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2021 年上海市杨浦区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一
个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1. 在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此
判断即可．
【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜ ＜ ，
所以四个实数中，最小的数是-2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负
实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 在下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．
【详解】解：A、 a与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、 = |a|与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、 =|a| 与 被开方数相同，故是同类二次根式；
D、 =a2与 被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3. 将抛物线 向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的规律：左加右减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，
所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求
函数解析式．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念问题．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分
完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称
中心．结合概念正确判断图形是解题关键．5. 在平面直角坐标系中，以点 为圆心，1为半径的圆与 轴的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆心到x轴的距离，再根据半径比较，若圆心到x轴的距离大于圆心距，x轴与圆相离；小
于圆心距，x轴与圆相交；等于圆心距，x轴与圆相切．
【详解】解：∵点A（2，1）到x轴的距离为1，圆的半径=1，
∴点A（2，1）到x轴的距离=圆的半径，
∴圆与x轴相切；
故选：B．
【点睛】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，
直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．
6. 已知在四边形 中， ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形 是平行四边形
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．
【详解】解：A、B.∵在四边形ABCD中， ，
∴ 或 ，都不能判定四边形ABCD为平行四边形，故A、B错误；
C.∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABCD为平行四边形，故C正确．
D.当 时，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故D错误．
故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的判定方法，是解题的
关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位
置上】
7. 当 时，化简： ________．
【答案】1-x
【解析】
的
【分析】正数 绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．
【详解】解：∵x＜1，
∴x-1＜0，
∴原式=-（x-1）
=1-x
故答案为：1-x．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，判断出x-1是负数是解题的关键．
8. 计算：（2a+b）（2a﹣b）＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式，即可解答．
【详解】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，
故答案为：4a2﹣b2．
【点睛】本题主要考查平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
9. 已知函数 ，那么 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据已知直接将x=10代入求出答案．
【详解】解：∵f（x）= ，∴f（10）= =2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键．
10. 正八边形的中心角等于______度
【答案】45
【解析】
【分析】已知该多边形为正八边形，代入中心角公式即可得出 ．
【详解】∵该多边形为正八边形，故n=8
∴
故答案为：45．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所
得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角
叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于 ．
11. 已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】坡比 坡角的正切值， 设竖直直角边为 ，水平直角边为 ，由勾股定理求出斜边， 进而可求
出 的正弦值 ．
【详解】解： 如图所示：
由题意，得： ，
设竖直直角边为 ，水平直角边为 ，则斜边 ，
则 ．
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．
12. 已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是________．
【答案】21
【解析】
【分析】求中位数要把数据按从小到大 的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列：12、13、19、23、24、27，处于中间位置的两个数是19，
23，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（19+23）÷2=21．
故答案为：21．
【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，
最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
13. 在“Wishyousuccess”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：任选一个字母，这个字母为“s”的概率为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种
结果，那么事件A的概率P（A）= ．14. 已知直线 在 轴上的截距为3，且经过点 ，那么这条直线的表达式为________．
