专题03二次函数的图象与性质大题（五大题型）解析版_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 03 二次函数的图象与性质大题（五大题型） 通用的解题思路： 题型一．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝ ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y 随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y 随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或 向下平移| |个单位得到的． 题型二．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越 小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简 称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点． 题型三．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a ≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）； 1 2 （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入 数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当 已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选 择设其解析式为交点式来求解． 题型四．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c＝0 根之间的关 系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交 1 2 点坐标（x ，0），（x ，0）． 1 2 题型五．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符 号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数 问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些 隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下 的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型一．二次函数的性质（共3小题） 1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系 xOy中， A(x ， y )， B(x ， y )是抛物线 1 1 2 2 yx2 bx(b0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线xh． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h的值； （2）若对于x h1，x 2h，都有y  y ，求h的取值范围； 1 2 1 2 （3）若对于h2„ x„ h1，2„ x„ 1，存在y  y ，直接写出h的取值范围． 1 2 1 2 b b 【分析】（1）根据对称轴x 进行计算，得 h，再把(2,0)代入yx2 bx(b0)，即可作答． 2a 2 （2）因为A(x ，y )，B(x ，y )是抛物线yx2 bx(b0)上的点，所以把x h1，x 2h分别代入， 1 1 2 2 1 2 得出对应的y ，y ，再根据y  y 联立式子化简，计算即可作答； 1 2 1 2 （3）根据h2„ x„ h1，2„ x„ 1，存在 y  y ，得出当2h21或者2h11，即可作 1 2 1 2 答． 【解答】解：（1） 抛物线的对称轴为直线xh，  b b h  ， 2 2 即b2h， 抛物线yx2 2hx， 把(2,0)代入yx2 2hx， 得042h2， 解得h1； （2）由（1）知抛物线yx2 2hx， A(x ，y )，B(x ，y )是抛物线yx2 2hx上任意两点，  1 1 2 2 y (h1)2 2h(h1)h2 1，y (2h)2 2h2h0， 1 2 对于x h1，x 2h，都有y  y ，  1 2 1 2 h2 10， 解得h1或h1；（3） A(x ，y )，B(x ，y )是抛物线yx2 2hx上任意两点，  1 1 2 2 对于h2„ x„ h1，2„ x„ 1，存在y  y ，且  1 2 1 2 (h2,y )关于直线xh的对称点为(h2,y )，(h1,y )关于直线xh的对称点为(h1,y )， 1 1 1 1 当2h21时，存在y  y ， 1 2 解得0h1， 当2h21时，存在y  y ， 1 2 解得4h3， 当2h11时，存在y  y ， 1 2 解得3h2， 当2h11时，存在y  y ， 1 2 解得1h0， 综上，满足h的取值范围为4h1且h0． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数yx2 2tx3． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若0„ x„ 4时，y的最小值为1，求出t的值． （3）如果A(m2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，直线y2mxa与该二次函数交于M(x ， 1 y )，N(x ，y )两点，则x x 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1 2 2 1 2 1 【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出t ，再根据对称轴公式求出对称轴； 2 （2）根据抛物线开口向下，以及x0时y3，由函数的性质可知，当x4时，y的最小值为1，然后求t 即可； （3） A(m2,n)， C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出 mt 1，再令 x2 2tx32mxa，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出x x 2． 1 2 【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数yx2 2tx3，得312t3， 1 解得t ， 2 2t 1 对称轴直线为x t  ； 12 2 （2）当x0时，y3，抛物线开口向下，对称轴为直线xt，  当xt时，y有最大值， 0„ x„ 4时，y的最小值为1，  当x4时，y168t31， 7 解得t ； 4 （3）x x 是定值，理由： 1 2 A(m2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，  m2m xt  m1， 2 mt 1， 令x2 2tx32mxa， 整理得：x2 2(mt)xa30， 直线y2mxa与该二次函数交于M(x ，y )，N(x ，y )两点，  1 1 2 2 x ，x 是方程x2 2(mt)xa30的两个根， 1 2 2(mt) x x  2(mt)2是定值． 1 2 1 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性 质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线yax2 (a2)x2经过点A(2,t)，B(m,p)． （1）若t 0， ①求此抛物线的对称轴； ②当 pt时，直接写出m的取值范围； （2）若t0，点C(n,q)在该抛物线上，mn且5m5n13，请比较 p，q的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当t 0时，点A的坐标为(2,0)，将其代入函数解析式中解得a1，则函数解析式为抛 b 物线的解析式为yx2 x2，再根据求对称轴的公式x 即可求解； 2a ②令y0，求出抛物线与x轴交于(2,0)和(1,0)，由题意可得 p0，则点B在x轴的下方，以此即可解答； （2）将点A坐标代入函数解析式，通过t0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据 点B，C到对称轴的距离大小关系求解． 