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四年级数学·下 新课标[人]
第 5 单元 三角形
学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习,对三角形已经有了直观
的认识,能够从平面图形中分辨出三角形。本单元内容的设计是在上述内容基础上进行的,
通过这一内容的教学进一步丰富学生对三角形的认识和理解。
本单元教学内容分为三小节:第一小节三角形的特性,第二小节三角形的分类,第三小
节三角形的内角和。
1.通过观察、操作和试验探索等活动,使学生认识三角形的特性,知道三角形任意两边
的和大于第三边。
2.通过分类、操作活动,使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三
角形、等边三角形,知道这些三角形的特点并能够辨认和识别。
3.通过画、量、折、分等操作活动,使学生经历探究活动,发现三角形内角和是180°,
并在发现、提出、分析和解决问题的过程中,在边数增加变化中感悟数学研究方法,发现多
边形的内角和,渗透合情推理。
三角形是常见的一种图形,在平面图形中,三角形是最简单的多边形,也是最基本的多
边形,一个多边形都可以分割成若干个三角形。三角形的稳定性在实践中有着广泛的应用。
因此把握好这部分内容的教学不仅可以从形的方面加深学生对周围事物的理解,发展学生
的空间观念,而且可以在动手操作、探索试验和联系生活、应用数学方面拓展学生的知识面,发展学生的思维能力和解决实际问题的能力,同时也为以后学习图形的面积计算打下基
础。
通过对实物的观察与操作认识图形。学生在日常生活中积累了有关认识三角形的一些
经验,在此基础上,通过观察、想象、操作、比较、归纳、概括、推理等方式认识三角形,
探索它的性质,并在观察、想象、推理中发展空间观念,体会三角形在现实生活中的广泛应
用。
动手操作是一种特殊的认知活动,在操作的过程中可以让多种感官参与学习,加深对知
识的理解,学到获取知识的方法。
通过小组交流和合作讨论,培养团队协作的精神和集体荣誉感,培养独立思考的习惯和
勇于质疑的科学精神,养成积极的价值观。
【重点】 认识三角形的特性,知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内
角和是180°,能够辨认和区别锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等
边三角形。
【难点】 通过拼摆、设计等活动,使学生感受三角形的特征及三角形与四边形的联
系,感受数学的转化思想,感受数学与生活的联系,学会欣赏数学美。
1.准确把握本册关于“三角形的认识”的教学目标。
这一学段的学生已经积累了一些有关“空间与图形”的知识和经验,形成了一定程度
的空间感。他们对周围事物的感知和理解的能力以及探索图形及其关系的愿望不断提高,
具备了一定的抽象思维能力,可以在比较抽象的水平上认识图形,进行探索。因此,本册对
三角形认识的教学目标与第一学段“获得对简单平面图形的直观经验”有所不同,应使学生通过观察、操作、推理等手段,逐步认识三角形。因此,在进行本单元的教学,如落实
“了解三角形任意两边的和大于第三边”“三角形内角和是180°”等内容的具体目标时,
不仅要求学生积极参与各种形式的实践活动,而且要积极引导学生对活动过程和结果进行
判断分析、推理思考和抽象概括,让学生在学习知识的过程中提高能力。
2.重视实践活动,让学生在探索中获取知识。
“数学学习的过程实际上是数学活动的过程”,学生对图形的认识是在活动中逐步建
立起来的。回忆生活经验、观察实物、动手操作、推理想象等都是学习、理解抽象的几何
概念的重要手段,也是发展学生空间观念的途径。教学时,应从学生的生活实践出发,给予
学生充分从事数学活动的时间和空间,让他们通过观察、操作、交流、有条理地思考和推
理等活动,经历从现实空间抽象出几何图形、探索图形性质及其变化规律的过程,从而获得
对图形的认识,发展空间观念。
3.促进教学中的数学交流。
数学在信息社会应用广泛,最重要的原因之一就是数学能够用非常简明的方式,经济有
效地、精确地表达和交流思想。交流可以帮助学生在他们的直觉的观念与抽象的数学语言、
符号之间建立联系。由于学生的个体差异,不同的学生认识事物的方法不尽相同。教师要
重视为学生创设交流的情境,提供“数学对话”的机会,鼓励学生用耳、用口、用眼、用手
去表达自己的思想和接受他人的思想。这样的过程有助于培养学生的参与意识,学会用不
同的方式探索、思考、解释问题,不断提高自己的思维水平。
4.注重教具、学具和现代教学手段的运用,加强教学的直观性。
几何图形的直观性为各种教学手段的运用提供了广阔的空间,利用各种教具、学具和
现代教学技术,可以使学生认识和探索图形的过程更具有趣味性和挑战性,也是进一步发展
学生空间观念和实践能力的有效途径。但在运用各种教学手段时,要注意切合实际,易操作
而有实效。一些农村学校由于条件所限,不能配备丰富多彩的教学用具,教师必须因地制宜,
充分挖掘当地资源,积极发动学生制作。学生在制作过程中不但可以激发学习的兴趣而且
可以加深对图形的认识。1 三角形的特性
本小节内容包括教材P59~62的4个例题和练习十五的1~3题,6~8题。学生通过第一学
段以及四年级上册对空间与图形的学习,对三角形已经有了直观的认识,能够从平面图形中
分辨出三角形。本节内容的设计是在上述的基础上进行的,要从学生已有的经验出发,创设
丰富多彩的与现实生活联系紧密的情境和动手试验活动,以帮助学生理解三角形概念,构建
数学知识。
1.通过动手操作和观察比较,使学生认识三角形,知道三角形的特性及三角形高和底的
含义,会在三角形内画高。
2.通过试验,使学生知道三角形的稳定性及其在生活中的应用。3.通过量一量、摆一摆、算一算等试验活动,探索并发现三角形任意两边之和大于第
三边,并应用这一关系解释一些生活现象,解决一些简单的生活问题。
4.培养学生观察、操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
5.体验数学与生活的联系,培养学生学习数学的兴趣。
【重点】 理解三角形的含义,掌握三角形的特征;经历数学问题的探究过程,发现三
角形的三条边的关系。
【难点】 会在三角形的三条边上画高;探索并发现三角形任意两边之和大于第三边。
第 课时 三角形的认识
1.使学生理解三角形的概念。
2.知道三角形各部分名称及三角形的字母表示法。
3.知道什么是三角形的底和高,并会作出三角形的一条高。
4.体会数学与生活的联系,培养学生学习数学的兴趣。
【重点】 概括出三角形的定义,知道三角形各部分名称,认识三角形的高,会画三角
形的高。
【难点】 认识三角形的高,能正确画出三角形的高。
【教师准备】 PPT课件、三角尺。
【学生准备】 数学书、学具袋、三角尺、练习本。方法一
课件呈现一组图片(教材图片)。
师:我们的城市每天都在发生着日新月异的变化,在我们生活周围,也正在进行着城市
建设,你在建筑框架上、吊车上看到最多的是什么图形?
预设 生:三角形。
师:的确,在我们生活中还有哪些物体上有三角形?
预设 生:红领巾、流动红旗、屋顶 、自行车。
师:三角形在生活中有这么广泛的应用,那么究竟什么样的图形是三角形,三角形具有
怎样的特性呢?
揭示课题:今天我们就一起来研究三角形。(板书课题:三角形的认识)
[设计意图] 从学生熟悉的生活中的图片入手,激发了学生的学习兴趣。寻找生活中
的三角形、欣赏含有三角形的物体的图片,使学生从整体上感知了三角形,唤起了学生主动
探究的欲望,也使学生初步感受到数学与生活密切相关。
方法二
师:生活中处处有三角形,看似简单的三角形应用得那么广泛,有什么奥秘呢?今天这节
课我们就一起来研究三角形的特性。(板书课题:三角形的认识)
[设计意图] 以谈话的方式导入新课,简单明了地点明这节课要学习的内容,使学生更
快地进入学习的状态。
教学例1,认识三角形各部分名称。
1.初步认识三角形,理解三角形的定义。
师:请大家欣赏几幅图片。
(屏幕放幻灯片)师:在刚才的几幅图片上,你们看到了什么?
预设 生:三角形。
师:你们认识了三角形,那如果让你们用小棒摆三角形,你会吗?
预设 生:会。
师:需要几根?
预设 生:三根。
师:也就是三条线段。
师:你们每个人都有一个学具袋,请从中拿出三根小棒,摆一摆。
(学生动手操作)
指名学生上台展示过程。
师:老师这也有三条线段,看,是三角形吗?
(课件演示三条线段慢慢围成三角形的过程)
师:通过刚才的过程,你们能说一说什么是三角形吗?
预设 生:由3条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。
师:你说得真棒!由3条线段围成的图形叫三角形。而且,相邻两条线段的端点要相连。
(板书)
2.认识三角形的各部分名称。
师:围成三角形的每条线段叫什么?
预设 生:边。
师:三角形一共有几条边?
预设 生:3条边。
师:每两条边的交点叫什么?
预设 生:顶点。
师:三角形一共有几个顶点?
预设 生:3个顶点。
师:仔细观察,三角形除了有三条边,三个顶点之外,还有什么?
预设 生:3个角。
师:谁能说说三角形有什么特征?预设 生:三角形有3条边、3个顶点、3个角。(师板书)
3.认识三角形的底和高。
师:我们在学习平行四边形和梯形的时候,认识过它们的底和高。(课件演示)
师:其实三角形也有底和高,你能试着在自己画的三角形中作高吗?
(学生自己尝试)
师:谁愿意把你的作品展示给大家看看?请你给大家说说,你是怎样画高的?
(学生汇报并展示自己的作品)
师:谁还画出了三角形的高?请举手。
师:请同学们想想,什么是三角形的高?
预设 生:从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三
角形的高,这条对边叫做三角形的底。
师:想一想,一个三角形可以画几条高?
