2020年高考数学试卷（北京）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（北京）数学高考真题

绝密★本科目考试启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项． 1.已知集合A={-1,0,1,2}，B ={x|0< x <3}，则A I B=（ ）． A. {-1,0,1} B. {0,1} C. {-1,1,2} D. {1,2} 【答案】D 【解析】 【分析】 根据交集定义直接得结果. 【详解】AI B={-1,0,1,2}I (0,3)={1,2}， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i× z = （ ）． A. 1+2i B. -2+i C. 1-2i D. -2-i 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得z =1+2i，\iz =i-2. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 第1页 | 共23页3.在( x -2)5的展开式中，x2的系数为（ ）． A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定x2的系数即可. 【详解】  x -2 5 展开式的通项公式为：T =Cr  x 5-r -2r =-2r Crx 5- 2 r ， r+1 5 5 5-r 令 =2可得：r =1，则x2的系数为：-21 C1 =-2´5=-10. 2 5 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出 的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条 件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根 据所求的指数，再求所求解的项． 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）． A. 6+ 3 B. 6+2 3 C. 12+ 3 D. 12+2 3 第2页 | 共23页【答案】D 【解析】 【分析】 首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可. 【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正 方形， æ1 ö 则其表面积为：S =3´2´2+2´ ç ´2´2´sin60° ÷ =12+2 3. è2 ø 故选：D. 【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分 析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表 面积是侧面积与底面圆的面积之和． 5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】 求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心Cx,y ，则 x-32 +y-42 =1， 化简得x-32 +y-42 =1， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆， 第3页 | 共23页所以|OC|+1³|OM | = 32 +42 =5，所以|OC|³5-1=4， 当且仅当C在线段OM 上时取得等号， 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题. 6.已知函数 f(x)=2x -x-1，则不等式 f(x)>0的解集是（ ）． A. (-1,1) B. (-¥,-1) U (1,+¥) C. (0,1) D. (-¥,0)È(1,+¥) 【答案】D 【解析】 【分析】 作出函数y =2x和y=x+1的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为 f x=2x -x-1，所以 f x>0等价于2x > x+1， 在同一直角坐标系中作出y =2x和y=x+1的图象如图： 第4页 | 共23页两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式2x > x+1的解为x<0或x>1. 所以不等式 f x>0的解集为： -¥,0È1,+¥ . 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 7.设抛物线的顶点为O，焦点为F ，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 PQ^l于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）． A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 【答案】B 【解析】 【分析】 依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定 义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解. 第5页 | 共23页【详解】如图所示： ． 因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知， PQ = PF ，所以线段FQ的垂直平分线经过点P. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 8.在等差数列 a  中，a =-9，a =-1．记T =aa … a (n=1,2,… )，则数列 T  （ n 1 3 n 1 2 n n ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在 最大项和最小项. a -a -1+9 【详解】由题意可知，等差数列的公差d = 5 1 = =2， 5-1 5-1 则其通项公式为：a =a +n-1d =-9+n-1´2=2n-11， n 1 注意到a 1 1i³7,iÎN 可知数列 T  不存在最小项， T i n i-1 由于a =-9,a =-7,a =-5,a =-3,a =-1,a =1， 1 2 3 4 5 6 第6页 | 共23页故数列 T  中的正项只有有限项：T =63，T =63´15=945. n 2 4 故数列 T  中存在最大项，且最大项为T . n 4 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思 想等知识，属于中等题. 