【解答】解：（1）①当t 0时，点A的坐标为(2,0)，抛物线yax2 (a2)x2经过点A(2,0)，  4a2(a2)20， a1， 抛物线的解析式为yx2 x2， 1 1 抛物线的对称轴为直线x  ； 2(1) 2 ②令y0，则x2 x20， 解得：x 1，x 2， 1 2 抛物线与x轴交于(2,0)和(1,0)， 点A(2,0)，B(m,p)，且 p0，  点B(m,p)在x轴的下方， m2或m1． （2） pq，理由如下： 将(2,t)代入yax2 (a2)x2得t 4a2(a2)26a6， t0，  6a60， a1， 抛物线开口向下， (a2) 1 1 抛物线对称轴为直线x   ，  2a a 2 a1，  1 1 0， a 1 1 1 1     ， 2 a 2 2 mn且5m5n13，  mn 13 1    ， 2 10 2 点B(m,p)到对称轴的距离大于点C(n,q)到对称轴的距离， pq． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题） 4．（2023•南京）已知二次函数yax2 2ax3(a为常数，a0)． （1）若a0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若a1，求证：当1x0时，y0． （3）若该函数的图象与x轴有两个公共点(x ，0)，(x ，0)，且1x x 4，则a的取值范围是 a3 1 2 1 2 或a1 ． 【分析】（1）证明b2 4ac0即可解决问题． （2）将a1代入函数解析式，进行证明即可． （3）对a0和a0进行分类讨论即可． 【解答】证明：（1）因为(2a)2 4a34a2 12a， 又因为a0， 所以4a0，a30， 所以4a2 12a4a(a3)0， 所以该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）将a1代入函数解析式得， yx2 2x3(x1)2 4， 所以抛物线的对称轴为直线x1，开口向下． 则当1x0时， y随x的增大而增大， 又因为当x1时，y0， 所以y0． 2a （3）因为抛物线的对称轴为直线x 1，且过定点(0,3)， 2a 又因为该函数的图象与x轴有两个公共点(x ，0)，(x ，0)，且1x x 4， 1 2 1 2 所以当a0时， a2a30， 解得a3，故a3． 当a0时， a2a30， 解得a1， 故a1． 综上所述，a3或a1． 故答案为：a3或a1． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，点(1,y )，(3,y )在抛物线yx2 2mxm2上． 1 2 （1）求抛物线的顶点(m,0)； （2）若y  y ，求m的取值范围； 1 2 （3）若点(x ，y )在抛物线上，若存在1x 0，使y  y  y 成立，求m的取值范围． 0 0 0 1 0 2 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由y  y ，得到12mm2 96mm2，解不等式即可； 1 2 01 11 m m    2  2 （3）由题意可知 或 ，解不等式组即可． 03 13  m  m  2  2 【解答】解：（1） 抛物线yx2 2mxm2 (xm)2．  抛物线的顶点坐标为(m,0)． 故答案为：(m,0)； （2） 点(1,y )，(3,y )在抛物线yx2 2mxm2上，且y  y ，  1 2 1 2 12mm2 96mm2， m2； （3） 点(x ，y )在抛物线上，存在1x 0，使y  y  y 成立，  0 0 0 1 0 2 01 11 m m    2  2  或 ， 03 13  m  m  2  2 3 解得0m ． 2【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题 的关键． 6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2 bx3经过点(2a,3)． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a的代数式表示）； （2）点M(t2,m)，N(t2,n)，P(t,p)为该抛物线上的三个点，若存在实数t，使得mn p，求a的 取值范围． 【分析】（1）将点(2a,3)代入抛物线yax2 bx3中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可 得出答案； （2）分类讨论当a0和a0，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a的取值范围． 【解答】解（1） 抛物线yax2 bx3经过点(2a,3)，  把(2a,3)代入yax2 bx3得a(2a)2 2ab33， b2a2， yax2 2a2x3， 2a2 抛物线的对称轴x a， 2a 答：抛物线的对称轴为：xa； （2）①当a0时，抛物线开口方向向上，对称轴xa0，在x轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数 值越小， 当t0时， M(t2,m)，N(t2,n)，P(t,p)在抛物线上，  t2t2， 此时 pmn与题干mn p相矛盾，故舍去， 当t 0时， M(t2,m)，N(t2,n)，P(t,p)在抛物线上，  t2t2， 此时mn与题干mn p相矛盾，故舍去； ②当a0时，抛物线开口方向向下，对称轴xa0，在x轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， 当t 0时，点M 、N分别在对称轴同侧时，M(t2,m)，N(t2,n)，P(t,p)在抛物线上，  t2t2， . mn p，  此时0at2，即2ta0， t2， 当t 0时，点M 、N分别在对称轴两侧时， M(t2,m)，N(t2,n)，P(t,p)在抛物线上，  t2tt2， pmn与题干mn p相矛盾，故舍去， 当t0时，且点M 、N分别在对称轴两侧时， M(t2,m)，N(t2,n)，P(t,p)在抛物线上，  t2tt2， nm与题干mn p相矛盾，故舍去， 当t0时，且点M 、N分别在对称轴同侧时， M(t2,m)，N(t2,n)，P(t,p)在抛物线上，  t2tt2， nm与题干mn p相矛盾，故舍去， 答：a的取值范围为2ta0(t 2)． 【点评】本题考查的重点是二次函数的性质和图象的增减性，正确运用属性结合思想是本题做题的关键． 7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式 yx2 bxc，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象． （1）若输入b2，c3，得到如图①所示的图象，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标； （2）已知点P(1,10)，Q(4,0)． ①若输入b，c的值后，得到如图②的图象恰好经过P，Q两点，求出b，c的值； ②淇淇输入b，嘉嘉输入c1，若得到二次函数的图象与线段PQ有公共点，求淇淇输入b的取值范围．【分析】（1）将b2，c3，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可； ②将c1代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)，求出x1和x4的函数值，根据抛物线与线段PQ有 公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）yx2 bxc， 解：当b2，c3时，yx2 2x3(x1)2 4， 顶点C的坐标为：(1,4)； 当y0时，x2 2x30，即(x3)(x1)0， 解得：x 3，x 1， 1 2 A(3,0)，B(1,0)； （2）①抛物线恰好经过P，Q两点， 1bc10 则： ， 164bc0 b5 解得： ； c4 ②当c1时，yx2 bx1， 当x0时，y1， 抛物线过(0,1)， 当x1时，y1b1b， 当点(1,b)在点P上方，或与点P重合时，抛物线与线段PQ有公共点， 即：b…10， 解得：b„ 10；当x4时，y164b14b15， 当点(4,154b)在点Q上方，或与点Q重合时，抛物线与线段PQ有公共点， 15 即：154b…0，b ； 4 15 综上：b„ 10或b ． 4 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题 的关键． 8．（2024•浙江模拟）设二次函数yax2 4axc(a，c均为常数，a0)，已知函数值y和自变量x的部 分对应取值如下表所示： x  1 0 2 5  y  m 3 p n  （1）判断m，n的大小关系，并说明理由； （2）若3m2n8，求 p的值； （3）若在m，n， p这三个数中，只有一个数是负数，求a的取值范围． 【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线x2，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m的值，据此即可解决问题． （3）根据m和n相等，所以三个数中的负数只能为 p，据此可解决问题． 