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第2章 一元函数微分学
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1 、 单选题
若物体的运动规律为s＝3sin2t，则其在t＝0时的速度等于（ ），加速度为（ ）。
A ： 6；1
B ： 6；0
C ： 3；1
D ： 3；0
正确答案： B
解析：
s＝3sin2t?v＝s′＝6cos2t，a＝s″＝－12sin2t。t＝0时，v＝s′（0）＝6，a＝s″（0）＝0。
2 、 单选题
设f′（x）在[a，b]上连续，且f′（a）＞0，f′（b）＜0，则下列结论中错误的是（ ）。
A ： 至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）＞f（a）
B ： 至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）＞f（b）
C ： 至少存在一点x0∈（a，b），使得f′（x0）＝0
D ： 至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）＝0
正确答案： D
解析：
3 、 单选题设函数f（x）在x＝0处连续，且 ，则（ ）。
A ： f（0）＝0且f－′（0）存在
B ： f（0）＝1且f－′（0）存在
C ： f（0）＝0且f＋′（0）存在
D ： f（0）＝1且f＋′（0）存在
正确答案： C
解析：
4 、 单选题
A ： 2
B ： 2
C ： 0
D ： 1
正确答案： B
解析：
5 、 单选题
设 ，则f′（0）＝（ ）。
A ： 2B ： 1
C ： 0
D ： 不存在
正确答案： A
解析：
根据导数的定义可知
6 、 单选题
正确答案： B
解析：
7 、 单选题正确答案： B
解析：
8 、 单选题
曲线y＝（x－1）^2（x－3）^2的拐点的个数为（ ）
A ： 0
B ： 1
C ： 2
D ： 3
正确答案： C
解析：
9 、 单选题
已知方程x^2y^2＋y＝1（y＞0）确定y为x的函数，则（ ）。
A ： y（x）有极小值，但无极大值
B ： y（x）有极大值，但无极小值
C ： y（x）既有极大值又有极小值
D ： 无极值
正确答案： B
解析：10 、 单选题
设函数y＝y（x）由方程2^xy＝x＋y所确定，则dy|x＝0＝（ ）。
A ： ln2－1）dx
B ： l－ln2）dx
C ： ln2－2）dx
D ： ln2dx
正确答案： B
解析：
11 、 单选题
设函数f（u）可导，y＝f（x^2），当自变量x在x＝－1处取得增量Δx＝－0.1时，相应的
函数的增量Δy的线性主部为0.1，则f′（1）＝（ ）。
A ： 1
B ： 0.1
C ： 1
D ： 0.5
正确答案： D
解析：
12 、 单选题
设 ， ，则（ ）。A ： F（x）在x＝0点不连续
B ： F（x）在（－∞，＋∞）内连续，在x＝0点不可导
C ： F（x）在（－∞，＋∞）内可导，且满足F′（x）＝f（x）
D ： F（x）在（－∞，＋∞）内可导，但不一定满足F′（x）＝f（x）
正确答案： B
解析：
13 、 单选题
设f（0）＞0，f′（0）＝0，则 （ ）。
A ： 1
B ： 2
C ： 2
D ： 1
正确答案： D
解析：14 、 单选题
设函数f（x）有连续导数，且 ，则当f（0）＝0时（ ）。
A ： f（0）是f（x）的极大值
B ： f（0）是f（x）的极小值
C ： f（0）不是f（x）的极值
D ： 不能判定f（0）是否为极值
正确答案： B
解析：
已知函数f（x）有连续导数，则f（x）在x＝0的某邻域内连续，f′（x）在x＝0的某邻域
内连续。由 ，则f（0）＋f′（0）＝0，f′（0）＋f″（0）＝1。又
由f（0）＝0，故f′（0）＝0，f″（0）＝1。故f（0）是f（x）的极小值。
15 、 单选题
A ： 2eB ： e－1
C ： e
D ： 2/e
正确答案： B
解析：
16 、 单选题
设y＝f[（2x－1）/（x＋1）]，f′（x）＝ln（x^1/3），则dy/dx（ ）。
A ： ln[（2x－1）/（x＋1）]（x＋1）
B ： ln[（2x－1）/（x＋1）]/（x＋1）2
C ： ln[（2x－1）/（x＋1）]（x＋1）2
D ： ln[（2x－1）/（x＋1）]/（x＋1）
正确答案： B
解析：
17 、 单选题
A ： ①②
B ： ③④
C ： ②③
D ： ②④
正确答案： D
解析：18 、 单选题
已知f（x）在[a，b]上二阶可导，且f′（x）≠0，问在下列的哪个条件下，能保证至少存
在一个ξ∈（a，b），使f″（ξ）＋f（ξ）＝0（ ）。
A ： f′（a）f（b）＝f′（b）f（a）
B ： f′（a）f（a）＝f′（b）f（b）
C ： f′2（a）＋f2（b）＝f′2（b）＋f2（a）
D ： f′2（a）－f2（b）＝f′2（b）－f2（a）
正确答案： D
解析：
由柯西中值定理知，至少存在一点ξ∈（a，b），使得
若使f″（ξ）＋f（ξ）＝0，则f″（ξ）/f（ξ）＝－1，整理得f′2（a）－f2（b）＝f′2（b）
－f2（a）。故应选（D）。
