同心圆之间的部分,而且两个圆的大小不相同。
3.教学圆环各部分的名称。(在黑板上展示圆环并标注名称)
师:我们把这两个圆分别叫做外圆和内圆。
从圆心到内圆上任意一点的距离就是内圆的半径。(用字母r表示)
从圆心到外圆上任意一点的距离就是外圆的半径。(用字母R表示)
外圆半径与内圆半径的差就是环宽。
(板书下图)用字母在图中表示:
二、探索圆环面积计算公式
1.你想求出你得到的这个圆环的面积吗?能不能试着求一下?(板书)六年级数学·上 新课标[人教]
学生独立完成,小组交流。
指名汇报。
2.根据学生回答,教师讲解。
圆环面积=外圆面积-内圆面积(板书)
方法一:(板书)
3.14×42-3.14×32
=50.24-28.26
=21.98(cm2)
方法二:(板书)
3.14×(42-32)
=3.14×7
=21.98(cm2)
[设计意图] 求学生自己画的圆环的面积,能很好地调动学生的积极性,并且由于是学
生自己画出的圆环,因此更容易理解和掌握其计算方法。
3.比较上面两种方法,说一说哪种方法更简便,为什么?
预设 生:第二种方法更简便,因为3.14只用一次。
4.圆环的面积计算公式。
师:现在小组讨论:计算圆环的面积需要知道哪些条件?怎样用字母表示圆环的面积计算
公式?
预设 生1:需要知道外圆的半径和内圆的半径,这样就可以求出外圆和内圆的面积。
生2:圆环的面积计算公式为:
S=π(R2-r2)
生3:也可以是S=πR2-πr2,只是有一些麻烦,容易出错。
三、应用圆环面积计算公式解决问题
(课件出示教材第68页例2)六年级数学·上 新课标[人教]
1.学生读题,找出条件与问题。
2.学生独立完成,指名同学上台板演。
3.集体订正。
方法一:(板书)
3.14×62-3.14×22
=113.04-12.56
=100.48(cm2)
方法二:(板书)
3.14×(62-22)
=3.14×32
=100.48(cm2)
1.教材第68页“做一做”第2题。
学生读题,理解题意。
师:请说一说求草坪的占地面积也就是求什么图形的面积,根据圆环的面积计算公式需
要知道什么条件?
预设 生:求草坪的占地面积也就是求一个圆环的面积。
生2:圆环的面积计算公式:圆环面积=外圆面积-内圆面积,用字母表示是:
S=π(R2-r2)
独立完成,集体订正。
2.教材第72页练习十五第5题。
学生独立完成,指名同学上台板演,集体订正。
【参考答案】 1.(教材第68页“做一做”)2.3.14×(50÷2)2-
3.14×(10÷2)2=1884(m2)或3.14×[(50÷2)2-(10÷2)2]=1884(m2) 2.(教材第72页练习十
五)5.3.14×(18÷2)2-3.14×(7÷2)2=215.875(cm2)或3.14×[(18÷2)2-
(7÷2)2]=215.875(cm2)六年级数学·上 新课标[人教]
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我认识了一种新图形:圆环。
生2:计算圆环的面积要知道外圆和内圆的半径。
生3:我会用两种方法解决求圆环面积的问题。
……
作业1
教材第72页练习十五第7题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)
计算右图中阴影部分的面积。(单位: cm)
【提升培优】
2.(重点题)一根钢管的横截面是环形。内圆直径为8 cm,外圆直径为10 cm。钢管的横截面
面积是多少平方厘米?
3.(情景题)一个儿童游乐场是圆形的,它的周长是62.8 m,现将这个游乐场进行扩建,扩建
后游乐场的半径增加4 m,这个游乐场的面积增加了多少平方米?
【思维创新】
4.(竞赛题)一个射击靶子,最内环(靶心)的半径是2 cm,各环宽相等,都等于最内环的半径,
你能求出最外环的面积是多少平方厘米吗?(靶子共有10环)六年级数学·上 新课标[人教]
【参考答案】
作业1:7.C=3.14×(12+8)÷2+12-8=35.4(cm) S=3.14×(122-82)=251.2(cm2)
作业2:1.3.14×(42-22)=37.68(cm2) 2.8÷2=4(cm) 10÷2=5(cm) 3.14×(52-
42)=28.26(cm2) 3.62.8÷3.14÷2=10(m) [(10+4)2-102]×3.14=301.44(m2) 4.
(10×2)2×3.14=1256(cm2) (9×2)2×3.14=1017.36(cm2) 1256-1017.36=238.64(cm2)
本节课,通过让学生动手操作剪圆环,直观地让学生理解了圆环面积的由来,学生有了亲
身的体会,很容易就求出圆环的面积。学生在知识的学习过程中,有亲身体验,获得“做出
来”的数学,而不是给以“现成”的数学,这样有助于学生的能力发展,提高学习的兴趣。六年级数学·上 新课标[人教]
引导过程中,语言不够精炼。
再教这个内容时,引导语言要精练准确,多一些练习时间。还要多给学生发言的机会。
【做一做·68页】
(1) 2
1.3.14× =0.785(m2) 2.3.14×(50÷2)2
2
-3.14×(10÷2)2=1884(m2)
一个圆环形铁片,内圆半径是6 cm,环宽4 cm,这个圆环形铁片的面积是多少?