【解答】解：（1）mn． 因为二次函数的解析式为yax2 4axc， 4a 所以抛物线的对称轴为直线x 2， 2a 15 又因为 2， 2 所以点(1,m)与(5,n)关于抛物线的对称轴对称， 故mn． （2）因为mn，3m2n8， 所以m8． 将(0,3)和(1,8)代入函数解析式得， c3  ， a4ac8a1 解得 c3 所以二次函数的解析式为yx2 4x3． 将x2代入函数解析式得， p22 4231． （3）由（1）知，mn， 所以m，n， p中只能 p为负数． 将(0,3)代入函数解析式得， c3， 所以二次函数解析式为yax2 4ax3． 将x1代入函数解析式得， m5a3． 将x2代入函数解析式得， p4a3． 4a30 则 ， 5a30 3 解得a ， 4 3 所以a的取值范围是a ． 4 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性 质是解题的关键． 9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 yx2 (2m6)x1经过点(m,y )，(m,y )， 1 2 (m2,y )． 3 （1）若y  y ，求抛物线的对称轴； 1 3 （2）若y  y  y ，求m的取值范围． 2 3 1 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解； （2）利用二次函数的性质即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1） 抛物线yx2 (2m6)x1经过点(m,y )，(m,y )，(m2,y )，y  y ，  1 2 3 1 3mm2 该抛物线的对称轴为：直线x ，即直线x1； 2 （2）当m0时，可知点(m,y )，(m,y )，(m2,y )从左至右分布， 1 2 3 y  y  y ，  2 3 1  mm2 3m   2  ， mm2 3m  2 解得1m2； 当m0时， mmm3， y  y ，不合题意， 2 1 综上，m的取值范围是1m2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的 关键． 10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2 bxc(a，b，c为常数，且a0)经过 A(2,4)和B(3,1)两点． （1）求b和c的值（用含a的代数式表示）； （2）若该抛物线开口向下，且经过C(2m3,n)，D(72m,n)两点，当k3xk3时，y随x的增大而 减小，求k的取值范围； （3）已知点M(6,5)，N(2,5)，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a的取值范 围． 【分析】（1）把A(2,4)和B(3,1)代入yax2 bxc，即可求解； （2）先求出对称轴为：直线x2，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分a0时，a0时，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）把A(2,4)和B(3,1)代入yax2 bxc， 4a2bc4 得： ， 9a3bc1 b1a 解得： ； c6a2（2） 抛物线经过C(2m3,n)，D(72m,n)两点，  2m372m 抛物线的对称轴为：直线x 2， 2 抛物线开口向下，  当k3xk3时，y随x的增大而减小， k3…2，即k…5； （3）①当a0时，x6，y…5，即a(6)2 (1a)(6)6a2…5， 13 解得：a… ，抛物线不经过点N， 36 13 如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：a… ； 36 4acb2 4a(6a2)(1a)2 ②当a0时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则  5， 4a 4a 1 解得：a 1，a  ， 1 2 25 1 1 1 1 当a 1时，    1， 1 2 2a 2 2(1) 1 1 此时，定点横坐标满足6„  „ 2，符合题意； 2 2a 当a 1时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点， 1 如图③，1 1 1 1 1 当a  时，    13， 2 25 2 2a 2 1 2( ) 25 1 1 此时顶点横坐标不满足6„  „ 2，不符合题意，舍去； 2 2a 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N时，把N(2,5)代入yax2 (1a)x6a2， 得： 5a22 (1a)26a2， 5 解得：a ， 4 5 当a 时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N， 4 5 结合图象可知：a 时，抛物线与线段MN 有一个交点， 4 13 5 综上所述：a的取值范围为：a… 或a1或a ． 36 4 【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键． 11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点(0,3)，(6,y )在抛物线 yax2 bxc(a0) 1 上． （1）当y 3时，求抛物线的对称轴； 1 （2）若抛物线yax2 bxc(a0)经过点(1,1)，当自变量x的值满足1„ x„ 2时，y随x的增大而增大， 求a的取值范围； （3）当a0时，点(m4,y )，(m,y )在抛物线yax2 bxc上．若y  y c，请直接写出m的取值范 2 2 2 1围． 【分析】（1）当y 3时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴； 1 （2）把(0,3)，(1,1)代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分a0和a0，由函数 的增减性求出a的取值范围； （3）先画出函数图象，再根据y  y c确定m的取值范围． 2 1 【解答】解：（1）当y 3时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 1 06 x 3， 2 抛物线的对称轴为直线x3； （2） yax2 bxc(a0)过(0,3)，(1,1)，  c3，ab31， ba4， b a4 对称轴为直线x  ， 2a 2a ①当a0时， 1„ x„ 2时，y随x的增大而增大，  a4  „ 1， 2a 解得a„ 4， 0a„ 4； ②当a0时， 1„ x„ 2时，y随x的增大而增大，  a4  …2， 2a 4 解得a…  ， 5 4  „ a0， 5 4 综上：a的取值范围是 „ a0 或0a„ 4； 5 （3） 点(0,3)在抛物线yax2 bxc上，  c3， 点(m4,y )，(m,y )在抛物线yax2 bxc上，  2 2m4m 对称轴为直线x m2， 2 ①如图所示： y  y c，  2 1 06 m6且m2 3， 2 5m6； ②如图所示： y  y c，  2 1 m46， m10， 综上所述，m的取值范围为5m6或m10． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和 分类讨论的思想进行解答． 题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 12．（2024•保山一模）如图，抛物线yax2 bxc过A(2,0)，B(3,0)，C(0,6)三点；点P是第一象限内 1 抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且 m3． 2（1）试求抛物线的表达式； 1 （2）过点P作PN x轴并交BC于点N，作PM  y轴并交抛物线的对称轴于点M ，若PM  PN ，求m 2 的值． 【分析】（1）将A，B，C三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m表示出PM 和PN ，建立关于m的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 将A，B，C三点坐标代入函数解析式得， 4a2bc0  9a3bc0，  c6 a1  解得b1 ，  c6 所以抛物线的表达式为yx2 x6． （2）将xm代入抛物线得表达式得， ym2 m6， 所以点P的坐标为(m,m2 m6)． 令直线BC的函数解析式为y pxq， 3pq0 则 ， q6 p2 解得 ， q6 所以直线BC的函数解析式为y2x6．1 1 因为 m3，且抛物线的对称轴为直线x ， 2 2 1 所以PM m ． 