9.已知a,bÎR，则“存在kÎZ使得a=kp+(-1)kb”是“sina=sinb”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在kÎZ使得a=kp+(-1)kb时， 若k为偶数，则sina=sinkp+b=sinb； 若k为奇数，则sina=sinkp-b=siné ë k-1p+p-bù û =sinp-b=sinb； (2)当sina=sinb时，a=b+2mp或a+b=p+2mp，mÎZ ，即 a=kp+-1k bk =2m或a=kp+-1k bk =2m+1， 亦即存在kÎZ使得a=kp+(-1)kb． 所以，“存在kÎZ使得a=kp+(-1)kb”是“ sina=sinb ”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论 思想的应用，属于基础题. 10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（p Day）．历史上，求圆周率p的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿 尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边 第7页 | 共23页形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2p的近似值．按照阿 尔·卡西的方法，p的近似值的表达式是（ ）． æ 30° 30° ö æ 30° 30° ö A. 3nçsin +tan ÷ B. 6nçsin +tan ÷ è n n ø è n n ø æ 60° 60° ö æ 60° 60° ö C. 3nçsin +tan ÷ D. 6nçsin +tan ÷ è n n ø è n n ø 【答案】A 【解析】 【分析】 计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2p的近 似值可得出结果. 360° 60° 【详解】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为 = ，每条边长为 n´6 n 30° 2sin ， n 30° 所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin ， n 30° 30° 单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan ，其周长为12ntan ， n n 30° 30° 12nsin +12ntan n n æ 30° 30°ö， \2p= =6n sin +tan ç ÷ 2 è n n ø æ 30° 30°ö 则p=3n ç sin +tan ÷. è n n ø 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率p的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n边形和外切 正6n边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 1 11.函数 f(x)= +lnx的定义域是____________． x+1 【答案】(0,+¥) 【解析】 第8页 | 共23页【分析】 根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. ì x>0 【详解】由题意得í ，\x>0 îx+1¹0 故答案为：(0,+¥) 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. x2 y2 12.已知双曲线C: - =1，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距 6 3 离是_________． 【答案】 (1). 3,0 (2). 3 【解析】 【分析】 根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点 到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离. 【详解】在双曲线C中，a= 6，b= 3，则c= a2 +b2 =3，则双曲线C的右焦点坐 标为 3,0 ， 2 双曲线C的渐近线方程为y =± x，即x± 2y =0， 2 3 所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 = 3. 12 +2 故答案为： 3,0 ； 3. 【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考 查计算能力，属于基础题. uuur 1 uuur uuur uuur 13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP= (AB+ AC)，则|PD|=_________； 2 uuur uuur PB×PD=_________． 【答案】 (1). 5 (2). -1 【解析】 第9页 | 共23页【分析】 以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的 uuur uuur uuur 坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 PD 以及PB×PD的值. 【详解】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直 角坐标系， 则点A0,0 、B2,0 、C2,2 、D0,2 ， u A u P ur = 1u A u B ur + u A u C ur = 1 2,0+ 1 2,2=2,1， 2 2 2 uuur uuur 则点P2,1 ，\PD=-2,1，PB=0,-1， uuur uuur uuur 因此， PD = -22 +12 = 5，PB×PD =0´-2+1´(-1)=-1. 故答案为： 5；-1. 