[名师点拨] 已知内圆半径和环宽,可先求出外圆半径,内圆半径加环宽等于外圆半径,
即外圆半径为6+4=10(cm),然后再根据圆环的面积计算公式计算铁片的面积。
[解答] 3.14×(6+4)2-3.14×62
=3.14×102-3.14×62
=314-113.04
=200.96(cm2)。
答:这个圆环形铁片的面积是200.96 cm2。
【知识拓展】 (1)已知环宽(L)和外圆半径(R),求圆环面积公式是S=πR2-π·(R-
(d+2L) 2 (d) 2
L)2。(2)已知内圆直径(d)和环宽(L),求圆环面积公式是S=π -π· 。(3)已
2 2
(D) 2 (D-2L) 2
知外圆直径(D)和环宽(L),求圆环面积公式是S=π -π· 。(4)已知内圆周
2 2六年级数学·上 新课标[人教]
( C ) 2 ( C ) 2
长(C)和环宽(L),求圆环面积公式是S=π· +L -π· 。(5)已知外圆周长(C)
2π 2π
( C ) 2 ( C ) 2
和环宽(L),求圆环面积公式是S=π· -π -L 。
2π 2π
《几何原本》
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,集整个古希腊数学成果和精神
于一书。既是数学巨著,也是哲学巨著,并且第一次完成了人类对空间的认识。该书自问世
之日起,在长达2000多年的时间里历经多次翻译和修订,自1482年第一个印刷本出版后,至
今已有1000多种不同的版本。除了《圣经》之外,没有任何其他著作,其研究、使用和传播
之广泛,能够与《几何原本》相比。汉语的最早译本是由意大利传教士利玛窦和明代科学家
徐光启于1607年合作完成的,但他们只译出了前6卷。正是这个残本奠定了中国现代数学
的基本术语,诸如三角形、角、直角等等。日本、印度等东方国家皆使用中国译法,沿用至
今。近百年来,虽然大陆的中学课本必提及这一伟大著作,但对中国读者来说,却无福一睹它
的全貌,纳入家庭藏书更是妄想。
第 课时 圆的面积综合应用
1.让学生结合具体情景认识与圆相关的组合图形的特征,掌握“外方内圆”和“外圆内
方”的图形的面积计算方法。
2.在解决实际问题的过程中,通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动,培养学生分
析问题和解决问题的能力。
3.渗透传统文化的教育,通过体验图形和生活的联系感受数学的价值,提升学习的兴趣。
【重点】
掌握“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积计算方法。六年级数学·上 新课标[人教]
【难点】
对组合图形进行分析。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.教师介绍:古时候,由于人们的活动范围狭小,往往凭自己的直觉认识世界,看到眼前
的地面是平的,以为整个大地是平的,并且把天空看做是倒扣着的一口巨大的锅。我国古代
有“天圆如张盖,地方如棋局”的说法。虽然这种说法是错误的,却产生了深远的影响,尤其
体现在建筑设计上。
(课件展示图片)师生共同分析,抽象出基本的图形。
预设 生1:第一个图案的外面是正方形、里面是圆形。
生2:第二个图案的外面是圆形、里面是近似的正方形。
生3:第三个图案的外面是长方形、里面是圆形。
生4:第四个图案的外面是正方形、里面是圆形。
生5:第五个图案的外面是圆形、里面是正方形。
2.了解特征。
(课件出示教材例3中的雕窗插图)六年级数学·上 新课标[人教]
师:观察这两个雕窗图案,说说这两种设计有什么联系和区别?
预设 生1:它们都是由圆和正方形组合而成的。
生2:第一个图案的外面是正方形、里面是圆形。
生3:第二个图案的外面是圆形、里面是正方形。
师:根据它们的特征,我们可以分别称为“外方内圆”和“外圆内方”。
3.回顾旧知,引入新课。
(1)师:回忆一下,正方形、圆及圆环的面积计算公式是什么?
预设 生1:圆的面积公式是:S=πr2。
生2:正方形的面积公式是:S=a2。
生3:圆环的面积公式是:S=π(R2-r2)。
(2)师:观察“外方内圆”和“外圆内方”的两种图案,我们怎样才能计算出正方形和圆
形之间的那部分面积呢?这节课我们就来探索这类问题的解决方法。(板书课题)
[设计意图] 由两个方面的知识导入,一是图案的特征,二是正方形、圆和圆环的计算
方法。这样能让学生发现生活中的问题,也为学生的新知学习做好铺垫,即解决这类问题就
如计算圆环的面积方法那样,用外面的图形面积减去里面的图形面积。并且学生已经掌握了
正方形和圆的面积计算方法,通过迁移和类推能很好地理解和掌握解决问题的方法。
方法二
师:前面我们已经学习了圆环的面积计算方法,试着解决下面的问题。(课件出示)
求下面图形中阴影部分的面积。(单位:cm)
师:遇到难题了吗?
预设 生:第二个图和前面的不一样。
师:我们先来解决第1个图的阴影部分的面积。六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生1:先算出外圆的面积是3.14×42=50.24(cm2);再算出内圆的面积是
3.14×22=12.56(cm2);最后用外圆的面积减去内圆的面积是50.24-12.56=37.68(cm2)。
生2:我是用公式:S=π(R2-r2)来计算的,3.14×(42-22)=37.68(cm2)。
师:第二个图中阴影部分的面积不会计算吗?小组讨论交流,看能不能找到解决的方法。
预设 生:可以用外面正方形的面积减去里面圆的面积。
师:真棒!能够运用知识的迁移和类比来解决新问题。
师:这些图案来自于中国古建筑的设计。
(课件出示)
师:观察这些图案,你能抽象出其中的基本图形吗?
预设 生:第一个图案的外面是正方形、里面是圆形。
……
师:下面的这两个图案,有什么异同?
师:根据它们的特征,我们可以分别称为“外方内圆”和“外圆内方”。今天我们就尝
试着解决有关它们的问题。(板书)六年级数学·上 新课标[人教]
[设计意图] 由复习巩固圆环的面积计算方法顺势迁移到“外方内圆”的面积计算方
法。这是类比思想的运用。
一、阅读与理解
1.课件出示“外方内圆”的图形。
(1)学生观察图形、思考、小组讨论:正方形与圆之间部分的面积是哪一部分?怎样计算
阴影部分的面积?(课件出示问题)
(2)交流。
预设 生1:正方形与圆之间部分的面积是阴影部分的面积,也就是正方形比圆多的面积。
生2:正方形的面积-圆的面积=正方形与圆之间部分的面积。
2.课件出示“外圆内方”的图形。
师:说说你的想法。
预设 生1:正方形与圆之间部分的面积是阴影部分的面积,也就是圆比正方形多的面积。
生2:圆的面积-正方形的面积=正方形与圆之间部分的面积。
二、分析与解答
1.计算“外方内圆”的图形中正方形与圆之间部分的面积。
(1)师:计算圆和正方形的面积需要什么条件?你能找到吗?