2 又因为点N坐标为(m,2m6)， 所以PN m2 m6(2m6)m2 3m． 1 因为PM  PN ， 2 1 1 所以m  (m2 3m)， 2 2 1 5 解得m ， 2 1 又因为 m3， 2 1 5 所以m ． 2 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的 图象和性质是解题的关键． 13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2x8与抛物线yx2 bxc交 于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D，E．当 3 DE AB时，求点C的坐标． 8 【分析】（1）根据一次函数解析式求出A，B两点坐标，再将A，B两点坐标代入二次函数解析式即可解 决问题．（2）根据AOB∽ECD得到CD与OB的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令x0得，y8， 所以点A的坐标为(0,8)； 令y0得，x4， 所以点B的坐标为(4,0)； 将A，B两点坐标代入二次函数解析式得， c8  ， 164bc0 b2 解得 ， c8 所以抛物线的函数表达式为yx2 2x8． （2）因为CD//x轴，CE//y轴， 所以AOB∽ECD， CD DE 则  ． OB AB 3 因为DE AB，OB4， 8 3 所以CD ． 2 令点C坐标为(m,m2 2m8)， 1 则点D坐标为( m2 m，m2 2m8) 2 1 1 所以CDm( m2 m) m2 2m， 2 2 1 3 则 m2 2m ， 2 2 解得m1或3． 当m1时，m2 2m89； 当m3时，m2 2m85； 所以点C的坐标为(1,9)或(3,5)． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次 函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数yx2 bxc的图象经过点A(0,3)，B(3,0)．点P在抛物线 yx2 bxc上，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当2x3时，求y的取值范围； 3 （3）当抛物线yx2 bxc上P、A两点之间部分的最大值与最小值的差为 时，求m的值； 4 （4）点M 在抛物线 yx2 bxc上，其横坐标为1m．过点P作PQ y轴于点Q，过点M 作MN x 轴于点N，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM 与PNM 的面积相等时，直接写出m的值． 【分析】（1）依据题意，将A、B两点代入解析式求出b，c即可得解； （2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由2x3可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解； （4）分别写出P、Q、M 、N的坐标，PQM 与PNM 的面积相等，所以Q到PM 的距离等于N到PM 的距离，可得m的值． 【解答】解：（1）由题意，将A(0,3)，B(3,0)代入解析式yx2 bxc得， c3，93bc0， b2，c3， 抛物线的解析式为yx2 2x3； （2）由题意，抛物线yx2 2x3(x1)2 4， 抛物线yx2 2x3开口向上，当x1时，y有最小值为4， 当x2时，y5；当x3时，y0， 当2x3时，4„ y5； （3）由题意得，P(m,m2 2m3)，A(0,3)， ①当m0时，P、A两点之间部分的最大值为m2 2m3，最小值为3， 3 m2 2m3(3) ， 4 7 解得：m1 ， 2 ②当0„ m„ 2时，P、A两点之间部分的最大值为3，最小值为m2 2m3或4，显然最小值是4时不合题意， 最小值为m2 2m3， 3 3(m2 2m3) ， 4 3 1 解得：m 或m ， 2 2 3 m 时，P、A两点之间部分的最小值为4，故舍去， 2 ③当2m时，P、A两点之间部分的最大值为m2 2m3，最小值为4， 3 m2 2m3(4) ， 4 3 解得：m1 ， 2 3 1 2，故舍去， 2 7 1 综上，满足题意得m的值为：1 或 ； 2 2 （4）由题意得，M(1m,m2 4)，N(1m,0)，Q(0,m2 2m3)， 设y kxb，代入P、M 两点， PM mkbm2 2m3  ， (1m)kbm2 4 解得：k 1，bm2 m3， y xm2 m3， PM PQM 与PNM 的面积相等，  Q到y xm2 m3的距离与N到y xm2 m3的距离相等， PM PM |m| 2 Q到y xm2 m3的距离 ， PM 2 |m2 4| 2 N到y xm2 m3的距离 ， PM 2 |m||m2 4|， 1 17 当m2时，mm2 4，解得：m ， 2 1 17 当2„ m„ 0时，m4m2，解得：m ， 2 1 17 当0m„ 2时，m4m2，解得：m ， 21 17 当2m时，mm2 4，解得：m ， 2 1 17 1 17 综上，满足题意得m的值为： 或 ． 2 2 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x轴的交点（共14小题） 15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数ymx2 (m2)x2(m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点． （2）不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 (1，0)(0，2) ． （3）在2„ x„ 2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可； （2）当x1时，y0，当x0时，y2，即可得到定点坐标； （3）利用抛物线过两个定点，得到函数y随x增大而增大，代入解析式求出m值即可． 【解答】解：（1）①当m0时，函数解析式为y2x2，此一次函数与x轴有交点； ②当m0时，函数解析式为ymx2 (m2)x2，令y0，则有mx2 (m2)x20， △(m2)2 4m(2)m2 4m48mm2 4m4(m2)2…0． 不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点． （2）ymx2 (m2)x2mx2 mx2x2m(x2 x)2x2， 当x1时，y0， 当x0时，y2， 不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2) 故答案为：(1,0)，(0,2)， （3）若m0，函数y2x2，y随x增大而增大，当x2时，y2，与题干条件符； 当m0时，函数ymx2 (m2)x2是二次函数， ①当m0时，抛物线过(1,0)，(0,2)两点，当2„ x„ 2的范围中时，y随x的增大而增大， 当x2时，y2， 即24m2(m2)2，解得m0（舍去）． ②当m0时，抛物线过(1,0)，(0,2)两点，其增减性依旧是y随x的增大而增大和①相同．综上分析，m0． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2 bxc的图象与x轴交于A，B两点， B点的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD的面积 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； AB| y | （2）先求出点A和点D坐标，再根据S  D 解析求解即可． ABD 2 093bc 【解答】解：（1）将B(3,0)，C(0,3)代入yx2 bxc得 ， c3 b2 解得 ， c3 二次函数的解析式为：yx2 2x3； （2）将yx2 2x3配方得顶点式y(x1)2 4，顶点D(1,4)， 在yx2 2x3中，当yx2 2x30时， 解得x1或x3， A(1,0)， AB4， AB| y | 44 S  D  8． ABD 2 2 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数 法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2 bxc与抛物线yx2 x1的形 状相同，且与 x轴交于点(1,0)和(4,0)．直线 ykx2分别与 x轴、 y轴交于点 A， B，交抛物线 yax2 bxc于点C，D（点C在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线ykx2上方抛物线上的任意一点，当k 2时，求PCD面积的最大值； （3）若抛物线yax2 bxc与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围． 