专题03二次函数的图象与性质大题（五大题型）原卷版_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 03 二次函数的图象与性质大题（五大题型） 通用的解题思路： 题型一．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝ ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y 随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y 随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或 向下平移| |个单位得到的． 题型二．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越 小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简 称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点． 题型三．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a ≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）； 1 2 （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入 数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当 已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选 择设其解析式为交点式来求解． 题型四．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c＝0 根之间的关 系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交 1 2 点坐标（x ，0），（x ，0）． 1 2 题型五．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符 号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数 问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些 隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下 的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型一．二次函数的性质（共3小题） 1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系 xOy中， A(x ， y )， B(x ， y )是抛物线 1 1 2 2 yx2 bx(b0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线xh． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h的值； （2）若对于x h1，x 2h，都有y  y ，求h的取值范围； 1 2 1 2 （3）若对于h2„ x„ h1，2„ x„ 1，存在y  y ，直接写出h的取值范围． 1 2 1 2 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数yx2 2tx3． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若0„ x„ 4时，y的最小值为1，求出t的值． （3）如果A(m2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，直线y2mxa与该二次函数交于M(x ， 1 y )，N(x ，y )两点，则x x 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1 2 2 1 2 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线yax2 (a2)x2经过点A(2,t)，B(m,p)． （1）若t 0， ①求此抛物线的对称轴； ②当 pt时，直接写出m的取值范围； （2）若t0，点C(n,q)在该抛物线上，mn且5m5n13，请比较 p，q的大小，并说明理由．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题） 4．（2023•南京）已知二次函数yax2 2ax3(a为常数，a0)． （1）若a0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若a1，求证：当1x0时，y0． （3）若该函数的图象与 x轴有两个公共点(x ，0)，(x ，0)，且 1x x 4，则 a的取值范围 1 2 1 2 是 ． 5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，点(1,y )，(3,y )在抛物线yx2 2mxm2上． 1 2 （1）求抛物线的顶点 ； （2）若y  y ，求m的取值范围； 1 2 （3）若点(x ，y )在抛物线上，若存在1x 0，使y  y  y 成立，求m的取值范围． 0 0 0 1 0 2 6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2 bx3经过点(2a,3)． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a的代数式表示）； （2）点M(t2,m)，N(t2,n)，P(t,p)为该抛物线上的三个点，若存在实数t，使得mn p，求a的 取值范围．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式 yx2 bxc，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象． （1）若输入b2，c3，得到如图①所示的图象，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标； （2）已知点P(1,10)，Q(4,0)． ①若输入b，c的值后，得到如图②的图象恰好经过P，Q两点，求出b，c的值； ②淇淇输入b，嘉嘉输入c1，若得到二次函数的图象与线段PQ有公共点，求淇淇输入b的取值范围． 8．（2024•浙江模拟）设二次函数yax2 4axc(a，c均为常数，a0)，已知函数值y和自变量x的部 分对应取值如下表所示： x  1 0 2 5  y  m 3 p n  （1）判断m，n的大小关系，并说明理由； （2）若3m2n8，求 p的值； （3）若在m，n， p这三个数中，只有一个数是负数，求a的取值范围．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 yx2 (2m6)x1经过点(m,y )，(m,y )， 1 2 (m2,y )． 3 （1）若y  y ，求抛物线的对称轴； 1 3 （2）若y  y  y ，求m的取值范围． 2 3 1 10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2 bxc(a，b，c为常数，且a0)经过 A(2,4)和B(3,1)两点． （1）求b和c的值（用含a的代数式表示）； （2）若该抛物线开口向下，且经过C(2m3,n)，D(72m,n)两点，当k3xk3时，y随x的增大而 减小，求k的取值范围； （3）已知点M(6,5)，N(2,5)，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a的取值范 围． 11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点(0,3)，(6,y )在抛物线 yax2 bxc(a0) 1 上． （1）当y 3时，求抛物线的对称轴； 1 （2）若抛物线yax2 bxc(a0)经过点(1,1)，当自变量x的值满足1„ x„ 2时，y随x的增大而增大， 求a的取值范围； （3）当a0时，点(m4,y )，(m,y )在抛物线yax2 bxc上．若y  y c，请直接写出m的取值范 2 2 2 1 围．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 12．（2024•保山一模）如图，抛物线yax2 bxc过A(2,0)，B(3,0)，C(0,6)三点；点P是第一象限内 1 抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且 m3． 2 （1）试求抛物线的表达式； 1 （2）过点P作PN x轴并交BC于点N，作PM  y轴并交抛物线的对称轴于点M ，若PM  PN ，求m 2 的值．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2x8与抛物线yx2 bxc交 于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D，E．当 3 DE AB时，求点C的坐标． 8 14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数yx2 bxc的图象经过点A(0,3)，B(3,0)．点P在抛物线 yx2 bxc上，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当2x3时，求y的取值范围； 3 （3）当抛物线yx2 bxc上P、A两点之间部分的最大值与最小值的差为 时，求m的值； 4 （4）点M 在抛物线 yx2 bxc上，其横坐标为1m．过点P作PQ y轴于点Q，过点M 作MN x 轴于点N，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM 与PNM 的面积相等时，直接写出m的值．