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标是 解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 14.若函数 f(x)=sin(x+j)+cosx的最大值为2，则常数 j 的一个取值为________． p p 【答案】 （2kp+ ,kÎZ 均可） 2 2 【解析】 【分析】 根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 f x= cos2j+sinj+12 sinx+q， 可得 cos2j+sinj+12 =2，即可解出. 【详解】因为 f x=cosjsinx+sinj+1cosx= cos2j+sinj+12 sinx+q， 第10页 | 共23页p 所以 cos2j+sinj+12 =2，解得sinj=1，故可取j= . 2 p p 故答案为： （2kp+ ,kÎZ 均可）. 2 2 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查 学生的数学运算能力，属于基础题. 15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业 f(b)- f(a) 要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为W = f(t)，用- 的大小评 b-a 价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放 量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在 t ,t  这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 1 2 ②在t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 2 ③在t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； 3 ④甲企业在 0,t ,t ,t ,t ,t  这三段时间中，在 0,t  的污水治理能力最强． 1 1 2 2 3 1 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】 根据定义逐一判断，即可得到结果 f(b)- f(a) 【详解】- 表示区间端点连线斜率的负数， b-a 第11页 | 共23页在 t ,t  这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的 1 2 污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在 0,t ,t ,t ,t ,t  这三段时间中，甲企业在 t ,t  这段时间内，甲的斜率最小， 1 1 2 2 3 1 2 其相反数最大，即在 t ,t  的污水治理能力最强．④错误； 1 2 在t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治 2 理能力比乙企业强；②正确； 在t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 3 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中 档题. 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.如图，在正方体ABCD-ABC D 中，E为BB 的中点． 1 1 1 1 1 （Ⅰ）求证：BC //平面ADE； 1 1 （Ⅱ）求直线AA 与平面ADE所成角的正弦值． 1 1 2 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） . 3 【解析】 【分析】 第12页 | 共23页（Ⅰ）证明出四边形ABC D 为平行四边形，可得出BC //AD ，然后利用线面平行的判定定 1 1 1 1 理可证得结论； （Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB、AA 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐 1 标系A-xyz，利用空间向量法可计算出直线AA 与平面ADE所成角的正弦值. 1 1 【详解】（Ⅰ）如下图所示： 在正方体ABCD-ABC D 中，AB//AB 且AB= AB ，AB //C D 且AB =C D ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \AB//C D 且AB=C D ，所以，四边形ABC D 为平行四边形，则BC //AD ， 1 1 1 1 1 1 1 1 Q BC 1 Ë平面AD 1 E，AD 1 Ì平面AD 1 E，\BC 1 //平面AD 1 E； （Ⅱ）以点A为坐标原点，AD、AB、AA 所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示 1 的空间直角坐标系A-xyz， 设正方体ABCD-ABC D 的棱长为2，则A0,0,0 、A 0,0,2 、D 2,0,2 、 1 1 1 1 1 1 第13页 | 共23页uuuur uuur E0,2,1 ，AD =2,0,2，AE =0,2,1， 1 uuuuv r ìnv×AD =0 ì2x+2z =0 设平面AD 1 E的法向量为n=x,y,z，由í înv× u A u E uv 1 =0 ，得í î2y+z =0 ， r 令z =-2，则x=2，y =1，则n=2,1,-2 . r uuur r uuur n×AA 4 2 cos= 1 =- =- 1 n r × u A u A ur 3´2 3 . 1 2 因此，直线AA 与平面ADE所成角的正弦值为 . 1 1 3 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的 正弦值，考查计算能力，属于基础题. 17.在 V ABC 中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ）sinC和 ABC 的面积． V 1 条件①：c=7,cosA=- ； 7 1 9 条件②：cosA= ,cosB= ． 