【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可； （2）求出直线与抛物线的交点C，D坐标，过点P作y轴的平行线交CD于点H ，交x轴于点G，设点P 坐标为(m，m2 3m4)(1m2)，则点H(m,2m2)，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m的 函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分k 0和k 0两种情况讨论即可． 【解答】解：（1） 抛物线yax2 bxc与抛物线yx2 x1的形状相同，  a1，抛物线yax2 bxc与x轴交于点(1,0)和(4,0)，  抛物线的解析式为y(x1)(x4)x2 3x4； y2x2 （2）当k 2时，联立方程组 ， yx2 3x4 x1 x2 解得 或 ， y0 y6 C(1,0)，D(2,6)， 过点P作y轴的平行线交CD于点H ，交x轴于点G，如图， 设点P坐标为(m，m2 3m4)(1m2)， 点H(m,2m2)， PH m2 3m4(2m2)m2 m2， 1 3 3 1 27 S  PH3 (m2 m2) (m )2  ， PCD 2 2 2 2 8 3  0，1m2，  2 1 27 当m 时，S有最大值，最大值为 ． 2 8 27 PCD面积的最大值为 ； 8 （3）令x0，则y2， 点B坐标为(0,2)， 令y0，则kx20， 2 解得x ， k2 点A坐标为( ，0)， k 若抛物线yax2 bxc与线段AB有公共点， 当k 0时，如图所示， 2 则 1， k 解得0k 2； 当k 0时，如图所示： 2 则 4， k 1 解得 k 0； 2 1 综上所述，k的取值范围为0k 2或 k 0． 2 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函 数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用． 18．（2024•西湖区校级模拟）已知y ax2 (ab)xb和y bx2 (ab)xa(ab且ab0)是同一直角 1 2 坐标系中的两条抛物线． （1）当a1，b3时，求抛物线y ax2 (ab)xb的顶点坐标； 1（2）判断这两条抛物线与x轴的交点的总个数，并说明理由； （3）如果对于抛物线y ax2 (ab)xb上的任意一点P(m,n)均有n„ 2a2b．当 y…0时，求自变量x 1 2 的取值范围． 【分析】（1）把a，b的值代入配方找顶点即可解题； （2）分别令y 0，y 0，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题； 1 2 4ab(ab)2 （3）现根据题意得到a0，且 2a2b，然后得到b3a0，借助图象求出不等式的解集 4a 即可． 【解答】解：（1）当a1，b3时，y ax2 (ab)xbx2 2x3(x1)2 4， 1 顶点坐标为(1,4)； （2）3个，理由为： 令y 0，则ax2 (ab)xb0， 1 即(axb)(x1)0， b 解得：x  ，x 1， 1 a 2 令y 0，则bx2 (ab)xa0， 2 即(bxa)(x1)0， a 解得：x  ，x 1， 1 b 2 又 ab且ab0，  两条抛物线与x轴的交点总个数为3个； （3） 抛物线y ax2 (ab)xb上的任意一点P(m,n)均有n„ 2a2b，  1 4ab(ab)2 a0，且 2a2b， 4a 整理得：b3a0， 1  y bx2 (ab)xa的开口向上，且抛物线与x轴交点的横坐标为x  ，x 1， 2 1 3 2 1 如图所示，借助图象可知当x… 或x„ 1时，y…0． 3 2【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解 题的关键． 19．（2024•三元区一模）抛物线 yax2 bx3与x轴相交于点 A(1,0)，B(3,0)，与 y轴正半轴相交于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M(x ，y )，N(x ，y )是抛物线上不同的两点． 1 1 2 2 ①当x ，x 满足什么数量关系时，y  y ； 1 2 1 2 ②若x x 2(x x )，求y  y 的最小值． 1 2 1 2 1 2 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①若y  y ，则M 、N关于抛物线对称轴对称，即可求解； 1 2 ②y  y (x2 4x 3)(x2 4x 3)(x x )(x x )4(x x )，而x x 2(x x )，得到y  y 的函 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 数表达式，进而求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：ya(xx )(xx )， 1 2 即ya(x1)(x3)a(x2 4x3)， 即3a3， 解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2 4x3； （2）如图，由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x2， ①若y  y ，则M 、N关于抛物线对称轴对称， 1 2 1 即x2 (x x )， 2 1 2 即x x 4， 1 2 当x x 4时，y  y ； 1 2 1 2 ②y  y (x2 4x 3)(x2 4x 3)(x x )(x x )4(x x )， 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x 2(x x )，  1 2 1 2 y  y (x x )(x x )4(x x )2(x x )(x x )4(x x ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2(x x 1)2 2… 2， 1 2 即y  y 的最小值为2． 1 2 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求 二次函数解析式，熟练掌握二次函数的基本性质是解答本题的关键． 20．（2024•黄山一模）已知抛物线yax2 bxc(a0)与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，经过点D(2,3)， 与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点M 是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B)，过点M 作x轴的垂线分别交抛物 线和直线BC于点E、点F ．求线段EF 的最大值． 【分析】（1）设出抛物线解析式的交点式，再把点D坐标代入解析式求出a即可； （2）先根据（1）中解析式求出点C坐标，再用待定系数法求直线BC解析式，再设设M(m,0)，1„ m„ 4， 1 3 1 1 则E(m, m2  m2)，F(m, m2)，得出EF | (m2)2 2|，由m的取值范围和二次函数的性质 2 2 2 2 求EF 的最大值． 【解答】解：（1） 抛物线yax2 bxc(a0)与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，  可设抛物线的函数解析式为ya(x4)(x1)， 把D(2,3)代入ya(x4)(x1)得，6a3， 1 解得a ， 2 1 1 3 抛物线的函数解析式为y (x4)(x1) x2  x2； 2 2 2（2）当x0时，y2， C(0,2)， 设直线BC的解析式为ykx2， 把B(4,0)代入，得4k20， 1 解得k  ， 2 1 直线BC的解析式为y x2， 2 设M(m,0)，1„ m„ 4， 1 3 1 则E(m, m2  m2)，F(m, m2)， 2 2 2 1 3 1 1 1 EF | m2  m2( m2)|| m2 2m|| (m2)2 2|， 2 2 2 2 2 1 当0„ m„ 4时，EF  (m2)2 2， 2 当m2时，EF 有最大值2； 1 当1„ m0时，EF  (m2)2 2， 2 5 当x1时，EF 有最大值 ． 2 5 综上所述，EF 的最大值为 ． 2 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，函数的最值等知识，关键是求出函数解析式． 1 21．（2024•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y x2 bxc的图象与x轴交于A、B两 4 点，A(2,0)，与y轴交于点C(0,2)，点P是抛物线上y轴左侧的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点P关于直线BC的对称点P恰好落在y轴上，求点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据轴对称的性质可知PC PC ，PBPB，建立方程求出P点坐标即可．