预设 生:可以画三条,因为可以从三个顶点向它的对边画三条垂线。
4.用字母表示三角形。
师:我们每个人都有自己的名字,三角形也有自己的名字。为了表达方便,我们习惯用
大写字母分别表示三角形的三个顶点,例如:上面的三角形就可以表示成三角形ABC。(同
时点击课件,出示三角形ABC)
师:这就是顶点A,这是?(课件展示顶点B)
预设 生:顶点B。
师:这是?(课件展示顶点C)
预设 生:顶点C。
师:这个角叫角A,这个角就叫?(课件展示角B)
预设 生:角B。
师:这个角就叫?(课件展示角C)
预设 生:角C。
师:这条边我们称它为AB边,这条边叫?(课件展示BC边)预设 生:BC边。
师:这条边叫?(课件展示CA边)
预设 生:CA边。
5.巩固练习。
填一填。
(1)由三条线段( )的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。
(2)任何一个三角形都有( )条边,( )个角,( )个顶点,( )条高。
【参考答案】 (1)围成 (2)3 3 3 3
[设计意图] 通过一组图片,让学生先感知三角形,然后经过学生的仔细思考,自主探
究出什么叫做三角形,接着探究出三角形各部分的名称。在教学高和底的活动中,通过回想
平行四边形和梯形的高和底,把知识迁移到三角形中,通过学生动手画一画的形式,得出三
角形的高和底,接着让学生学会用字母表示三角形,借此进一步强化了三角形的特征。
1.完成教材第60页“做一做”。
学生独立完成,完成后集体订正。
【参考答案】 说出各部分名称略
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:我知道了由3条线段围成的图形叫三角形。
生2:我知道了三角形有3条边,3个顶点,3个角。
生3:我知道了从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫
做三角形的高,这条对边叫做三角形的底。一个三角形可以画三条高。
生4:我学会了用字母表示三角形,如三角形ABC。作业1
教材第65页练习十五第1题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)由三条( )围成的图形叫做三角形,每相邻两条线段的( )相连。
(2)一个三角形有( )个顶点,( )条边,( )个角。
(3)一个三角形有( )条高。
【提升培优】
2.(易错题)判断。(对的在括号里打“√”,错的打“✕”)
(1)由三条线段组成的图形叫三角形。 ( )
(2)过三角形的一个顶点可以作三条高。 ( )
(3)有三个角的图形叫做三角形。 ( )
(4)三角形的高就是一条垂线。( )
【思维创新】
3.(操作题)作出下面指定底边的三角形的高。
【参考答案】
作业1:1.
作业2:1.(1)线段 端点 (2)3 3 3 (3)3 2.(1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕ 3.略
三角形的认识
定义:由3条线段围成的图形叫三角形。有3条边,3个顶点,3条高,3个角
1.从学生已有经验出发,调动学生学习主动性。
学生在平常的生活学习中已经对三角形有了初步的认识,这些知识与经验是他们进一
步学习的基础。因此在教学中注意从学生已有的经验出发,创设丰富多彩的与现实生活紧
密联系的情景和动手试验活动,帮助学生理解数学概念,构建数学知识。
2.落实知识和能力,体现两者的互动发展。
在课堂上让学生通过做、想、画、判断三角形等一系列过程来感受三角形和三角形的
特征,有效地为三角形的进一步认识做好了铺垫。在充分感悟了三角形后,趁热打铁,让学
生自己总结三角形的定义,在感悟中实现了知识的衔接,落实了有关的知识,培养了实践意
识以及概括能力。
3.以学生为主体,将生活经验数学化。
我们都知道,小学生学习数学是一种有目的、有意识的行为,需要一种内部动力来达到
学习的目的。这种内部动力就是学生学习数学的强烈欲望,只有他们有了这种学习数学的
欲望时,才能积极地参与整个教学过程。在整节课中,教师力求以学生为主体,将生活经验
数学化。教学“三角形的认识”这个内容时,就是在学生的生活经验基础上进行的。先让
学生自己尝试画三角形,观察三角形有几条边、几个顶点、几个角,学生基本能说出这些问
题。接着就让学生根据对三角形已有的认识,概括出什么是三角形。学生在画高时出现了困难,老师在引导学生学习画高时速度过快了,因此对于高这方面
的知识掌握不够准确。
再次教学中,要立足于学生的主体发展,引导学生思考,注重学生的实际操作,让学生能
够准确地画出三角形的高,掌握好关于三角形高的知识。
给下面的三角形画高。
[名师点拨] 根据三角形的高的定义我们知道,画高应从三角形的一个顶点向它的对
边画一条垂线。
[解答] (1)有三条高,如图(1)所示。
(2)有三条高,其中有两条高分别为AB,BC,如图(2)所示。
(3)有三条高,如图(3)所示。
几何学的诞生
几何学曾是数学的一门分科,古代埃及为兴建尼罗河水利工程,曾经进行过测地工作,
它逐渐发展为几何学。公元前约三百年,古希腊数学家欧几里得把前人生产实践中长期积
累的几何学的研究加以整理总结为演绎体系,写成了《几何原本》。我国对几何学的研究也有悠久的历史。早在上古时期,我国劳动人民就已利用规矩来制作方圆。秦汉五百年成
书的《周髀算经》和《九章算术》中,对图形面积的计算已有记载,刘徽、祖冲之、王孝通
等对几何学都有重大贡献。十七世纪欧洲工业迅速发展起来,以前所用的几何方法不能满
足实际需要,这就使笛卡尔利用代数方法研究几何问题,建立了解析几何。在十八、十九世
纪,由于工程、力学和大地测量等方面的需要,产生了画法几何、射影几何和微分几何。在
十九世纪二十年代,产生了非欧几何。二十世纪以来,理论物理,特别是相对论的出现,又促
进了微分几何的发展。
第 课时 三角形的稳定性
1.在观察、试验中发现三角形具有稳定性。
2.培养学生观察、操作、自学的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
3.发现生活中的数学美,会从美观和实用的角度解决生活中的数学问题。
【重点】 在观察中发现三角形具有稳定性。
【难点】 发现三角形具有稳定性。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 四边形,三角板、三角形教具。
方法一师:同学们,老师为你们带来了一些图片,让我们一起来看看。(课件展示) 同学们看了
这么多图片,想说些什么呢?
预设 生:物体中都有三角形。
师:三角形在生活中有这么广泛的应用,它究竟有什么特点呢?
揭示课题:今天这节课我们来深入研究三角形的特性。(板书课题:三角形的稳定性)
[设计意图] 给出生活中的一些物体的图片,找出事物中的三角形,感受三角形在现实
生活中的广泛应用,并为认识三角形的稳定性积累直接经验。
方法二
师:我们认识了三角形,三角形看起来简单,但在工农业生产和日常生活中有许多用处,
看来生活中的三角形无处不在,三角形还有些什么奥秘呢?
揭示课题:今天这节课我们就一起来研究这个问题。(板书课题:三角形的稳定性)
[设计意图] 以谈话的形式导入,直接进入今天学习的主题,为学生进一步探索三角形
的稳定性指明探索方向。
教学例2,三角形具有稳定性。
1.试验解疑,探索特性。
师:做个游戏,好不好?请我们班的两位同学(一个大男生,一个小女生),你们说这两位
同学谁的力气大?
预设 生:男生的力气大。
师:好,今天我们就让他们来比比,看谁的力气大?
师:规则:每人一个图形,拉动(读成重音)这个图形,只要使它的形状发生变化,就算胜。
(出示一个三角形给男生,一个平行四边形给女生)
学生开始比赛。
师:好,女同学获胜!女同学的力气大,男同学的力气小。你的力气真的比她小吗?(问这
个男同学)预设 生:不是的。
师:你们同意吗?为什么?
预设 生:同意,因为三角形不容易变形。
2.理解三角形的特性。
(课件出示自行车、篮球架、高压电线杆等含三角形的图片)
师:为什么这些部位要用三角形?为解决这个问题,下面我们先做个试验。
(出示三角形和平行四边形的教具)
师:自己试一试拉动它们。
(学生活动)
师:思考一下,你发现了什么?
预设 生:我发现三角形不容易拉动,四边形很容易拉动。
师:要使平行四边形不变形,应怎么办?试试看。
预设 生:从中间定一根小棒,让四边形变成两个三角形。
师:你的方法很好,那些物体中用到三角形,你知道为什么了吗?
预设 生:因为三角形具有稳定性。
师:是的,就是因为三角形具有稳定性,所以在生活中的应用非常广泛,在今后学习数学
的时候,我们应该多想想,怎样把数学中的有关知识应用到实际生活中去。
3.巩固练习。
自行车的支架常常做成三角形,是利用了三角形具有( )的特性。
【参考答案】 稳定性
[设计意图] 通过做游戏,先让学生感受一下三角形的特性——稳定性,然后经过验证,
举例,学生进一步感受到三角形的稳定性在生活中的广泛应用,感受数学与生活的联系。
完成教材第61页“做一做”。
学生独立完成,集体订正。【参考答案】 房顶、家里面用的台历、大吊车等。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:我知道了三角形具有稳定性。
生2:我知道了生活中的很多物体的设计都用到了三角形的稳定性。
作业1
教材第65页练习十五第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)选择。
(1)高压电线塔上有许多三角形,是利用三角形的( )的特点。
A.稳定性 B.容易变形 C.好看
(2)具有稳定性的图形是( )。
A.平行四边形 B.三角形
C.梯形 D.长方形
【提升培优】
2.(易错题)判断。
(1)自动伸缩门是利用了三角形的稳定性。 ( )
(2)电线杆的支架做成三角形的,是利用三角形的稳定性。 ( )
【思维创新】
3.(变式题)在三角形,四边形中,具有稳定性的是( ),举一个这类图形稳定性的实例:(
)。
【参考答案】
作业1:2.加一根木条,与椅子腿构成一个三角形。
作业2:1.(1)A (2)B 2.(1)✕ (2)√ 3.三角形 衣架三角形的稳定性
三角形:不易变形
四边形:容易变形
三角形具有稳定性
1.从生活中引入,感受数学用处。
课件出示含三角形的物体,让学生联系生活实际思考,激发了学生探究三角形特性的兴
趣,为学生进一步研究三角形的特征,了解三角形的作用做好准备。而且让学生感觉到生活
中处处有数学,数学来源于生活。
2.在活动中探索,感知探究特性。
学习活动中,孩子更愿意自己去经历去实践。孩子或许会相信你告诉他的,但他更愿意
相信自己所看到的、经历的事,这就是一种“体验”。三角形是一个抽象的概念,三角形的
稳定性是在抽象的概念基础之上探究出来的,有必要让学生经历特性得出的全过程,本节课
的教学难点就在学生的操作活动中迎刃而解了。在探究三角形的特性中,拉动三角形、四
边形,学生亲身体验到了三角形的稳定性,让学生通过直观的看理解了抽象的概念,让学生
在体验中学习数学是保证教学有效的一种很好的教学途径。
教师的一些提问没有从学生角度出发去精心设计,对学生的回答预设不到位。
再次教学中,要精心设计一下老师要提出的问题,对于学生的回答要有充分的预设,从
而能够更好地把握课堂,引导好学生进行学习和探究。动物园给圈老虎的地方做铁栅栏,设计了两种图样,如图(1),图(2),你会选择哪
种图样?理由是什么?