【答案】y=x+3
【解析】
【分析】根据“在y轴上的截距为3”计算求出b值，然后代入点（1，4）即可得解．
【详解】解：∵直线y=kx+b在y轴上的截距为3，
∴b=3，
∴y=kx+3，
∵经过点（1，4），
∴4=k+3，
∴k=1，
∴这条直线的解析式是y=x+3．
故答案是：y=x+3．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法
是解题的关键．
15. 用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程可化为关于 的整式方程为
________．
【答案】y2+2y+1=0
【解析】
【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是 ，设 ，
换元后整理即可求得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
整理得：y2+2y+1=0．
故答案为：y2+2y+1=0．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方
程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．16. 已知 ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC．设 ， ，那么 等于
△
____________________(结果用 、 表示)；
【答案】 ；
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，由BD=2DC，可求得 ，再利用三角形法则求解即可求得答案
【详解】解：如图， ，BD=2DC，
∴ ，
∴ ，
故答案为
【点睛】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．
17. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图
1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 、正方形
、正方形 的面积分别为 、 、 ，如果 ，那么 的值是________．【答案】16
【解析】
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
的
【详解】解：设全等 直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：S=（a+b）2，S=a2+b2，S=（a-b）2，
1 2 3
因为S+S+S=48，
1 2 3
即（a+b）2+a2+b2+（a-b）2=21，
∴3（a2+b2）=48，
∴3S=48，
2
∴S 的值是16．
2
故答案为16．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
18. 如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径
的⊙O外切，那么⊙P的半径长是________________．
【答案】
【解析】【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求CH，OH，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥BC于P，
在等边△ABC中，AB＝4，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝OC＝2，
∵以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，
∴PO＝2＋BP，
∵OH⊥BC，
∴∠COH＝30°，
∴HC＝1，OH＝ ，
∵ ，
∴
∴BP＝ ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系、等边三角形性质以及勾股定理得应用，利用勾股定理列出关于
BP的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=
=
=
当 时，
原式= = ．
【点睛】本题考查分式的运算，二次根式的除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
20. 解不等式组： 并将解集在数轴上表示出来．
【答案】-4＜x≤ ，数轴表示见解析
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式3（x+2）＞x-2，得：x＞-4，
解不等式 ，得：x≤ ，则不等式组的解集为-4＜x≤ ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21. 如图，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线
上，CE与⊙O相交于点F，AB＝CD＝8，tanC＝1
（1）求⊙O的半径长；
（2）求 的值．
【答案】（1）5；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OA，设半径为r，利用垂径定理结合勾股定理即可求出r；
（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，利用圆周角定理以及已知条件求出CE和CF的长即可计算 的
值．
【详解】解：（1）连接OA，如图所示：设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OC＝r，OD＝CD﹣OC＝8﹣r，
又∵OD⊥AB，垂足为点D，
∴AD＝ ，
在Rt AOD中， ，
△
即 ，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径长为5；
（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，则∠CFQ＝90°，
由（1）可知CQ＝10，
∵tanC＝1，
∴∠C＝45°，
在Rt CAF中： ，
△
而CQ＝CF，CQ＝10，
∴CF＝5 ，
在Rt CDE中，∠C＝∠E＝45°，
△
CE＝ ，
∴EF＝CE﹣CF＝8 －5 ＝3 ，
∴ ．【点睛】本题考查了圆的垂径定理,勾股定理,特殊角的三角函数值,熟练掌握垂径定理,灵活运用勾股定理,特
殊角的三角函数值是解题的关键．
22. 阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进
行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表
中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆
量．
时间 记忆量
刚记忆完 100%
20分钟后 58.2%
1小时后 44.2%
9小时后 35.8%
1天后 33.7%
2天后 27.8%
6天后 25.4%
30天后 21.1%
观察表格和图像，回答下列问题：
（1）图中点A的坐标表示的实际意义是________；
（2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（ ）
A．0—20分钟；B．20分钟—1小时C．1小时9小时；D．1天—2天．
（3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学
的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会
