精品解析：上海市格致中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 二〇二三学年度第一学期高一数学期中试卷 一、填空题：（本题共有 12个小题，每小题 4分，满分 48分） A2,2 B3,11,5 1. 已知集合 ， ，则AB______. 【答案】 3,5 【解析】 【分析】运用数轴法求集合的并运算. 【详解】 如图所示，则A  B(3,5). 故答案为：(3,5). 2. 将a5 a3 化为有理数指数幂的形式为__________． 8 【答案】 a5 【解析】 【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解. 3 3 8 【详解】由题意可得： a5 a3 aa5 a 1 5 a5 . 8 故答案为： . a5 3. 不等式 x1 1的解集是_____． 【答案】 ,02, 【解析】 【分析】变换得到x12 1，解得答案. 【详解】 x1 1，则x12 1，解得x2或x0. 故答案为： ,02, . 4. 若log log x1，则x______． 3 4 【答案】64 【解析】 【分析】利用对数运算法则直接计算即可. 第 1 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】log log x1，则log x3，故x64. 3 4 4 故答案为：64. 5. 一元二次方程x2 3xc0的两个根分别是x和x ，若x2x  x x 2 3，则实数c_____． 1 2 1 2 1 2 【答案】-1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得x x 3,x x c，化简x2x  x x 2 3，代入求值即可得答案. 1 2 1 2 1 2 1 2 【详解】由题意一元二次方程x2 3xc0的两个根分别是x和x ， 1 2 则x x 3,x x c， 1 2 1 2 由x2x  x x 2 3得x x (x x )3c3,c1， 1 2 1 2 1 2 1 2 故答案为：-1 4 6. 当x1时， x 的最小值为____________________. x1 【答案】5 【解析】 【分析】利用基本不等式求最小值，注意取值条件即可. 4 4 4 【详解】由x10，则x (x1) 12 (x1) 15， x1 x1 x1 4 当且仅当x1  x3时等号成立，故目标式最小值为5. x1 故答案为：5 7. 已知 x2 4x4  y2 6y9 0，则xy ______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用配方法将原式化为 (x2)2  (y3)2 0，求得x,y的值，即可求得答案 【详解】由 x2 4x4  y2 6y9 0得 (x2)2  (y3)2 0， x20 x2 故 ，解得 ， y30 y 3 故xy 23 8， 第 2 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：8 8. 已知函数 y   m2 m1  xm22m1是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数为幂函数，可列式m2 m11，计算得m的值，验证后即得答案. 【详解】由题意函数 y   m2 m1  xm22m1是幂函数， 故m2 m11，即m2 m20， 解得m  2或m1， 当m  2时，yx1为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意； 当m1时，y =x2，其图象经过第二象限，不符合题意； 故m2， 故答案为：2 9. 已知集合A  x x2 axa2 190  ，B2,3 ，C 4,2 ，若AB，且AC ， 则实数a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得4,2A,3A，即可将3代入x2 axa2 190，求得a的值。验证后即可确 定答案. 【详解】由题意AB，且AC ， 可得4,2A,3A, 故32 3aa2 190，解得a 5或a2， 当a 5时，A  x x2 5x60  2,3 ，不满足AC ； 当a2时，A  x x2 2x150  5,3 ，符合题意， 故实数a的值为2， 故答案为：2 10. 若“ x1 x1 4”是“x2 a2”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是______． 第 3 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】 2,2 【解析】 【分析】解不等式得到x,2  2, ，x2 a2，则x a 或x a ，得到 a 2，解得答案. 【详解】 x1 x1 4， 当x1时， x1 x1 2x4，解得x2，故x2, ； 当1 x1时， x1 x1 24，不成立； 当x1时， x1 x1 2x4，解得x<2，故x,2 ； 综上所述：x,2  2, ， x2 a2，则x a 或x a ， 由题意可得： a 2，解得2a2，即a2,2 . 故答案为： 2,2 . 11. 已知aZ，关于x的一元二次不等式x2 6xa0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的 a的值之和是______． 【答案】21 【解析】 【分析】设 f(x)x2 6xa，结合其图象对称性可确定不等式x2 6xa0解集中的三个整数，由此列 出不等式组，求得答案. 【详解】设 f(x)x2 6xa，则其图象为开口向上，对称轴为x3的抛物线， 关于x的一元二次不等式x2 6xa0的解集中有且仅有3个整数， 则这三个整数必为2,3,4， 第 4 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) f 20 22 62a0 故 ，即 ，  f 10 12 61a 0 解得5a8，又aZ，故a的值为6，7，8， 则所有符合条件的a的值之和是67821， 故答案为：21 12. 