8 16 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 3 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC = , S =6 3； 2 7 15 7 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC = , S = . 4 4 【解析】 【分析】 选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根 据正弦定理求sinC,最后根据三角形面积公式求结果； 选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A,sinB，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ ）根据两角和正弦公式求sinC，再根据三角形面积公式求结果. 1 【详解】选择条件①（Ⅰ） c=7,cosA=- ，a+b=11 Q 7 第14页 | 共23页1 a2 =b2 +c2 -2bccosA\a2 =(11-a)2 +72 -2(11-a)×7×(- ) Q 7 \a=8 1 4 3 （Ⅱ） cosA=- ，AÎ(0,p)\sin A= 1-cos2 A = Q 7 7 a c 8 7 3 = \ = \sinC = 由正弦定理得：sinA sinC 4 3 sinC 2 7 1 1 3 S = basinC = (11-8)´8´ =6 3 2 2 2 1 9 选择条件②（Ⅰ） cosA= ,cosB= ，A,BÎ(0,p) Q 8 16 3 7 5 7 \sinA= 1-cos2 A = ,sinB= 1-cos2 B = 8 16 a b a 11-a = \ = \a =6 由正弦定理得：sin A sinB 3 7 5 7 8 16 3 7 9 5 7 1 7 （Ⅱ）sinC =sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA= ´ + ´ = 8 16 16 8 4 1 1 7 15 7 S = basinC = (11-6)´6´ = 2 2 4 4 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档 题. 18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解 该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 第15页 | 共23页假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持 方案一的概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 p ，假设该校年级有500名男生和300名女生， 0 除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p ，试比较 p 与 p 的大小．（结论 1 0 1 不要求证明） 1 3 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 ，该校女生支持方案一的概率为 ； 3 4 13 （Ⅱ） ,（Ⅲ） p < p 36 1 0 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果； （Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求 p ，再根据频率估计概率 p ，即得大小. 0 1 200 1 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 = ， 200+400 3 300 3 该校女生支持方案一的概率为 = ； 300+100 4 （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一 个男生支持方案一，一个女生支持方案一， 1 3 1 1 3 13 所以3人中恰有2人支持方案一概率为：( )2(1- )+C1( )(1- ) = ; 3 4 2 3 3 4 36 （Ⅲ） p < p 1 0 【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属 基础题. 19.已知函数 f(x)=12-x2． （Ⅰ）求曲线y = f(x)的斜率等于-2的切线方程； 第16页 | 共23页（Ⅱ）设曲线y = f(x)在点(t, f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求 S(t)的最小值． 【答案】（Ⅰ）2x+ y-13=0，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果； （Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角 形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为 f x=12-x2，所以 f¢x=-2x， 设切点为 x ,12-x  ，则-2x =-2，即x =1，所以切点为 1,11 ， 0 0 0 0 由点斜式可得切线方程为：y-11=-2x-1 ，即2x+ y-13=0. （Ⅱ）显然t ¹0， 因为y = f x 在点  t,12-t2 处的切线方程为：y-  12-t2 =-2tx-t ， t2 +12 令x=0，得y =t2 +12，令y =0，得x= ， 2t 1 t2 +12 所以St= ´  t2 +12  × ， 2 2|t| 不妨设t >0 (t <0时，结果一样)， t4 +24t2 +144 1 144 则St= = (t3+24t+ )， 4t 4 t 1 144 3(t4 +8t2 -48) 所以S¢t= (3t2 +24- )= 4 t2 4t2 3(t2 -4)(t2 +12) 3(t-2)(t+2)(t2 +12) = = ， 4t2 4t2 由S¢t>0，得t >2，由S¢t<0，得0b>0，由题意可得： a2 b2 ì 4 1 ï + =1 ìa2 =8 ía2 b2 ，解得：í ， ï î a=2b îb2 =2 x2 y2 故椭圆方程为： + =1. 8 2 (2)设M x ,y  ，Nx ,y  ，直线MN 的方程为：y =kx+4 ， 1 1 2 2 x2 y2 与椭圆方程 + =1联立可得：x2 +4k2x+42 =8， 8 2 第18页 | 共23页即：  4k2 +1  x2 +32k2x+  64k2 -8  =0， -32k2 64k2 -8 则：x +x = ,x x = . 