比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？【答案】（1）2天大约记忆量保持了27.8%；（2）A；（3）减少约66.3%；①每天上午、下午、晚上各复
习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）依据图象中点的坐标，即可得到A点表示的意义；
（2）根据图象判断即可；
（3）依据函数图象，可得如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%左右．
【详解】解：（1）由题可得，点A表示：2天大约记忆量保持了27.8%；
故答案为：2天大约记忆量保持了27.8%
（2）由图可得，0-20分钟 内记忆保持量下降41.8%，故0-20分钟内内遗忘的速度最快，
故选：A；
（3）如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%，记忆量减少约66.3%；
学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
23. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝BD，点E为边AD上一点，且DE＝DC，连
接BE并延长，交边AC于点F．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）过点A作BC的平行线交BF的延长线于点G，连接CG．如果 ，求证：四边形ADCG
是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明△BDE和△ADC全等得出∠EBD＝∠CAD，再证△BED∽△AEF，即可得证；
（2）先证△AEG∽△DCA，得出DC＝AG，证明出四边形ADCG是平行四边形，再证一个角是直角即可
得证．
【详解】证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°，
在△ACD和△BED中，，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠EBD＝∠CAD，
又∵∠BED＝∠AEF，
∴△BED∽△AEF，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，
即BF⊥AC；
（2）：∵AG∥BC，
∴∠AGE＝∠EBD，
由（1）知∠EBD＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠CAD，
又∵∠AEG＝∠BED＝∠ACD，
∴△AEG∽△DCA，
∴ ，
∴AE•AD＝DC•AG，
∵ ，DE＝DC，
∴ ，
∴DC＝AG，
又∵AG∥DC，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，关键在于利用直角三角形的性质证明出角相等，再证明出三角形相似，用相似的性质证明出结论．
24. 如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向下平移 个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段 上，求 的值；
（3）如果点 是抛物线位于第一象限上的点，联结 ，交线段 于点 ，当 时，求点
的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为 ；（2） ；（3）点
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；
（3）通过证明 ，可证 ，即可求解．
【详解】解：（1） 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
，解得： ，
抛物线解析式为 ；
（2） ，
顶点坐标为 ， ，
与 轴交于点 ，点 ，
，
， ，
点 ，
设直线 解析式为 ，
，
解得： ，
直线 解析式为 ，
当 时， ，
；
（3）如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，，
，
，
，
，
， ，
， ，
点 ，，点 ，，
， ，
，
，
点 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平移的性质，相似三角形的判定和性质，
灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25. 已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝ ，点D 是边BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为
点E，点F是边AC上一点，联结DF、EF，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG．
（1）如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；
（2）如图2，如果AF＝AE，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长．
【答案】（1） ；（2）0≤CD ；（3）
【解析】
【分析】（1）由锐角三角函数的定义求出BC＝8，由勾股定理求出AC＝6，由平行线分线段成比例定理
得出 ，求出CF，则可得出答案；
（2）当点G恰好在AB上时，解直角三角形求出CD的长，则可得出答案；
（3）设CD＝x，则BE＝ （8﹣x），设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，证明
△AFO≌△AEO（SSS），由全等三角形的性质得出∠AFO＝∠AEO＝90°，过点E作EH⊥AC于点H，由梯形
的中位线定理得出EH＋CD＝2OF＝DE，解方程 [10﹣ （8﹣x）]＋x＝ （8﹣x）可得出答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，cosB＝ ＝ ，
又BC＝8，
∴AB＝10，∴AC＝ ＝6，
∵DE⊥AB，
在
∴ Rt△BDE中，
cosB＝ ，
又CD＝2，BD＝6，
∴BE＝ ，
∵四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∵点G在BC上，
∴EF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴CF＝ ，
在Rt△CFD中，cos ；
（2）∵四边形EFDG是平行四边形，
∴DF∥EG，
当点G恰好在AB上时，∴DF∥AB，
∴ ，
设CD＝x，则 ，
∴CF＝ ，
在Rt△BDE中，cosB＝ ，
又CD＝x，则BD＝8﹣x，
∴BE＝ （8﹣x），
∵AE＝AF，
∴ ，
∴x＝ ，
当点G在△ABC内时，0≤CD ；
（3）设CD＝x，则BE＝ （8﹣x），
∴AE＝10﹣ （8﹣x），
设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，
∵平行四边形EFDG是矩形，∴OF＝OE＝ DE，
∵AF＝AE，OA＝OA，
∴△AFO≌△AEO（SSS），
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
过点E作EH⊥AC于点H，
又∠C＝90°，
∴EH∥HF∥CB，
∵OD＝OE，
∴CF＝HF，
∴EH＋CD＝2OF＝DE，
∵ （8﹣x），EH＝ [10﹣ （8﹣x）]，
∴ [10﹣ （8﹣x）]＋x＝ （8﹣x），
∴x＝ ，
∴CD＝ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的
判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