[名师点拨] 三角形具有稳定性的特征,把铁栅栏设计成三角形的形状,可以使铁栅栏
更加的牢固。
[解答] 图(2),因为三角形具有稳定性。
三角形稳定性的应用
例如,自行车的几个梁形成三角支撑,有些小别墅的屋顶、高压电线杆的支架等等,真
是数不胜数。而三角形在古代却有它独特的作用,早期三角学不是一门独立的学科,而是依
附于天文学,是天文观测结果推算的一种方法,因而最先发展起来的是球面三角学。希腊、
印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容,可大都是天文观测的副产品。例如,古希腊门纳劳
斯著《球面学》,提出了三角学的基础问题和基本概念,特别是提出了球面三角学的门纳劳
斯定理。 但是在日常生活中,三角形的运用并不只限于这些,在2001年俄罗斯就发明了一
款三角形多用途飞机,这是一种两人乘坐的小型飞机,飞机名为“克鲁伊兹”,由超轻型复
合材料制成。飞机的机身呈三角形,机翼可在飞行员控制下灵活地变换飞行角度。“克鲁
伊兹”配有特技飞行、领航和发动机参数控制系统,能够完成高难度的飞行动作且操作流
程简便。它既可对林场、输电线路、石油管道进行多架次空中监护,为农田喷药施肥,又能
搭载游客,使其亲身感受惊险的特技飞行。它的优良性能与三角形的特性是分不开的。 所
以说三角形在我们的生活中是无处不在的,我想只要细心仔细地观察还能发现三角形更多
的秘密。
第 课时 三角形的三边关系1.通过创设问题情境、观察比较,初步感知三角形边的关系,体验学数学的乐趣。
2.运用“三角形任意两边的和大于第三边”的性质,解决生活中的实际问题。
3.通过实践操作、猜想验证、合作探究,经历发现“三角形任意两边的和大于第三
边”这一性质的活动过程,发展空间观念,培养逻辑思维能力,体验“做数学”的成功。
4.发现生活中的数学美,会从美观和实用的角度解决生活中的数学问题。
【重点】 理解、掌握“三角形任意两边的和大于第三边”的性质。
【难点】 引导探索三角形的边的关系,并发现“三角形任意两边的和大于第三边”
的性质。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 直尺,小棒,统计表。
方法一
师:请看,我这里有两根小棒,猜一猜,这是干什么用的?
预设 生:不知道。
师:今天我想用这两根小棒围成一个三角形,能围成吗?
预设 生:不能。
师:为什么?围成一个三角形最少需要几根小棒?
预设 生:至少需要3根小棒。
师:那谁能说一说什么叫做三角形?预设 生:三角形是由三条线段首尾相接围成的平面图形。
师:那我们就再加一根,围一个三角形,好吗?这个盒子里面有很多根长度不同的小棒,
是不是随便取出一根就能和这两根小棒围成三角形呢?
揭示课题:今天这节课我们就一块学习“三角形的三边关系”。(板书课题)
[设计意图] 创设有趣的、具有生活实践意义和挑战性的问题情境,可以激发学生强
烈的求知欲和探索兴趣,使学生积极主动地参与操作活动,进行探索,感受数学学习的价值,
体现了“数学知识来源于生活”。
方法二
师:谁来说说什么是三角形?
预设 生:由三条线段围成的图形叫做三角形。
师:3根小棒或3条线段能不能围成一个三角形,与什么有关? 这节课我们就一起来研
究“三角形的三边关系”。(板书课题)
[设计意图] 首先回忆什么是三角形,然后老师点明这节课要学习的内容,3条线段能
否围成一个三角形与所给定的3条线段的长度有关,为学生进一步学习“三角形的三边关
系”指明探索方向。
一、教学例3,两点间所有连线中线段最短以及两点间的距离的概念。
(出示主题图)
师:小明从家出发去学校可以选择哪条路?
预设 生1:可以按照“家——邮局——学校”。
生2:可以从中间的线路直接到达学校。
生3:可以先经过商店,然后到达学校。
师:他应该走哪条路才能很快到达?为什么?可以先说给你的同桌听。
(学生观察、讨论)
汇报:
预设 生:因为中间的路是直的,所以最短。
师:你观察得真仔细!两点间所有连线中线段最短,这条线段的长度叫做两点间的距离。巩固练习。
孙华要骑自行车从A地到B地去,走哪一条路线,距离最短?
【参考答案】 ②
二、教学例4,三角形三边之间的关系,三角形任意两边的和大于第三边。
1.初步体验,提出猜想。
(1)学生小组合作活动。
活动工具:四根小棒,其长度分别是3厘米,4厘米,7厘米,9厘米。
师:请同学们看屏幕,老师给大家提出一些要求,找一名同学起来读一读。
(指名学生读活动要求)
活动要求:(课件出示)
①每次试验选出3根小棒来围三角形,试验完毕后放回原处,以便下次试验。
②4人为一组,组长负责组织成员合作完成试验,并指派一名同学为记录员,填写试验报
告。
第 组试验报告 组长:
试验 所选小棒的长度 围成图形 能否围成三
角形(能或
次数 (单位:cm) 的示意 图 否)
第一
次
第二
次
第三
次
第四
次
③全部试验完毕后,小组内同学说一说哪三根小棒能围成一个三角形。
师:大家明确活动要求了吧,现在大家根据活动要求,以小组为单位,开始活动。
(小组活动,师巡视,并给予适当指导)
(2)汇报交流。师:光顾着研究也不行,我们还得善于将自己的发现和大家一起交流、一起分享,你们
说是吗?
预设 生:是。
师:谁愿意把你们摆的情况给大家介绍一下?
展示试验报告(实物投影)。
预设 生1:我们组选择的是3厘米,4厘米,7厘米的小棒,我们发现这三根小棒摆不成
一个三角形。
生2:我们组选择的是3厘米,4厘米,9厘米的小棒,我们也发现这三根小棒摆不成一个
三角形。
生3:我们组选择的是3厘米,7厘米,9厘米的小棒,我们发现这三根小棒可以摆成一个
三角形。
生4:我们组选择的是4厘米,7厘米,9厘米的小棒,我们发现这三根小棒也可以摆成一
个三角形。
(电脑动画演示四种围三角形的情况)
(3)合作讨论,提出猜想。
师:这四组小棒,有的围成了三角形,有的没有围成三角形,这是怎么回事呢?能否围成
一个三角形和什么有直接的关系?
(先小组交流,然后共同分享)
汇报:
预设 生:三角形的三条边,一定要有任意两条边的长度加起来比第三条边长,否则不能
围成三角形。
(说不出来,教师就要引导)
师:如果这三条边的长度我们用a,b,c三个字母来代替,那么怎样来表示它们的关系呢?
师:怎样用一句话代替它们之间的关系呢?这仅仅是我们在探索过程中的一个猜想,到
底三角形三边之间是不是有这样的关系呢?我们还要进行验证。你想怎样验证?
[设计意图] 探究性学习是指在老师的指导下学生通过自主地参与探索而获得知识的
过程。在这个过程中,学生既获得概念与规律,又能掌握研究的方法,形成研究事物所必需的探究能力。与平常的接受性学习相比,探究性学习更加注重方法的传授、情感的体验和
探究能力的培养,体现以学生为主体、教师为指导、问题为主线的现代教学理念。
2.验证猜想。
小组验证猜想活动:三角形任意两边长度的和一定比第三条边大吗?
活动要求:小组内每一名同学任意画一个三角形,量出三条边的长度,进行比较。
师:小组交流讨论,你发现了什么?
预设 生:三角形任意两边的和大于第三边。
师:同学们刚才试验得出第1组和第2组不能围成三角形,而在第1组中,3+7>4,两边之
和大于第三边呀?
预设 生:要满足任意的两条边之和都要大于第三边,3+4=7,不大于7。
师:够厉害,不仅做得好,而且说得更好。刚才我们通过猜想、验证知道了三角形任意
两边的和大于第三边,我们学习数学不仅仅是为了发现规律,掌握方法,如果要这样学习数
学就很肤浅了,学习数学更重要的是应用于现实生活,现在让我们走进生活,看看生活中有
哪些问题需要我们用今天的知识去解决。
3.巩固练习。
下列长度的三条线段能否组成三角形?(能的打“√”,不能的打“✕”)
(1)8厘米,9厘米,15厘米。( )
(2)7分米,8分米,18分米。( )
【参考答案】 (1)√ (2)✕
[设计意图] 经过学生的操作、讨论、猜想、验证猜想,使学生自主地探究出了三角
形的三边关系,这样的方式会让学生对知识掌握得更好,印象更深刻。
完成教材第66页练习十五第7题。
学生独立完成,集体订正。
【参考答案】 (1)√ (2)√ (3)✕ (4)√师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:我知道了两点间所有连线中线段最短,这条线段的长度叫做两点间的距离。
生2:我知道了三角形任意两边的和大于第三边。
生3:我学会了应用三角形任意两边的和大于第三边,可以判断任意的三条线段是否能
组成三角形。
作业1
教材第66页“练习十五”第6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)宁宁要去书店,有几种走法?哪种最近?为什么?
2.(基础题)三角形的三边关系:三角形任意两边之和( )第三边。
【提升培优】
3.(重点题)下列每组分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?(单位:厘米。填
“能”或“不能”)
(1)3,4,5( )
(2)8,7,15( )
(3)13,12,20( )
(4)5,5,11( )
4.(易错题)判断。
(1)用长10 cm,4 cm和3 cm的三根小棒不能围成一个三角形。( )
(2)用长度为7厘米,8厘米,7厘米的线段能组成一个三角形。 ( )
5.(难点题)选择。
(1)下面三组小棒,不能围成三角形的是( )。(2)一个三角形的两条边长分别是5厘米和8厘米,那么第三条边的长度可能是( )厘米。
A.12厘米 B.13厘米 C.14厘米
【思维创新】
6.(操作题)如果一个三角形的两条边分别长4厘米和8厘米,那么另一条边的长可能是几
厘米?
7.(变式题)一个三角形的两边长分别是3和8,而第三边长为奇数,那么第三边长是多少?
