文档内容
2023 学年第二学期九年级数学学科 2024．05
（满分：150分时间：100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算
的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸
相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1. 下列计算正确的是（ ）
A. （a2）3＝a5 B. a2•a3＝a6
C. a5÷a3＝a2 D. （a+2a）2＝4a2
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法和除法法则、合并同类项法则和积的乘方运算法则
进行计算，即可得出答案.
【详解】解：A、（a2）3＝a6，所以此选项不正确；
B、a2•a3＝a5，所以此选项不正确；
C、a5÷a3＝a2，所以此选项正确；
D、（a+2a）2＝（3a）2＝9a2，所以此选项不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了幂的运算性质和合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义逐项判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解： 、 ，是分数，属于有理数，不合题意；
、 是有限小数，属于有理数，不合题意；、 是整数，属于有理数，不合题意；
、 ，是无理数，符合题意；
故选： ．
3. 下列函数中，满足 的值随 的值增大而减小的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的性质，根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质逐一判断即
可求解，掌握一次函数、反比例函数及二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解： 、∵ ，
∴ 的值随 的值增大而增大，该选项不合题意；
、∵ ，
∴在同一个象限内， 的值随 的值增大而减小，该选项不合题意；
、∵ ，
∴ 的值随 的值增大而减小，该选项符合题意；
、∵ ，
∴当 时， 的值随 的值增大而增大；当 时， 的值随 的值增大而减小，该选项不合题意；
故选： ．
4. 如果一组数据 的众数为 ，那么这组数据的中位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数的定义可得 为 ，再根据中位数的定义计算即可求解，掌
握众数和中位数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵数据 的众数为 ，
∴ 为 ，∴数据按从小到大排列为 ，
∴这组数据的中位数为 ，
故选： ．
5. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，
则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：先根据邻补角的定义得到∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，
由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
解：∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
故选A．
点评：本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，
两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形B. 等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形
C. 有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
D. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形．
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌
握等腰梯形的判定是解题的关键．
【详解】解： 、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意；
、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意；
、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意；
、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意；
故选： ．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数运算，先根据零指数幂和算术平方根运算，然后进行减法运算即可，解题的关键
是熟练掌握零指数幂和算术平方根运算法则．
【详解】解：原式 ，
，
故答案为： ．
8. 红细胞的直径约为 ， 用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解： ．
故答案为：
9. 因式分解： ____．
【答案】x(x-9)
【解析】
【分析】根据提取公因式法分解因式，即可．
【详解】 x(x-9)，
故答案是：x(x-9)．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．
10. 方程 的根是_____．
【答案】x＝1
【解析】
【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解
决．
【详解】 两边平方，得
x2＝4﹣3x，
解得，x＝1或x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4不是原方程的根，
故原无理方程的解是x＝1，
故答案为x＝1
【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后要检验．
11. 不等式组 的整数解是______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据解集即可得到不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解： ，
由 得， ，
由 得， ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解是 ， ，
故答案为： ， ．
12. 如果关于 的方程 没有实数根，那么 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【详解】解：∵方程 没有实数根,
∴
故答案为： ．
13. 在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的 张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的
概率是______．
【答案】 ##0.6
【解析】【分析】本题考查了求简单事件的概率，求出 张纸片中中心对称图形的个数，再利用概率公式计算即可
求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形中，属于中心对称图形的有圆、矩形、菱形
种，
∴从 张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ，
故答案为： ．
14. 某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞
赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百
分率是_____．
【答案】80%．
【解析】
【分析】根据频数分布直方图可得全班的总人数及成绩高于60分的学生，从而得出答案．
【详解】∵全班的总人数为3+6+12+11+7+6＝45人，其中成绩高于60分的学生有12+11+7+6＝36人，
∴成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是 ，
故答案为80%．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图，根据频数分布直方图明确各分组人数是解题的关键．
15. 如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是_____．
【答案】6．
【解析】
【分析】根据正n边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可．
【详解】依题意有 ×2，
解得n＝6．故答案为：6．
【点睛】此题考查多边形内角与外角，此题比较简单，解题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角
的求法．
16. 如图，在梯形 中， ， ，点 、 分别是边 、 的中点．设
， ，那么向量 用向量 表示是________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出 EF，然后根据向量的三角形法则解答
即可．
详解：∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，FC= DC，∴EF=
（AD+BC）．∵BC=3AD，∴EF= （AD+3AD）=2AD，由三角形法则得， = + =2 +
= = =2 + ．
故答案为2 + ．
点睛：本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关
键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半．
17. 当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上， 的半径为1，如果以OB为半径的 与 “内相交”，且 ，那么
的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义，圆与圆的位置关系，根据题意画出草图，确定临界点，即可求解．
【详解】解：如图所示，设 为 的中点，则
当 与 重合时， ，如图所示，此时 在 上，则 时，两圆“内相交”．
当 时，两圆“内相交”．
∴
故答案为： ．
18. 如图，在 中， ，将 绕点 旋转得到 ，点 的对应点 恰好
与 的重心重合， 与 相交于点 ，那么 的值为______．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了三角形的重心的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出 ，
进而证明 ，根据向上三角形的性质得出 ，结合直角三角形中斜边上的中线等于
斜边的一半，即可求解．
【详解】解：如图所示，
为 的中点， 为 的重心，
∵在 中， ，
∴
∴
∵旋转，
∴ ，
∴ ，
∴∴
∴
∴
设 ，则
∴ ，
∴
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置
上】
19. 先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 ,
【解析】
【详解】先把分母因式分解、通分化成同分母，然后进行加减运算算，最后把x的值代入进行求值即可．
解：
.