(2)学生独立计算,小组交流。
(3)汇报交流。
预设 生:22-3.14×12=0.86(m2)。
师:我有一些不理解,谁来介绍思维过程?六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生:22求的是正方形的面积,因为正方形的边长是圆的直径,圆的半径是1 m,那么
它的直径就是2 m,正方形的边长也就是2 m。圆的面积是3.14×12,最后用正方形的面积4
减去圆的面积3.14,就得到阴影部分的面积是0.86 m2。(板书)
师:嗯,思路清晰,解释合理,老师懂了,你们弄明白了吗?
[设计意图] 先让学生看图理解阴影部分面积的算法,再独立尝试,最后交流时,学生要
表述出基本的思路,这样一次又一次巩固对“外方内圆”图形的理解。
(4)巩固练习。
求下面图形中阴影部分的面积。(单位: m)
学生独立解决,再全班交流。
【参考答案】 6×6=36(m2) 6÷2=3(m) 3.14×32=28.26(m2) 36-28.26=7.74(m2)
2.计算“外圆内方”图形中正方形与圆之间部分的面积。
(1)师:尝试解决这个图中的阴影部分的面积。
(2)学生尝试,小组讨论。
(3)师:我看你们很多同学遇到了难题。说说有什么解决不了的问题,我们一起讨论。
预设 生:正方形的对角线等于圆的直径,正方形的边长求不出来。
师:我们还可以运用分割法,把正方形分成什么图形?
预设 生1:两个三角形。
生2:四个三角形。
师:再仔细思考,求三角形的面积有办法吗?
预设 生1:分成两个三角形,每个三角形的底是圆的直径,高是圆的半径,可以先求出一
个三角形的面积,再乘2。
生2:分成四个三角形,每个三角形的底和高都是圆的半径,可以先求出一个三角形的面
积,再乘4。
师:根据实际的问题,我们有时要转变思想,换个角度思考,也许就能找出解决的办法。
师:独立解决问题吧!
(4)学生独立计算,小组交流。六年级数学·上 新课标[人教]
(5)汇报交流。
预设 生1:我算的是分成两个三角形的情况,先求出圆的面积:3.14×12=3.14(m2),再算
(1 )
出两个三角形的面积和,也就是里面正方形的面积: ×2×1 ×2=2(m2),最后用圆的面积
2
减去里面正方形的面积,得到阴影部分的面积:3.14-2=1.14(m2)。(板书)
生2:分成四个三角形,每个三角形的底和高都是圆的半径,可以先求出一个三角形的面
1 1 1
积是半径乘半径乘 ,即1×1× ,那么四个三角形的面积是1×1× ×4=2(m2),圆的面积
2 2 2
是3.14 m2,减去2 m2,就是1.14 m2。(板书)
[设计意图] 先让学生尝试,学生会受前面“外方内圆”图形的影响,用圆的面积减去
正方形的面积,但是正方形的边长却没有给出,学生会造成思维冲突,要寻求解决的途径。教
师适时加以引导,给学生的思维找到突破口,这样学生的记忆会很深刻。寻求多种方法解题,
可以提高学生的发散思维能力。
(6)巩固练习。
求下图中阴影部分的面积。
学生独立解决,全班交流。
【参考答案】 5×2=10(cm) 10×5÷2×2=50(cm2) 3.14×52=78.5(cm2) 78.5-
50=28.5(cm2)
3.回顾与反思。
(1)如果“外方内圆”和“外圆内方”两种图形中的圆的半径都是r,怎样计算呢?
学生先独立思考,并自己归纳。
(2)教师小结规律及方法:(板书)
外方内圆:(2r)2-3.14×r2=0.86r2六年级数学·上 新课标[人教]
(1 )
外圆内方:3.14×r2- ×2r×r ×2=1.14r2
2
(3)师:当r=1时,计算的结果是多少?与前面的计算一样吗?说明什么?
生:当r=1时,计算结果分别是0.86 m2,1.14 m2,一样,说明我们的计算公式正确,计算也
正确。
教材第70页“做一做”。
学生读题,理解题意。
独立完成,指名两位同学上台板演。
集体订正。
【参考答案】 外面的圆面积:3.14×(24÷2)2=452.16(cm2) 内部的正方形面
积:24×(24÷2)÷2×2=288(cm2) 452.16-288=164.16(cm2)
师:这节课我们分析了与“外方内圆”和“外圆内方”两种图形有关的面积问题。你学
会了吗?说说你的收获,还有什么疑问?
生1:我觉得“外方内圆”的这种图形中的圆与正方形之间的面积比较好计算,“外圆内
方”的这种图形中的圆与正方形之间的面积不太好计算。我还有一点迷糊。
生2:我的收获是,对于特殊的图形面积,我们不能直接用公式计算出来时,就要进行转化,
转化成求我们所熟悉的、能解决的图形的面积。
生3:……
作业1
教材第72页练习十五第9,10,11题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)求下面图形中阴影部分的面积。(单位:m)六年级数学·上 新课标[人教]
【提升培优】
2.(重点题)如下图所示,圆的半径是5 cm,先把圆与正方形之间的部分涂上颜色,然后求出
涂色部分的面积。
3.(重点题)如下图所示,圆的半径是8 cm,先把圆与正方形之间的部分涂上颜色,然后求出
涂上颜色部分的面积。
【思维创新】
4.(重点题)如下图所示,一颗铆钉的“头”部是“外圆内方”形的,正方形的边长是3 mm,
圆的直径是6 mm,这颗铆钉“头”部的面积是多少?