【参考答案】
作业1:6.中间那条路最近(两点之间线段最短)
作业2:1.3种走法 最近的是:宁宁家—明明家—书店 理由:两点间所有连线中线段最短
2.大于 3.(1)能 (2)不能 (3)能 (4)不能 4.(1)√ (2)√ 5.(1)C (2)A 6.比4
厘米大且比12厘米小的数都可以。 7.7或9
三角形三边的关系
两点间所有连线中线段最短,这条线段的长度叫做两点间的距离。
三角形任意两边的和大于第三边。
数学教师的课堂教学应该是敢于放手,尽可能多地给学生创造展示自己的空间和时间,
如此定会别有洞天。本节课,在教学中充分体现了这一观点。让学生在动手操作中用自己
的眼睛去观察,接着设计汇报展示这一环节,让学生用自己的语言去表达,在听别的同学汇
报时,用自己的头脑去判别,用自己的心灵去感悟。在后面的教学中,继续抓住这一教育思
想对学生施教,让学生在学习中感受到了生命的存在与价值,体验到了自己主动建构知识的
快乐,取得了满意的教育效果。学生在小组合作试验的阶段,学生没有充分进行交流,汇报的效果不够理想。
再次教学中,要给学生充分的合作和自主探究的时间,让学生的思想得到充分的交流,
从而促进学生对知识的掌握。
在能拼成三角形的各组小棒下面画“√”,在不能拼成的下面画“✕”。
[名师点拨] 根据三角形的三边关系“三角形任意两边的和大于第三边”进行判断。
在第(1)组中,因为4+4>6,4+6>4,所以这三根小棒可以拼成一个三角形。在第(2)组中,因
为3+5=8,所以不能拼成一个三角形。
[解答] (1)√ (2)✕
【知识拓展】 (1)判断小棒或线段能否拼成三角形,一定要根据三角形的三边关系来
判断。我们通常采用的方法是看较短的两条线段的和是否大于最长的线段,这样比较简单、
快捷。
(2)三角形任意两边之差小于第三边。
(3)在三角形中,长边所对的角比较大;反之,较大的角所对的边也较长。
坏狐狸和三角形
鸡妈妈孵出了四只小鸡,她又高兴又担心。高兴的是四只鸡宝宝个个活蹦乱跳,真是惹
人喜爱;担心的是坏狐狸会来偷吃鸡宝宝。为了防备坏狐狸来偷吃鸡宝宝,鸡妈妈找来许多木板和木棍搭了一间平顶小木房。鸡
妈妈想,有了房子就不怕坏狐狸来了。
深夜,田野静悄悄的。月光下,一条黑影飞快地跑近了小木房。
“砰、砰!”一阵敲门声把鸡妈妈惊醒。“谁?”鸡妈妈问。
“是我,是老公鸡,快开门吧。”一种十分难听的声音在回答。
鸡妈妈想,不对呀!老公鸡出远门了,需要好多天才能回来呢。另外,这难听的声音根本
不是老公鸡的声音。鸡妈妈大声说:“你不是老公鸡,你是坏狐狸,快走开!”
坏狐狸一看骗不成,就露出了狰狞的面目。他厉声喝道:“快把小鸡崽给我交出来!不
然的话,我要推倒你的房子,把你们统统吃掉!”
鸡妈妈心里虽然害怕,嘴里却说:“不给,不给,就是不给!我的鸡宝宝不能给你吃。”
坏狐狸大怒,使劲地摇晃平顶木房子,吓得四只小鸡躲在鸡妈妈的翅膀下发抖。摇了一
会儿,房架倾斜了。房顶和墙之间露出个大缝子,一只大狐狸爪子伸了进来,抓起一只鸡宝
宝就跑了。
天亮了,小鸟飞来飞去在寻找食物。一阵哭声,惊动了他们。
小黄雀问:“鸡妈妈,你哭什么呀?”
鸡妈妈一边哭一边说:“我修了一个平顶木房,防备坏狐狸来偷吃鸡宝宝。谁知平顶木
房不结实,让坏狐狸三推两推给推歪了。坏狐狸抢走了一只鸡宝宝,呜……”
啄木鸟说:“小喜鹊很会盖房子,还是请他来帮你盖一座结实的房子吧!”
不一会儿,啄木鸟把喜鹊请来了。喜鹊说:“我只会搭窝,哪里会盖房子呀!”
“那怎么办?”大家犯愁了。
喜鹊说:“有一次我在大树上,听见树下几个建筑工人说,三角形的房顶最结实。”
啄木鸟着急地说:“谁见过三角形是什么样子啊?”
喜鹊衔来三根树枝,摆了一个三角形。
对大家说:“就按这个样子来盖吧。”
小鸟们有的衔树枝,有的衔泥,啄木鸟在木头上啄出小洞,喜鹊用细枝条把木头都绑起
来。在太阳快落山的时候,一座三角形房顶的新房子盖好了。
晚上,坏狐狸又来了。这次,他二话没说,扶着木房子就拼命摇动起来。怪呀,今天晚上
这个木房子怎么摇不动了呢?坏狐狸鼓足了劲再摇,还是丝毫不动。天快亮了,坏狐狸狠狠地说:“现在就算饶了你们,明天我还要来,只要你们敢出来,我
就吃掉你们!”
清晨,小鸟又看见鸡妈妈在守着木房子发愁。
小山鹰问:“鸡妈妈,你的木房子不是好好的嘛,你还愁什么?”
鸡妈妈说:“三角形的屋顶是比较牢靠,可是我们不能总待在房子里面呀!坏狐狸说我
们一出来,他就要来抓鸡宝宝。”
百灵鸟说:“我有个好主意,咱们帮鸡妈妈在房子外面围一圈木栅栏,再装一个木栅栏
门进出,这不就可以防备坏狐狸了吗!”
大家都说这个主意好,于是一起动手筑了一圈木栅栏。他们还把上头削尖了,防止坏狐
狸跳进来。最后装上一个长方形的木栅栏门。
傍晚,坏狐狸真的又来了。他看见鸡宝宝在栅栏里又蹦又跳,馋得口水直流。坏狐狸围
着木栅栏转了两圈,发现还是搞毁栅栏门最容易。他两只爪子扣着木栅栏门使劲地摇。结
果,长方形的门变成了平行四边形,露出了一个豁口。坏狐狸“噌”地一下跳了进去。要不
是鸡妈妈领鸡宝宝赶快跑进了房子里,恐怕就要遭殃了。
坏狐狸走了。小喜鹊飞来说:“长方形的门容易变形,给它斜钉上一块木板,变成两个
三角形就牢固多了。”
百灵鸟说:“咱们不能总是防备坏狐狸,咱们要这样……这样办。”大家听了非常高兴,
又忙了一阵子才离开。
坏狐狸没吃着鸡宝宝是不甘心的,他又悄悄地来了。他直奔木栅栏门,把门使劲摇晃。
咦,这次怎么摇不动了呢?狐狸使足了劲一摇,只听“扑通”一声掉进了陷阱里。陷阱底全
是三角形的禾尖钉,狡猾的狐狸丧了命。
鸡妈妈高兴地说:“三角形用处可真大呀!”
数学之父——塞乐斯
塞乐斯生于公元前624年,是古希腊第一位闻名世界的大数学家。他原是一位很精明的
商人,靠卖橄榄油积累了相当多的财富后,塞乐斯便专心从事科学研究和旅行。他勤奋好学,
同时又不迷信古人,勇于探索,勇于创造,积极思考问题。他的家乡离埃及不太远,所以他常去埃及旅行。在那里,塞乐斯见识了古埃及人在几千年间积累的丰富数学知识。他游历埃
及时,曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度,使古埃及国王阿美西斯钦羡不已。
2 三角形的分类
本小节内容包括教材P63~64的例5和练习十五的第4题,第5题,第8题,第9题,第10
题。本小节教学遵循学生的认知特点,为学生提供大量的观察、思考、操作、合作、交流、
验证等空间和时间,使学生在自主探究和合作交流中,学会给三角形分类,掌握各类三角形
的特征,体会数学的思想方法并获得广泛的数学活动经验。三角形对于学生来说是比较熟
悉的,三角形的基本特征和各部分名称学生都已经掌握,而且学生已经学过了角的分类,认
识了各种角的特征,这对于学生进一步学习三角形的分类打下了扎实的基础,在三角形分类
的过程中,能沟通知识间的联系,掌握各种三角形的特征,培养学生的探究意识和合作意识。
提高解决实际问题的能力,发展学生的空间观念。
1.使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形,知
道这些三角形的特点并能够辨认和区分它们。
2.经历分类的过程,渗透分类的数学思想,培养学生的空间观念和初步的逻辑思维能力。
3.在共同学习中,训练学生的自我探索能力,在探索活动中培养学生主动探索精神和创
新意识。
【重点】 认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形以及等腰三角形、等边三角形
的基本特征。【难点】 发现三角形的角、边特征,从而正确分类。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 各类三角形学具、实验报告单、量角器、尺子等。
什么是锐角、直角、钝角?三种角的大小关系是怎样?
指名学生说一说三种角是怎样定义的。
【参考答案】 90°的角是直角,小于90°的角是锐角,大于90°小于180°的角是钝
角;锐角<直角<钝角。
方法一
师:孩子们,喜欢猜谜吗?
预设 生:喜欢。
师:今天老师给大家带来了一个谜语,猜猜看。
(课件出示)
形状似座山,稳定性能坚。
三竿首尾连,学问不简单。
——打一几何图形
预设 生:是三角形。
师:猜得真准!三角形有三个角和三条边,它的稳定性在日常生活中有着广泛的应用。
你瞧,今天三角形王国的许多朋友来了(课件出示:不同形状的三角形),它们的形状一样吗?
预设 生:不一样。
师:对,它们形态各异,各有各的特点。这节课咱们就根据它们的特点来分分类。(板书
课题:三角形的分类)[设计意图] 趣味竞猜,引“生”入胜。通过猜谜语,唤起学生对三角形的角和边的有
意注意,激活学生的学习热情,做到“课伊始,趣亦生”。
方法二
师:我们认识了三角形,三角形有什么特征?
预设 生:三角形有三个顶点,三个角,三条边。
师:今天这节课我们就按照三角形的特征对三角形进行分类。(板书课题:三角形的分
类)
[设计意图] 通过简单的谈话,让学生知道了这节课要学习的知识,通过回忆三角形的
特征,使学生能够对三角形的分类有提前的感受,为这节课的学习起到铺垫作用。
教学例5:三角形的分类方法。
师:今天来研究三角形的分类,你能想到什么?
预设 生1:分几类?
生2:按什么来分?
师:说得很有道理,考虑按什么来分,就是要考虑三角形有什么特点?
预设 生1:可以按照3个角来分。
生2:也可以按照3条边来分。
师:说得非常好,三角形有3条边,还有3个角,边有长短,角有大小。
师:下面我们就根据三角形的角和边进行分类。
1.研究按角分类。
师:首先研究按角来分,请同学拿出课前准备的各种各样的三角形,先观察每个三角形
角有什么特点,再根据角的特点来分一分。
(学生动手操作)
师:完成后,在小组内交流自己的想法,看怎么分的?
(生在小组内交流)
师:好,哪个小组先来展示?
(一个组来展示)师:你能告诉大家你们组分几类?怎么分的吗?
预设 生:我们组分三类,把有一个直角的三角形放一起,有一个钝角的三角形放一起,
三个角都是锐角的三角形放一起。
师:很好,哪个组还想来展示一下?
(二组展示并说一说)
师:和他们分法一样的请举手?
师:你们真了不起,这么快就把三角形按角准确地分类。还想继续来研究吗?
预设 生:想。
师:这组三角形的角有什么特点?
预设 生1:1个直角,2个锐角。
生2:3个锐角。
生3:1个钝角,2个锐角。
师:说得很具体,刚才我们根据三角形的特点,进行了分类,为了便于表述,你能根据它
们的特点给起个名字吗?这类三角形叫什么名字呢?