19 、 单选题
设f（x）在（－∞，＋∞）内可导，则下列命题正确的是（ ）
正确答案： D
解析：
20 、 单选题正确答案： C
解析：
21 、 单选题
设函数f（x）＝x^2（x－1）（x－2），则f′（x）的零点个数为（ ）。
A ： 0
B ： 1
C ： 2
D ： 3
正确答案： D
解析：
函数f（x）＝x^2（x－1）（x－2），f（0）＝f（1）＝f（2）＝0，由罗尔定理可知，
至少有ξ1∈（0，1）、ξ2∈（1，2）使得f′（ξ1）＝0，f′（ξ2）＝0，即f′（x）至少有
两个零点。又函数f（x）是四次多项式，故f′（x）是三次多项式，三次方程f′（x）＝0
的实根不是一个就是三个，故f′（x）有三个零点。
22 、 单选题
设 确定了函数y＝g（x），则（ ）。
A ： x＝0是函数y＝g（x）的驻点，且是极大值点
B ： x＝0是函数y＝g（x）的驻点，且是极小值点
C ： x＝0不是函数y＝g（x）的驻点
D ： 存在x＝0的一个小邻域，y＝g（x）是单调的正确答案： B
解析：
23 、 单选题
设f（x）在x＝a的某个邻域内有定义，则f（x）在x＝a处可导的一个充分条件是（ ）
正确答案： D
解析：
24 、 单选题
正确答案： B解析：
25 、 单选题
设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图形如图所示。则导函数y′＝f′（x）的图形为
（ ）
正确答案： C
解析：
根据f（x）的图像可知，f（x）在（－∞，0）内先减少后增加再减少，故f′（x）先小
于0后大于0再小于0；f（x）在（0，＋∞）内单调减少，因此f′（x）在（0，＋∞）内一
直小于0。由此判断C项正确。26 、 单选题
设 ，其中f可导，且f′（0）≠0，则（dy/dx）|t＝0＝（ ）。
A ： 3
B ： 0
C ： 2
D ： 1
正确答案： A
解析：
27 、 单选题
若 ，g（0）＝g′（0）＝0。则f′（0）＝（ ）。
A ： 2sin1
B ： sin1
C ： 1
D ： 0
正确答案： D
解析：
由题意可知， 为无穷小，又sin（1/x）有界，则28 、 单选题
已知f（x）＝x^3＋ax^2＋bx在x＝－1处取得极小值－2，则a＝（ ），b＝（ ）。
A ： a＝2；b＝3
B ： a＝4；b＝5
C ： a＝4；b＝3
D ： a＝2；b＝5
正确答案： B
解析：
根据题意，得：
f′（x）＝3x^2＋2ax＋b
f′（－1）＝3－2a＋b＝0①
f（－1）＝－1＋a－b＝－2②
联立①②得a＝4，b＝5。
29 、 单选题
正确答案： B
解析：
30 、 单选题设函数y＝y（x）由方程ln（x^2＋y）＝x^3y＋sinx确定，则（dy/dx）|x＝0＝（ ）。
A ： ln1
B ： 0
C ： sin1
D ： 1
正确答案： D
解析：
31 、 单选题
设 ，则使f′（x）在x＝0点处连续的最小自然数为（
）。
A ： n＝1
B ： n＝2
C ： n＝3
D ： n＝4
正确答案： C
解析：
32 、 单选题正确答案： A
解析：
33 、 单选题
曲线y＝（x－5）^5/3＋2的特点是（ ）。
A ： 有极值点x＝5，但无拐点
B ： 有拐点（5，2），但无极值点
C ： x＝5是极值点，（5，2）是拐点
D ： 既无极值点，又无拐点
正确答案： B
解析：
34 、 单选题正确答案： B
解析：
35 、 单选题
设函数f（x）＝|x^3－1|φ（x），其中φ（x）在x＝1处连续，则φ（1）＝0是f（x）
在x＝1处可导的（ ）。
A ： 充分必要条件
B ： 必要但非充分条件
C ： 充分但非必要条件
D ： 既非充分又非必要条件
正确答案： A
解析：
36 、 单选题
设f（x）在x＝0的某邻域内有连续的四阶导数，且当x≠0时，f（x）≠0，同时
在x＝0处连续，则必有（ ）。
A ： f′（0）＝1
B ： f″（0）＝2
C ： f″′（0）＝3
D ： f（4）（0）＝4
正确答案： C
解析：37 、 单选题
设f（x）＝|x（1－x）|，则（ ）。
A ： x＝0是f（x）的极值点，但（0，0）不是曲线y＝f（x）的拐点
B ： x＝0不是f（x）的极值点，但（0，0）是曲线y＝f（x）的拐点
C ： x＝0是f（x）的极值点，且（0，0）是曲线y＝f（x）的拐点
D ： x＝0不是f（x）的极值点，（0，0）也不是曲线y＝f（x）的拐点
正确答案： C
解析：
由题意
即f′（0）＝f″（0）＝0，且在点x＝0的某邻域内有f－′（0）与f＋′（0）符号相反，f－″
（0）与f＋″（0）符号相反，故x＝0是f（x）的极值点，且（0，0）是曲线y＝f（x）的
拐点。
38 、 单选题
设生产函数为Q＝ALαKβ，其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A，α，β均为大于零的常数，则当Q＝1时，K对于L的弹性为（ ）。
A ： β/α
B ： β/α
C ： α/β
D ： α/β
正确答案： C
解析：
由Q＝ALαKβ可知，Q＝1时，ln1＝lnA＋αlnL＋βlnK，两端对L求导，得0＝α/L＋βKL′/K，
则η＝（L/K）·（dK/dL）＝－α/β。
39 、 单选题
A ： 0
B ： 1
C ： 2
