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2022年河南省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1． 的相反数是
A． B．2 C． D．
2．2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合 人心同”的中华文化内涵．将这六个
汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所
在面相对的面上的汉字是
A．合 B．同 C．心 D．人
3．如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是
A． B． C． D．
5．如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点．若 ，则菱
形 的周长为
A．6 B．12 C．24 D．48
6．一元二次方程 的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
7．如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打
分数的众数为
A．5分 B．4分 C．3分 D．
8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1
亿 万 万，1兆 万 万 亿．则1兆等于
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点 重合，
轴，交 轴于点 ．将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第2022次旋转结束时，点
的坐标为
第1页（共19页）A． ， B． C． ， D．
10．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体
传感器是一种气敏电阻（图1中的 ， 的阻值随呼气酒精浓度 的变化而变化（如图 ，
血液酒精浓度 与呼气酒精浓度 的关系见图3．下列说法不正确的是
A．呼气酒精浓度 越大， 的阻值越小
B．当 时， 的阻值为100
C．当 时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当 时，该驾驶员为醉驾状态
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个 随 的增大而增大的一次函数的表达式： ．
12．不等式组 的解集为 ．
13．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、
丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 ．
14．如图，将扇形 沿 方向平移，使点 移到 的中点 处，得到扇形 ．若
， ，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在 中， ， ，点 为 的中点，点 在 上，
且 ，将 绕点 在平面内旋转，点 的对应点为点 ，连接 ， ．当
时， 的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）化简： ．
17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组
航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许
多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽
取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
．成绩频数分布表：
第2页（共19页）成绩 （分
频数 7 9 12 16 6
．成绩在 这一组的是（单位：分）
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比
为 ．
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，
所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．
18．（9分）如图，反比例函数 的图象经过点 和点 ，点 在点 的下方，
平分 ，交 轴于点 ．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段 与（2）中所作的垂直平分线相交于点 ，连接 ．求证： ．
19．（9分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园
内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁 的高度，如图，在 处用测角仪测得拂云阁顶端
的仰角为 ，沿 方向前进 到达 处，又测得拂云阁顶端 的仰角为 ．已知测
角仪的高度为 ，测量点 ， 与拂云阁 的底部 在同一水平线上，求拂云阁 的
高度（结果精确到 ．参考数据： ， ， ．
20．（9分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准 年版），将劳动从原来的
综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要
采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆 种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用
300元在市场上购买的 种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆 种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆 种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买 ， 两种菜苗共100
捆，且 种菜苗的捆数不超过 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对 ， 两种菜
苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
21．（9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头
第3页（共19页）距地面 ，水柱在距喷水头 水平距离 处达到最高，最高点距地面 ；建立如图
所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中 是水柱距喷水头
的水平距离， 是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 水平距离 ．身高 的小红在水柱下方走动，当
她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
22．（10分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项
目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，
铁环 与水平地面相切于点 ，推杆 与铅垂线 的夹角为 ，点 ， ， ， ，
在同一平面内．当推杆 与铁环 相切于点 时，手上的力量通过切点 传递到铁环
上，会有较好的启动效果．
（1）求证： ．
（2）实践中发现，切点 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 是
该区域内最低位置，此时点 距地面的距离 最小，测得 ．已知铁环 的
半径为 ，推杆 的长为 ，求此时 的长．
23．（10分）（2022河南）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在矩形内部点 处，把纸片展平，连接
， ．
根据以上操作，当点 在 上时，写出图1中一个 的角： ．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片 按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点 ，连接 ．
①如图2，当点 在 上时， ， ；
②改变点 在 上的位置（点 不与点 ， 重合），如图3，判断 与 的数量
关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片 的边长为 ，当 时，直接写出 的长．
第4页（共19页）第5页（共19页）2022年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1． 的相反数是
A． B．2 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义得出即可．