预设 生1:有1个直角的三角形我们叫做直角三角形。
生2:有1个钝角的三角形我们叫做钝角三角形。
生3:3个角都是锐角的三角形我们叫做锐角三角形。
师:同学们真厉害!根据三角形的特点分别给它们起了名字!
师:按角分,三角形可以分成如图所示。
师:看这个直角三角形(63页左下方的三角形),量一量这个三角形的直角边和斜边,再
比一比,你发现了什么?
(学生操作,量一量)
师:谁来说一说你有什么发现吗?
预设 生:我通过测量发现,斜边大于任意一条直角边。师:你描述得真准确,看来大家都是善于发现的孩子。
2.研究按边分类。
(1)探究三角形的分类。
师:以上我们把三角形按角进行了分类,下面我们研究按边来分类。
师:请同学们先观察每个三角形边的特点,再分一分。
(学生分一分)
师:完成后,在小组内说说你是怎么分的?
(生组内说)
师:同学们分好了吗?哪个小组愿意来展示?
预设 生1:我们组分了2类,2边相等放一起,3边互不相等放一起。
生2:我们组也是分了2类,3边相等放一起,3边互不相等放一起。
生3:我们组分成了3类,2边相等的放一起,3边相等的放一起,3边互不相等的放一起。
师:和他们组分的一样的请举手。
(生举手)
师:这些分法都可以。刚才同学们用不同的分法都解决了同一个问题。下面我们就研
究这种分法。
(师出示等边三角形)
师:像这类三角形边有什么特点?
预设 生:三条边相等。
师:三条边相等的三角形就叫等边三角形。
师:那这类三角形有两条边相等的三角形叫什么名字呢?
预设 生:等腰三角形。
师:还有一种三条边不等的三角形,叫不等边三角形。
(2)研究等腰三角形的特点。
师:刚才我们把三角形按边分,认识了等腰三角形和不等边三角形,在等腰三角形中:这
两条相等边就是等腰三角形的两条腰,另一条边就是它的底,两腰的夹角就是它的顶角,另
两个角就是它的两个底角。
师:等腰三角形除了两腰相等外,你观察还有什么特点?预设 生:两底角相等。
师:是否这两个底角相等呢?抓紧用你喜欢的方法去验证吧!
(学生量、折)
师:你用了什么方法?结果怎样?
预设 生1:我量的两个底角相等。
生2:我用对折的方法,发现两个底角大小相等。
师:都发现了,大家都是善于发现的孩子。现在谁能说说等腰三角形的特点?
预设 生:两腰相等,两个底角相等。
师:非常好!
(3)研究等边三角形的特点。
师:等边三角形也叫正三角形,这三条相等的边就是等边三角形的边。等边三角形除三
条边相等外,你还发现了什么?
预设 生:三个角相等。
师:你怎么知道相等的?自己想办法证明一下。
(学生用量角器量)
预设 生1:我发现等边三角形的三个角都相等,而且都是60度。
生2:都相等,因为两条边相等,这两条边所对的角相等, 另外两条边相等,所对的角相
等,所以三个角都相等。
师:现在谁能总结一下等边三角形的特征?
预设 生:三条边相等,三个角相等。
师:说得真完整。特殊的关系:只要有两条边相等的三角形就是等腰三角形。
3.巩固练习。
填一填。
(1)三角形按边分类可分为( )三角形、( )三角形。
(2)三角形按角分类可分为( )三角形、( )三角形、( )三角形。
【参考答案】 (1)等腰 不等边 (2)锐角 直角 钝角
[设计意图] 自主学习的过程实际就是教学活动的过程。以活动促学习是本节的教学
定位。在活动中,给学生足够的时间和空间,自由地、开放地探究数学知识的产生过程。通过看一看、想一想、议一议、分一分、猜一猜等多种形式的学习,为学生提供更多“数学
对话”的机会,力求让学生真正地动起来,充分展现做中学,从而获得对三角形边、角特征
的认识,进而学会给三角形分类,促进学生的分类、概括、推理以及动手操作能力的提高,
使他们在活动的过程中感悟出数学的真谛,逐渐养成探索的习惯,培养学生合作意识和创新
能力。
完成教材第65页“练习十五”第5题。
学生独立完成,集体订正。
【参考答案】 按三角形的概念分类即可。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:我学会了三角形按照角分,可以分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形。
生2:我知道了在直角三角形中,斜边的长度大于任意一条直角边的长度。
生3:我知道了按照边分可以分成等腰三角形和不等边三角形。其中,所有的等边三角
形都可以算是等腰三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。
作业1
教材第65页第4题,第66页第8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)三角形按角的不同,可分为( )、( )、( );按边分,没有边相等的三角形叫不
等边三角形,凡是有两条边相等的三角形叫做( ),三条边相等的三角形叫做( )。其
中,所有的等边三角形都可以算是( ),等边三角形是特殊的( )。
(2)一个三角形中最少有( )个锐角,最多有( )个钝角。(3)等边三角形又叫( )三角形,它的三条边都( ),三个角也( ),每个角都是(
)度。
(4)等腰三角形两条( )相等,两个角( ),相等的两个角叫做它的底角。
2.(易错题)判断。
(1)等边三角形一定是等腰三角形。 ( )
(2)等腰三角形一定是钝角三角形。 ( )
(3)所有的等腰三角形都是锐角三角形。 ( )
(4)等腰三角形都是等边三角形。 ( )
(5)所有等边三角形都是等腰三角形而且都是锐角三角形。 ( )
【提升培优】
3.(重点题)选择。
(1)三条边相等的三角形是( )三角形。
A.不等边 B.等腰 C.等边
(2)等腰三角形至少有( )条边相等。
A.1 B.2 C.3
(3)任何一个三角形至少有( )个锐角。
A.1 B.2 C.3
(4)一个等腰三角形的顶角是90°,这个三角形是( )。
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.(探究题)猜一猜被遮住一部分的三角形是什么三角形,选择对应的字母填入括号中。
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
【思维创新】
5.(变式题)6.(情景题)一块花圃是等腰三角形,周长是36米,底长10米,求它的腰长。
【参考答案】
作业1:4.(答案不唯一)
8.4种 (2,5,6) (6,6,5) (6,6,6) (6,6,2)
作业2:1.(1)锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等腰三角形 等边三角形 等腰三
角形 等腰三角形 (2)2 1 (3)正 相等 相等 60 (4)腰 相等 2.(1)√ (2)✕
(3)✕ (4)✕ (5)√ 3.(1)C (2)B (3)B (4)D 4.B D C 5.锐角三角
形:⑤⑥⑦⑧ 直角三角形:①③④ 钝角三角形:② 等腰三角形:③⑦ 等边三角形无
6.(36-10)÷2=13(米)
三角形的分类
按照角分:
按照边分:不等边三角形,等腰三角形1.老师的角色是“质疑”,放手让学生自己探索,寻找规律、发现规律是本节课的突出
特点。
(1)观察所给的三角形,提出疑问:我们应该怎样给这些三角形分类比较好呢?
(2)在学生找到了很多的发现时,我们现在需要把这些发现进行分类,怎么分比较好?为
什么要这样分?
(3)当学生分好类时,老师再次质疑,师问:我们给这些分类起个名字,好吗?激起学生的
求知欲望!把学生的学习主动性全权交给学生。
通过一系列的“质疑”,在学生的探究活动中,把学生看成是具有能动性的创造与学习
主体,而不是被动接受知识的对象,尊重了每一位学生的个性和人格。对于学生在实践活动
中所选择的方法和途径,教师要给予充分的肯定。不要认为学生的方案设计与教师所想象
的不同就是不合理的、错误的,不要把学生在尝试中的失败看得一无是处而全盘否定。相
反,如果要求学生完全照搬教师,一味地模仿教师,结果只能限制学生的想象力、创造力,达
不到探究学习的目的。因此,教师要留给学生广泛的思维空间,不要强求学生完全按照教材、
资料或教师预定的方案进行研究和学习,要放手让学生自己选题、自行设计、自主探究、
自由创造。用他们自己的语言、自己的理解、自己的感悟,从自己的思维角度去考虑问题。
让学生在独立设计的研究探索中尝试失败,使他们感受科学道路的艰辛,并从失败中总结教
训、调整方法,最终取得成功。
2.引导学生有效参与,强化操作尝试,注重学生的亲身感悟,让学生在操作和尝试中,增
强对知识的感悟,也是本节课的一个特点。
这堂课中紧紧抓住“给三角形分类”这样一个有价值的数学活动,引导学生通过小组
合作,进行观察、猜测、验证、推理、交流,探究分类的方法。学生分类的方法有许多,每
个小组都有不同的分类标准。在这时并不急于评价,而是充分让学生交流,学生在操作、体
验、感悟中建构了新的知识系统。如:按角的不同将三角形分类,命名为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。按边的不同,明确什么叫等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
这样的设计,改变了以往知识的呈现方式,符合学生的认知规律,重点突出。
3.让学生在独立思考的基础上进行合作交流。
合作交流是学习数学的重要方式之一,但良好的合作必须建立在独立思考的基础之上,
没有个人想法的合作,只是流于形式,耗能而低效。在这一节课中,充分注意到这一点,每次
合作前都提醒学生先自己想一想,试一试,再在小组中交流各自的想法,使学生的自主学习
与合作交流有机结合,最大限度地发挥了合作学习的优势,不仅提高了学习效率,而且有助
于学生形成良好的学习习惯。
在对图形分类时,很多学生就没有把等边三角形归到等腰三角形一类,而是单独成类,
虽然课上我有提到,但还是有很多学生忘记了这个特例,这就有问题了。课上我是分了三类,
但等边三角形是等腰三角形的一种特殊形式,就如正方形是特殊的长方形一样,等腰三角形
是包含等边三角形的。
再次教学中,要注意练习题的设计,我在练习课中,结合图形实例,着重强调了等边三角
形和等腰三角形的关系,让学生对分类有了重新的划分。
【练习十五·65页】
1.如下图所示。 2.可以在椅子腿上钉木条。 3.小猴子的篱笆更牢固,因为三
角形具有稳定性
4.(1)如图(1)所示。(答案不唯一) (2)如图(2) 所示。(答案不唯一)6.中间那条路最近(两点之间线段最短) 7.(1)√ (2)√ (3)( ) (4)√ 8.4种 组
合分别是(6,6,5),(6,6,6),(6,6,2),(6,5,2) 9.可能是锐角三角形,也可能是直角三角形,
因为三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 10.能
按要求在点子图中画一画。(以图中的线段为一条边)
(1)画两个不同的等腰三角形。
(2)画两个不同的直角三角形。
[名师点拨] (1)要想画两个不同的等腰三角形,首先应知道等腰三角形的特点是两腰
相等,也就是两条边所占的点数相等。可以将已知的线段作为腰,也可以将已知的线段作为
底。答案不唯一。(2)画两个不同的直角三角形,对边没有什么要求,只要两条边所夹的角
中有一个是直角即可,答案不唯一。
[解答]
【知识拓展】 在点子图上画图形必须保证图形的顶点在点上。
三角形编家谱三角形接到上级通知,要交一份家谱。回到家后,他把全家老小喊到一块,说:“为了管
好咱们这一大
家子,不给上级添麻烦,今天我们重新梳理门户,编一个家谱。我觉得可以有两种分法:
一种是按角分类,你们可以分为兄弟三家:老大是钝角三角形,即有一个角是钝角;老二是直
角三角形,即有一个角是直角;老三是锐角三角形,即三个角都是锐角(如图(1)所示)。另一
种是按边分类(如图(2)所示)。”
(1) (2)
三角形刚画完,等边三角形就嚷开了:“老头子偏心眼,钝角三角形、直角三角形、锐
角三角形平起平坐,三分天下,我为什么要比等腰三角形晚一辈,是不是别人都送礼了?”