【参考答案】
作业1:9.3.14×(22.5÷2)2-6×6=361.40625(mm2)六年级数学·上 新课标[人教]
10.C=100×2+3.14×32×2=400.96(m) S=100×32×2+3.14×322=9615.36(m2)
11.C=3.14×1×2=6.28(m) S=3.14×(1÷2)2×2+1×1=2.57(m2)
作业2:1.8×8-3.14×82÷4=13.76(m2) 2.(涂色略)(5×2)2=100(cm2)
3.14×52=78.5(cm2) 100-78.5=21.5(cm2) 3.(涂色略)3.14×82=200.96(cm2)
8×2×8÷2×2=128(cm2) 200.96-128=72.96(cm2) 4.3.14×(6÷2)2=28.26(mm2)
3×3=9(mm2) 28.26-9=19.26(mm2)
1.通过引导学生经历解决问题的全过程,积累解决问题的经验。
整节课,教师教学的主线就是解决问题的三大步骤:阅读与理解、分析与解答和回顾与
反思。学生在进行这样有序的思考问题后,会形成解决问题的基本流程,逐步养成较好的解
题习惯,同时提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
2.学习过程中以学生为主体,教师适时引导。
本课时,教师用问题引导、独立尝试、小组讨论、全班交流等形式,让课堂活跃起来,并
且该放则放、该扶则扶,适时引导。比如在“外圆内方”图形的引导时,教师先放手让学生
独立解决,当形成问题冲突时,教师引导学生用分割法来思考问题,学生会很快找到解决问题六年级数学·上 新课标[人教]
的途径,即把正方形分成两个相同的三角形或四个相同的三角形。这样既能提高学生思考问
题的能力,也能带给学生成功的体验。
分析、引导过程中,有点杂乱。
再教这个内容时,教师要根据本班实际情况,适时调整分析时所提出的问题,问题跨度不
要太大,每个问题所涵盖的范围不要太广,要让学生的回答既有较强的指向性,又有发散思维
的空间。
【做一做·70页】
半径:24÷2=12(cm) 圆面积:3.14×122=452.16(cm2) 正方形面
积:24×12÷2×2=288(cm2)
452.16-288=164.16(cm2)
【练习十五·71页】
1.如下表所示。
半径 直径 圆面积
4 cm 8 cm 50.24 cm2
4.5 cm 9 cm 63.585 cm2
3 cm 6 cm 28.26 cm2
20 cm 40 cm 1256 cm2
2.周长:3.14×10=31.4(cm) 面积:3.14×(10÷2)2=78.5(cm2) 周
长:2×3.14×3=18.84(cm) 面积:3.14×32=28.26(cm2) 3.3.14×102=314(m2)
4.125.6÷2÷3.14=20(cm) 3.14×202=1256(cm2) 5.3.14×(18÷2)2-
3.14×(7÷2)2=215.875(cm2) 6.3.14×62-3.14×(6÷2)2=84.78(cm2)
7.3.14×12÷2+3.14×8÷2+(12-8)=18.84+12.56+4=35.4(cm) 3.14×(122-
82)=251.2(cm2) 9.3.14×(22.5÷2)2-6×6=361.40625(mm2) 10.周
长:100×2+3.14×32×2=400.96(m) 面积:100×32×2+3.14×322=9615.36(m2) 11.周长:
3.14×1×2=6.28(m) 面积:12+3.14×(1÷2)2×2=2.57(m2) 12.3.14×(33÷2)2-
3.14×(14÷2)2=3.14×(16.52-72)=701.005(m2) 3.14×(26.4÷2)2-六年级数学·上 新课标[人教]
3.14×(14.4÷2)2=3.14×(13.22-7.22)=384.336(m2) 701.005-384.336=316.669(m2) 13.
半径:62.8÷3.14÷2=10(m) 3.14×(10+2)2-3.14×102=138.16(m2) 15.如下表所示。
正方形
1 cm 2 cm 3 cm 4 cm
的边长
正方形
1 cm2 4 cm2 9 cm2 16 cm2
的面积
圆的 0.785 3.14 7.065 12.56
面积 cm2 cm2 cm2 cm2
面积 200∶15200∶15200∶15200∶15
之比 7 7 7 7
发现两者的面积比是4∶π。 16.正方形:(31.4÷4)2=61.6225(m2)
圆:3.14×(31.4÷3.14÷2)2=78.5(m2) 正方形的面积<圆的面积。 17.草原上蒙古包的
底面是圆形的,因为可以最大地利用居住面积。植物根和茎的横截面是圆形的,也是因为可
以最大化吸收水分。
妈妈准备给家里的圆形餐桌买一块正方形桌布,量得圆形桌面的直径是1.4米,
餐桌的高是1.2米。要使这块正方形桌布的四角正好接触地面,正方形桌布垂下的面积应是
多少?
[名师点拨] 根据题意,正方形桌布的对角线长度应该包括桌面直径的长度和两边从桌
面到地面的长度,从而计算出面积。(如图所示)
[解答] 1.4+1.2×2=3.8(米)
3.8×3.8÷2÷2×2-3.14×(1.4÷2)2=5.6814(平方米)
答:正方形桌布垂下的面积应是5.6814平方米。六年级数学·上 新课标[人教]
“拿破仑分地”问题
法国皇帝拿破仑是一位著名的军事家。他从一名军官成为一国之君,东征西讨,战功赫
赫。他对数学也有浓厚的兴趣,他喜欢思考与讨论数学问题。在圣赫勒拿岛上,拿破仑曾与
自愿陪同他的前宫廷大臣卡萨斯讨论一些智力问题。
一天,他给卡萨斯出了一道智力题,那是他当年随军远征时见过的一块形状奇异的土地
(如图(1))。
他曾发誓:谁能将它分成形状相同的两块地,就赏给谁。然而,当时没有人能做到。卡萨
斯也考虑了好几个晚上,仍未解得此题。当拿破仑告诉他后,他看到题目的解法竟然如此简
单而后悔不已(如图(2))。
中国古代建筑图案欣赏六年级数学·上 新课标[人教]
4 扇 形
教材P75及练习十六第1~4题。
本课时内容包括扇形的意义、扇形各部分的名称、扇形大小与圆心角大小的关系等。
教材首先呈现了三个生活中的物品,并用这三个物品的名称引出扇形的定义,再来认识各部
分的名称,最后是知道扇形的大小与圆心角大小的关系。这部分内容是建立在认识圆的基础
之上,学习中要紧密结合生活中扇形物体进行认识。
1.在观察、讨论、判断等活动中,经历认识扇形的过程,理解弧、圆心角、扇形等概念。
2.知道扇形的大小与圆心角和半径的关系。
3.感悟数学知识内在联系的逻辑之美,体验发现新知识的快乐,培养学生学习数学的兴
趣。
【重点】
认识弧、圆心角、扇形,能准确判断扇形。
【难点】
知道在同一个圆中,扇形的大小与圆心角的大小的关系。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.(课件出示教材第75页情景图)六年级数学·上 新课标[人教]
师:观察上面的图形,说一说它们有什么共同点,你在生活中还见到过这样的图形吗?
