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第 01 章 重点突破训练：有理数及其相关概念应用
考点体系
考点1：绝对值、相反数概念的应用
典例：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为6，求 的值．
【答案】见解析
【解析】
解：因为a、b互为相反数,所以a+b=0
因为c、d互为倒数,所以c d=1
因为m的绝对值为6,所以m= 6
当m=6时，原式=6 +0-1 =5
当m=-6时，原式=-6+0-1=-7.
方法或规律点拨
解这道题时，需注意“m的绝对值为6”表示m可能是6，也可能是-6，不要漏掉某种情况.巩固练习
1．（2019·江苏省泰州中学附属初中初一期中）如图，数轴上的两点A，B分别表示有理数a，b，
（1）（用“>”或“=”或“<”填空）： a+b 0， b-a 0
（2）分别求出|a+b|与| b-a |.
【答案】（1）<，>；（2）-a-b ，b-a
【解析】解：（1）由数轴可知， 且 ，
所以a+b<0， b-a>0；
故答案为：<；> .
（2）∵a+b<0，b-a>0，
∴|a+b|=-(a+b)=-a-b，
|b-a|= b-a.
2．（2019·江西省初一期末）计算：有理数a、b，c在数轴上的对应点如图，且a、b，c满足条件
．
（1）求a、b，c的值；（2）求 的值．
【答案】（1）a=−1；b=2；c=−5；(2)10.
【解析】解:(1)由图可知，c
∵10|a|=5|b|=2|c|=10，
∴10|a|=10，即|a|=1，解得a=−1；
同理5|b|=10，|b|=2，解得b=2；
2|c|=10，即|c|=5，解得c=−5；
(2)|a+b|+|b+c|+|a+c|=|−1+2|+|2−5|+|−1−5|=1+3+6=10.
3．（2019·江西省初一期中）在下列各数 中，负数的个数为m个，正
数的个数为n个，绝对值最大的数为k.
（1）m= __________．n=__________．K=__________．（2）求 的值
【答案】（1）4，3，-125；（2）-32.
【解析】解：（1）负数有-125，- ，-4.5，-0.06共4个，则m=4；
正数有31，4.7， 共3个，则n=3；
=125， ， ， = ， =0， = ， =4.5， =0.06，
由0<0.06< < <4.5<4.7<31<125,
故绝对值最大的数为-125.
则m=4，n=3，k=-125；
（2）（k-n）÷m =（-125-3）÷4=-32．
4．（2019·浙江省初一月考）若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算：(1)x，y，z的值.(2)求|x|+|y|+|z|的值.
【答案】X=2 y=-3 z=5
【解析】
5．（2019·江西省初一期中）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：
（1）在数轴上表示﹣x，|y|；
（2）试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接，（3）化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．
【答案】（1）见解析；（2）﹣x＜y＜0＜|y|＜x；（3）y.
【解析】解：（1）由数轴可知x>0，y<0，则 =-y，则－x， 在数轴上表示为：
（2）数轴上左边的数小于右边的数，则-x0，y-x<0， =-y，
则 － + =x+y+y-x-y=y.
6．（2018·河南省初一期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m到原点的距离为2，求2（a+b）
+3cd-|-m|的值．
【答案】1
【解析】解：∵有理数m所表示的点到原点距离2个单位，
∴m=2或-2；
根据题意得：a+b=0，cd=1，
当m=2时，原式=1；当m=-2时，原式=1，
则原式的值为1．
7．（2019·浙江省初一月考）计算：已知|x|= ，|y|= ，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．
【答案】-36.
【解析】解：∵|x|= ，|y|= ，且x＜y＜0，
∴x=﹣ ，y=﹣ ，
∴6÷（x﹣y）=6÷（﹣ + ）=﹣36．
考点2：有理数的混合计算
典例：（2019·句容市第二中学初一月考）计算（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
【答案】（1） 10 （2）16 （3）-3 （4） （5）0.75 （6）
【解析】
（1） = ；
（2） ；
（3） = ；
（4） ；
（5） = ；
（6）
=
方法或规律点拨
有理数的四则运算中，利用分配律往往给计算带来简便。
巩固练习1．（2019·全国初一课时练习）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子： ，
， ，…，
你发现规律了吗？下一个式子应该是： ．
利用你发现的规律，计算：
.
