文档内容
哈三中 2024—2025 学年度下学期
高一学年 4 月月考数学试卷
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分．考试时
间为 120 分钟；
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知复数 ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. B. C. D. 0
3. 在 中，内角 ， ， 对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （
）
A B. C. D.
4. 如图，已知 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 上的投影向量等于（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 400 米，一艘船从河岸的 地出发，向河对岸航行．已知船在
静水中的航行速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ，船的速度与水流速度的
合速度为 ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
第 1页/共 4页A. 船头方向与水流方向垂直 B.
C. D. 该船到达对岸所需时间为 3 分钟
7. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且 的外接圆直
径为 4，则 周长的最大值为（ ）
A. 4 B. C. D.
8. 在 中，已知 ， ，若点 为 的外心，点 满足 ，则
（ ）
A. B. C. D. 3
二、多选题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 且 ，则
C. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 的充要条件
D. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 是等腰三角
形
10. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，角 的平分线
交 于 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第 2页/共 4页11. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则下列结论正确
的是（ ）
A.
B. 若 为锐角三角形，且 ，则该三角形面积的范围为
C. 设 ，且 ，则 的最小值为
D. 若 的面积为 2， ， ， 边上的高分别为 ， ， ，且 ，则 的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 设 ，在复平面内 对应的点为 ，则满足 的点 的集合形成的图形面积为______．
13. 已知 的三个内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 ，则 的最小角
的余弦值为__________.
14. 在 中， ， ， ， ，则 面积的最大
值为______，此时 的最小值为______．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15 已知函数 ，向量 ， ．
（1）求函数 周期及其单调递增区间；
（2）当 ，求函数 的值域．
16. 已知向量 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）求向量 与 的夹角的余弦值．
17. 已知 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， 为线段
第 3页/共 4页中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求 值．
18. 为响应习总书记关于“绿水青山就是金山银山”的生态发展理念，哈三中学生发展中心开展“播种校园
绿色，守护绿色校园”种植活动．已知教学楼下有一块扇形区域，拟对这块扇形空地 进行改造．如图
所示，平行四边形 区域为学生的休息区域，阴影区域为“绿植”区域，点 在弧 上，点 和
点 分别在线段 和线段 上，且 ， ，设 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）请用 表示线段 的长度，并写出学生的休息区域 的面积 关于 的函数关系式；
（3）拟在阴影区域种植一些花草，费用为 6 元 ，求总费用 关于 函数关系式，并求其最小值．
19. 定义：设 为坐标原点，若非零向量 ，函数 的解析式满足 ，
则称 为 的伴随函数， 为 的伴随向量．
（1）若向量 为函数 的伴随向量，求 的坐标；
（2）若函数 为向量 的伴随函数，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， 恰好为函数 的最大值．
（ⅰ）若 的角平分线交 于点 ， ，求 的最大值；
（ⅱ）在锐角 中，求 的范围．
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