已知 p,qR， pq，不等式x2  pxqx pq20的解集为 m,n 有下列四个命题： 1 2 ① p q[m,n]； ② (m1)(n1)(p1)(q1)； 3 3 ③nmq p2 2； ④m3 n3  p3 q3 其中，全部正确命题的序号为_______． 【答案】①② 【解析】 【分析】 首先根据不等式与方程的关系可知，方程x2  pxqx pq20的两个实数根是xm或 xn ，不等 1 2 式变形为 x pxq2xmxn0，①代入x p q，判断是否满足不等式；②令 3 3 x=1，代入 x pxq2xmxn ，判断选项；③利用根与系数的关系判断；④代特殊 值判断选项. 【详解】不等式变形为 x pxq2 ， 1 2 2 2 1 1  2 ①代入x p q，得 q p  p q   pq2 02，即满足不等式，所以 3 3 3 3 3 3  9 1 2 p q[m,n]，①成立； 3 3 ②因为不等式x2  pxqx pq20的解集为 m,n ，所以 x pxq2xmxn ，代 入x=1，则 m1n1p1q12， 所以 m1n1p1q1 ，②成立； ③由条件可知m,n分别是方程x2  pxqx pq20的两个实数根，mn pq，mn pq2， 则nm mn2 4mn  pq2 4pq2  pq2 8 q p2 2 ，故③不成立； ④当 p 1,q 1时，此时不等式x2 30的解集是 3, 3，即m 3,n 3，   第 5 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 此时 p3q3 m3n3 0，故④不成立. 故答案为：①② 【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题的关键是理解题意，理解不 等式解集的端点值是方程的实数根， x pxq2xmxn ，以及mn pq， mn pq2，这几个关键式子判断选项②③. 二、选择题：（本题共有 4个小题，每小题 4分，满分 16分） 1 1 13. 设ab0,则“ab”是“  ”的（ ） a b A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 . 【答案】C 【解析】 1 1 1 1 【分析】由ab0可推出a,b同号,则根据ab分类讨论可得出  ,根据  ,两边同乘ab可得ab,即 a b a b 可选出选项. 【详解】解:由题知ab0,则a,b同号, 1 1 当a b  0时,有0  , a b 1 1 当0ab时,有  0, a b 1 1 故ab能推出  , a b 1 1 当  成立时,又ab0, a b 对不等式两边同时乘以ab可得ba, 1 1 故“ab”是“  ”的充分必要条件. a b 故选:C 5 E 14. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m –m  lg 1 ， 2 1 2 E 2 其中星等为m 的星的亮度为E （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天 k k 狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 1010.1 第 6 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得到关于E ,E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 1 2 5 E 【详解】两颗星的星等与亮度满足m m  lg 1 ,令m 1.45,m 26.7, 2 1 2 E 2 1 2 E 2 2 E lg 1  m m  (1.4526.7)10.1, 1 1010.1 . E 5 2 1 5 E 2 2 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数 运算. m 15. 如图所示是函数 （m,n均为正整数且m,n互质）的图象，则（ ） y  xn m A. m,n是奇数且 1 n m B. m是偶数，n是奇数，且 1 n m C. m是偶数，n是奇数，且 1 n m D. m,n是奇数，且 1 n 【答案】B 【解析】 m m 【分析】由幂函数性质及0 x1时两图象的位置关系可知 1；由图象可知 为偶函数，进而确 y  xn n 定m,n的特征. 【详解】由幂函数性质可知： m 与y  x恒过点 1,1 ，即在第一象限的交点为 1,1 ， y  xn 第 7 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) m m 当0 x1时， ，则 1； xn  x n m m m m 又 y  xn 图象关于y轴对称， y  xn 为偶函数，x n  n xm  xn  n xm ， 又m,n互质，m为偶数，n为奇数. 故选：B.       16. 设集合P  x x2 ax10 ，P  x x2 ax20 ，Q  x x2 xb0 ， 1 2 1   Q  x x2 2xb0 ，其中a,bR，下列说法正确的是（ ） 2 A. 对任意a，P是P 的子集，对任意的b，Q不是Q 的子集 1 2 1 2 B. 对任意a，P是P 的子集，存在b，使得Q是Q 的子集 1 2 1 2 C. 存在a，使得P不是P 的子集，对任意的b，Q不是Q 的子集 1 2 1 2 D. 存在a，使得P不是P 的子集，存在b，使得Q是Q 的子集 1 2 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】运用集合的子集的概念，令mP，推得mP ，可得对任意a，P是P 的子集；再由b1， 1 2 1 2 b5，求得Q，Q ，即可判断B正确，A，C，D错误． 1 2 【详解】解：对于集合P {x|x2 ax10}，P {x|x2 ax20}， 1 2 可得当mP，即m2 am10，可得m2 am20， 1 即有mP ，可得对任意a，P是P 的子集；故C、D错误 2 1 2 当b5时，Q {x|x2 x50}R，Q {x|x2 2x50}R， 1 2 可得Q是Q 的子集； 1 2 当b1时，Q {x|x2 x10}R，Q {x|x2 2x10}{x|x1且xR}， 1 2 可得Q不是Q 的子集，故A错误． 