题型四．抛物线与x轴的交点（共14小题） 15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数ymx2 (m2)x2(m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点． （2）不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 ． （3）在2„ x„ 2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值． 16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2 bxc的图象与x轴交于A，B两点， B点的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD的面积17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2 bxc与抛物线yx2 x1的形 状相同，且与 x轴交于点(1,0)和(4,0)．直线 ykx2分别与 x轴、 y轴交于点 A， B，交抛物线 yax2 bxc于点C，D（点C在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线ykx2上方抛物线上的任意一点，当k 2时，求PCD面积的最大值； （3）若抛物线yax2 bxc与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围． 18．（2024•西湖区校级模拟）已知y ax2 (ab)xb和y bx2 (ab)xa(ab且ab0)是同一直角 1 2 坐标系中的两条抛物线． （1）当a1，b3时，求抛物线y ax2 (ab)xb的顶点坐标； 1 （2）判断这两条抛物线与x轴的交点的总个数，并说明理由； （3）如果对于抛物线y ax2 (ab)xb上的任意一点P(m,n)均有n„ 2a2b．当 y…0时，求自变量x 1 2 的取值范围．19．（2024•三元区一模）抛物线 yax2 bx3与x轴相交于点 A(1,0)，B(3,0)，与 y轴正半轴相交于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M(x ，y )，N(x ，y )是抛物线上不同的两点． 1 1 2 2 ①当x ，x 满足什么数量关系时，y  y ； 1 2 1 2 ②若x x 2(x x )，求y  y 的最小值． 1 2 1 2 1 2 20．（2024•黄山一模）已知抛物线yax2 bxc(a0)与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，经过点D(2,3)， 与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点M 是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B)，过点M 作x轴的垂线分别交抛物 线和直线BC于点E、点F ．求线段EF 的最大值． 1 21．（2024•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y x2 bxc的图象与x轴交于A、B两 4 点，A(2,0)，与y轴交于点C(0,2)，点P是抛物线上y轴左侧的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点P关于直线BC的对称点P恰好落在y轴上，求点P的坐标．22．（2024•江西模拟）已知关于x的二次函数yx2 (k4)x3k． （1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点； （2）若二次函数的顶点P的坐标为(x,y)，求y与x之间的函数关系及y的最大值． 23．（2024•峰峰矿区校级二模）如图，已知抛物线L:yx(x3)n与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点M ． （1）若该抛物线过点(1,6)； ①求该抛物线的表达式，并求出此时A，B两点的坐标； ②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为yx(x3)6，A点的对应点为A，求平移后顶 点坐标和线段AA的长； （2）点M 关于L:yx(x3)n的对称轴的对称点的坐标为 （用含n的代数式表示）．24．（2024•安徽模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 yax2 bx3与x轴分别交于点 A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点D、F 分别是抛物线上第四象限、第二象限上的点，其中点F 的横坐标为t，连接BF 交y 轴于点E，连接DC、DE，设CDE的面积为s，且4s9t 0，求点D的坐标． 25．（2024•宜昌模拟）如图，函数yx2 5x6的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴 交于点C． （1）已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当0„ x„ 3时，对于x的每一个值，函数y2xb(b为常数）的值大于函数yx2 5x6的值，直接 写出b的取值范围．26．（2024•昆山市模拟）如图，已知抛物线L:yax2 bx4与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，与y轴交 于点C． （1）求抛物线L的表达式； （2）若抛物线L关于原点对称的抛物线为L，求抛物线L的表达式； （3）在抛物线L上是否存在一点P，使得S 2S ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理 ABC ABP 由． 27．（2024•安徽模拟）已知抛物线yx2 bxc(b，c是常数）与x轴交于点A(3,0)和点B(1,0)，与y轴 交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上的一点． （1）求b，c的值；（2）如图1，点Q是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点P的横坐标大1，分别过点P和点Q作PD//y 轴，EQ//y轴，PD与QE分别与AC交于点D，E，连接CQ，AP，求S S 的值； APD CEQ （3）如图2，连接PB与AC交于点M ，连接AP，BC，当S S 2时，求点M 的坐标． APM BCM 28．（2024•西安校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C :yax2 xc(a0)与 x轴交于 1 A(1,0)，B(3,0)两点，交y轴于点C． （1）求抛物线C 的解析式； 1 （2）设抛物线C 关于坐标原点对称的抛物线为C ，点A，B的对应点分别为A，B．抛物线C 的顶点 1 2 2 为E，则在x轴下方的抛物线C 上是否存在点F ，使得ABF的面积等于△BBE的面积．若存在，求出F 2 点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五．二次函数综合题（共3小题） 29．（2024•鄞州区模拟）新定义：我们把抛物线yax2 bxc（其中ab0)与抛物线ybx2 axc称为 “关联抛物线”．例如：抛物线 y2x2 3x1的“关联抛物线”为： y3x2 2x1．已知抛物线C :y4ax2 ax4a3(a0)的“关联抛物线”为C ． 1 2 （1）写出C 的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； 2 （2）若a0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M ，N． 1 2 ①当MN 6a时，求点P的坐标； ②当a4„ x„ a2时，C 的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 2 30．（2023•大庆）如图，二次函数yax2 bxc的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与 对应函数值y如下表： x  1 0 1 2 3 4  y  0 3 4 3 0 5  （1）求二次函数yax2 bxc的表达式； （2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数yax2 bxc的图象交于P，Q两点(P在Q左边）， R为二次函数 yax2 bxc的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m 2 时，求 tanRPQ的值； （3）若将线段 AB先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到的线段与二次函数 1 y (ax2 bxc)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围． t1 31．（2024•历下区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y x1与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛 2 物线M :yax2 bxc经过点A，且顶点在直线AB上． （1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M 的表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线M 上是否存在点C，满足ABC ABO．若存在，求点C的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）定义抛物线N:ybx2 axc为抛物线M 的换系抛物线，点P(t,p)，点Q(t3,q)在抛物线N上，若 对于2„ t„ 3，都有 pq1，求a的取值范围．