“糊涂!这辈分是能随便改的吗?有两条边相等的三角形叫等腰三角形,三条边都相等
的才叫等边三角形,你比等腰三角形多了一个条件,你是一个特殊的等腰三角形。”老头子
气得吹胡子瞪眼。
“其实也没什么奇怪的,按角分的话,等边三角形三个角都是60°,只能算是锐角三角
形。我就不同了,三种都可能是。”等腰三角形说完之后摇身一变,如下图所示。
3 三角形的内角和
本小节内容包括教材P67~70的2个例题和练习十六。三角形内角和的教学内容是在学
生学习了三角形的概念及特征之后进行的。教材创设了一个有趣的问题情境,以此激发学生的学习兴趣,引出探索活动。在活动过程中,先通过“画一画、量一量”,产生初步的发
现和猜想,再“拼一拼、折一折”,引导学生对已有猜想进行验证,经历提出猜想——进行
验证的过程,渗透数学学习方法和思想。四边形的内角和是学生已经学习了四边形中的平
行四边形和梯形,知道了这两类特殊四边形的一些边角特征,也懂得了三角形的内角和是
180°这一结论后,自然就会疑问:四边形的内角和是多少呢?因此,课本中的这一安排既有
利于知识学习的延伸与拓展,以及知识体系的完善,更有利于培养学生的探究精神,锻炼学
生的探究能力,增强学生学习数学的兴趣。
1.让学生推理归纳出三角形内角和是180°,四边形的内角和是360°,并能应用这一知
识解决一些简单问题。
2.通过把三角形的内角和转化为平角进行探究实验,渗透“转化”的数学思想。
3.通过动手测量,使学生经历充分感知四边形内角和为360°这一规律的全过程,并渗
透归纳、猜想和验证的数学思想。
4.通过数学活动使学生获得成功的体验,增强自信心,培养学生的创新意识,探索精神
和实践能力。
【重点】 探究发现和验证“三角形的内角和为180度”这一规律的过程,并归纳总结
出规律;感知四边形内角和是360°这一规律。
【难点】 理解并掌握三角形的内角和是180度;探索多边形内角和时,如何把多边形
转化成三角形。
第 课时 三角形的内角和1.学生动手操作,通过量、剪、拼、折的方法,探索并发现“三角形内角和等于180
度”的规律。
2.在探究过程中,经历知识产生、发展和变化的过程,通过交流、比较,培养策略意识
和初步的空间思维能力。
3.体验探究的过程和方法,感受思维提升的过程,激发求知欲和探索兴趣。
【重点】 探究发现和验证“三角形的内角和为180度”这一规律的过程,并归纳总结
出规律。
【难点】 理解并掌握三角形的内角和是180度。
【教师准备】 PPT课件、三角尺。
【学生准备】 各类三角形、长方形、正方形、量角器、剪刀、固体胶、活动记录表
等。
方法一
小游戏:猜一猜藏在信封后面的是什么三角形。
预设 生1:第一个是直角三角形。
生2:第二个是钝角三角形。
生3:第三个可能是锐角三角形,可能是直角三角形,也可能是钝角三角形。
师:我们在猜三角形的时候,看到一个直角,就能断定它一定是直角三角形;看到一个钝
角,就能断定它一定是钝角三角形;但只看到一个锐角,就判断不出来是哪种三角形。看来在一个三角形中,只能有一个直角或一个钝角,为什么画不出有两个直角或两个钝角的三角
形呢?
揭示课题:三角形的这三个角究竟存在什么奥秘呢,我们一起来研究研究。(板书课题:
三角形的内角和)
[设计意图] 创设的不是生活中的情境,而是数学化的情境。有的学生认为一个三角
形中可能会有两个钝角,还有的提出等边三角形中可能会有直角,这两个问题显现出学生在
认知上的矛盾,学生用已经学的三角形的特征只能解释“不能是这样”,而不能解释“为什
么不能是这样”。这样引入问题恰好可以利用学生的这种认知冲突,激发学生的学习兴趣。
方法二
师:三角形的角之间一定存在一些奥秘在里面,这节课我们就来研究有关三角形角的知
识:三角形内角和。(板书课题:三角形的内角和)
[设计意图] 以简单的谈话方式导入新课,既丰富了学生的感官认识,又激发了学生的
学习热情。
教学例6,三角形的内角和是180度。
1.介绍内角、内角和。
出示一个三角形。
师:这个三角形的内角在哪?谁上来给同学们指一指。
(学生上台指)
师:同学们,已经知道了什么是三角形的内角,那么谁来说说三角形的内角和指的是什
么?
预设 生:三角形的内角和就是把它的三个内角的度数加起来。
师:计量内角和的单位是度,可以估计一下,各种各样的三角形的内角和是不是一个固
定的数?有可能会是多少度?把你的猜想也写在本上。
(学生自己写一写)
师:我们这节课就来一起探究用哪些方法能知道三角形的内角和。
2.确定研究范围。师:研究三角形的内角和是不是应该包括所有的三角形?只研究黑板上这一个行不行?
预设 生:不行。
师:那就随便画,挨个研究吧。
预设 生:太麻烦了。
师:请你想个办法吧!
(引导学生分析研究哪几类三角形,就能代表所有的三角形这个问题)
预设 生:可以研究一个锐角三角形,一个直角三角形,一个钝角三角形。
3.动手操作实践。
师:请每个学习小组拿出课前制作的各种各样的三角形,先找到三个内角,把每个角标
上序号。
师:先试着研究自己的三角形,然后再共同研究小组里其他同学的三角形,看看各种三
角形内角和是不是一样的。
(学生动手操作试验,在小组中讨论问题)
4.汇报交流。(预设约15~20分)
(1)测量的方法。
预设 生:我们组是采用测量的方法,三个角的度数加在一起大约是180°。
师:直接量的方法挺好,虽然测量有误差,不准,但我们能知道,三角形的内角和只能在
180°左右,究竟是不是一定就是180度呢,谁还有别的方法?
(2)剪拼的方法。
预设 生:我们组采用的是剪拼的方法,把三个角剪下来,然后拼成了一个平角,所以我
们认为三个角的度数和是180°。
师:能想到这个方法不简单,拼成的看起来像平角,到底是不是平角呢,我们一起来试试
看。
(教师和学生剪一剪、拼一拼)
师:把三角形的三个内角凑到了一起,拼成了一个大角,角的两条边是不是在一条直线
上呢?看起来挺像的,但在操作的过程中难免会产生误差,有时会差一点点,谁还有别的方法
确定三角形的内角和一定是180°?
(3)折拼的方法。预设 生:我们组采用的是折拼的方法,通过折,然后拼成了一个平角,所以我们组也认
为三个角的度数和是180°。
师:我们要研究三角形的内角和实际上就是想办法把三角形的三个内角凑到一起,像剪
和折的方法,看三个内角拼到一起是不是180度,都是借助我们学过的平角解决的问题。
师:这三种方法都不错,在操作的过程中,有时会有误差,不太有说服力。想一想,你还
能不能借助我们学过的哪种图形,想办法说明三角形的内角和一定是180度?
(4)演绎推理的方法。
(借助学过的长方形,把一个长方形沿对角线分成两个三角形)
师:你认为这种方法好不好?我们看看是不是这么回事。
(演示课件:两个完全相同的三角形内角和等于360°,一个三角形内角和等于180°)
师:这种方法避免了在剪拼过程中操作出现的误差,非常准确地说明了三角形的内角和
一定是180度。
5.验证猜想。
师:请学生把刚才研究的三角形举起来,分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,
这三类的三角形内角和都是180度,那就可以说所有的三角形的内角和都是180度。
这个结论和课前刚才知道的或猜的一样吗?
预设 生:是一样的。
6.进一步感受。
(1)三角形内角和与三角形大小的关系。
教师出示一个小三角形。
师:内角和是多少度?
预设 生:180度。
再出示一个大的等腰三角形。
师:它的内角和是多少度?
预设 生:180度。
(2)三角形内角和与三角形形状的关系。
(演示用几何画板制作的可以不断变化的三角形)师:仔细观察,在这个过程中,什么变化了?什么没变化?
预设 生:三个角的度数都在变化,内角和却总是不变的。
师:你有什么新发现吗?