D ： 3
正确答案： A
解析：
40 、 单选题正确答案： C
解析：
41 、 单选题
A ： 1/4
B ： 1/4
C ： 1/2
D ： 1/2
正确答案： B
解析：
x→0时， 。
42 、 单选题
设f（x）有二阶连续导数，且f′（0）＝0， ，则（ ）。A ： f（0）是f（x）的极大值
B ： f（0）是f（x）的极小值
C ： 0，f（0））是曲线y＝f（x）的拐点
D ： f（0）不是f（x）的极值，（0，f（0））也不是曲线y＝f（x）的拐点
正确答案： B
解析：
43 、 单选题
设常数k＞0，函数f（x）＝lnx－x/e＋k在（0，＋∞）内零点个数为（ ）。
A ： 3
B ： 2
C ： 1
D ： 0
正确答案： B
解析：
f（x）＝lnx－x/e＋k，则f′（x）＝1/x－（1/e）。x∈（0，e）时，f′（x）＞0；x∈（e，
＋∞）时，f′（x）＜0。故f（x）在（0，e）上单调增加，在（e，＋∞）上单调减少。
在x＝e时取得极大值f（e）＝k＞0，且 ，
故f（x）在（0，＋∞）内有两个零点。
44 、 单选题
设函数y＝f（x）在x0点处可导，Δx，Δy分别是自变量和函数的增量，dy为其微分且f′
（x0）≠0，则 （ ）。
A ： 1
B ： 1
C ： 0
D ： ∞正确答案： C
解析：
45 、 单选题
已知函数y＝f（x）对一切x满足xf″（x）＋3x[f′（x）]^2＝1－e－x，若f′（x0）＝0
（x0≠0），则（ ）。
A ： f（x0）是f（x）的极大值
B ： f（x0）是f（x）的极小值
C ： x0，f（x0））是曲线y＝f（x）的拐点
D ： f（x0）不是f（x）的极值，（x0，f（x0））也不是曲线的拐点
正确答案： B
解析：
46 、 单选题
设f（0）＝0，则f（x）在x＝0可导的充要条件为（ ）。
正确答案： B解析：
47 、 单选题
曲线 在点x＝0处的切线方程为（ ）。
A ： y＝x
B ： y＝x^2
C ： y＝x/2D ： y＝2x
正确答案： D
解析：
两边再对x求导得：y′＝（x－1）（x－2）。当x＝0时，y（0）
＝0，y′（0）＝2，故切线方程为y＝2x。
48 、 单选题
正确答案： C
解析：
49 、 单选题
曲线y＝lnx在点（ ）处曲率半径最小。
正确答案： A
解析：50 、 单选题
正确答案： B
解析：
51 、 单选题
设f（x）可导，F（x）＝f（x）[1－|ln（1＋x）|]，则f（0）＝0是F（x）在x＝0处可导的
（ ）。
A ： 充分必要条件
B ： 充分但非必要条件
C ： 必要但非充分条件
D ： 既非充分条件也非必要条件
正确答案： A
解析：52 、 单选题
设函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图所示，则f（x）有（ ）
A ： 一个极小值点和两个极大值点
B ： 两个极小值点和一个极大值点
C ： 两个极小值点和两个极大值点
D ： 三个极小值点和一个极大值点
正确答案： C
解析：
由图可知，f（x）在（－∞，0）内先增加再减少再增加，（0，＋∞）内先减少再增加，
函数f（x）有两个极小值点和一个极大值点。在x＝0处，f′（x）在左边的部分大于0，
在右边的部分小于0，故x＝0点也是极大值点。综上所述，函数f（x）有两个极小值点和
两个极大值点。53 、 单选题
曲线y＝x＋sin^2x在点（π/2，1＋π/2）处的切线方程是（ ）。
A ： y＝x/2＋1
B ： y＝x＋1
C ： y＝（x＋1）/2
D ： y＝x＋1/2
正确答案： B
解析：
将y＝x＋sin^2x对x求导得y′＝1＋2sinxcosx，则点（π/2，1＋π/2）处切线斜率y′（π/2）
＝k|x＝π/2＝1，则切线方程y－（1＋π/2）＝x－π/2，即y＝x＋1。
54 、 单选题
设函数f（x）处处可导，且有f′（0）＝1，并对任何实数x和h，恒有f（x＋h）＝f（x）
＋f（h）＋2hx，则f′（x）＝（ ）。
A ： x/2＋1
B ： x^2＋1
C ： 2x
D ： 2x＋1
正确答案： D
解析：
f（x＋h）＝f（x）＋f（h）＋2hx，令x＝h＝0时，f（0）＝0。则有
55 、 单选题
A ： 1
B ： 2
C ： 3
D ： 4
正确答案： C解析：
56 、 单选题
设f（x）在x＝0处连续，且 ，则f′（0）＝（ ）。
A ： 1
B ： 0
C ： 4
D ： 2
正确答案： C
解析：
57 、 单选题
曲线y＝（x－5）x^2/3的拐点坐标为（ ）。
A ： －1，－6）
B ： 1，－4）
C ： 8，12）
D ： －8，54）
正确答案： A
解析：58 、 单选题
设f（x）＝（x－a）^nφ（x），其中函数φ（x）在点a的某邻域内具有n－1阶导数，则f
（n）（a）＝（ ）。
A ： n－1）！φ′（a）
B ： n！φ′（a）
C ： n！φ（a）
D ： n－1）！φ（a）
正确答案： C
解析：
59 、 单选题
函数f（x）＝x^3＋2x＋q的零点的个数为（ ）。
A ： 1
B ： 2
C ： 3
D ： 个数与q有关
正确答案： A
解析：60 、 单选题
函数y＝x^3－3x的极大值点是（ ），极大值是（ ）。
A ： x＝2；y＝2
B ： x＝1；y＝－2