【解答】解： 的相反数是： ．
故选： ．
2．2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合 人心同”的中华文化内涵．将这六个
汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所
在面相对的面上的汉字是
A．合 B．同 C．心 D．人
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
【解答】解：在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是人，
故选： ．
3．如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】首先利用垂直的定义得到 ，然后利用平角的定义即可求解．
【解答】解： ，
，
，
．
故选： ．
4．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法
则对各项进行运算即可．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 符合题意．
故选： ．
5．如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点．若 ，则菱
第6页（共19页）形 的周长为
A．6 B．12 C．24 D．48
【分析】由菱形的性质可得出 ， ，再根据直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半得出 的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【解答】解： 四边形 为菱形，
， ，
为直角三角形．
，点 为线段 的中点，
．
．
故选： ．
6．一元二次方程 的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：在一元二次方程 中，
， ， ，
△ ，
原方程有两个不相等的实数根．
故选： ．
7．如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打
分数的众数为
A．5分 B．4分 C．3分 D．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由扇形统计图知，得4分的人数占总人数的 ，人数最多，
所以所打分数的众数为4分，
故选： ．
8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1
亿 万 万，1兆 万 万 亿．则1兆等于
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法先求出1亿，再求1兆即可．
【解答】解：1亿
，
1兆
，
第7页（共19页）故选： ．
9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点 重合，
轴，交 轴于点 ．将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第2022次旋转结束时，点
的坐标为
A． ， B． C． ， D．
【分析】由正六边形的性质可得 ，再根据由 可知，每4次为一个循环，由
，可知点 与点 重合，求出点 的坐标可得答案．
【解答】解： 边长为2的正六边形 的中心与原点 重合，
， ，
轴，
，
，
， ，
，
将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，可知点 与 重合，
由 可知，每4次为一个循环，
，
点 与点 重合，
点 与点 关于原点 对称，
，
第2022次旋转结束时，点 的坐标为 ，
故选： ．
10．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体
传感器是一种气敏电阻（图1中的 ， 的阻值随呼气酒精浓度 的变化而变化（如图 ，
血液酒精浓度 与呼气酒精浓度 的关系见图3．下列说法不正确的是
第8页（共19页）A．呼气酒精浓度 越大， 的阻值越小
B．当 时， 的阻值为100
C．当 时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当 时，该驾驶员为醉驾状态
【分析】观察图2可直接判断 、 ，由 可算出 的值，从而判断 ，观察图2可得
时 的值，从而算出 的值，即可判断 ．
【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度 越大， 的阻值越小，故 正确，不符合题意；
由图2知， 时， 的阻值为100，故 正确，不符合题意；
由图3知，当 时， ，
当 时，该驾驶员为酒驾状态，故 不正确，符合题意；
由图2知，当 时， ，
，
该驾驶员为醉驾状态，故 正确，不符合题意；
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个 随 的增大而增大的一次函数的表达式： 答案不唯一，如 ．
【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可．
【解答】解：例如： ，或 等，答案不唯一．
12．不等式组 的解集为 ．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
该不等式组的解集是 ，
故答案为： ．
13．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、
丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 ．
【分析】画树状图，共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，再由概率公式
求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
第9页（共19页）共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，
恰好选中甲和丙的概率为 ，
故答案为： ．
14．如图，将扇形 沿 方向平移，使点 移到 的中点 处，得到扇形 ．若
， ，则阴影部分的面积为 ．
【分析】如图，设 交 于点 ，连接 ．首先证明 ，根据
求解即可．
【解答】解：如图，设 交 于点 ，连接 ．
， ，
，
，
， ，
．
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ，点 为 的中点，点 在 上，
且 ，将 绕点 在平面内旋转，点 的对应点为点 ，连接 ， ．当
时， 的长为 或 ．
第10页（共19页）【分析】分两种情况：当点 在 上，当点 在 的延长线上，利用勾股定理分别进行计
算即可解答．
【解答】解：如图：
， ，
，
点 为 的中点，
， ，
，
点 、 、 在同一条直线上，
由旋转得：
，
分两种情况：
当点 在 上，
在 中， ，
，
当点 在 的延长线上，
在 中， ，
，
综上所述：当 时， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）化简： ．
【分析】（1）先算立方根、零指数幂、负整数指数幂，再算加减；
（2）先通分，把除化为乘，再分解因式约分．
【解答】解：（1）原式
第11页（共19页）；
（2）原式
．
17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组
航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许
多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽
取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
．成绩频数分布表：
成绩 （分
频数 7 9 12 16 6
．成绩在 这一组的是（单位：分）
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 78. 5 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分
比为 ．
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，
所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．
【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别
为 （分 ，
所以这组数据的中位数是78.5分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ，
故答案为：78.5， ；
（2）不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的 ，说明该校学生对“航空航天知识”的
掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．