预设 生1:这三个物体都有一个“扇”字。
生2:我见过,我们家挂在墙上的画。
生3:妈妈的化妆盒。
生4:妈妈的耳环就有这样的。
……
2.引入课题。
师:这些物体都含有“扇”字,你能给这个图形取个名字吗?看谁取得准确。
预设 生:扇形。
师:那什么是扇形呢?这节课我们就一起来认识扇形。(板书课题:扇形)
[设计意图] 由生活中形状是扇形的物体引出,把扇形这个数学名词与学生已有的生活
经验联系在一起,有助于激发学生的研究兴趣。用直观、具体的物体,为扇形的学习建立表
象。
方法二
师:请同学们拿出一张圆形的纸片,剪下它的一半。再拿一个同样大小的圆形纸片,剪下
它的四分之一。
(学生独立操作)
师:仔细观察你们剪的这些图形,它们有什么特点?
预设 生:它们都不是完整的圆,只是圆的一部分。
师:这些平面图形是有名字的,生活中我们也见到过这样形状的物体。(课件出示教材第
75页情景图)
师:看到这些实际的物体,你想给你们剪出的图形取个什么名字?
预设 生:扇形。六年级数学·上 新课标[人教]
师:这节课我们一起来认识扇形。(板书课题:扇形)
[设计意图] 由动手操作剪出各种扇形,到展示生活中形状是扇形的物体,让学生初步
感知扇形的特点,为扇形的进一步认识建立表象。
一、认识弧
1.教师在黑板上画一个虚线圆,学生在草稿纸上画。(板书)
2.师:请同学们在圆上任意取两点并用字母A和B表示,并用实线连接A,B两点。
(投影展示部分学生所画的图,让学生猜测)
师:大家知道像这样在圆上的一条条曲线叫什么吗?
教师在黑板上演示并介绍:像这样,在圆上A,B两点之间的部分叫做弧,读作“弧AB”。
(板书)
3.(课件出示一组图形)读出圆上的弧。
预设 生1:弧AB。
生2:弧BC。
生3:弧CD。
[设计意图] 师生共同操作,在画一画的过程中,充分认识“弧”,为扇形的认识做好铺
垫。六年级数学·上 新课标[人教]
二、认识扇形
1.师:请同学们接着将A,B两点分别与圆心O连起来,并将围起来的部分涂上颜色。
2.师:思考涂上颜色的部分是什么图形,OA,OB分别是圆的什么?
预设 生:是扇形。OA,OB分别是圆的半径。
小组讨论:什么样的图形是扇形?
3.全班交流,教师边演示边小结。
师:由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。(板书)
三、认识圆心角
1.在图中标出圆心角,介绍圆心角。
师:像∠AOB这样,顶点在圆心的角叫做圆心角。(板书)
2.师:请同学们在自己画的图中标出圆心角,并观察圆心角,再说说圆心角的特点。
预设 生:圆心角的顶点是圆的圆心,两条边是圆的半径。
3.巩固练习。(课件出示)
下面的圆中,哪些角是圆心角?
指名学生判断,并说一说为什么。
【参考答案】 第1个和第3个是圆心角,它们符合圆心角的特点。第2个角顶点不是
圆的圆心,第4个角的顶点在弧上。六年级数学·上 新课标[人教]
老师强调:圆心角的顶点是圆心,两条边是圆的半径。
[设计意图] 学完概念就进行巩固练习,深化学生对概念的理解和掌握。
四、圆心角大小与扇形大小的关系
1.(课件出示)
师:观察比较,你发现了什么?
预设 生:我发现圆心角越大,扇形也越大。
教师用活动角在黑板上演示并小结:在同圆或等圆中,圆心角越大,扇形越大;反之,圆心
角越小,扇形就越小。(板书)
2.半径与圆心角之间的关系。
(通过PPT动画演示重叠)
师:说一说你有什么发现?
预设 生1:我发现两个圆心角相等,但是一个半径短,一个半径长。
生2:圆心角相等时,半径短的扇形面积小,半径长的扇形面积大。
师:你们的发现很全面。我们可以简单地说:圆心角相等的扇形,半径越长,扇形越大;反
之,半径越小,扇形就越小。(板书)
[设计意图] 用观察比较来理解圆心角大小与扇形大小的关系,用动画演示来理解圆的
半径与圆心角的关系,既能直观展现规律,又能给学生不同的感受。
3.(课件出示,并板书)六年级数学·上 新课标[人教]
1
师:以半圆为弧的扇形的圆心角是多少度?以 圆为弧的扇形呢?你判断的根据是什么?
4
预设 生1:以半圆为弧的扇形的圆心角是180°,(板书)因为一周是360°,它的一半就
是180°。
1
生2:以 圆为弧的扇形的圆心角是90°。(板书)我和他的理由一样,一周是
4
1
360°,360°的 是90°。
4
[设计意图] 直接观察,自主发现。这个内容对于六年级的孩子来说比较简单,所以让
学生自主发现,提高学生的观察、归纳能力。
教材第76页练习十六第1~4题。
(1)第1题。
用笔标出图中的扇形,同桌相互交流。
投影展示。
(2)第2题。
独立判断,指名同学说一说判断的理由是什么。
(3)第3题。
①学生读题,说一说题目有什么要求。
②学生独立画图,教师巡视并指导。
③指名同学用投影展示自己的作业,并说一说画图的方法与步骤。
(4)第4题。
①学生读题,看图,理解什么叫扇环。
师:扇环就是圆环的一部分。
②观察下面的扇环图,说一说扇环的面积与什么有关系?