C ： x＝－2；y＝－2
D ： x＝－1；y＝2
正确答案： D
解析：
将y＝x^3－3x两边对x求导，得y′＝3x^2－3，令y′＝0得x＝±1；y″（－1）＝－6＜0，则
极大值点是x＝－1，此时y＝2。
61 、 单选题
设f″（x）存在，且f（0）≠0，记 ，则（ ）。
A ： x＝0不是F（x）的驻点
B ： x＝0是F（x）的驻点且是极值点
C ： 点（0，0）是y＝F（x）的拐点
D ： 点（0，0）不是y＝F（x）的拐点
正确答案： C
解析：62 、 单选题
曲线 （ ）。
A ： 没有渐近线
B ： 仅有水平渐近线
C ： 仅有垂直渐近线
D ： 既有水平渐近线又有垂直渐近线
正确答案： D
解析：
因为 ， ；故x＝0为垂直渐近线；y＝1为水平渐近
线。故应选（D）。
63 、 单选题
设f（x）＝－f（－x），x∈（－∞，＋∞），且在（0，＋∞）内f′（x）＞0，f″（x）＜0，
则在（－∞，0）内（ ）。
A ： f′（x）＞0，f″（x）＞0
B ： f′（x）＞0，f″（x）＜0
C ： f′（x）＜0，f″（x）＞0
D ： f′（x）＜0，f″（x）＜0
正确答案： A
解析：
f（x）＝－f（－x）?f（－x）＝－f（x），则f（x）为奇函数。又f（x）可导，则f′（x）
为偶函数，f″（x）存在且为奇函数，故在（－∞，0）内，f′（x）＞0，f″（x）＞0。
64 、 单选题正确答案： A
解析：
65 、 单选题
已知f（x）在x＝a处可导，且f′（a）＝k（k≠0），则
（ ）。
A ： k/3
B ： k/2
C ： 2k
D ： 3k
正确答案： C
解析：
66 、 单选题
已知f（x）＝x（1－x）（2－x）…（100－x），且f′（a）＝2×98！，则a＝（ ）。
A ： 2B ： 98
C ： 2或98
D ： 1或2或98
正确答案： C
解析：
由题可知
a＝2，a＝98都满足f′（a）＝2×98！，故a＝2或98。
67 、 单选题
设 ，则f′（1）＝（ ）。
A ： 2000arctan（1/4）
B ： 1000π
C ： 2000π
D ： 500π
正确答案： D
解析：
68 、 单选题
A ： 2
B ： 4
C ： 6
D ： 8
正确答案： B解析：
69 、 单选题
已知f（x）在x＝0处某邻域内连续， ，则在x＝0处f（x）（ ）。
A ： 不可导
B ： 可导且f′（0）＝2
C ： 取得极大值
D ： 取得极小值
正确答案： D
解析：
已知f（x）在x＝0的某邻域内连续，且 ，故f（0）＝0，f′（0）
＝0，f″（0）＝2，故f（x）在x＝0处取到极小值。
70 、 单选题
设f（x）g（x）在x0处可导，且f（x0）＝g（x0）＝0，f′（x0）g′（x0）＞0，f″（x0）、
g″（x0）存在，则（ ）
A ： x0不是f（x）g（x）的驻点
B ： x0是f（x）g（x）的驻点，但不是它的极值点
C ： x0是f（x）g（x）的驻点，且是它的极小值点
D ： x0是f（x）g（x）的驻点，且是它的极大值点
正确答案： C
解析：
构造函数φ（x）＝f（x）·g（x），则φ′（x）＝f′（x）·g（x）＋f（x）g′（x），φ″（x）
＝f″（x）g（x）＋2f′（x）g′（x）＋f（x）g″（x）。
又f（x0）＝g（x0）＝0，故φ′（x0）＝0，x0是φ（x）的驻点。
又因φ″（x0）＝2f′（x0）g′（x0）＞0，故φ（x）在x0取到极小值。71 、 单选题
函数f（x）在[0，＋∞）上连续，在（0，＋∞）内可导，且f（0）＜0，f′（x）≥k＞0，
则在（0，＋∞）内f（x）（ ）。
A ： 没有零点
B ： 至少有一个零点
C ： 只有一个零点
D ： 有无零点不能确定
正确答案： C
解析：
由f′（x）≥k＞0知f（x）单调增加，又f（0）＜0，且f（x）在[0，＋∞）上连续，在（0，
＋∞）内可导，故f（x）只有一个零点。
72 、 单选题
曲线 的渐近线有（ ）。
A ： 1条
B ： 2条
C ： 3条
D ： 4条
正确答案： B
解析：
由
故x＝0为曲线垂直渐近线；
故y＝π/4，为曲线水平渐近线。综上所述，该曲线共有2条渐近线。
73 、 单选题设函数y＝f（x）在（0，＋∞）内有界且可导，则（ ）。
正确答案： B
解析：
74 、 单选题
设函数f（x），g（x）是大于零的可导函数，且f′（x）g（x）－f（x）g′（x）＜0，则
当a＜x＜b时有（ ）。
A ： f（x）g（b）＞f（b）g（x）
B ： f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C ： f（x）g（x）＞f（b）g（b）
D ： f（x）g（x）＞f（a）g（a）
正确答案： A
解析：
构造函数F（x）＝f（x）/g（x），则F′（x）＝[f′（x）g（x）－f（x）g′（x）]/g^2
（x）。
由题意知，对任意x满足F′（x）＜0，即函数F（x）＝f（x）/g（x）在定义域上单调递
减。
又a＜x＜b，所以F（a）＞F（x）＞F（b），即f（a）/g（a）＞f（x）/g（x）＞f
（b）/g（b）
又f（x）和g（x）大于0，化简得75 、 单选题
下列结论中正确的是（ ）。
A ： 若y＝f（x）在x0点连续，则f′（x0）存在