18．（9分）如图，反比例函数 的图象经过点 和点 ，点 在点 的下方，
平分 ，交 轴于点 ．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段 与（2）中所作的垂直平分线相交于点 ，连接 ．求证： ．
第12页（共19页）【分析】（1）直接把点 的坐标代入求出 即可；
（2）利用尺规作出线段 的垂直平分线 即可；
（3）证明 ，可得结论．
【解答】（1）解： 反比例函数 的图象经过点 ，
，
反比例函数的解析式为 ；
（2）解：如图，直线 即为所求．
（3）证明： 平分 ，
，
直线 垂直平分线段 ，
，
，
，
．
19．（9分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园
内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁 的高度，如图，在 处用测角仪测得拂云阁顶端
的仰角为 ，沿 方向前进 到达 处，又测得拂云阁顶端 的仰角为 ．已知测
角仪的高度为 ，测量点 ， 与拂云阁 的底部 在同一水平线上，求拂云阁 的
高度（结果精确到 ．参考数据： ， ， ．
第13页（共19页）【分析】延长 交 于点 ，根据题意可得： ， 米，
米，设 米，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的
长，然后在 中，利用锐角三角函数的定义列出关于 的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长 交 于点 ，
由题意得：
， 米， 米，
设 米，
米，
在 中， ，
（米 ，
在 中， ，
，
，
经检验： 是原方程的根，
（米 ，
拂云阁 的高度约为32米．
20．（9分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准 年版），将劳动从原来的
综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要
采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆 种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用
300元在市场上购买的 种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆 种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆 种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买 ， 两种菜苗共100
捆，且 种菜苗的捆数不超过 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对 ， 两种菜
苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【分析】（1）设菜苗基地每捆 种菜苗的价格是 元，根据用300元在市场上购买的 种菜
苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆 种菜苗的价格是20元；
（2）设购买 种菜苗 捆，则购买 种菜苗 捆，根据 种菜苗的捆数不超过 种菜
苗的捆数，得 ，设本次购买花费 元，有 ，
由一次函数性质可得本次购买最少花费2250元．
【解答】解：（1）设菜苗基地每捆 种菜苗的价格是 元，
第14页（共19页）根据题意得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
答：菜苗基地每捆 种菜苗的价格是20元；
（2）设购买 种菜苗 捆，则购买 种菜苗 捆，
种菜苗的捆数不超过 种菜苗的捆数，
，
解得 ，
设本次购买花费 元，
，
，
随 的增大而减小，
时， 取最小值，最小值为 （元 ，
答：本次购买最少花费2250元．
21．（9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头
距地面 ，水柱在距喷水头 水平距离 处达到最高，最高点距地面 ；建立如图
所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中 是水柱距喷水头
的水平距离， 是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 水平距离 ．身高 的小红在水柱下方走动，当
她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【分析】（1）由抛物线顶点 ，设抛物线的表达式为 ，用待定系数法可
得抛物线的表达式为 ；
（2）当 时， ，解得 或 ，即得她与爸爸的水平距离为 或
．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为 ，
设抛物线的表达式为 ，将 代入得：
，
解得 ，
，
答：抛物线的表达式为 ；
（2）当 时， ，
解得 或 ，
她与爸爸的水平距离为 或 ，
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是 或 ．
第15页（共19页）22．（10分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项
目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，
铁环 与水平地面相切于点 ，推杆 与铅垂线 的夹角为 ，点 ， ， ， ，
在同一平面内．当推杆 与铁环 相切于点 时，手上的力量通过切点 传递到铁环
上，会有较好的启动效果．
（1）求证： ．
（2）实践中发现，切点 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 是
该区域内最低位置，此时点 距地面的距离 最小，测得 ．已知铁环 的
半径为 ，推杆 的长为 ，求此时 的长．
【分析】（1）本小题难度不大，方法颇多，方法1：如图1，过点 作 ，分别交 于点
，交 于点 ．首先证明 ， ；再根据 是切点
得出 ．后面就很简单的证明出结论；方法2：如图2，延长 交 于点 ．因为
为 的切线，所以根据切线性质得到， ， ．再根据四边形、三
角形的内角和即可证明；方法3：如图3，过点 作 ，根据两直线平行，内错角相等
和切线性质，可以很简单的证明问题；
（2）利用（1）中图1的辅助线即可解答．首先根据条件 ， ，得到 ．
再利用（1）证明出的， ，能得到四边形 为矩形，所以 ，从
而得到 ．
【解答】 证明：方法1：如图1，过点 作 ，分别交 于点 ，交 于点 ．
与 相切于点 ，
．
，
．
，
，
， ，
为 的切线，
．
，
．
，
，
；
方法2：如图2，延长 交 于点 ．
第16页（共19页）与 相切于点 ，
，
，
，
．
为 的切线，
，
．
在四边形 中， ．
，
．
；
方法3：如图3，过点 作 ，
．
与 相切于点 ，
，
，
．
，
，
．
为 的切线，
，
，
．
（2）解：如图1，在 中，
第17页（共19页）， ，
．
由（1）知， ，
，
在 中，
，
，
．
，
．
，
四边形 为矩形，
，
．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在矩形内部点 处，把纸片展平，连接
， ．
根据以上操作，当点 在 上时，写出图1中一个 的角： 或 或
或 （任写一个即可） ．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片 按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点 ，连接 ．
①如图2，当点 在 上时， ， ；
②改变点 在 上的位置（点 不与点 ， 重合），如图3，判断 与 的数量
关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片 的边长为 ，当 时，直接写出 的长．
【分析】（1）由折叠的性质可得 ， ， ，
，由锐角三角函数可求 ，即可求解；
（2）①由“ ”可证 ，可得 ；
②由“ ”可证 ，可得 ；
（3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：（1） 对折矩形纸片 ，
， ，
沿 折叠，使点 落在矩形内部点 处，
， ，
第18页（共19页），
，
，
，
故答案为： 或 或 或 （任写一个即可）；
（2）①由（1）可知 ，
四边形 是正方形，
， ，
由折叠可得： ， ，
， ，
又 ，
，
，
故答案为：15，15；
② ，理由如下：
四边形 是正方形，
， ，
由折叠可得： ， ，
， ，
又 ，
，
；
（3）由折叠的性质可得 ， ，
，
，
当点 在线段 上时， ，
， ，
，
，
，
当点 在线段 上时， ，
， ，
，
，
，
综上所述： 的长为 或 ．
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