【答案】
【解析】
下一个式子应该是： ．
+ …+ ．
2．（2019·福建省厦门外国语学校初一月考）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每
条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】(1)2+3+4=9，
9-6-4=-1，9-6-2=1，
9-2-7=0，
9-4-0=5，
如图1所示：
(2)-3+1-4=-6，
-6+1-(-3)=-2，
-2+1+4=3，
如图2所示：
x=3-4-(-6)=5，
y=3-1-(-6)=8，
即当x+y=5+8=13时，它能构成一个三阶幻方.
3．（2020·浠水县兰溪镇兰溪中学初一期中）王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成
下列各题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最大，最大值是 ．
（3）从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，
（注：每个数字只能用一次，如：23×[1﹣（﹣2）]），请另写出一种符合要求的运算式子 ．
【答案】（1）﹣6；（2）3；（3） [3﹣（﹣2）]2﹣1=24（答案不唯一，符合题意正确即可）.
【解析】
（1）取3，﹣2，乘积最小=﹣6，
故答案为﹣6．
（2）取3，1商的最大值为3，
故答案为3．
（3）[3﹣（﹣2）]2﹣1=24.4．（2019·安陆市陈店乡初级中学初一月考）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：1－（1+ ）；
第2个数：2－（1+ ）[1+ ][1+ ]；
第3个数：3－（1+ ）[1+ ][1+ ][1+ ][1+ ].
…
(1)分别计算这三个数的结果(直接写答案)；
(2)写出第2 017个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)第1个数： ；第2个数： ；第3个数： .
(2)第2 017个数：
2 017－
=2017-
=2017-
= .
5．（2019·山东省招远市金岭镇邵家初级中学初一期中）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（-15）；
（2）999× +999×（ ）-999× .
【答案】(1)149985;(2)99900.
【解析】解：（1）999×（-15）=（1000-1）×（-15）=15-15000=149985;
（2）999× +999×（ ）-999× =999×[ +（ ）- ]=999×100=99900.
6．（2019·云南省鹿阜中学初二期中）观察下列各式：
， = ﹣ ， = ﹣
（1）填空： =___________.
（2）计算： + + +…+ ．
【答案】(1) ,(2) .
【解析】解：（1） ；
（2）原式= = ．
1
7．（2019·安徽省涡阳县丹城中心校初一月考）计算：-14-(1-0.4)÷ ×[(-2) 2-6]
；
3
【答案】2.6
【解析】原式=-1-0.6×3×(4-6)=-1-1.8×(-2)
=﹣1+3.6
=2.6．
8．（2019·河南省初一期中）计算：
（1）5×（－2）＋（－8）÷（－2）； （2） ；
（3） ； （4）－14－（1－0×4）÷ ×[（－2）2－6].
【答案】（1）-6；（2）-3；（3）37；（4）5
【解析】
(1)原式＝－10＋4＝－6；
(2)原式＝ ×(－4)＝－8＋5＝－3；
(3)原式＝－12＋40＋9＝37；
(4)原式＝－1－1×3×(－2)＝－1＋6＝5.
考点3：定义新运算
典例：（2020·湖北省初一月考）现定义运算：对于任意有理数a、b，都有a b＝ab－b，如：2 3＝2×3
－3，请根据以上定义解答下列各题：
（1） 2 （－3）＝___________，x （－2）＝___________；
（2） 化简：[（－x） 3] （－2）；
（3） 若x ＝3 （－x），求x的值．
【答案】（1）－3，－2x＋2 ；（2）6x＋8；（3）x＝－ ．
【解析】
解：（1）2 （－3）=2×（﹣3）+3=-6+3=-3，x （－2）=-2x+2；（2）（－x） 3=-3x-3，（-3x-3） （－2）=6x+6+2=6x+8；
（3） ，解得：x= ．
方法或规律点拨
本题考查了求代数式的值和有理数的混合运算，能读懂题意是解此题的关键．
巩固练习
1．（2019·云南省鹿阜中学初一月考）若定义 ，其中符号“ ”是我们规定的一种运
算符号．例如： ．求： 的值．
【答案】-8.
