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哈师大附中 2025 级 2025-2026 学年度第一学期期中考试
数学试题
满分150分时间：120分钟
第I卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求．
1. 集合 的子集个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
个元素的集合的子集个数为 个．
【详解】解：因为含 个元素的集合的子集个数为 个，
∴集合 有4个子集，
故选：D．
【点睛】本题主要考查有限集的子集个数，属于基础题．
2. 命题 的否定是（ ）
A. x∈R， B. x∈R，
∀
C. x∈R， D.
∃
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为存在性命题可求解.
【详解】根据全称命题的否定为存在性命题，
可得命题“ ”的否定为“ ”.
故选：C.3. 角 的终边过点 ， （ ）
A. 2 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.
【详解】因为角 的终边经过点 ，所以 .
故选：D
4. 函数 的零点个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数单调性，运用赋值法结合零点存在定理判断已知函数的零点个数．
【详解】 在 上单调递增， 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，则 在 上至多一个零点，
又 ， ，
根据零点存在定理知函数 在区间 内存在零点，
函数 在 上的零点个数为1，故B正确．
故选：B．
5. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.【答案】D
【解析】
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
6. ，下列函数中为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数的定义依次判断各选项即可.
【详解】 ，不是偶函数，故A错误；
，不是偶函数，故B错误；
，为偶函数，故C正确；
，不是偶函数，故D错误.
故选：C.
7. 函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】
【分析】由复合函数的单调性判断方法可得 ，再由函数的定义域范围可得结果.
【详解】由复合函数的单调性可知，内层函数 在 上单调递增，故 ，
且 在 上恒成立，只需 ，即 ，解得 .
综上， 的取值范围是 .
故选：C.
8. ，若关于 的不等式 的解集中有且只有2个整数，则实数 的取值
范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式 分离参数 ，利用构造函数法，对 进行分类讨论，结合二次函数的性
质求得 的取值范围.
【详解】因为函数 ，所以关于 的不等式
可化为 ，即 ，
令 ，即 ．
当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ；当 时， ，
在 上单调递减，且 ．
如图所示，结合函数图象及 取 时的函数值可知，
要使 的解集中有且仅有 个整数，这两个整数解只能是 和 ，
所以实数 的取值范围为 ，即 ．
故选：A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 终边在 轴上角的集合是
B. 角 终边落在第一象限，则角 为锐角
C. 角 是第二象限角，则 是在二，三象限的角
D. 周长为定值 的扇形中，面积最大时扇形的半径为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用角的终边与象限角的性质分析判断选项ABC，运用扇形公式结合基本不等式分析选项D．
【详解】选项A：终边落在 轴上角的集合是 ，故A正确；选项B：终边落在第一象限的角的集合为 ，
角 不一定为锐角，例如 ，故B错误；
选项C： 角 是第二象限的角， ，
，
当 时， ，位于第一象限；
当 时， ，位于第三象限；
为第一，三象限的角，故C错误；
选项D：设扇形的半径为 ，弧长为 ，由题意可知： ，
扇形面积为 ，
、 均大于零，
，即 ，整理有 ，
当且仅当 时，扇形面积取最大值 ，
此时 ，解得 ，故D正确．
故选：AD．
10. ，下列说法正确的是（ ）A. 的最大值为
B. 最小值为4
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对每个选项，结合 的条件，通过二次函数性质（说明开口方向、对称轴）分析最值，或
通过基本不等式（补充等号成立条件）分析最值，进而判断选项正误.
【详解】选项A： 由 ，得 .
该式是开口向下的二次函数，其对称轴为 ，
根据二次函数性质，开口向下的函数在对称轴处取得最大值.
当 时， ，此时 ，故 的最大值为 ，A正确.
选项B： .
由基本不等式， ，当且仅当 （即 ）时等号成立.
因此 ，最小值为3，B错误.
选项C： .
由选项A知 ，当且仅当 时 .代入得 ，故 ，最大值为 ，C错误.
选项D： .
由选项A知 ，当且仅当 时 .
代入得 ，故 的最小值为 ，D正确.
故选：AD.
11. 函数 的定义域为 ，若对于任意 ，且 恒成立，则
称 为复合增函数，下列判断正确的是（ ）
A. 若 是复合增函数，则 也是复合增函数
B. 是复合增函数
C. 是复合增函数
D. 是复合增函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于选项A∶由条件知，若 为复合增函数，需有当 时，即
，即 是增函数，由此可推导出A正确；对于选项B∶设
，用作差法可得B正确；对于选项C∶设 ，用作差法可得C正确．对于选
项D∶用特殊值代入可得 D错误．【详解】选项A∶由条件知，若 为复合增函数，需有当 时，即
，即 是增函数，
若 是复合增函数，则 是增函数，
从而 也是增函数，故A正确；
选项B∶设 ，当 时，
，故 为增函数，故B正确；
选项C∶由 ，
令 ，
当 时，
=
=
=
=
由于 ，故 ，故 ，即
故 是增函数，
故 是复合增函数，故C正确；
选项D∶令 ，
则
故 ，
故 不是增函数，故 D错误．
故选：ABC
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 的定义域为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式即可求出定义域.