生:扇环的面积与内环半径、外环半径、圆心角的大小有关。六年级数学·上 新课标[人教]
独立计算,集体订正。
1
【参考答案】 1.略 2.第1,4个是圆心角。 3.略 4.3.14×[52-(5-2)2]×
4
=12.56(dm2)
1
3.14×[42-(4-1)2]× =10.99(dm2)
2
这节课,我们认识了扇形,你知道了什么?
预设 生1:一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
生2:顶点在圆心的角叫做圆心角。
生3:在同圆或等圆中,圆心角越大,扇形越大;反之,圆心角越小,扇形就越小。
生4:圆心角相等的扇形,半径越长,扇形越大;反之,半径越小,扇形就越小。
……
作业1
1.画一个半径为1.5 cm,圆心角为90°的扇形,并求出所画扇形的面积。
2.计算右面阴影部分的面积。(单位: cm)
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)判断下面哪些图形中的阴影部分是扇形,是扇形的在( )里打“√”。
【提升培优】
2.(操作题)画一个半径为3 cm,圆心角是150°的扇形。六年级数学·上 新课标[人教]
3.(探究题)求半径是6 m,圆心角是270°的扇形的面积。
【思维创新】
4.(变式题)圆的面积是120 cm2,圆内扇形的面积是90 cm2,则这个扇形的圆心角为多少度?
【参考答案】
作业1:1.3.14×1.52÷4=1.76625(cm2) 图略 2.7-3=4(cm) 3.14×(72-42)=103.62(cm2)
103.62÷2=51.81(cm2)
扇 形
圆上A,B两点之间的部分叫做弧,读作“弧AB”。
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
像∠AOB这样,顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中,圆心角越大,扇形越大;反之,圆心角越小,扇形就越小。
圆心角相等的扇形,半径越长,扇形越大;反之,半径越小,扇形就越小。六年级数学·上 新课标[人教]
1
以半圆为弧的扇形的圆心角是180°,以 圆为弧的扇形的圆心角是90°。
4
在日常生活中,扇形和圆形一样,都是无处不在的,而且,扇形里面蕴含的数学信息更是
十分丰富。在教学中,我循序渐进,利用学生的操作活动,将扇形的组成、大小的关系等一一
道来。利用活动的角,形象而直观地给学生诠释了扇形的大小和圆心角的关系,为以后进行
扇形统计图的教学打下了坚实的基础。
课堂中的练习时间相对来说安排得有点少。这次课的设计在扇形和圆心角、半径之间
的关系上有点弱化。
再教这个内容时,针对扇形和圆心角、半径之间的关系要安排一些练习。
【练习十六·76页】
1
2.(√) ( ) ( ) (√) 4.[3.14×52-3.14×(5-2)2]× =12.56(dm2) [3.14×42-
4
1
3.14×(4-1)2]× =10.99(dm2)
2
【整理和复习·77页】
1.
2.(1)3.14×(2÷2)2=3.14(m2) (2)3.14×2=6.28(m) 6.28÷0.5≈12(人) (3)3.14-
3.14×0.52=2.355(m2)
【练习十七·78页】
1.3.14×1.2×2=7.536(m) 2.3.14×(20÷2)2=314(cm2) 3.10 m=1000 cm
3.14×50=157(cm)六年级数学·上 新课标[人教]
1000÷157≈6(个) 4.3.14×(8÷2+1)2=78.5(m2)
5.(1)3.14×(5×2)÷2+5×2=25.7(m) (2)新增半径:(5×2+2)÷2=6(m) (3.14×62-
3.14×52)÷2=17.27(m2) 6.(1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)✕
7.3.14×1.7×6×10=320.28(m)
8.半径:128.5÷(3.14+1+1)=25(m) 3.14×252=1962.5(m2) 9.3.14×12+12=4.14(cm2)
10.(3.14×50+50×2)×5=1285(m)
如图所示,扇形AOB的圆心角度数是120°,半径为3 cm,求扇形AOB的面积。
[名师点拨] 扇形是圆的一部分,圆周角的度数是360°,圆的面积是πr2,本题圆心角
120
的度数是120°,扇形的面积就是圆面积的 。
360
[解答] 圆的面积:3.14×32=28.26(cm2)。
120
扇形的面积:28.26× =9.42(cm2)。
360
答:扇形AOB的面积是9.42 cm2。
n
【知识拓展】 如果圆心角的度数为n°,半径为r,那么S = πr2。
扇形 360
扇面画的由来
在古代,扇子是文人墨客随身必备的物品,是文人墨客的“时尚饰物”。怀袖雅物,古代
文人所称的“怀袖雅物”是扇。炎炎酷暑,扇子不仅是人们驱暑纳凉之物,而且在漫长的演六年级数学·上 新课标[人教]
变发展的历史过程中,与传统的诗词、书画、雕刻等艺术结缘,发展成为一种独特的艺术品。
手持一把书画折扇,开合把玩,自有一种儒雅之风,扇子小巧精致,折扇能折叠成“袖中藏
物”,便于携带,更便于保存,受到了爱好者和收藏家的热烈追捧。
圆的演变历史
古代人最早是从太阳,从阴历十五的月亮得到圆的概念的,那么是什么人作出第一个圆
的呢?
18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔,一面钻不透,再从另一面钻。石器的尖
是圆心,它的宽度的一半就是半径,这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆
的孔。
到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
6000年前,半坡人就已经会造圆形的房顶了。
古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物时,就把几段圆木垫在重
物的下面滚着走,这样就比扛着走省劲得多。
大约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。约在4000
年前,人们将圆的木轮固定在木架上,这就成了最初的车子。
会作圆并且真正了解圆的性质,却是在2000多年前,是由我国的墨子给出圆的概念的:
“一中同长也。”意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学
家欧几里得给圆下定义要早100年。
确定起跑线
教材P80~81。
本课时的内容是学生在掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的一个综合与实践
活动。这一活动包含了图形的认识、测量、数据调查、计算、推理等多方面的数学知识与
技能,具有较强的综合性。培养学生用数学的眼光看生活、发现问题的好习惯,让学生学会
应用所学知识解决生活实际问题的能力。六年级数学·上 新课标[人教]
1.学生经历运用圆的有关知识计算所走弯道距离的过程,了解“跑道的弯道部分,外圈
比内圈要长”,从而学会确定起跑线的方法。
2.结合具体的实际问题,通过观察、比较、分析、归纳等数学活动,提高解决实际问题
的能力。
3.在主动参与数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣,感受到数学知识在生
活中的广泛应用。
【重点】
了解田径场跑道的结构,能根据起跑线设置原理正确计算起跑线的位置。
【难点】
利用所学知识解决实际问题。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 计算器
方法一
1.课件出示50米跑和400米跑的起跑画面。
师:同学们,第一幅图是50米跑的起跑画面,第二幅图是400米跑的起跑画面,你有什么
发现?