预设 生:三角形的内角和与三角形的形状、大小都没有关系,都是180度。
7.巩固练习。
选一选。
(1)一个等腰三角形,顶角是100°,一个底角是( )。
A.140° B.40° C.55°
(2)一个三角形中,有一个角是65°,另外的两个角可能是( )。
A.95°,20° B.45°,80° C.65°,60°
【参考答案】 (1)B (2)A
[设计意图] 为了满足学生的探究欲望,发挥学生的主观能动性,通过独立探究和组内
交流,实现对多种方法的体验和感悟。学生通过小组合作的方式学到方法,分享经验,更重
要的是领悟到科学研究问题的方法。就学生的发展而言,探究的过程比探究获得的结论更
有价值。
1.完成教材第67页“做一做”。
学生独立完成,完成后集体订正。
2.完成教材第69页“练习十六”第1,3题。
学生独立完成,然后集体订正。
【参考答案】 做一做:1.∠2=180°-140°-25°=15° 2.180°
1.78° 60° 135° 3.180°-70°×2=40°
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?预设 生1:我知道了三角形的内角和是180°。
生2:我学会了在求三角形内角和度数时,可以采用拼剪和折拼的转化方法。
生3:我学会了先猜想,再验证的数学方法。
作业1
教材第69页第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)任意三角形的内角和都是( )。
(2)等边三角形的三个内角都是( )。
(3)在一个钝角三角形中,两个锐角的度数之和( )90°。
(4)一个等腰三角形的顶角是80°,则它的底角是( )。
(5)如果在一个三角形中,两个锐角的度数之和是90°,那么这个三角形一定是( )三角
形。
2.(易错题)判断。
(1)任意三角形至少有2个锐角,最多有1个钝角。 ( )
(2)钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。 ( )
(3)一个直角三角形的一个锐角是60°,则另一个锐角是40°。( )
3.(基础题)选一选。
(1)一个三角形的两个内角分别是36°和54°,这个三角形是( )三角形。
A.直角 B.锐角 C.钝角
(2)一个三角形中,最大角的度数等于其余两个角的度数之和,这个三角形一定是( )三
角形。
A.直角 B.锐角 C.钝角
(3)把一个三角形剪成两个小三角形,每个小三角形的内角和是( )。
A.90° B.180° C.360°(4)一个等腰三角形的一个底角是45°,它的顶角是( )。
A.90° B.40° C.55°
【提升培优】
4.(探究题)下面各组角中,可以是一个三角形三个内角的打“√”,不是的打“✕”。
(1)60° 90° 40°( )
(2)50° 60° 60°( )
(3)90° 60° 30°( )
(4)60° 70° 50°( )
5.(重点题)求未知角的度数。
【思维创新】
6.(探究题)已知∠1=40°,∠2=60°,求∠3,∠4的度数。
【参考答案】
作业1:2.(1)每个角都是60° (2)96° 42° 42° (3)90° 50° 40°
作业2:1.(1)180° (2)60° (3)小于 (4)50° (5)直角 2.(1)√ (2)✕ (3)✕
3.(1)A (2)A (3)B (4)A 4.(1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ 5.(1)180°-46°-
34°=100° (2)90°-40°=50° (3)(180°-70°)÷2=55° 6.∠3=180°-40°-
60°=80° ∠4=180°-80°=100°三角形的内角和
三角形有3个内角。量 剪拼 折
任意三角形的内角和是180°
整节课通过巧妙的设计,让学生经历了观察、发现、猜测、验证、归纳、概括等数学
活动,切实体现了新课程的核心理念“以学生为本,以学生的发展为本”。具体体现在以下
几个方面:
1.精心设计学习活动,让每一个学生经历知识形成的过程。老师为学生提供了丰富的
结构化的学习材料,有各类的三角形、相同的三角形等,促使学生人人动手、人人思考,引
导学生在独立思考的基础上进行合作与交流。在这一过程中发展学生的动手操作能力、推
理归纳能力,实现学生对知识的主动建构。
2.立足长远,注重长效,不仅关注知识和能力目标的落实,更注重数学思想方法的渗透。
在验证三角形内角和是180度的过程中,教师有意识地引导学生认识到撕拼的验证方法其
实是把三角形的内角和转化成了平角,使学生对“转化”的数学思想有所感悟;在对测量的
结果出现不同答案的交流过程中,使学生认识到测量时会出现误差,从而培养学生严谨的、
科学的学习态度和探究精神。
3.遵循教材,不唯教材。本节课上,老师延伸了教材,拓宽了学生的知识面,把学生的学
习置于更广阔的数学文化背景中,激起了学生对数学的强烈兴趣,激发了学生积极向上的学
习情感。
整节课的学习内容,突出了数学学科的实质,抓住了数学的本质,使学生在动手“做”
数学的过程中寻求成功,在成功中享受快乐,在快乐中不断超越,在超越中体验成长。学生在折纸验证三角形的内角和后汇报时,学生的表达不够清楚,老师的引导不能及时
跟进。
再次教学中,要充分发挥学生的主体作用,适时地引导好学生思考,注重学生的实际操
作,同时培养学生的语言表达能力。
【做一做·67页】
1.∠2=180°-140°-25°=15° 2.180°
已知等腰三角形的顶角是40°,它的一个底角是多少度?
[名师点拨] 我们知道,三角形的内角和是180°,它的顶角是40°,所以能求出两个底
角的和。而等腰三角形的两个底角相等,所以我们可以求出一个底角的度数。
[解答] (180°-40°)÷2
=140°÷2
=70°
【知识拓展】 三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,多边形的内角和是
(n-2)×180°(n为多边形的边数)如图所示。在一个三角形中,∠1=120°,∠2=25°,∠3是多少度?
[名师点拨] 因为三角形的内角和是180°,所以
∠1+∠2+∠3=180°,∠1=120°,∠2=25°,只要用180°连续减去∠1和∠2的度数或用
180°减去∠1与∠2的度数和便可求出∠3的度数。
[解答1] ∠3=180°-120°-25°
=60°-25°
=35°
答:∠3的度数是35°。
[解答2] ∠3=180°-(120°+25°)
=180°-145°
=35°
答:∠3的度数是35°。
【知识拓展】 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。如下图所示,∠4是
三角形ABC的一个外角,因为∠4+∠3=180°,∠1+∠2+∠3=180°,所以∠4=∠1+∠2。
帕斯卡与“三角形内角和”的故事
几何学刚刚创建的时候,人们把三角形归类为多边形的一种,并没有去管三角形什么特
殊的性质。帕斯卡(1623~1662)是法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。他4
岁时母亲病故,由受过高等教育、担任政府官员的父亲和两个姐姐负责对他进行教育和培
养。他父亲是一位受人尊敬的数学家,但是他有个错误地认识,认为学习数学很伤身体,所
以把家里所有的数学书都藏了起来,并且不允许他的朋友们在帕斯卡面前谈论数学。他只
让帕斯卡看很多古典文学书,希望他能好好学习文学。父亲这一做法反而引起了帕斯卡对
数学的兴趣。他开始偷偷地研究数学。有一天他问父亲,什么是几何,父亲很简单地回答说
“几何就是教人在画图时能作出正确又美观的图”。于是帕斯卡就拿了粉笔在地上画起各种图形来。画着画着,12岁的帕斯卡发现任何一个三角形内角和都是180度,当他把这个发
现告诉父亲时,父亲激动得泪如雨下,搬出了自己所有的数学书给帕斯卡看。在其父精心的
教育下,帕斯卡很小就精通欧几里得几何,他自己独立地发现了欧几里得的前32条定理,而
且顺序也完全正确。后来通过不断的自学探究,帕斯卡成了非常有成就的数学家、物理学
家和哲学家。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形,又称杨辉三角形,贾宪三角形,是一个三角形矩阵,其顶端是 1。第2行
两个1,这两个1是由它们上头左右两数之和 (不在三角形内的数视为0)。依此类推产生
第3行:0+1=1;1+1=2;1+0=1。第4行:0+1=1;1+2=3;2+1=3;1+0=1。循此法可以产生以下诸
行。
第 课时 四边形的内角和
1.探究并了解四边形的内角和。
2.通过引导学生自主探究四边形内角和,培养学生探究问题的方法与能力;让学生尝试
从不同角度寻求探究问题的方法并能有效地解决问题,训练学生的发散性思维和培养他们
的创新精神。
3.通过实例引入,使学生体验数学来源于生活,又服务于生活,唤起学生学数学的兴趣
和应用数学的意识。在自主探究、合作交流的过程中,感受数学活动的重要意义和合作成
功的喜悦,提高学生学习的热情和合作意识。【重点】 四边形的内角和。
【难点】 如何引导学生参与到探索四边形的内角和的过程;探索多边形内角和时,如
何把多边形转化成三角形。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 正方形、长方形、一般四边形、白纸、剪刀、量角器、三角板。
(1)三角形的内角和是( )。
(2)一个三角形的两个内角分别是80°和75°,另一个角是( )。
(3)一个等腰三角形的底角是70°,它的顶角是( )。
指名学生说一说,集体订正。
【参考答案】 (1)180° (2)25° (3)40°
方法一
课件展示一组有关四边形的美丽图片。
师:同学们,人们用各种形状的地砖铺路,请回忆你们所见的地砖有哪些形状?
预设 生1:我见过三角形。
生2:我见过正方形。
师:那你们想一想,四边形的内角和是多少度?
(学生讨论后交流)
师:好,我们现在来探究一下四边形的内角和,好不好?
揭示课题:这节课咱们就来学习四边形的内角和。(板书课题:四边形的内角和)[设计意图] 通过展现美丽的四边形,让学生感受四边形和生活的联系,激发学生探究
四边形的内角和的兴趣。 同时引导学生猜想四边形的内角和,以便找准教学起点。
方法二
上节课我们学习了三角形的内角和,这节课我们一起学习四边形的内角和是多少度。
(板书课题:四边形的内角和)
[设计意图] 直接揭示这节课学习的内容,使学生能够对本节课的学习有所预知,使学
生尽快地进入这节课的学习状态。
教学例7,四边形的内角和是360度。
1.提出问题。
师:四边形可以分成哪几类?
预设 生:可以分成长方形、正方形、梯形……
师:长方形和正方形的内角和是多少?你是怎么想的?
预设 生:长方形和正方形的内角和是360度,因为它们有四个角,每个角都是直角。
师:那么其他四边形的内角和与长方形一样吗?
预设 生:不一定吧!
2.实验探究。
师:我们该怎样证明四边形的内角和呢?
(学生分组讨论)
预设 生1:可以用量角器量。
生2:也可以像三角形那样割拼。
生3:还可以分割成几个三角形来求。
师:真不错,那我们来分组进行实验探究。
课件出示要求:
(1)四人为一小组,讨论制定计划,组长做好分工。
(2)利用不同的方法进行合作探究。
(3)填写好实验表格,并做好分析。(4)小组进行操作探究活动。
师:剪出几个不同的四边形,按表中所给的方法做一做,并填一填。
师:填表后想一想、互相说一说,四边形内角和是多少度?
3.分析归纳。
师:通过刚才的实验,哪个小组先来汇报一下呢?
预设 生1:我们小组通过测量,四边形四个角的度数相加的和是360度。
生2:我们小组通过将四个角剪下来再拼在一起变成一个周角,也是360度。
生3:我们小组通过分割法,将一个四边形分割成两个三角形,因为三角形的内角和是
180度,两个就是360度。
师:各小组的结论一样吗?
预设 生:一样的。
师生共同总结:四边形的内角和是360度。(师板书)
4.回顾与反思。
师:我们刚才证明了四边形的内角和是360度,结合前面所学的知识,你们想一想,最好
最直接的办法是怎样的呢?
预设 生:分割法,看分成了几个三角形,就有几个180度。
师:那么一个五边形的内角和是多少呢?
预设 生:一个五边形可以分成三个三角形,它的内角和就有3个180度,就是540度了。
师:真聪明,都会运用课本的知识了,那你能不能用一个式子表示呢?