【解析】
解：根据题中的新定义得： ．
2．（2019·连云港外国语学校初一期中）（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 ，
等．类比有理数的乘方，我们把 记作 ， 读作“2 的圈3次方”，
记作 ，读作“-3的圈4次方”，一般地，把 记作
©，读作“ 的圈c次方”．
(1)（初步探究）
直接写出计算结果： ________， ________，
(2)关于除方，下列说法错误的是 ．
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数 ， ；
C． ；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
(3)（深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有
理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
________； ________； ________．
Ⅱ.想一想：将一个非零有理数 的圈 次方写成幂的形式等于________；
Ⅲ.算一算： ________
【答案】【初步探究】（1） ，-8 ；（2）C；【深入思考】（1） ， ，(-2)8 ；(2)
；（3）-131.
【解析】解：【初步探究】 （1） ，-8；（2）C；
【深入思考】（1） ， ，(-2)8 ；
(2) ；
（3）122÷ × -
=144÷(-3)2× (-2)3-(-3)4÷33
=144÷9× (-8)-3
=-128-3=-131.
3．（2019·四川省初一期中）我们定义一种新运算：a*b=a2﹣b+ab．例如：1*3=12﹣3+1×3=1．（1）求2*（﹣3）的值．
（2）求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．
【答案】（1）1；（2）1．
【解析】解：（1）2*（﹣3）=22﹣（﹣3）+2×（﹣3）=4+3﹣6=1；
（2）（﹣2）*[2*（﹣3）]=（﹣2）*1=（﹣2）2﹣1+（﹣2）×1=4﹣1﹣2=1．
4．（2019·江苏省初一月考）定义☆运算
观察下列运算：
（+3）☆（+15）＝+18（﹣14）☆（﹣7）＝+21，
（﹣2）☆（+14）＝﹣16（+15）☆（﹣8）＝﹣23，
0☆（﹣15）＝+15（+13）☆0＝+13．
（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号_____，异号______．
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，______．
（2）计算：（+11）☆[0☆（﹣12）]＝_____．
（3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值．
【答案】（1）两数运算取正号，并把绝对值相加； 两数运算取负号，并把绝对值相加；等于这个数的绝
对值；（2）23 ；（3）a为3或－1.
【解析】（1）同号两数运算取正号，并把绝对值相加；
异号两数运算取负号，并把绝对值相加
等于这个数的绝对值；
（2）原式=(＋11) ☆(＋12) =23 ；
（3）①当a＝0时，左边＝2×2－1＝3，右边＝0，左边≠右边，所以a≠0；
②当a﹥0时，2×(2＋a)－1＝3a，解得：a＝3；
③当a﹤0时，2×[－（2＋a) ]－1＝3a，解得：a＝－1．
综上所述：a为3或－1．
5．（2018·安徽省初一期末）请观察下列定义新运算的各式：
1⊙3=1×4+3=7；
3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11；
5⊙4=5×4+4=24；
4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13．
（1）请你归纳：a⊙b= ；（2）若a≠b，那么a⊙b b⊙a（填“=”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数．
【答案】（1）4a＋b；（2）≠；（3）-6.
【解析】
解：（1）由题目中的式子可得，
a⊙b=4a+b，
故答案为4a+b；
（2）∵a⊙b=4a+b，b⊙a=4b+a，
∴（a⊙b）-（b⊙a）
=（4a+b）-（4b+a）
=4a+b-4b-a
=4（a-b）+（b-a），
∵a≠b，
∴4（a-b）+（b-a）≠0，
∴（a⊙b）≠（b⊙a），
故答案为≠；
（3）(a－b)⊙(2a＋b)
＝4(a－b)＋(2a＋b)
＝4a－4b＋2a＋b＝6a－3b.
由题意a＝-1，b＝0
∴原式＝6×（-1）－3×0＝-6.
6．（2019·四川省初一单元测试）我们规定“※”是一种数学运算符号，两数A、B通过“※”运算是
(A+2)×2-B,即A※B=(A+2)×2-B，
例如：3※5=(3+2)×2-5=5
（1）求：7※9的值；
（2）求：（7※9）※（-2）的值.
【答案】（1）9;（2）24.
【解析】
解：（1）7※9=（7+2）×2-9=9×2-9=9;
（2）根据题中的新定义得：原式=9※（-2）=（9+2）×2-(-2)=11×2+2=24.