B ： 若f′（x0）存在，则y＝f（x）在x0点连续
C ： 若f′（x0）存在，则f′（x）在x0点连续
D ： 若f′（x0）存在，则y＝f（x）在x0点的某邻域内一定连续
正确答案： B
解析：
函数在x0处导数与函数的关系是：可导一定连续，连续不一定可导（如f（x）＝|x|）。
故A项错误，B项正确。
函数在x0处有定义时，它在该点不一定连续，如C项中，f′（x0）有定义，并不能说明f′
（x）在x0点的邻域内其他点也有定义，即f′（x）在x0点不一定连续，故排除C。
f（x）在x0点的某邻域内有定义且x0＋Δx仍在该邻域时， 存在，
则称f（x）在x0点处可导，故排除D。
76 、 单选题
曲线y＝3x＋（lnx）/（2x）＋1的斜渐近线是（ ）。
A ： y＝3x
B ： y＝2x/3＋1
C ： y＝3x＋1
D ： y＝3x/2＋1
正确答案： C
解析：
要求函数y的斜渐近线方程，需要先求出斜率，即 ，再求截距，
。设该斜渐近线方程为y＝ax＋b，则有故所求渐近线方程为y＝3x＋1。
77 、 单选题
正确答案： C
解析：
。
78 、 单选题
设f（x）＝x（x＋1）（x＋2）…（x＋n），则f′（0）＝（ ）。
A ： n^2
B ： n－1）！
C ： n
D ： n！
正确答案： D
解析：
79 、 单选题
已知φ（x）＝f[g（x）]在x＝x0处可导，则（ ）。
A ： f（x），g（x）在x0点处都必可导
B ： f（x）必可导C ： g（x）必可导
D ： f（x），g（x）都不一定可导
正确答案： D
解析：
令 ，g（x）＝|x|，f（x），g（x）在x＝0处都不可导，而f[g
（x）]＝1（x∈（－∞，＋∞））在x＝0处可导。相反，若f，g可导，则φ必可导。
80 、 单选题
若f（x）是在（－∞，＋∞）内可导的以l为周期的周期函数，则f′（ax＋b）（a≠0，a、b
为常数）的周期为（ ）。
正确答案： D
解析：
f（x）与f′（x）具有相同的周期。由f（x）的周期为l，可以推知f（ax＋b）的周期
为l/|a|，故f′（ax＋b）的周期也是l/|a|。
81 、 单选题
若函数f（x）在区间（a，b）内可导，x1和x2是区间（a，b）内任意两点（x1＜x2），
则至少存在一点ξ，使（ ）
A ： f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）（a＜ξ＜b）
B ： f（b）－f（x1）＝f′（ξ）（b－x1）（x1＜ξ＜b）
C ： f（x2）－f（x1）＝f′（ξ）（x2－x1）（x1＜ξ＜x2）
D ： f（x2）－f（a）＝f′（ξ）（x2－a）（a＜ξ＜x2）
正确答案： C
解析：
考查拉格朗日中值定理的应用。
值得注意的是，当函数f（x）在[a，b]上连续且在（a，b）内可导时，才可在[a，b]上对
函数f（x）应用拉格朗日中值定理。
由于题中没有说明函数f（x）在[a，b]上连续，因此有可能f（x）在x＝a或x＝b上没有
定义，选项中涉及f（a）、f（b）的均为错误选项。82 、 单选题
已知y＝f[（3x－2）/（3x＋2）]，f′（x）＝arcsinx^2，则（dy/dx）|x＝0＝（ ）。
A ： 2π/3
B ： 3π/2
C ： 3π
D ： π/2
正确答案： B
解析：
本题中给出的函数是f[（3x－2）/（3x＋2）]，针对这种复杂函数，可以令u＝（3x－2）
/（3x＋2），以得到简单函数的形式，则y＝f[（3x－2）/（3x＋2）]＝f（u）。
又由题意可知f′（u）＝arcsinu^2，故
则dy/dx|x＝0＝[arcsin（－1）^2]·3×4/4＝3π/2。
83 、 单选题
若 ，则f′（0）＝（ ）。
A ： 4
B ： 1
C ： 0
D ： 不存在
正确答案： C
解析：
本题需要分别按两种条件求导，若求得的导数一致，则为该函数在这一点的导数；若不
一致，则该函数在这一点的导数不存在。
若x为无理数时， ；
若x为有理数时， 。故f′（0）＝0。84 、 单选题
设y＝（4x＋4）/x^2－2，则曲线在拐点处的切线方程为（ ）。
A ： y＋26/9＝－2（x＋1）/27
B ： y＋26/9＝－4（x＋1）/27
C ： y＋26/9＝－4（x＋3）/27
D ： y＋26/9＝－2（x＋3）/27
正确答案： C
解析：
85 、 单选题
设函数f（x）在x＝a的某个邻域内连续，且f（a）为极大值，则存在δ＞0，当x∈（a
－δ，a＋δ）时，必有（ ）
正确答案： C
解析：
86 、 单选题
设雨滴为球体状，若雨滴聚集水分的速率与表面积成正比，则在雨滴形成过程中（一直
保持球体状），雨滴半径增加的速率（ ）。
A ： 与体积的立方根成正比
B ： 与球体半径成正比
C ： 与体积成正比D ： 为一常数
正确答案： D
解析：
87 、 单选题
设两函数f（x）及g（x）都在x＝a处取得极大值，则F（x）＝f（x）g（x）在x＝a处
（ ）
A ： 必取极大值
B ： 必取极小值
C ： 不可能取极值
D ： 是否取得极值不能确定
正确答案： D
解析：
88 、 单选题
设函数f（x）连续，且f′（0）＞0，则存在δ＞0，使得（ ）。
A ： f（x）在（0，δ）内单调增加
B ： f（x）在（－δ，0）内单调减少