1 2 4k2 +1 1 2 4k2 +1 y +1 直线MA的方程为：y+1= 1 x+2 ， x +2 1 y +1 kx +4+1 x +2 -2k+1x +4 令x=-4可得：y =-2´ 1 -1=-2´ 1 - 1 = 1 ， P x +2 x +2 x +2 x +2 1 1 1 1 -2k+1x +4 同理可得：y = 2 . Q x +2 2 PB y 很明显y y <0，且： = P ，注意到： P Q PQ y Q æ x +4 x +4ö x +4x +2+x +4x +2 y + y =-2k+1 ç 1 + 2 ÷=-2k+1´ 1 2 2 1 ， P Q x +2 x +2 x +2x +2 è ø 1 2 1 2 而： x 1 +4x 2 +2+x 2 +4x 1 +2=2é ë x 1 x 2 +3x 1 +x 2 +8ù û é64k2 -8 æ -32k2 ö ù =2ê +3´ç ÷+8ú ë 4k2 +1 è4k2 +1ø û  64k2 -8  +3´  -32k2 +8  4k2 +1  =2´ =0， 4k2 +1 故y + y =0,y =-y . P Q P Q PB y 从而 = P =1. PQ y Q 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦 长、斜率、三角形的面积等问题． 21.已知 a  是无穷数列．给出两个性质： n a2 ①对于 a  中任意两项a ,a (i > j)，在 a  中都存在一项a ，使 i =a ； n i j n m a m j 第19页 | 共23页a2 ②对于 a  中任意项a (n…3)，在 a  中都存在两项a ,a (k >l)．使得a = k ． n n n k l n a l (Ⅰ)若a n =n(n=1,2, L )，判断数列 a n  是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若a n =2n-1(n=1,2, L )，判断数列 a n  是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若 a  是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： a  为等比数列. n n 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断； a2 (Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明a = 2 ，最后，用数学归纳法证明数 3 a 1 列为等比数列即可. 解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a ,a ,a 成等比数列，之后证得 1 2 3 a ,a ,a ,a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 1 2 3 4 a 2 9 【详解】(Ⅰ)Qa =2,a =3, 3 = ÏZ\a  不具有性质①； 2 3 a 2 n 2 a2 a2 (Ⅱ)Q"i, jÎN*,i > j, i =2(2i-j)-1,2i- jÎN*\ i =a \a  具有性质①； a a 2i-j n j j a 2 Q"nÎN*,n³3,$k =n-1,l =n-2, k =2(2k-l)-1 =2n-1 =a ,\a  具有性质②； a n n l (Ⅲ)【解法一】 首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数： 显然a ¹0nÏN* ，假设数列中存在负项，设N =maxn|a <0 ， n 0 n 第一种情况：若N 0 =1，即a 0 <0 N 0 =a ，由数列的单调性可知：m> N ， m a a N 0 0 1 N 0 这与N 的定义矛盾，假设不成立. 0 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号. a2 其次，证明a = 2 ： 3 a 1 a2 利用性质②：取n=3，此时a = k k >l ， 3 a l 由数列的单调性可知a >a >0， k l a 而a =a × k >a ，故k < 3， 3 k a k l a2 此时必有k =2,l =1，即a = 2 ， 3 a 1 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列 a  的前kk ³3 项成等比数列，不妨设a =aqs-11£s£k ， n s 1 其中a >0,q >1，（a <0,0a ，且a =aqk ³a （*） m a 1 k m 1 k+1 k-1 a2 a 由②得：存在s>t，满足：a = s =a × s >a ，由数列的单调性可知：t a =aqk-1 （**） s 1 k+1 a 1 k 1 t 第21页 | 共23页由（**）和（*）式可得：aqk ³aq2s-t-1 >aqk-1， 1 1 1 结合数列的单调性有：k ³2s-t-1>k-1， 注意到s,t,k 均为整数，故k =2s-t-1， 代入（**）式，从而a =aqk . k+1 1 总上可得，数列 a  的通项公式为：a =aqn-1. n n 1 即数列 a  为等比数列. n 【解法二】假设数列中的项数均为正数： a2 首先利用性质②：取n=3，此时a = k k >l ， 3 a l 由数列的单调性可知a >a >0， k l a 而a =a × k >a ，故k < 3， 3 k a k l a2 此时必有k =2,l =1，即a = 2 ， 3 a 1 即a ,a ,a 成等比数列，不妨设a =aq,a =aq2q>1 ， 1 2 3 2 1 3 1 a2 a2q4 然后利用性质①：取i =3, j =2，则a = 3 = 1 =aq3， m a aq 1 2 1 即数列中必然存在一项的值为aq3，下面我们来证明a =aq3， 1 4 1 否则，由数列的单调性可知a a ，从而k <4， 4 a k a k l l a2 与前面类似的可知则存在 k,lÍ1,2,3k >l ，满足a = k ， 4 a l a2 若k =3,l =2，则：a = k =aq3，与假设矛盾； 4 a 1 l a2 若k =3,l =1，则：a = k =aq4 >aq3，与假设矛盾； 4 a 1 1 l 第22页 | 共23页a2 若k =2,l =1，则：a = k =aq2 =a ，与数列的单调性矛盾； 4 a 1 3 l 即不存在满足题意的正整数k,l，可见a