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考点 17 锐角三角函数
（时间：60分钟，满分120分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．（2021·湖南）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值是 ( )
A. B. C. D.
3．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（
）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 ， ，则
房顶A离地面 的高度为（ ）A． B． C． D．
5．（2022·湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成
45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在
OB上， ，连接AC，过点O作 交AC的延长线于P．若 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．3
7．（2022·浙江杭州）如图，已知 ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则 ABC的面积
的最大值为（ ） △ △A． B． C． D．
8．（2022·四川乐山）如图，在 中， ， ，点D是AC上一点，连接BD．若
， ，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
9．（2022·浙江丽水）如图，已知菱形 的边长为4，E是 的中点， 平分 交 于点F，
交 于点G，若 ，则 的长是（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2022·辽宁）如图，在矩形 中， ，分别以点A和C为圆心，以大于 的长为
半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线 分别交 于点E，F，则 的长为（ ）
A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021·浙江）如图，已知在 中， ，则 的值是______．
12．（2022·黑龙江绥化）定义一种运算； ，
．例如：当 ， 时，
，则 的值为_______．
13．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点
上，其中A、B、D又在 上，点E是线段 与 的交点．则 的正切值为________．
14．（2022·湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角
三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如
图，已知大正方形 的面积是100，小正方形 的面积是4，那么 __．15．（2022·山东泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角 ，已知窗户
的高度 ，窗台的高度 ，窗外水平遮阳篷的宽 ，则 的长度为______（结果精
确到 ）．
16．（2022·山东泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 的高度，
他从古塔底部点处前行 到达斜坡 的底部点C处，然后沿斜坡 前行 到达最佳测量点D处，
在点D处测得塔顶A的仰角为 ，已知斜坡的斜面坡度 ，且点A，B，C，D，在同一平面内，小
明同学测得古塔 的高度是___________．
三、简答题（共46分）
17．（7分）计算： ．
18．（7分）（2022·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA
的值．19．（8分）（2022·浙江台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α
为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，
cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
20．（12分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 的高度．如图所
示，其中观景平台斜坡 的长是20米，坡角为 ，斜坡 底部 与大楼底端 的距离 为74米，
与地面 垂直的路灯 的高度是3米，从楼顶 测得路灯 项端 处的俯角是 ．试求大楼 的高度．
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
21．（12分）（2022·四川自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 ．测量时，使支
杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直
径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 ．请说明两个角相等的理由．
（2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角
，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 ．（ ，
结果精确到0.1米）
（3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决
定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间
的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）．