1 【解答】解：（1）将A(2,0)，C(0,2)代入y x2 bxc， 4  c2  ， 12bc0  1 b 解得 2，  c2 1 1 抛物线的解析式为y x2  x2； 4 2 1 1 （2）设P(0,t)，P(m, m2  m2)， 4 2 PC PC，PBPB，  1 1 m2 ( m2  m)(t2)2   4 2  ， 1 1 (m4)2 ( m2  m2)2 t2 16  4 2 解得m1， 5 P(1, )． 4 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是 解答本题的关键． 22．（2024•江西模拟）已知关于x的二次函数yx2 (k4)x3k． （1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点； （2）若二次函数的顶点P的坐标为(x,y)，求y与x之间的函数关系及y的最大值． 【分析】（1）当y0时，x2 (k4)x3k 0，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答； k4 k2 4k16 k4 （2）根据二次函数的顶点坐标公式，得出顶点坐标为( , )，设x ，可得k 2x4， 2 4 2 k2 4k16 将其代入y ，得出y关于x的函数表达式，即可解答． 4 【解答】（1）证明：当y0时，x2 (k4)x3k 0． △b2 4ac[(k4)]2 43k k2 4k16(k2)2 120，  该方程总有两个不相等的实数根， 无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点． （2）解： a1，b(k4)，c3k， k4 k2 4k16 二次函数yx2 (k4)x3k的顶点坐标为( , )， 2 4 k4 k2 4k16 设x ，可得k 2x4，将其代入y ， 2 4 整理后得y(x3)2 3． 顶点的运动轨迹为二次函数y(x3)2 3的图象，且该图象开口向下，  故当x3时，y取得最大值，最大值为3． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及顶点坐标公式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的基本性 质． 23．（2024•峰峰矿区校级二模）如图，已知抛物线L:yx(x3)n与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点M ． （1）若该抛物线过点(1,6)； ①求该抛物线的表达式，并求出此时A，B两点的坐标； ②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为yx(x3)6，A点的对应点为A，求平移后顶 点坐标和线段AA的长； （2）点M 关于L:yx(x3)n的对称轴的对称点的坐标为 (3,n) （用含n的代数式表示）． 【分析】（1）①将(1,6)代入L:yx(x3)n，求出n的值即可确定函数解析式； 3 33 ②根据平移的性质可得 yx(x3)4向上平移2个单位长度后为 yx(x3)6(x )2  ，即可 2 4 得出结果； 3 （2）先求M 点坐标，再求抛物线的对称轴为直线x ，则M 点关于对称轴的对称点为(3,n)． 2 【解答】解：（1）①将点(1,6)坐标代入L:yx(x3)n，则61(2)n， 则n4， L:yx(x3)4抛物线L与x轴交于A，B两点， 将y0代入L:yx(x3)4，即x(x3)40， 解得x 4，x 1； 1 2 A(1,0)，B(4,0)； 3 33 ② yx(x3)4向上平移2个单位长度后为yx(x3)6(x )2  ，  2 4 3 33 平移后顶点坐标为( , )，线段AA的长为2； 2 4 （2）当x0时，yn， M(0,n)， 抛物线L:yx(x3)n与y轴交于点M ，  3 9 yx(x3)n(x )2 n ，  2 4 3 抛物线对称轴为直线x ， 2 3 23，  2 点M 关于L:yx(x3)n的对称轴的对称点的坐标为(3,n)， 故答案为：(3,n)． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题 的关键． 24．（2024•安徽模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 yax2 bx3与x轴分别交于点 A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点D、F 分别是抛物线上第四象限、第二象限上的点，其中点F 的横坐标为t，连接BF 交y 轴于点E，连接DC、DE，设CDE的面积为s，且4s9t 0，求点D的坐标． 【分析】（1）把A(1,0)，B(3,0)代入yax2 bx3，用待定系数法求出解析式即可；（2）根据点F 是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为t，点F 坐标为(t,t2 2t3)，然后用待定系数法 求直线BF 的解析式，从而求出点E坐标，再根据三角形的面积公式以及4s9t 0，求出点D的横坐标， 然后再代入二次函数解析式，从而得出结论． 【解答】解：（1）把A(1,0)，B(3,0)代入yax2 bx3得： ab30  ， 9a3b30 a1 解得 ， b2 抛物线的表达式为yx2 2x3； （2） 点F 是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为t(t0)，  点F 坐标为(t,t2 2t3)， 设直线BF 的解析式为ykxm， 3km0 把B，F 坐标代入ykxm得： ， tkmt2 2t3 k t1 解得 ， m3(t1) 直线BF 与y轴的交点E的坐标为(0,3t3) C(0,3)，  EC 3t333t， 1 1 CDE的面积为s DEx  (3t)x ， 2 D 2 D 4s9t 0，  1 9t 4 (3t)x ， 2 D 3 解得x  ， D 2 3 9 15 把x 代入yx2 2x3得y 33 ， 2 4 4 3 15 点D坐标为( ， )． 2 4 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，以及待定系数法求函数解析式，关键是待定系数法求出函数解析式． 25．（2024•宜昌模拟）如图，函数yx2 5x6的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴 交于点C． （1）已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当0„ x„ 3时，对于x的每一个值，函数y2xb(b为常数）的值大于函数yx2 5x6的值，直接 写出b的取值范围． 【分析】（1）令y0，则x2 5x60，可求B(3,0)，当x0，则yx2 5x66，可求C(0,6)，待定 系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意知，y2xb的图象与直线BC平行，如图，结合图象求解作答即可． 【解答】解：（1）令y0，则x2 5x60， 解得，x2或x3， B(3,0)， 当x0，则yx2 5x66，即C(0,6)， 设一次函数解析式为ykxb， 将B(3,0)，C(0,6)代入得， 3kb0  ， b6 k 2 解得， ， b6 一次函数的解析式为y2x6； （2）由题意知，y2xb的图象与直线BC平行， 如图，当0„ x„ 3时，对于x的每一个值，2xbx2 5x6，  由图可知：b6． 【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等 式．熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解 题的关键． 26．（2024•昆山市模拟）如图，已知抛物线L:yax2 bx4与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，与y轴交 于点C． （1）求抛物线L的表达式； （2）若抛物线L关于原点对称的抛物线为L，求抛物线L的表达式； （3）在抛物线L上是否存在一点P，使得S 2S ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理 ABC ABP 由． 