【详解】由题意可得 ,
解得 ,
所以定义域为 .
故答案为：13. 幂函数 在 是增函数， ___________
【答案】8
【解析】
【分析】先根据幂函数定义确定系数满足的方程，求解后结合增函数的条件筛选出符合的 值，进而确定
函数表达式并计算 .
【详解】由幂函数定义，得 ，即 ，解得 或 .
函数在 上 是增函数，故指数 ：
当 时， ，符合条件；
当 时， ，不符合条件.
因此 ， ，则 .
故答案为： .
14. 已知 ，若方程 有四个根 且 ，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数 的图象，结合图象得出 ， ，得到 ，结合指数
函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，作出函数 的图象，如图所示，因为方程 有四个根 且 ，
由图象可知 ， ，可得 ，
则 ，
设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性
质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1） ；
（2）
【答案】（1）1 （2）【解析】
【分析】（1）将分数指数幂转化成根式，计算可得结果；
（2）由对数的运算法则及对数恒等式化简可得结果.
【小问1详解】
原式 .
【小问2详解】
原式 .
16. 已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合的交集运算可得结果；
（2）根据交集的结果得到 ，由子集的定义列出需满足的不等式并求解可得结果.
【小问1详解】
由题意可得 ．
当 时， ，
则 ．
【小问2详解】
因为 ，所以 ，需满足 ，解得 ．综上所述，a的取值范围是 .
17. 已知幂函数 过点 .
（1）求 的解析式；
（2）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将已知点代入幂函数解析式，通过指数的等量关系求出指数，得到函数解析式；（2）将不
等式恒成立问题转化为求二次函数的最小值，通过配方确定函数的最小值，进而得到实数 的取值范围.
【小问1详解】
将点 代入幂函数 ，得 ，即 ，故 ，
因此 的解析式为 .
【小问2详解】
由 ，不等式 化为 对任意 恒成立.
将 变形为 ，因 ，故 ，
即 的最小值为 ，因此 .
18. 已知函数 （ 且 ）过点
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 ，其中 为奇函数， 为偶函数，已知函数 ，对任
意 ，都存在 ，使得等式 成立，求实数 的取值范围．【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入点坐标求解指数函数的底数，得解析式；
（2）利用奇偶函数性质分解 为奇函数与偶函数之和，将条件转化为恒成立问题，通过换元与基本不
等式求最值，确定 的范围.
【小问1详解】
.
由 过点 ，得
因 且 ，故 ，则 .
【小问2详解】
由 ， 为奇函数， 为偶函数，得 .
联立得 ， .
对任意 ，存在 使 ，而 ，
故 在 上恒成立.
令 ， 时， 单调递减，故 .
，代入得 ，即 .
由基本不等式， （当且仅当 时取等号），.
故
19. 对于定义域相同的函数 和 ，若存在实数 使得 ，则称 由
和 生成的．
（1）若 是由 和 生成的，求 的值；
（2）试利用 和 生成函数 ，满足 为偶函数，且 .
（I）求函数 的解析式；
（II）已知 ，对于 上的任意值 ，记
，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）（I） ；（II） ．
【解析】
【分析】（1）利用给定的定义列式，借助恒等式问题列出方程组求解；
（2）（I）利用偶函数的定义计算可得 ，再利用 求出 即得解析式；（II）利用函数
单调性定义证明函数 的单调性，再化简求和即可求出最大值.
【小问1详解】
依题意， ，
则 ，故有 ，解得 ，所以实数 的值为 ；
【小问2详解】
（I）设 ，
由 为偶函数，得 ， ，
则 ，
整理得 ，即 ，于是 ，
即 对任意 恒成立，则 ，
，
又 ，则 ，解得 ，则 ，
所以函数 的解析式为 ；
（II）由（I）知 ，
在 内任取 ，且 ，
则 ，
又
，
由 ， ，则 ， ， ，则 ，故 ，
故 ，即 ，故 在 上是增函数，
由偶函数的性质知，函数 在 上是减函数，
设 ，
则 ，
所以
，
当且仅当 或 时，
有最大值 ，
所以 的最大值为 ．