C ： 对任意的x∈（0，δ）有f（x）＞f（0）
D ： 对任意的x∈（－δ，0）有f（x）＞f（0）
正确答案： C
解析：
因89 、 单选题
设函数f（x）满足关系式f″（x）＋[f′（x）]2＝x，且f′（0）＝0，则（ ）。
A ： f（0）是f（x）的极大值
B ： f（0）是f（x）的极小值
C ： 点（0，f（0））是曲线y＝f（x）的拐点
D ： f（0）不是f（x）的极值，点（0，f（0））也不是曲线y＝f（x）的拐点
正确答案： C
解析：
已知f″（x）＋[f′（x）]^2＝x，方程两边对x求导得f″′（x）＋2f″（x）·f′（x）＝1，由f′
（0）＝0，则f″（0）＝0，f?（0）＝1，故在点x＝0的某邻域内f″（x）单调增加，即f
－″（0）与f＋″（0）符号相反，故点（0，f（0））是曲线y＝f（x）的拐点。
90 、 单选题
函数y＝x^2－lnx^2的单调减区间是（ ）。
A ： －∞，－ln2），（0，ln2）
B ： －∞，－1），（0，ln2）
C ： －∞，－ln2），（0，1）
D ： －∞，－1），（0，1）
正确答案： D
解析：
令y′＝2x－2/x＜0，解得（－∞，－1），（0，1）。
91 、 单选题
正确答案： D解析：
92 、 单选题
正确答案： C
解析：
93 、 单选题
若f（x）＝max{2x，x^2}，x∈（0，4），且知f′（a）不存在，a∈（0，4），则必有
（ ）。
A ： a＝1
B ： a＝2
C ： a＝3
D ： a＝1/2
正确答案： B
解析：94 、 单选题
设 ，则dy/dx＝（ ）。
A ： t
B ： tcost
C ： tsintcost
D ： t^2
正确答案： A
解析：
先求出两个式子对t的导数xt′＝－2tsint^2。
则dy/dx＝yt′/xt′＝－2t^2（sint^2）/（－2tsint^2）＝t。
95 、 单选题
设f（x）是可导函数，Δx是自变量在点x处的增量，则
（ ）。
A ： 2f′（x）f（x）
B ： f′（x）f（x）
C ： f′（x）f^2（x）
D ： f′（x））^2f（x）
正确答案： A
解析：96 、 单选题
当x＝（ ）时，函数y＝x·2^x取得极小值。
A ： ln2
B ： ln2
C ： 1/ln2
D ： 1/ln2
正确答案： C
解析：
由f′（x）＝2^x（1＋xln2）＝0，得驻点为x＝－1/ln2，而f″（x）＝2^x[2ln2＋x
（ln2）^2]，f″（－1/ln2）＞0。故函数y＝x·2^x在点x＝－1/ln2处取得最小值。
97 、 单选题
设函数f（x）在闭区间[a，b]上有定义，在开区间（a，b）内可导，则（ ）。
A.当f（a）f（b）＜0时，存在ξ∈（a，b），使f（ξ）＝0
B.对任何ξ∈（a，b），有
C.当f（a）＝f（b）时，存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）＝0
D.存在ξ∈（a，b），使f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）
正确答案： B
解析：
考查了罗尔定理、零点定理、拉格朗日中值定理的使用条件——f（x）在[a，b]上连续。
题中没有给出这一条件，因此这三个定理均不可用。A、C、D项错误；
因f（x）在（a，b）内可导，故f（x）在（a，b）内任一点ξ处连续，故
，故B项正确。
98 、 单选题
若f（x）是[a，b]上的连续函数且 ，则必?ξ∈（a，b），
使φ′（ξ）＝（ ）。A ： 1
B ： 0
C ： a＋b
D ： ab
正确答案： B
解析：
99 、 单选题
某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q＝ae^－P，其中a为正常数，则需求对价格P的
弹性η（η＞0）等于（ ）。
A ： P^a
B ： aP
C ： P
D ： P/a
正确答案： C
解析：
需求函数Q＝ae^－P，对P求导，得dQ/dP＝－ae^－P，故Q对P的弹性为－
（P/Q）·dQ/dP＝－（－ae－P·P）/（ae^－P）＝P。
100 、 单选题
正确答案： C
解析：101 、 单选题
设α、β均为非零常数，已知f（x＋x0）＝αf（x）恒成立，且f′（0）＝β，则f（x）在x0处
（ ）
A ： f′（x0）＝αβ
B ： f′（x0）＝α
C ： f′（x0）＝β
D ： 不可导
正确答案： A
解析：
102 、 单选题
若f（－x）＝f（x）（－∞＜x＜＋∞），在（－∞，0）内，f′（x）＞0，f″（x）＜0，则在
（0，＋∞）内（ ）。
A ： f（x）单调增加且其图像是向上凸的
B ： f（x）单调增加且其图像是向上凹的
C ： f（x）单调减少且其图像是向上凸的
D ： f（x）单调减少且其图像是向上凹的
正确答案： C
解析：
f（－x）＝f（x）?f（x）为偶函数。可导偶函数的导数是奇函数，可导奇函数的导函数
是偶函数。故f′（x）是奇函数，f″（x）是偶函数。由x∈（－∞，0）时，f′（x）＞0，f″
（x）＜0，故x∈（0，＋∞）时，f′（x）＜0，f″（x）＜0，则函数单调减少且其图像是向上凸的。
103 、 单选题
正确答案： B
解析：
104 、 单选题