.
当 时，原式=
“点睛”本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
20. 解方程： ．
【答案】 ， ．【解析】
【分析】先把方程组化成两个二元一次方程组，再解这两个二元一次方程组即可．
【详解】解：∵ ，∴ 或 ，解得 ， ．
【点睛】此题主要考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．
21. 如图，半径为 的 经过 的顶点 ，与边 相交于点 ， ， ．
（1）求 的长；
（2）如果 ，判断直线 与以点 为圆心、 为半径的圆的位置关系，并说明理由．
【答案】（1） ；
（2）直线 与 相交，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数，三角形的面积，直线和圆的位置关系，正确作出辅
助线是解题的关键．
（ ）连接 并延长交 于点 ，连接 ，由 可得 ，进而得
， ，利用勾股定理得 ，得到，再由勾股定理即可得到
的长；
（ ）直线 与 相交．过点 作 于 ，由三角函数得 ，得到 ，进而得，再根据三角形的面积得 ，即可求证．
【小问1详解】
解：连接 并延长交 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【
小问2详解】
解：直线 与 相交，理由如下：
过点 作 于 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 与 相交．
22. 在一条笔直的公路上有 两地，小明骑自行车从 地去 地，小刚骑电动车从 地去 地，然后立
即原路返回到 地，如图是两人离 地的距离 （千米）和行驶时间 （小时）之间的函数图像．请根据
图像回答下列问题：
（1）求小明离 地的距离 关于行驶时间 之间的函数解析式；
（2）若两人间的距离不超过 千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到 地的过程中，
无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？【答案】（1） ；
（2） 小时．
【解析】
【分析】（ ）根据题意列出函数解析式即可；
（ ）求出两人途中相遇的时间，可求出小刚此时距 地的距离，再算出相遇后两人相距 千米的时间，
求出此时小刚距 的距离，进而求出小刚到达 地的时间，然后求出小刚从 地返回 地与小明相距 的
时间，把两个时间相加即为两人无法用无线对讲机保持联系的总时间；
本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图可得，小明骑自行车的速度为 千米 小时，
∴小明离 地的距离 关于行驶时间 之间的函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：由图可得，小刚骑电动车的速度为 千米 小时，
当两人在途中相遇时，有 ，
∴ ，
此时，小刚距 地 千米，
相遇后设 小时两人相距 千米，则 ，
∴ ，
此时，小刚距 地 千米，到达 需要的时间为 ，
设小刚从 地返回 地 小时与小明相距 千米，则 ，
解得 ，
∴两人从途中相遇后到 地 的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间为 小时．
23. 如图，在梯形 中， ， ， 与对角线 交于点 ， ，且
．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连接 ，如果 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（ ）由 ， 得四边形 是平行四边形，由 得
，得到 ，同理得 ，进而由 得到 ，即可求证；
（ ）连接 ，与 交于点 ，证明 得到 ，进而由 ，
， ，可得 ，据此即可求证；
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的
关键．【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
证明：连接 ，与 交于点 ，如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
24. 已知在直角坐标平面内，抛物线 与 轴交于点 ，顶点为点 ，点
的坐标为 ，直线 与 轴交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求 的面积；
（3）如果 ，求抛物线的表达式．
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得 ，令 得到
，求得直线 的解析式为 ，进而即可求解；
（2）根据题意，分两种情况讨论，①与 轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行
计算即可求解；
（3）根据题意，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，进而得出 是等腰直角三角形，结合 的坐标，
建立方程，解方程，得出 ，进而求得抛物线解析式．
【小问1详解】
解：令 ，则 ，则 ，
∵
∴
又 ，
设直线 的解析式为 ，代入 ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，令 ，则 ，
∴ ；
【小问2详解】
①当抛物线与 轴只有一个交点与 轴有一个交点时，
当 时，
即
∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点
∴
解得
∵ ，
∴
∴
②当抛物线过原点时，且与 轴有2个交点时，
将 代入解析式
∴
即
∴
∴此情况不存在，综上所述，
【小问3详解】
解：如图所示，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
∵ ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
∵ ，
∴
解得： （舍去）或
∴ ．
25. 如图，已知圆 的半径 ， 是半径 上的一个动点（点 不与点 、点 重合），作线段的垂直平分线，分别交线段 于点 、交圆 于点 和点 （点 在点 的上方）．连接 并延
长，交圆 于点 ．
（1）当点 是线段 中点时，求 的值；
（2）当 时，
的
如果 ，求 长；
连接 交 于点 ，连接 ，如果 为等腰三角形，求 的长．
【答案】（1） ；
（2） ； 或 ．
【解析】
【分析】（ ）利用线段垂直平分线和线段中点性质可得 ，
，利用勾股定理可求出 ，即可求解；
（ ） 延长 交圆 于点 ，连接 ，可证 ，得到 ，据此即可
求解； 分三种情况讨论： ， 和 ，进行解答即可求解．
【小问1详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵点 是线段 中点时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ；
【小问2详解】
解： 延长 交圆 于点 ，连接 ，则 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，分三种情况讨论：
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
由（ ）知 ，∴ ，
即 ，
解得 或 （不合，舍去），
∴ ，
∴ ；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，为圆 直径的，不合题意，故此种情况不存在；
综上， 的长为 或 ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三
角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