预设 生:多边形内角和=(多边形边数-2)×180°。(师板书)
5.巩固练习。
填一填。
(1)平行四边形的内角和是( )度。
(2)四边形可以转化成( )个( )形来求内角和。
【参考答案】 (1)360 (2)两 三角
[设计意图] 通过学生自主探索解决问题的方法,学生展示研究的结果,和其他学生形
成成果共享,有利于突出教学重点,突破教学难点。让学生亲历知识的形成过程,最终形成数学结论,能更好地理解和掌握知识。同时通过交流数学知识间蕴藏的规律,用到的数学思
想,增强学生学习数学的兴趣。
1.完成教材第68页“做一做”。
学生独立完成,集体交流自己用到的是什么办法。
2.完成教材第69页“练习十六”第4题。
学生仿照示例,独立完成,集体订正。
【参考答案】 做一做: 180°×4=720°
4.
180°×2 180°×3 180°×4 180°×5
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:我知道了四边形的内角和是360°。
生2:我知道了多边形的内角和的计算方法:多边形内角和=(多边形边数-2)×180°。
生3:我知道了求多边形的内角和的方法就是分割法,看分成了几个三角形,就有几个
180度。
作业1
教材第70页第7题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)平行四边形的内角和是( )度。
(2)多边形内角和的计算公式是:多边形的内角和=( )。(3)五边形的内角和是( )度。
2.(易错题)判断。
(1)平行四边形比梯形的内角和大。 ( )
(2)任何四边形的内角和都是360度。 ( )
(3)一个五边形的内角和可以用算式180°×(5-2)=540°来计算。 ( )
【提升培优】
3.(重点题)求出下面四边形中的未知角的度数。
4.(操作题)根据三角形内角和是180°,求出下面图形的内角和。
(1) (2)
【思维创新】
5.(情景题)(1)一个四边形菜地的三个内角分别是65度,125度和80度,第四个内角是多少
度?
(2)一个直角梯形的麦田的一个锐角是75°,另一个内角是多少度?
【参考答案】
作业1:7.分别有1,3,6,10……个三角形 规律:1,1+2,1+2+3,1+2+3+4……每增加一条线
就增加2,3,4……个三角形。
作业2:1.(1)360 (2)(多边形边数-2)×180° (3)540 2.(1)✕ (2)√ (3)√
3.360°-150°-70°-90°=50° 4.(1)180°×(8-2)=1080° (2)180°×(5-2)=540°
5.(1)360°-65°-125°-80°=90° (2)360°-90°-90°-75°=105°
四边形的内角和四边形的内角和是360°
多边形的内角和=(多边形的边数-2)×180°
1.运用类比猜想,验证的数学思想。
“大胆猜想,小心求证”是科学探究的普遍规律,是获取知识的一条重要途径。在学生
已有知识,三角形的内角和是180°的基础上,类比猜想四边形的内角和。通过测量、计算、
讨论、交流、总结出四边形的内角和为360度的规律的结论。通过亲身的体验所得的知识,
掌握得更加牢固。引导学生学会探究总结事物所含的数学规律,提高了学生综合运用知识
解决问题的能力。探究过程中,归纳、猜想和验证的数学思想渗透使学生感悟到数学的神
奇和奥妙,提高了学生学习数学的兴趣,增强了学好数学的信心。
在此基础上,再引导学生通过把四边形分割成三角形的方法,理论上再证明这一规律就
更加完美。
2.充分发挥学生的主体作用。
本节的教学活动充分发挥学生的主体作用,创设实际情景,从而激发了学生的学习兴趣,
使课堂充满生机。在进行四边形内角和的教学时,设计三个步骤:(1)通过动手操作,让学生
自己通过实验的方法发现四边形内角和是360度;(2)让学生发现概括四边形内角和是360
度;(3)通过学生讨论应用。整节课充满着“自主、合作、探究、交流”的教学理念,营造
了思维驰骋的空间,使学生在主动思考探究的过程中自然地获得新的知识。
3.渗透数学思想。
探究过程中,归纳、猜想和验证的数学思想渗透使学生感悟到数学的神奇和奥妙,提高
了学生学习数学的兴趣,增强了学好数学的信心。在此基础上,再引导学生通过把四边形分
割成三角形的方法,理论上再证明这一规律就更加完美。在探究四边形的内角和度数的时候,以及后面探究多边形内角和的过程中,没有放手让
学生主动去探究和思考,老师的引导过多了,限制了学生的思考。
再次教学时,在探究活动过程中,要放手让学生去想,去操作,去表达,激发学生的思维,
培养学生的创造能力。
【做一做·68页】
180°×4=720°
【练习十六·69页】
1.78° 60° 135° 2.(1)60° 60° 60° (2)42° 42° 96° (3)50° 90°
40° 3.180°-70°×2=40°
4.
180°×2 180°×3 180°×4 180°×5
5.
7.分别有1,3,6,10……个三角形 规律:1,1+2,1+2+3,1+2+3+4……每增加一条线就增加
2,3,4……个三角形。
分别求出下面四边形ABCD和五边形ABCDE的内角和。[名师点拨] 因为三角形的内角和是180°,所以可以把求多边形的内角和转化成求几
个三角形的内角和。将四边形相对的顶点A,C连接起来,则AC把四边形ABCD划分成三角
形ACD和三角形ABC。显然,四边形ABCD的四个内角和就等于这两个三角形的内角和。同
理,五边形ABCDE中连接AC,AD,将五边形分成三个三角形。因此,五边形的内角和就是这三
个三角形的内角和。
[解答] 四边形ABCD的内角和=180°×2=360°。五边形ABCDE的内角和
=180°×3=540°。
【知识拓展】 因为三角形的内角和是180°,所以可以把求多边形的内角和转化成求
几个三角形的内角和,由于多边形所分的三角形个数总比多边形的边数少2,因此,可以分
成12-2=10个三角形,所以十二边形的内角和是180°×10=1800°,也可以利用n边形的内
角和公式(n-2)×180°。
多边形的内角和=(n-2)×180°的推导方法
对于n边形的内角和公式:n边形的内角和=(n-2)×180°,其推导方法主要有以下几种:
方法一:在n边形内任取一点,然后把这一点与各顶点连接,将n边形分割为n个三角形,
这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多了一个周角360°,因此n边形的内角和
=180°×n-360°;
方法二:在n边形的一边上取一点,把这一点与各顶点连接,把n边形分割为(n-1)个三
角形,这些三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个平角,因此,n边形的内角和
=(n-1)×180°-180°;
方法三:在n边形外任取一点,然后把这一点与各顶点连接,将n边形分割为n个三角形,
这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多出了两个三角形的内角和,因此n边形的
内角和=n×180°-2×180°。为什么地砖是正方形的或正六边形的
地砖的花色品种很多,可是,它们一般不是正方形的就是正六边形的。这是什么缘故呢?
在正多边形中,只有三种能用来铺满一个平面,而中间没有空隙,这就是正三角形、正
方形和正六边形。因为正三角形的一个角等于60°,六个正三角形拼在一起时,在公共顶
点上的六个角之和等于360°;正方形的一个角等于90°,所以四个正方形拼在一起时,在
公共顶点上的四个角之和刚好等于360°;正六边形的一个角等于120°,三个正六边形拼
在一起时,在公共顶点上的三个角之和刚好等于360°。
如果用别的正多边形,就不能达到这一要求。例如正五边形的一个角等于108°,把三
个正五边形拼在一起,在公共顶点上的三个角的和是108°×3=324°,小于360°,有空隙。
而空隙处又放不下第四个正五边形,因为108°×4=432°,大于360°。
六个正三角形拼在一起,虽然没有空隙,但是它不及正方形和正六边形好看。所以在艺
术设计上,一般较多用正方形和正六边形的地砖。
第5单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、填一填(22分)
1.由( )围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形,三角形有( )条
边,( )个角,具有( )性。
2.一个三角形最多有( )个直角,最少有( )个锐角。
3.从三角形的一个( )到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形
的( )。
4.任意一个三角形都有( )条高。
5.任意一个三角形的内角和都是( )。
6.如果一个三角形有两个内角的度数之和等于90°,那么这个三角形就是( )。
二、判断(对的画“√”,错的画“✕”)(12分)
1.一个三角形中只有两个锐角。 ( )
2.等边三角形既是锐角三角形,又是等腰三角形。 ( )
3.在一个三角形中,如果最大的角是锐角,那么这个三角形一定是锐角三角形。( )4.在同一个三角形中,如果有两条边的长度相等,那么这两条边所对的角的度数相等。 (
)
三、选一选(18分)
1.用一条线段把一个大三角形分成两个小三角形,那么大三角形的内角和是( )。
A.90° B.180° C.360°
2.在锐角三角形中,任何两个内角的度数之和都( )90°。
A.大于 B.小于 C.等于
3.在一个三角形中,如果其中任何两个角的度数之和都大于第三个角的度数,那么这个三角
形是( )。
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形
4.四边形的内角和是( )度。
A.180 B.360 C.90
5.任意一个三角形都有( )个顶点。
A.一 B.两 C.三
6.下列图形具有稳定性的是( )。
A.三角形 B.平行四边形
C.梯形
四、在能拼成三角形的各组小棒下面打“√”(单位:厘米)(12分)
五、分别画出三角形相应底边上的高(6分)
六、解决问题(30分)1.在一个等腰三角形中,一个底角是40°,顶角是多少度?(4分)
2.李老师准备用一根60厘米长的铁丝围成一个等腰三角形,如果腰长25厘米,底边长应是
多少厘米?(4分)
3.下列图形中,从其中一个顶点出发,和其余各顶点连线段,分别能将原图形分成几个三角
形?试试看。(6分)
4.(探究题)妈妈给小明买了一个等腰三角形的风筝,它的一个底角等于顶角的2倍,这个风
筝的顶角是多少度?每个底角是多少度?(6分)
5.(情景题)北京奥运会主体育场“鸟巢”的外观设计中运用了大量的三角形。你知道这是
为什么吗?(4分)
6.看图算一算,∠1是多少度?你有几种方法?(6分)
★附加题
如图所示,小芳从A处出发到河边打水,并把水送到B处。请画图表示,她怎样走路程最
短?
【参考答案】
一、1.三条线段 3 3 稳定 2.1 2 3.顶点 高 4.3 5.180° 6.直角三角形
二、1.✕ 2.√ 3.√ 4.√
三、1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.A
四、(1)(√) (4)(√)五、
六、1.180°-40°×2=100° 2.60-25×2=10(厘米) 3.(图形画法不唯一)如下图所示。
(1)两个 (2)三个 (3)四个 4.把三角形的顶角看成1份,两个底角分别是2份,三角形
的内角和共有5份,顶角为180°÷5=36°,底角是顶角的2倍,底角为36°×2=72°。
5.因为三角形具有稳定性。 6.方法1:∠1=60°+70°=130° 方法2:∠1=180°-
(180°-60°-70°)=130°
附加题