预设 生:50米跑运动员在同一条直线上起跑,400米跑运动员不在同一条直线上起跑。
2.师:为什么400米跑比赛,运动员站在不同的起跑线上?这样公平吗?
小组讨论、交流。
预设 生1:因为有弯道,跑外圈的路程要长一些,所以在不同的地方起跑。
生2:如果他们在相同的起跑线上起跑,外圈跑的路程会比内圈跑的要长一些。在不同起
跑线上起跑,正是为了公平。
3.引出课题。
为了公平起见,起跑线该怎样设置呢?这是个值得研究的问题。这节课我们一起来研究
这一问题。(板书课题:确定起跑线)六年级数学·上 新课标[人教]
[设计意图] 通过两种不同比赛的起跑线的不同,引起学生的质疑,从而由问题激发学
生探究欲望。
方法二
(课件出示操场跑道画面)
师:仔细观察跑道,跑道上为什么要画上不同的起跑线?
预设 生:为了跑步的公平。因为绕着跑道跑,外圈的路程要长一些,内圈的路程要短一
些。
师:怎样确定不同比赛的起跑线呢?你们有兴趣研究吗?好,今天我们就研究这个问题。
(板书课题)
[设计意图] 直观呈现不同的起跑线,引起学生的学习兴趣。
一、了解跑道的结构
1.(课件出示完整的运动场图)
师:观察运动场图,了解跑道的结构。讨论:跑道由哪几部分组成?一共有几条跑道?
预设 生:跑道由直道和弯道组成,一共有6条跑道。
师:由于终点相同,怎样才能做到公平呢?
2.小组讨论,思考解决方案。
预设 生:经过我们小组交流得出,要把外圈跑道的起跑线往前移。
3.师:怎样移动?有规定吗?
小组交流讨论,教师巡视指导。
预设 生1:我们认为移动的距离为“外圈跑道的长度-相邻内圈跑道的长度”。(板书)
生2:我们认为可以直接计算出第一弯道和第二弯道的差,(板书)就是两条跑道的差,因
为它们的直道是一样长的。
师:嗯,方法不错。是不是都具有可行性呢?
二、收集数据
(课件出示教材第80页第二幅情景图)六年级数学·上 新课标[人教]
师:你从图中收集到哪些信息?
预设 生:跑道的直道长85.96 m,第1条半圆形跑道的直径为72.6 m,每条跑道宽1.25
m。
三、解决问题
1.师:不管用我们所说的哪种方法,首先要解决跑道的长度问题。怎样计算每条跑道的
长?
小组讨论,汇报交流,使学生明确:
①两个半圆形跑道合起来是一个圆。
②每条跑道的直道长度相同。
③每圈跑道的长度等于一个圆的周长加上两条直道的长度。
2.师:用你们自己讨论出的方法来解决跑道起跑线的问题。
(课件出示,提示:①可以用计算器计算;②为了减小误差,π取3.14159;③得数保留两
位小数)
学生以小组为单位,计算、讨论、交流。教师巡视指导。
3.师:展示你们的结果吧。
预设 生:我们小组计算的第一条跑道长是3.14159×72.6+85.96×2≈400(m),第二条跑
道长是3.14159×(72.6+1.25×2)+85.96×2≈407.85(m),两条跑道的长度差是407.85-
400=7.85(m)。(板书)那么应该在第二条跑道离第一条跑道起跑线7.85 m的地方画起跑线。
师:其他相邻跑道的长度差是否也是7.85 m呢?猜一猜,再小组合作进行验证。
4.学生用计算器逐一计算,并填入教材第81页的表格中。
1 2 3 4 5 6 7 8六年级数学·上 新课标[人教]
直
72.6 75.1
径/m
圆周 228.0235.9
长/m 8 3
跑道
全 400 407.8
5
长/m
投影展示部分学生所填写的表格,集体分析。
预设 生:我们发现每两条相邻跑道的长度差都是7.85 m。
师:有用第二种方法进行计算的吗?
预设 生:我们先算出第二条跑道的直径是72.6+1.25×2=75.1(m)。第二条跑道的弯道
长度是3.14159×75.1≈235.93(m),第一条跑道的弯道长度是
3.14159×72.6≈228.08(m)。我们没有加上直道长度,因为每一圈的直道长度都是相等的。
235.93-228.08=7.85(m)。(板书)
师:计算的结果相同。对两种解法,你们有什么想法?
预设 生1:第二种解决方法比较简单,并且,我们了解到每一圈的起跑线相差都是相同的,
那么计算出第二道的起跑线位置,后面的几道也就知道了。
生2:我也是感觉第一种方法比较麻烦。
师:这两种方法都具有可操作性,第二种方法更简单。我们在实际的运用时,可以选择更
实用、更简便的方法。
5.探索道宽与相邻跑道长度差的关系。
师:小组交流讨论,相邻跑道的长度差到底与什么有关系?有怎样的关系呢?
(教师引导学生分析:因为两条直跑道的长相等,用外圈两半圆形跑道长减去内圈两半圆
形跑道长得到相邻两跑道全长的差。如:π×75.1-π×72.6。由于外圈直径比相邻内圈直
径大2.5 m,所以相邻两跑道全长差为2.5π m)
6.解决问题:如何确定400 m跑的起跑线?