【分析】（1）将点A(1,0)，B(4,0)代入yax2 bx4，即可求解； （2）根据抛物线L与抛物线为L关于原点对称，求出抛物线L的表达式即可； （3）设点P坐标为(m,m2 3m4)，根据S 2S ，列出关于m的方程，解方程求出m即可． ABC ABP 【解答】解：（1）将点A(1,0)，B(4,0)代入yax2 bx4，ab40 则 ， 16a4b40 a1 解得 ， b3 抛物线L的表达式为yx2 3x4； （2） 抛物线L与L关于原点对称，  抛物线L的解析式为yx2 3x4； （3）存在，理由： A(1,0)，B(4,0)，C(0,4)，  1 1 S  ABOC  5410， ABC 2 2 S 2S ，  ABC ABP S 5， ABP 设点P坐标为(m,m2 3m4)， 1 S  AB| y |5， ABP 2 P 1  |m2 3m4|1， 2 3 33 3 17 解得m 或m ， 2 2 3 33 3 17 P( ，2)或( ，2)． 2 2 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关 键． 27．（2024•安徽模拟）已知抛物线yx2 bxc(b，c是常数）与x轴交于点A(3,0)和点B(1,0)，与y轴 交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上的一点． （1）求b，c的值； （2）如图1，点Q是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点P的横坐标大1，分别过点P和点Q作PD//y 轴，EQ//y轴，PD与QE分别与AC交于点D，E，连接CQ，AP，求S S 的值； APD CEQ （3）如图2，连接PB与AC交于点M ，连接AP，BC，当S S 2时，求点M 的坐标． APM BCM【分析】（1）把点A(3,0)和点B(1,0)代入yx2 bxc，解方程组即可； （2）根据（1）中解析式求出点C坐标，然后用待定系数法求出直线 AC解析式，再设点 P坐标为 (t,t2 2t3)，根据已知得出点D，Q，E的坐标，然后由三角形的面积公式求出面积即可； （ 3 ） 先 求 出 三 角 形 ABC和 三 角 形 PAB的 面 积 ， 再 根 据 S S S S 2t2 4t662t2 4t 2，求出t的值，从而求出点P坐标，再用待定系 APM BCM PAB ABC 数法求职直线BP的解析式，然后联立直线PB和AC所组成的方程组，解方程组求出点M 坐标． 【解答】解：（1）把点A(3,0)和点B(1,0)代入yx2 bxc得： 93bc0  ， 1bc0 b2 解得 ， c3 b，c的值分别为2和3； （2）由（1）可知抛物线的表达式为yx2 2x3， 当x0时，y3， 点C(0,3)， 设直线AC的表达式为ykxn， 把点A(3,0)，点C(0,3)代入ykxn得： 3kn0  ， n3 k 1 解得 ， n3 直线AC的表达式为yx3，点P是AC上方抛物线上的一点，  设点P坐标为(t,t2 2t3)， 点Q是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点P的横坐标大1，PD//y轴，EQ//y轴，  点D(t,t3)，点Q(t1，(t1)2 2(t1)3)，点E(t1,t4)， 点A到PD的距离为t3，点C到QE的距离为t1， PDt2 2t3(t3)t2 3t， QE(t1)2 2(t1)3(t4)t2 5t4， 1 1 1 1 1 ； S S  (t3)(t23t) (t1)(t25t4) (t33t23t29t) (t35t24tt25t4) 42 APD CEQ 2 2 2 2 2 （3） 点C(0,3)，  OC 3， AB1(3)4，  1 1 S  ABOC  346， ABC 2 2 由（2）知，点P坐标为(t,t2 2t3)， 1 1 S  ABy  4(t2 2t3)2t2 4t6， PAB 2 P 2 S S S S 2t2 4t662t2 4t 2， APM BCM PAB ABC 解得t t 1， 1 2 此时点P坐标为(1,4)， 设直线BP的表达式为y pxq， pq0 把点B，P坐标代入得： ， pq4 p2 解得 ， q2 直线BP的表达式为y2x2， 由（2）知直线AC的表达式为yx3， 联立直线BP，AC表达式，得2x2x3， 1 解得x ， 31 1 8 当x 时，yx3 3 ， 3 3 3 1 8 点M 的坐标为( ， )． 3 3 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积等知识，关键是用 待定系数法求出函数解析式利用函数的性质解答． 28．（2024•西安校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C :yax2 xc(a0)与 x轴交于 1 A(1,0)，B(3,0)两点，交y轴于点C． （1）求抛物线C 的解析式； 1 （2）设抛物线C 关于坐标原点对称的抛物线为C ，点A，B的对应点分别为A，B．抛物线C 的顶点 1 2 2 为E，则在x轴下方的抛物线C 上是否存在点F ，使得ABF的面积等于△BBE的面积．若存在，求出F 2 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A(1,0)，B(3,0)代入解析式，解方程组即可； （2）先根据抛物线C 关于坐标原点对称的抛物线为C ，得出A，B的坐标和抛物线C 的解析式，然后根 1 2 2 据三角形的面积公式求出F 的坐标． 【解答】解：（1）把A(1,0)，B(3,0)代入yax2 xc， a1c0 得 ． 9a3c0  1 a   2 解得 ， 3 c  2 1 3 抛物线C 的解析式的解析式为y x2 x ； 1 2 2 （2）存在，抛物线C 关于坐标原点对称的抛物线为C ，  1 2 A(1,0)，B(3,0)， BB6，AB4， 1 3 1 抛物线为C 的解析式为y x2 x  (x1)2 2，  2 2 2 2 E(1,2)， 1 1 △BBE的面积 BBy  626， 2 E 2 ABF 的面积等于△BBE的面积，  1 s  AB| y |6， ABF 2 F | y |3， F 点F 在x轴下方，  y 3， F 1 3 1 3 把y3代入y x2 x 得， x2 x 3， 2 2 2 2 解得x1 10， F 的坐标为(1 10，3)或(1 10 ，3)． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数 解析式，关键是根据图象的几何变换求出抛物线C 的解析式． 2 题型五．二次函数综合题（共3小题） 29．（2024•鄞州区模拟）新定义：我们把抛物线yax2 bxc（其中ab0)与抛物线ybx2 axc称为 “关联抛物线”．例如：抛物线 y2x2 3x1的“关联抛物线”为： y3x2 2x1．已知抛物线C :y4ax2 ax4a3(a0)的“关联抛物线”为C ． 1 2 （1）写出C 的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； 2 （2）若a0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M ，N． 1 2 ①当MN 6a时，求点P的坐标； ②当a4„ x„ a2时，C 的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 2 【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C 的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C 的 2 2 顶点坐标； （2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M 和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN 的长，列出 方程，可求出点P的坐标； ②分情况讨论，当a4„ 2„ a2时，当2„ a4„ a2时，当a4„ a2„ 2时，分别得出C 的最大值 2 和最小值，进而列出方程，可求出a的值． 【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C 的解析式为：yax2 4ax4a3， 2 yax2 4ax4a3a(x2)2 3，  C 的顶点坐标为(2,3)； 2 （2）①设点P的横坐标为m， 过点P作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M ，N，  1 2 M(m,4am2 am4a3)，N(m,am2 4am4a3)， MN |4am2 am4a3(am2 4am4a3)||3am2 3am|， MN 6a，  |3am2 3am|6a， 解得m1或m2， P(1,0)或(2,0)． ② C 的解析式为：ya(x2)2 3，  2 当x2时，y3， 当xa4时，ya(a42)2 3a(a2)2 3， 当xa2时，ya(a22)2 3a3 3，根据题意可知，需要分三种情况讨论， Ⅰ、当a4„ 2„ a2时，0a„ 2， 且当0a„1时，函数的最大值为a(a2)2 3；函数的最小值为3， a(a2)2 3(3)2a，解得a2 2或a2 2（舍)； 当1„ a„ 2时，函数的最大值为a3 3；函数的最小值为3， a3 3(3)2a，解得a 2或a 2（舍)； Ⅱ、当2„ a4„ a2时，a…2， 函数的最大值为a3 3，函数的最小值为a(a2)2 3； a3 3[a(a2)2 3]2a， 3 解得a （舍)； 2 Ⅲ、当a4„ a2„ 2时，a„ 0，不符合题意，舍去； 综上，a的值为2 2或 2． 