1 2 综上可得，对任意a，P是P 的子集，存在b，使得Q是Q 的子集． 1 2 1 2 故选：B. 三、解答题：（本题共有 4大题，满分 36分．解题时要有必要的解题步骤） 第 8 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 17. 已知幂函数 f x xm24mmZ的图象关于y轴对称，且在区间 0, 上是严格增函数． （1）求m的值； （2）求满足不等式 f 2a1 f a1的实数a的取值范围． 【答案】（1）m  2 （2）0a2 【解析】 【分析】（1）先利用幂函数在区间 0, 上是严格增函数得到m2 4m0，再验证其图象关于y轴对 称进行求值； （2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解. 【小问1详解】 解：因为幂函数 f x xm24m在区间 0, 上是严格增函数， 所以m2 4m0，解得0m4， 又因为mZ，所以m 1或m  2或m3， 当m 1或m3时， f x x3为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当m  2时， f x x4为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意； 综上所述，m  2. 【小问2详解】 解：由（1）得 f x x4为偶函数，且在区间 0, 上是严格增函数， 则由 f 2a1 f a1 得|2a1||a1|， 即(2a1)2 (a1)2，即a2 2a 0，解得0a2， 所以满足 f 2a1 f a1 的实数a的取值范围为0a2. 12a 18. 解关于x的不等式： a． x2 【答案】答案见解析 【解析】 1 1 【分析】变换得到 ax1x20，考虑a0，a0，a0三种大情况，再考虑a ，a ， 2 2 第 9 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 a 三种小情况，解不等式得到答案. 2 12a 12a ax1 【详解】因为 a，则 a0，即 0，等价于 ax1x20， x2 x2 x2  1 1 当a0时， x  x20，解得  x2；  a a 当a0时，解得x  2；  1 当a0时， x  x20，  a 1 1  1 ①当a ，则 2，不等式解集为, 2,； 2 a  a 1 1 ②当a ，则 2，不等式解集为 ,2  2, ； 2 a 1 1 1  ③当a ，则 2，不等式解集为,2 ,； 2 a a  1  综上所述：当a0时，不等式解集为 ,2 ； a  当a0时，不等式解集为 ,2 ； 1 1  当0a 时，不等式解集为,2 ,； 2 a  1 当a 时，不等式解集为 ,2  2, ； 2 1  1 当a 时，不等式解集为, 2,； 2  a 19. 已知a、b、cR，关于x不等式ax2 bxc2x的解集为 1,3 ． （1）若方程ax2 bxc0一根小于1，另一根大于1，求a的取值范围； （2）在（1）条件在证明以下三个方程：x2 4ax4a30，x2 a1xa2 0， x2 2ax2a 0中至少有一个方程有实数解． 1 【答案】（1）(0, ) 4 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集判断a0，得到b4a2,c3a，结合题意可得 第 10 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) abc<0，即可求得答案； （2）利用反证法，假设三个方程都没有实数解，可得它们的判别式都小于0，求得a的范围，出现矛盾， 即可证明原结论. 【小问1详解】 因为关于x不等式ax2 bxc2x的解集为 1,3 ， 即ax2 (b2)xc0的解集为 1,3 ， 故a0，且1，3为ax2 (b2)xc 0的两根， b2 c 则13 ,13 ，即b4a2,c3a， a a 又方程ax2 bxc0一根小于1，另一根大于1， 设 f(x)ax2 bxc，而a0，则 f(1)abc0， 1 即a4a23a0,a ， 4 1 结合a0，可得a的取值范围为(0, ). 4 【小问2详解】 证明：假设x2 4ax4a30，x2 a1xa2 0，x2 2ax2a 0都没有实数解， 则它们的判别式都小于0，  3 1  a  16a2 4(4a3)0 2 2     1 3 即 a12 4a2 0 ，即a 或a1，解得 a1， 3 2  4a2 8a0   2a0   1 这与a的取值范围为(0, )矛盾， 4 故x2 4ax4a30，x2 a1xa2 0，x2 2ax2a 0中至少有一个方程有实数解． 20. 对于四个正数x， y，z，w，如果xw yz，那么称 x,y 是 z,w 的“下位序列”. （1）对于2，3，7，11，试问 2,7 是否为 3,11 的“下位序列”； c a ac （2）设a，b，c，d均为正数，且 a,b 是 c,d 的“下位序列”，试判断 ， ， 之间的大小关 d b bd 系； 第 11 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3）设正整数n满足条件对集合  m 02023k 2022m 而可得最小正整数n. 【小问1详解】 由21122，3721，2221，不满足“下位序列”的概念， 所以不是“下位序列”； 【小问2详解】 由 a,b 是 c,d 的“下位序列”，得ad bc， c ac bccd ad cd bcad c ac 则    0，即  ， d bd dbd dbd d bd a ac abad abbc ad bc ac a 同理    0，即  ， b bd bbc bbc bd b c ac a 所以   ； d bd b 【小问3详解】 mn<2022k 由已知得 ， m+1n>2023k  又m，n，k均为正整数， mn+12022k 则 ，即2023mn12022mnn1 ， mn+n12023k 4045 则n ， 2022m 第 12 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   又对集合 m 0