师:内圈跑道长400 m,刚才我们计算的是确定400 m跑的每一道起跑线。归纳总结一下,
究竟怎样画400 m跑的起跑线。
预设 生:因为外圈跑道比相邻内圈跑道长7.85 m,所以由内往外,每一道起跑线要比前
一道提前7.85 m。
(课件出示问题)如果是200 m跑,起跑线又该怎样设置呢?六年级数学·上 新课标[人教]
小组讨论,汇报交流。
教师小结:200 m要跑半圈,包括一个半圆形跑道和一条直道,因此每道起跑线比前一道
提前7.85÷2=3.925(m)。
师:通过这节课的学习,如果要你确定不同比赛的起跑线,你会了吗?说说你的方法。
预设 生:外圈跑道长度-相邻内圈跑道长度=相邻跑道长度差
确定起跑线
外圈跑道长度-相邻内圈跑道长度=相邻跑道长度差
第一条:3.14159×72.6+85.96×2≈400(m)
第二条:3.14159×(72.6+1.25×2)+85.96×2≈407.85(m)
长度差:407.85-400=7.85(m)
第二弯道的长度-第一弯道的长度=两条跑道的长度差。
第一条弯道长度是3.14159×72.6≈228.08(m)。
第二条弯道长度是72.6+1.25×2=75.1(m),3.14159×75.1≈235.93(m)。
长度差:235.93-228.08=7.85(m)。
这是一节数学综合实践课,是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。本
节课中,我密切关注学生思维的发展,在计算方法的探究过程中,留给学生广阔的思维空间,
独立思考,再汇报。意在学生亲自动手参与计算后在汇报中把计算方法达到最优化。
学生少了实际操作的活动。
再教这个内容时,我认为可以先分小组,再带到操场上进行实际的测量和计算。做过了,
才能更好地理解和掌握。整个教学设计就是学生进行小组活动,最后交流想法。
第5单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、想一想,填一填(18分)六年级数学·上 新课标[人教]
1.圆的位置是由( )决定的,圆的大小是由( )或( )决定的。
2.在同一个圆里,所有的半径( ),所有的( )也都相等,直径等于半径的(
)。
3.一个圆的半径是0.2 dm,则这个圆的周长是( )dm,面积是( )dm2。
4.如果要画一个周长为37.68 cm的圆,那么圆规两脚间的距离应该取( )cm。
5.圆的周长总是它的直径的( )倍。
6.把一根6.28 m长的铁丝围成一个正方形,则正方形的面积是( )m2;若围成一个圆,
则圆的面积是( )m2。
7.甲圆的半径是乙圆半径的2倍,那么甲圆的直径是乙圆直径的( )倍,甲圆周长是乙圆
周长的( )倍,甲圆面积是乙圆面积的( )倍。
8.大圆周长是小圆周长的3倍,则大圆面积是小圆面积的( )倍。
9.周长相等的长方形、正方形和圆中,面积最大的是( )。
10.一个半圆形塑料板,半径是1 dm,则它的周长是( )dm。
二、看一看,选一选(7分)
1.一个圆有( )直径。
A.1条 B.2条 C.无数条
2.半径是2厘米的圆,周长和面积( )。
A.相等 B.不相等
C.无法比较
3.大圆半径是小圆半径的6倍,则大圆面积是小圆面积的( )倍。
A.2 B.36 C.8
4.若下面三个图形的面积相等,则( )的周长最小。
A.长方形 B.正方形 C.圆
5.将一根70米长的铁丝在圆盘上绕2圈后,还剩7.2米,这个圆盘的半径是( )。
A.6米 B.3米
C.4米 D.5米
6.有大、小两个圆,如果它们的半径都增加1米,那么大圆的周长增加得( )。
A.多 B.少 C.与小圆同样多
7.大、小两个圆组成的图案中,最多能有( )条对称轴。
A.1 B.2 C.无数
三、我是聪明的小法官(8分)
1.直径相等的两个圆,面积也相等。 ( )六年级数学·上 新课标[人教]
2.一个圆的半径扩大到原来的3倍,面积也扩大到原来的3倍。 ( )
3.要画一个直径是5 cm的圆,圆规两脚间的距离应是5 cm。 ( )
4.半圆的周长是圆周长的一半。 ( )
四、画一画(8分)
1.按要求画圆,并标出圆心、半径和直径。
(1)半径是1 cm。
(2)直径是1 cm。
2.画出下面图形的所有对称轴。
五、计算下面各图形的周长(12分)
六、计算下面各图形的面积(单位:dm)(12分)六年级数学·上 新课标[人教]
七、解决问题(35分)
1.伦敦市的标志性建筑——大本钟,巨大而华丽,它的时针的长度是2.75 m,大本钟的时针
针尖每天走过的路线是多少米?
2.一个呼啦圈的直径是0.95 m,它的周长是多少米?(结果精确到0.1 m)
3.学校圆形花坛的周长是25.12 m,它的面积是多少平方米?
4.有如下图阴影部分所示形状的一个零件,试求出该零件的周长。六年级数学·上 新课标[人教]
5.一辆三轮车,前轮直径是3 dm,后轮直径是2 dm,前轮转50周所行的路程,后轮要转多少
周?
★附加题
已知图中正方形的边长是8 cm,求阴影部分的面积。
【参考答案】
一、1.圆心 半径 直径 2.都相等 直径 2倍
3.1.256 0.1256 4.6 5.π 6.2.4649 3.14 7.2 2 4 8.9 9.圆 10.5.14
二、1.C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C
三、1.√ 2.✕ 3.✕ 4.✕
四、1.略 2.如下图所示。
五、2×3.14×3=18.84(dm) 3.14×5=15.7(cm)
3.14×2+2×2=10.28(m)
(4) 2
六、3.14×1.52=7.065(dm2) 3.14× =12.56(dm2) 3.14×(82-42)=150.72(dm2)
2
60
3.14×62× =18.84(dm2)
360六年级数学·上 新课标[人教]
七、1.2×3.14×2.75×2=34.54(m) 2.3.14×0.95≈3.0(m) 3.25.12÷2÷3.14=4(m)
1
3.14×42=50.24(m2) 4.3.14×16× +3.14×(16÷2)=50.24(cm)
2
5.3.14×3×50=471(dm) 471÷(3.14×2)=75(周)
1
附加题 8×8× =32(cm2)
2