【点评】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关 联抛物线”的定义得出C 的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 2 30．（2023•大庆）如图，二次函数yax2 bxc的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与 对应函数值y如下表： x  1 0 1 2 3 4  y  0 3 4 3 0 5  （1）求二次函数yax2 bxc的表达式； （2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数yax2 bxc的图象交于P，Q两点(P在Q左边）， R为二次函数 yax2 bxc的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m 2 时，求 tanRPQ的值； （3）若将线段 AB先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到的线段与二次函数 1 y (ax2 bxc)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围． t【分析】（1）选择三个合适的点，利用待定系数法求二次函数yax2 bxc的表达式； （2）构造直角三角形，把RPQ放在直角三角形中，用m表示tanRPQ的值并化简； 1 （3）二次函数 y (x2 2x3)与 x轴交于 A(1,0)， B(3,0)两点，对称轴为直线 x1，二次函数 t 1 1 y (x2 2x3)与二次函数y(x2 2x3)只是开口大小和方向发生了变化，并且| |越大，开口越小，所 t t 以利用数形结合寻求线段与抛物线的交点问题． 【解答】解：（1） 二次函数yax2 bxc的图象经过A(1,0)，B(3,0)，(0,3)三个点，  abc0  9a3bc0，  c3 a1  b2，  c3 二次函数的表达式为：yx2 2x3． （2）过R作RT PQ，垂足为T， 点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m 2 ，  QT  2， 二次函数yx2 2x3的对称轴为直线x1，  点P，Q关于直线x1对称， Q到x1的距离是m1，  PQ2(m1)2m2，PT 2m2 2， y (m 2)2 2(m 2)3，y  y m2 2m3，  R T Q RT  y  y 2 2m2 22， R T RT 2 2 m2 22 在RtRPT中，tanRPQ   2． PT 2m2 2 （3）线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为AB，则A(0,3)，B(4,3)， 1 二 次 函 数 y (x2 2x3)与 x轴 交 于 A(1,0)， B(3,0)两 点 ， 对 称 轴 为 直 线 x1， 二 次 函 数 t 1 1 y (x2 2x3)与二次函数y(x2 2x3)只是开口大小和方向发生了变化，并且| |越大，开口越小．若 t t 1 线段AB与二次函数y (x2 2x3)的图象只有一个交点，分以下三种情况： t 1 ①当t 0时，开口向上，如图，线段AB与二次函数y (x2 2x3)的图象只有一个交点，当抛物线经过 t 1 1 5 B(4,3)时开口最大， 最小，t最大，把(4,3)代入y (x2 2x3)得t  ， t t 3 5 0t„ ． 31 ②当t0时，开口向下，如图，线段 AB与二次函数 y (x2 2x3)的图象只有一个交点(1,3)，代入 t 1 4 y (x2 2x3)得t  ． t 3 1 ③当t0时，开口向下，如图，线段AB与二次函数y (x2 2x3)的图象只有一个交点，当抛物线经过 t 1 1 A(0,3)时开口最大，| |最小，t最小，把(0,3)代入y (x2 2x3)得t1， t t 1t0．4 5 综上，t的取值范围是：t  或1t0或0t„ ． 3 3 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数表达式，解直角三角形，渗透了分类和数形结合的思想，对 1 于第（3）问，关键是研究二次函数y (x2 2x3)的性质，找到分类标准． t 1 31．（2024•历下区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y x1与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛 2 物线M :yax2 bxc经过点A，且顶点在直线AB上． （1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M 的表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线M 上是否存在点C，满足ABC ABO．若存在，求点C的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）定义抛物线N:ybx2 axc为抛物线M 的换系抛物线，点P(t,p)，点Q(t3,q)在抛物线N上，若 对于2„ t„ 3，都有 pq1，求a的取值范围．【分析】（1）先求出A(0,1)，B(2,0)，再根据条件运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设直线BC交 y轴于点D，过点 A作 AE BC于点E，运用待定系数法可得直线BC的解析式为 AE OB 1 2 ykx2k，再证得DAE∽DBO，可得  ，即  ，可求得直线BC的解析式为 AD BD 2k1 2 k2 1 4 8 y x ，联立方程组即可求得点C的坐标； 3 3 1 （3）根据抛物线M 的顶点在直线 AB上且过点 A，设顶点坐标为(m, m1)，则抛物线表达式可设为 2 1 1 ya(xm)2  m1，进而得出抛物线N的表达式为yx2 axl，对称轴为直线x a，再运用二次 2 2 函数的性质即可求得答案． 1 【解答】解：（1）在y x1中，当x0时，y1；当y0时，x2； 2 A(0,1)，B(2,0)， 抛物线的顶点为点B，  设抛物线的解析式为ya(x2)2，把A(0,1)代入，得4a1， 1 解得：a ， 4 1 1 y (x2)2  x2 x1， 4 4 1 抛物线M 的表达式为y x2 x1； 4 （2）存在点C，满足ABC ABO． 理由如下：设直线BC交y轴于点D，如图，过点A作AE BC于点E，设直线BC的解析式为ykxn，把B(2,0)代入得：2kn0， 解得：n2k ， 直线BC的解析式为ykx2k， 当x0时，y2k， D(0,2k)， OD2k，AD2k1，OA1， 在RtBDO中，BD OB2 OD2  22 (2k)2 2 k2 1， ABC ABO，AOBO，AE BC，  AE AO， DEADOB90，ADEBDO，  DAE∽DBO， AE OB   ， AD BD AO OB 1 2   ，即  ， AD BD 2k1 2 k2 1 4 解得：k 0（舍去）或k  ， 3 4 8 直线BC的解析式为y x ， 3 3  4 8 y x   3 3 联立方程组得 ， 1 y x2 x1  4 10 x  x 2   2 3 解得： 1 ， ， y 1 0 y  64  2 9 10 64 点C的坐标为( ， )； 3 9 1 （3）抛物线 M 的顶点在直线 AB上且过点 A，设顶点坐标为(m, m1)，则抛物线表达式可设为 2 1 ya(xm)2  m1， 2 1 将A(0,1)代入得am2  m11， 2 1 解得：m0或m ， 2a 若m0，则抛物线表达式为yax2 1，则抛物线N的二次项系数为0，不符合题意； 1 1 1 1 若m ，代入ya(xm)2  m1，可得ya(x )2  1ax2 x1， 2a 2 2a 4a 1 抛物线N的表达式为yx2 axl，对称轴为直线x a， 2 抛物线开口向上，所以距离对称轴越近y值越小，  对于2„ t„ 3，都有 pql， 1 当点P(t,p)，点Q(t3,q)都在抛物线对称轴x a右侧时， 2  1  a„ 2  2 ，此不等式组无解；  62 6a11 1 当点P(t,p)，点Q(t3,q)分别在抛物线对称轴x a两侧时， 2  1 1  att3 a  2 2 ，  62 6a11 7a6． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，角平分线性质，勾股定理， 相似三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．