7．（2019·全国初一单元测试）规定一种新的运算：a★b=a×b﹣a﹣b2+1，例如3★（﹣4）=3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2+1，请用上述规定计算下面各式：
（1）2★8；
（2）（﹣7）★[5★（﹣2）]
【答案】（1）﹣49；（2）﹣190．
28282 1,
【解析】（1）2★8
162641,
49；
5★252522
1,
（2）∵
10541,
18，
7★[5★2]7★18,
∴
7187182
1,
12673241,
190．
考点4：有理数计算的实际应用
典例：（2020·偃师市实验中学初一月考）某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某
天从A地出发到收工时行走记录（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣
5，+6，求：
（1）收工时检修小组在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若汽车耗油3升/每千米，开工时储存180升汽油，用到收工时中途是否需要加油，若加油最少加多
少升？若不需要加油到收工时，还剩多少升汽油？
【答案】（1）收工时在A地的正东方向，距A地39km；（2）需加15升.
【解析】
(1)根据题意可得：向东走为“+”，向西走为“−”；
则收工时距离等于(+15)+(−2)+(+5)+(−1)+(+10)+(−3)+(−2)+(+12)+(+4)+(−5)+(+6)=+39.故收工时在A地的正东方向，距A地39km.
(2)从A地出发到收工时，
汽车共走了|+15|+|−2|+|+5|+|−1|+|+10|+|−3|+|−2|+|+12|+|+4|+|−5|+|+6|=65km；
从A地出发到收工时耗油量为65×3=195(升).
故到收工时中途需要加油，加油量为195−180=15升.
方法或规律点拨
此题考查正数和负数，有理数的加法，解题关键在于掌握其定义和运算法则.
巩固练习
1．（2018·偃师市实验中学初一月考）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约
降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？
【答案】10千米
【解析】
根据题意，该处的高度为：
答：此处的高度是10千米.
2．（2019·台州市书生中学初一月考）在湖北抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流
抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千
米）：
+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【答案】（1）B地在A地的东边20千米；（2）最远处离出发点25千米；（3）还需补充的油量为9升.
【解析】
(1)∵14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20，
∴B地在A地的东边20千米．
(2)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为14千米，
14－9＝5(千米)，
14－9＋8＝13(千米)，
14－9＋8－7＝6(千米)，
14－9＋8－7＋13＝19(千米)，14－9＋8－7＋13－6＝13(千米)，
14－9＋8－7＋13－6＋12＝25(千米)，
14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20(千米)．
∴最远处离出发点25千米．
(3)这一天走的总路程为14＋|－9|＋8＋|－7|＋13＋|－6|＋12＋|－5|＝74(千米)，
耗油74×0.5＝37(升)，37－28＝9(升)，
故还需补充的油量为9升．
3．（2020·中卫市宣和中学初一期末）粮库3天内进出库的粮食记录日下（单位：吨．进库的吨数记为正
数，出库的吨数记为负数）：
+26，﹣32，﹣25，+34，﹣38，+10．
（1）经过这3天，库里的粮食是增多了还是减少了？
（2）经过这3天，仓库管理员结算发现库存粮食480吨，那么3天前库存粮食是多少吨？
【答案】（1）-25吨；（2）505吨；
【解析】（1）26+（﹣32）+（﹣25）+34+（﹣38）+10=﹣25（吨）．
答：粮库里的粮食是减少了25吨；
（2）480﹣（﹣25）=505（吨）．
答：3天前粮库里存粮有505吨；
4．（2020·宁波市江北区新城外国语学校初一期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产
300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）写出该厂星期一生产工艺品的数量；
（2）本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？
（3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；
（4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另
奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．
【答案】（1）305（个）；（2）26（个）；（3）2200（套）（4）127100（元）
【解析】（1）周一的产量：300+5=305（个）；
（2）最多的一天比最少的一天多生产（+16）-（-10）=26（个）；
（3）根据题意得一周生产的服装套数为300×7+[（+5）+（-2）+（-5）+（+15）+（-10）+（+16）+
（-9）]=2100+10=2200（套）（4）∵超额完成10套，
∴该工艺厂在这一周应付出的工资总额为2110×60+10×50=127100（元）
5．（2020·湖南省初一期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作
负数，他的记录如下（单位：米）：+6，﹣2，+10，﹣8，﹣7，+11，﹣10．
(1)守门员是否回到了原来的位置？
(2)守门员离开球门的位置最远是多少？
(3)守门员一共走了多少路程？
【答案】（1）回到了原来的位置；（2）守门员离开守门的位置最远是14米；（3）54米．
【解析】
（1）根据题意得：6﹣2+10﹣8﹣7+11﹣10=0．
答：回到了原来的位置．
（2）第一次离开6米，第二次离开4米，第三次离开14米，第四次离开6米，第五次离开1米，第六次
离开10米，第七次离开0米，
则守门员离开守门的位置最远是14米；
（3）总路程=|+6|﹣2|+|+10|+|﹣8|+|﹣7|+|+11|+|﹣10|=54米．
6．（2019·福建省初一期中）出租车司机李师傅一天下午的营运全是在东西走向的路上进行的，如果规定
向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：+8，+4，-10，-3，+6，-5，-2，-7，+4，+6
（1）李师傅将第几名乘客送到目的地时，刚好回到下午出发点？
（2）李师傅将最后一名乘客送抵目的地时，他距离出发点多少米？
（3）如果汽车耗油量为0.3升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？