若f（x）在区间[a，＋∞）上二阶可导，且f（a）＝A＞0，f′（a）＜0，f″（x）＜0（x
＞a），则方程f（x）＝0在（a，＋∞）内（ ）。
A ： 没有实根
B ： 有两个实根
C ： 有无穷多个实根
D ： 有且仅有一个实根
正确答案： D
解析：
由f″（x）＜0（x＞a）知f′（x）单调减少，又f′（a）＜0，则f′（x）在区间（a，＋∞）
上恒小于0，即f（x）在区间（a，＋∞）上单调减少，又由f（a）＝A＞0，且f（x）在区
间[a，＋∞）上二阶可导，故方程f（x）＝0在（a，＋∞）内有且仅有一个实根。
105 、 单选题
设商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q、P分别为需求量和价格，如果商品需求弹性
的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是（ ）。A ： 0，20）
B ： 10，20）
C ： 5，20）
D ： 5，10）
正确答案： B
解析：
由题意可知，|5P/（100－5P）|＝|P/（P－20）|＞1，即P＞20或10＜P＜20①。又Q
＝100－5P≥0?P≤20②，由①②可知，商品价格的取值范围是（10，20）。
106 、 单选题
设f（x）有一阶连续导数，且f（0）＝0，f′（0）＝1，则
（ ）。
A ： 0
B ： 1
C ： e^2
D ： e
正确答案： D
解析：
107 、 单选题
设函数f（x）在点x＝0可导，且f（0）＝0，则 （ ）。
A ： f（0）
B ： f′（0）
C ： f′（0）/2
D ： f（0）/2正确答案： C
解析：
利用导数的定义，有
108 、 单选题
A ： 4
B ： 2
C ： 1
D ： 0
正确答案： C
解析：
109 、 单选题
如果函数y＝f（x）处处二阶可导。且点（p，f（p））是曲线y＝f（x）的拐点，则
（ ）。
A ： 1
B ： 1/3
C ： 1/2
D ： 0正确答案： D
解析：
由于f（x）处处二阶可导，且点（p，f（p））为曲线的拐点，则必有f″（p）＝0。
110 、 单选题
曲线sin（xy）＋ln（y－x）＝x在点（0，1）处的切线方程是（ ）。
A ： y＝x＋1
B ： y＝x＋1/2
C ： y＝x/2＋1
D ： y＝2x＋1
正确答案： A
解析：
构造函数F（x）＝sin（xy）＋ln（y－x）－x。则
将y（0）＝1代入得dy/dx|x＝0＝1，故切线方程为y－1＝x－0，即y＝x＋1。
111 、 单选题
设偶函数f（x）具有二阶连续导数，且f″（0）≠0，则x＝0（ ）。
A ： 一定不是函数的驻点
B ： 一定是函数的极值点
C ： 一定不是函数的极值点
D ： 不能确定是否为函数的极值点
正确答案： B
解析：
由偶函数f（x）在x＝0处可导，可知f′（0）＝0。又f″（0）≠0，由第二充分条件得x＝0
是极值点。
112 、 单选题
若函数f（x）对任意实数x1、x2均满足关系式f（x1＋x2）＝f（x1）f（x2）。且f′（0）＝2，则必有（ ）
A ： f（0）＝0
B ： f（0）＝2
C ： f（0）＝1
D ： f（0）＝－1
正确答案： C
解析：
f（x1＋x2）＝f（x1）f（x2）中，令x1＝x，x2＝0，则f（x＋0）＝f（x）f（0），又f′
（0）＝2，则 ，故f（0）＝1。
113 、 单选题
正确答案： B
解析：
114 、 单选题
设函数f（x）＝（x－1）（x＋2）（x－3）（x＋4）…（x＋100），则f′（1）＝（
）。
A ： 99！/100
B ： 100！/101
C ： 101！/99
D ： 101！/100
正确答案： D解析：
易知f（1）＝0，由导数的定义，可得
115 、 单选题
设曲线 ，则曲线（ ）。
A ： 只有垂直渐近线
B ： 只有水平渐近线
C ： 无渐近线
D ： 有一条水平渐近线和一条垂直渐近线
正确答案： D
解析：
由题意得y＝x/（1＋x）。 ，故x＝－1为曲线垂直渐近线；
故y＝1是该曲线的水平渐进线；综上所述，曲线有一条水平渐近线和一条垂直渐近线。
116 、 单选题
两曲线y＝1/x，y＝ax^2＋b在点（2，1/2）处相切，则（ ）。
A ： a＝－1/16，b＝3/4
B ： a＝1/16，b＝1/4
C ： a＝－1，b＝9/2
D ： a＝1，b＝－7/2正确答案： A
解析：
由题意可知，点（2，1/2）即是两曲线相切的切点，又是两曲线的一个交点，且两曲线
在该点的切线斜率相等。
由点（2，1/2）在曲线y＝ax^2＋b上，将点带入得4a＋b＝1/2。
又相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，即－1/x^2＝2ax，将x＝2带入得a＝
－1/16，故b＝3/4。
117 、 单选题
设 ，则y′（2）＝（ ）。
A ： 1
B ： 1/2
C ： 1/3
D ： 1/4
正确答案： C
解析：
118 、 单选题
已知f（x）为可导偶函数，且 ，则曲线y＝f（x）在（－1，
2）处的切线方程为（ ）。
A ： y＝4x＋6
B ： y＝－4x－2
C ： y＝x＋3
D ： y＝－x＋1
正确答案： A
解析：
若f（x）为可导偶函数，则其导函数为奇函数。故f′（－1）＝－f′（1）。
