27.2相似三角形同步练习新人教版_1、初中学习资料_4-2、数学_4-2-6、初三数学下册_人教数学九年级下课时练习（120份）_同步练习（第2套含答案）（共37份）

27.2 相似三角形 专题一 相似形中的开放题 1．如图，在正方形网 2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F， 连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°. (1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）； (2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相 似的理由. 专题二 相似形中的实际应用题 3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳 （两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三 相似形中的探究规律题 4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a、a、 1 2 a…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条 2 的总数是( ) A．24 B．25 C．26 D．27 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3． （1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长； （2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； （3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； （4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四 相似形中的阅读理解题 6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓 展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形 叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助 他们探索下列问题： (1)写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似； (2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长 为 ； (3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要做 一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半 径. 图1 图2 专题五 相似形中的操作题 7．宽与长的比是 5 1的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我 2 们以协调、匀称的美感． 现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD； 第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN； 第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E； 第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F． 请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形． 8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD， 并把△ABD与△ECF叠放在一起． （1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点 F在 BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不 与D点重合）．求证：BH•GD=BF2； （2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合）， 且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG． 探究：FD+DG= DB，请给予证明． 专题六 相似形中的综合题 9．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大． 1 10．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心， AC长为半径作⊙O，交BC 2 于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC． （1）求证：D是 的中点； ⌒ （2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD； S 1 （3）若 CEF  ，且AC=4，求CF的长. S 2 OCD 【知识要点】 1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例. 2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等. 3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比. 8．相似三角形对应高的比等于相似比. 9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方. 【温馨提示】 1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似 时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因. 3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数 学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯. 【方法技巧】 1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比. 2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角 形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题. 参考答案 1． 或 2 2 2 4 【解析】根据题意得AD=1，AB=3，AC= = ， 62 62 6 2 ∵∠A=∠A，∴若△ADE∽△ABC时， AD AE ，即 1 AE ，解得AE=   2 2 . AB AC 3 6 2 若△ADE∽△ACB时， AD AE ，即 1 AE ，解得AE= 2 .   AC AB 6 2 3 4 ∴当AE= 或 2 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 2 2 4 2．解：（1）△ADE∽△ACB，△CEF∽△DBF，△EFB∽△CFD (不唯一). （2）由∠BDE+∠BCE=180°，可得∠ADE=∠BCE. ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB; AD AE ∴ = .∵ ∠A=∠A， AC AB ∴△AEB∽△ADC;∵∠BDE+∠BCE=180°，∠BCE+∠ECF=180°， ∴∠ECF=∠BDF， 又∠F=∠F， EF CF ∴△CEF∽△DBF;∴ = ，而∠F=∠F，∴△EFB∽△CFD. BF DF 3．解：∵ OA:OC＝OB:OD＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD. ∵ OA:OC＝AB:CD＝n , 又∵CD＝b, ∴AB=CD·n ＝nb， ∴x＝＝. 4．C【解析】设裁成的矩形纸条的总数为 n，且每条纸条的长度都不小于 5cm，．设矩形纸条的长边分别与AC、AB交于点M、N，因为 BC  AB2 AC2 40(cm) AM MN △AMN∽△ACB，所以  ．又因为 AM=AC-1·n=30-n，MN≥5 cm，所以 AC BC 30n 5  ，得n≤26.25，所以n最多取整数26． 30 40 5．解：（1）在题图①中过点C作CN⊥AB于点N，交GF于点M． 1 1 12 因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5． 因为 ×5CN= ×3×4，所以CN= ． 2 2 5 CM GF 因为GF∥AB，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B，所以△CGF∽△CAB，所以  ． CN AB 12 x 5 x 60 60 设正方形的边长为x，则  ，解得x  ．所以正方形的边长为 ． 12 5 37 37 5 12 x 5 2x 60 （2）同（1），有  ，解得x  ． 12 5 49 5 12 x 5 3x 60 （3）同（1），有  ，解得x  ． 12 5 61 5 12 x 5 nx 60 （4）同（1），有  ，解得x  ． 12 5 2512n 5 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例” a m (2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x，则 = , 2a x ∴x=2m. (3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°. 设新做扇形的半径为  ，则   2=1 ，  =15 ，即新做扇形的半径为15 ㎝.   2 2 30 2 1 7．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC  BC a. 2 在Rt△DNC中， ND NC2 CD2  a2 (2a)2  5a. ∵NE=ND，∴ . CE NECN ( 51)a ∴CE ( 51)a 51，故矩形DCEF为黄金矩形.   CD 2a 2 8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，∴∠B=∠D. ∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，∴BF=DF. BF BH ∵∠HFG=∠B，∴∠GFD=∠BHF，∴△BFH∽△DGF，∴  ， DG DF ∴BH•GD=BF2. （2）证明：∵AG∥CE，∴∠FAG∥∠C.∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE，∴AF=AG. ∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG，△ABF≌△ADG，∴FB=DG，∴FD+DG=DB， 9．2 10．解：（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴AE⊥BC. ∵OD∥BC，∴AE⊥OD，∴D是 的中点. ⌒ （2）方法一：证明：如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC . ∴∠AGD=∠B. ∵ OA=OD ， ∴ ∠ DAO=∠ADO. ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 方法二：证明：如图，延长AD交BC于H ，则∠ADO=∠AHC. ∵∠AHC=∠B +∠BAD，∴∠ADO =∠B +∠BAD. ∵OA=OD，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 1 S 1 S 1 （3） ∵AO=OC，∴S  S .∵ CEF  ，∴ CEF  . OCD 2 ACD S 2 S 4 OCD ACD ∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，∴△ACD∽△FCE. S CF  2 1 CF  2 ∴ CEF    ，即    ，∴CF=2. S  AC 4  4  ACD