【答案】（1）六；（2）1；（3）16.5升．
【解析】解：（1）+8+4=12，
12﹣10=2，
2﹣3=﹣1，
﹣1+6=5，
5﹣5=0．
故李师傅将第六名乘客送到目的地时，刚好回到下午出发点；
（2）0﹣2﹣7+4+6=1，
故李师傅将最后一名乘客送抵目的地时，他距离出发点1米；
（3）（8+4+10+3+6+5+2+7+4+6）×0.3
=55×0.3=16.5（升）．
故这天下午汽车共耗油16.5升．
考点5：数轴上的动点问题
典例：（2020·山西省山西实验中学初一期中）（阅读理解）
点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点
C是{A，B}的奇点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离
是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D
就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．
（知识运用）
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．
（1）数 所表示的点是{M，N}的奇点；数 所表示的点是{N，M}的奇点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B
出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？
【答案】（1）3，－1；（2）－30，10．
【解析】(1)5－(－3)＝8，
8÷(3＋1)＝2，
5－2＝3，
－3＋2＝－1.
故表示数3的点是{M，N}的奇点；表示数－1的点是{N，M}的奇点．
(2)30－(－50)＝80，
80÷(3＋1)＝20，
30－20＝10，
－50＋20＝－30.故点P运动到数轴上表示－30和10的点的位置时，P，A，B中恰有一个点为其余两点的奇点．
方法或规律点拨
本题考查数轴及数轴上两点的距离、动点问题，解题的关键是认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的
点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．
巩固练习
1．（2020·靖江外国语学校初一月考）如图，数轴的单位长度为1．
（1）如果点A，D表示的数互为相反数，那么点B表示的数是多少？
（2）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中表示的四个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什
么？
（3）当点B为原点时，若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍，则点M所表示的数是____.
【答案】（1）-1；（2）点A表示的数的绝对值最大．理由是点A的绝对值是4最大；（3）2或10；
【解析】
（1）根据题意得到原点O，如图，则点B表示的数是-1；
（2）当B，D表示的数互为相反数时，A表示-4，B表示-2，C表示1，D表示2，
所以点A表示的数的绝对值最大．点A的绝对值是4最大．
（3）2或10．设M的坐标为x．
当M在A的左侧时，-2-x=2（4-x），解得x=10（舍去）
当M在AD之间时，x+2=2（4-x），解得x=2
当M在点D右侧时，x+2=2（x-4），解得x=10
故答案为：①点M在AD之间时，点M的数是2②点M在D点右边时点M表示数为10．
2．（2018·广东省铁一中学初一期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动
点，其对应的数为x.
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说
明理由；
（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
【答案】（1）点P对应的数是1；（2）存在x的值，当x=﹣3或5时，满足点P到点A、点B的距离之和
为8；（3）当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是﹣4或﹣28.
【解析】（1）∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P是线段AB的中点．
∵点A、B对应的数分别为﹣1、3，∴点P对应的数是1；
（2）①当点P在A左边时，﹣1﹣x+3﹣x=8，解得：x=﹣3；
②当点P在B点右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）=8，解得：x=5．
即存在x的值，当x=﹣3或5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；
（3）①当点A在点B左边，两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，则3+0.5t﹣（2t﹣1）=3，解得：
t= ，则点P对应的数为﹣6× =﹣4；
②当点A在点B右边，两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，则2t﹣1﹣（3+0.5t）=3，1.5t=7，解得：
t= ，则点P对应的数为﹣6× =﹣28．
综上可得：当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是﹣4或﹣28．
3．（2020·山东省初一期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做
A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是 ；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸
福中心，则C所表示的数可以是 （填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为
8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B
的幸福中心？【答案】（1）﹣4或2；（2）﹣2或﹣1或0或1或2或3或4；（3）当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂
蚁是A和B的幸福中心．
【解析】
（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；
（2）4-（-2）=6，
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4；
（3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有
①8-2x-4+（8-2x+1）=6，
解得x=1.75；
②4-（8-2x）+[-1-（8-2x）]=6，
解得x=4.75．
故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
4．（2019·内蒙古自治区初一期中）在数轴上标出下列各数：－1.5，2，+（-1），0， 并用“＜”连接
起来．
【答案】−1.5<+(−1)<0<2<|−3|.