又则f′（－1）＝4，切线方程为y－2＝4（x＋1），即y＝4x＋6。
119 、 单选题
设 ，则f（100）（0）＝（ ）。
A ： 1/101
B ： 1/101
C ： 1/100
D ： 1/100
正确答案： A
解析：
120 、 单选题
设f′（x0）＝f″（x0）＝0，f?（x0）＞0，且f（x）在x0点的某邻域内有三阶连续导数，
则下列选项正确的是（ ）。
A ： f′（x0）是f′（x）的极大值
B ： f（x0）是f（x）的极大值
C ： f（x0）是f（x）的极小值
D ： x0，f（x0））是曲线y＝f（x）的拐点
正确答案： D
解析：
已知f″′（x0）＞0，则f″（x）在x0点的某邻域内单调增加，又由f″（x0）＝0，则在x0点
的某邻域内f－″（x0）与f＋″（x0）符号相反，故（x0，f（x0））是曲线y＝f（x）的拐
点。121 、 单选题
设 ，f（x）为连续函数，且f（0）＝0，f′（x）＞0，则y＝F
（x）在（0，＋∞）内是（ ）。
A ： 递增且为凹弧
B ： 递增且为凸弧
C ： 递减且为凹弧
D ： 递减且为凸弧
正确答案： A
解析：
令x－t＝u，则t＝x－u，故
因为f′（x）＞0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）＞f（0）＝0，故由，则F
（x）在（0，＋∞）上单调递增。F″（x）＝f（x）＞0，则F（x）在（0，＋∞）内是凹
弧，故应选（A）。
注：如果函数二阶导数大于0，则图形凹；二阶导数小于0，则图形凸。
122 、 单选题
若f（x）＝xsin|x|，则（ ）。
A ： f″（0）不存在
B ： f″（0）＝0
C ： f″（0）＝∞
D ： f″（0）＝π
正确答案： A
解析：
对于含有绝对值的函数，求导时需讨论不同条件。f＋″（0）≠f－″（0），则f″（0）不存在。
123 、 单选题
正确答案： B
解析：
124 、 单选题
过点（1/2，0）且满足关系式 的曲线方程为（ ）。
A ： y·arcsinx＝1－2x
B ： y·arcsinx＝1/2－x
C ： y·arcsinx＝x－1
D ： y·arcsinx＝x－1/2
正确答案： D
解析：由原方程 ，容易发现等式左边即为（y·arcsinx）′，则原方程变
为（y·arcsinx）′＝1。故y·arcsinx＝x＋c。将（1/2，0）点代入，得c＝－1/2。则所求
曲线方程为y·arcsinx＝x－1/2。
125 、 单选题
正确答案： D
解析：
126 、 单选题
曲线 的斜渐近线方程为（ ）。
A ： y＝2x/3＋1
B ： y＝x＋3/2
C ： y＝3x/2＋1
D ： y＝x＋1/2
正确答案： B
解析：
设该斜渐近线方程为y＝ax＋b，则有故斜渐近线为y＝x＋3/2。
127 、 单选题
若x→0时， 的导数与x2为等价无穷小，则f′（0）等于
（ ）。
A ： 0
B ： 1
C ： 1
D ： 1/2
正确答案： D
解析：
128 、 单选题
设函数g（x）可微，h（x）＝e^1＋g（x），h′（1）＝1，g′（1）＝2，则g（1）等于（ ）。
A ： ln3－1
B ： ln3－1
C ： ln2－1
D ： ln2－1
正确答案： C
解析：
129 、 单选题
正确答案： A
解析：
原函数进行适当的变形，得
则 。
130 、 单选题正确答案： A
解析：
131 、 单选题
A ： 1；1；1
B ： 1；－1；－1
C ： 1；－1；1
D ： 1；－1；1
正确答案： C
解析：
由题意可得 ，解得 。
132 、 单选题已知函数 在x＝0处可导，则（ ）。
A ： a＝－2，b＝2
B ： a＝2，b＝－2
C ： a＝－1，b＝1
D ： a＝1，b＝－1
正确答案： B
解析：
133 、 单选题
A ： 3t＋5）（t＋1）t
B ： 6t＋5）（t＋1）/t
C ： 6t＋5）（t＋1）t
D ： 3t＋5）（t＋1）/t
正确答案： B
解析：
本题采用参数方程求导法，dy/dx＝yt′/xt′，即则
134 、 单选题
设f（x）处处可导，则（ ）
正确答案： D
解析：
135 、 单选题
A ： a＝b＝3
B ： a＝2/3，b＝5/2
C ： a＝3/2，b＝1/2
D ： a＝－2，b＝－3
正确答案： C
解析：136 、 单选题
已知f（－x）＝－f（x）且f′（－x0）＝m≠0，则f′（x0）＝（ ）。
A ： m
B ： m^2
C ： m/2
D ： 0
正确答案： A
解析：
f（－x）＝－f（x），这是奇函数的特征。f（x）在－x0处可导，则它在x0处必可导，
且有
137 、 单选题
设f（x）二阶可导，且f′（x）＞0，f″（x）＞0，则当Δx＞0时有（ ）。
A ： Δy＞dy＞0
B ： Δy＜dy＜0
C ： 0＜Δy＜dy
D ： dy＜Δy＜0
正确答案： A
解析：
根据题意可以画出函数图象如图所示，f′（x）＞0，f″（x）＞0，则图像是上升且向上凹
的。
138 、 单选题
设某产品的需求函数为Q＝Q（P），其对价格P的弹性εP＝O.2，则当需求量为10000件
时，价格增加1元会使产品收益增加（ ）元。A ： 6000
B ： 1000
C ： 8000
D ： 2000
正确答案： C
解析：