【解析】
如图所示，
，
故−1.5<+(−1)<0<2<|−3|.
5．（2019·山东省初一期中）如图，在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题：
(1)若将点B向右移动6个单位后，三个点所表示的数中最小的数是多少？
(2)在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数；(3)在点B左侧找一点E，使点E到点A的距离是到点B的距离的2倍，并写出点E表示的数．
【答案】(1)－1; (2)0.5 ;(3)－9
【解析】解：（1）点B表示的数为-5+6=1，
∵-1＜1＜2，
∴三个点所表示的数最小的数是-1；
（2）点D表示的数为（-1+2）÷2=1÷2=0.5；
（3）点E在点B的左侧时，根据题意可知点B是AE的中点，
则点E表示的数是-5-（-1+5）=-9．
6．（2020·河北省初一期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在左侧的一点，且A，B两点间的
距离为10。动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒。
（1）数轴上点B表示的数是______；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是_____。
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【答案】（1）-4，1（2）①当点P运动2.5秒时，点P追上点Q；②当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与
点Q间的距离为8个单位长度．
【解析】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA=6，
则OB=AB-OA=10-6=4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为-4；
∵数轴上点A表示的数为6，数轴上点B所表示的数为-4
∴AB的中点是：1
∴数轴上点P所表示的数为：1
故答案为：-4，1
（2）①设点P运动t秒时追上点Q，则6t-2t=10，
解得t=2.5，
所以当点P运动2.5秒时，点P追上点Q；
②设当点P运动m秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，数轴上点P所表示的数为：6-6m，数轴上
点Q所表示的数为：-4-2m，
当P不超过Q，则（6-6m ）-（-4-2m）=8，解得m=0.5；
当P超过Q，则（-4-2m）-（6-6m ）=8，解得m=4.5；
所以当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
7．（2019·河南省实验学校英才中学初一开学考试）阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点衰示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可
以用右边的数减去左边的数表示，即AB﹣b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移
动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点人的距离CA= cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示的数为 ；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时
间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【答案】（1）如图所示（2）5，﹣5或3（3）﹣1+x（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化
【解析】解：（1）如图所示：
（2）CA=4﹣（﹣1）=4+1=5（cm）；
设D表示的数为a，∵AD=4，
∴|﹣1﹣a|=4，
解得：a=﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
故答案为5，﹣5或3；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
故答案为﹣1+x；
（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA=（4+4t）﹣（﹣1+t）=5+3t，AB=（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）=2+3t，
∴CA﹣AB=（5+3t）﹣（2+3t）=3，
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化
8．（2018·四川省初一单元测试）在下面给出的数轴中，点 A 表示 1，点 B 表示－2，回答下面的问题：
(1)A、B 之间的距离是 ；
(2)观察数轴，与点 A 的距离为 5 的点表示的数是： ；
(3)若将数轴折叠，使点 A 与－3 表示的点重合，则点 B 与数 表示的点重合；
(4)若数轴上 M、N 两点之间的距离为 2018（M 在 N 的左侧），且 M、N 两点经过(3)中折 叠 后 互
相 重 合 ， 则 M 、 N 两 点 表 示 的 数 分 别 是 ： M ： ；N： ．
【答案】（1）3；（2）6或-4；（3）0；（4） M ： -1010 ；N： 1008 ．
【解析】
(1)A、B之间的距离是1+|−2|=3.
故答案为：3；
(2)与点A的距离为5的点表示的数是：−4或6.
故答案为：−4或6；
(3)则A点与−3重合，则对称点是−1，则数B关于−1的对称点是：0.
故答案为：0；
(4)由对称点为−1,且M、N两点之间的距离为2018(M在N的左侧)可知，
M点表示数−1010，N点表示数1008.
故答案为：−1010，1008.
