文档内容
1 探索勾股定理
基础巩固
1．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，关于这个三角形的下列说
法正确的是( )．
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
2．下列说法正确的是( )．
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
3．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在
花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却
踩伤了花草．
4．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S ，S ，S ，且S
1 2 3 1
＝4，S ＝12，则AB的长为__________．
2
5．如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m，长13 m，宽2 m的楼道上铺
地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮忙计算一下，铺完这个楼道至少需要多少
元钱？
6．如图，一根旗杆在离地面9 m的B点处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部点
1 / 6C 12 m远的点A处，你能求出旗杆折断前的高度吗？若能，请将其求出来．
能力提升
7．如图，一支含苞欲放的荷花长在清澈的荷塘里，露出水面10 cm，一阵强风
吹来，荷花顶端恰好没入水中，此时花朵的顶端C与原来的距离为30 cm，请问池
水有多深？
8．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速
度不得超过70 km/h，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻刚
好行驶到路面车速检测仪A正前方30 m的B处，过了2 s后，测得小汽车C与车
速检测仪A间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？
9．某公司在门前长方形小广场ABCD上空放一氢气球，为使氢气球悬挂于广
场中央F的正上方，公司欲从点A到气球E拉一根细绳，已知小广场宽AB＝18
m，长BC＝24 m，气球高EF＝8 m，求细绳AE的长．
10．如图，有一直立的标杆，它的上部被风从B吹折，杆顶C着地，离杆脚2 m
修好后又被风吹折，因新断处D比前一次B低0.5 m，故杆顶E着地比前一次远1
m，求标杆的高．
2 / 611．一个零件的形状如图所示，已知AC＝3 cm，AB＝4 cm，BD＝12 cm，求CD
的长．
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，根据勾股定理，
则a2＋b2＝c2，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试
猜想a2＋b2与c2的关系，并证明你的结论．
3 / 6参考答案
1答案：C 点拨：设斜边长为x，由勾股定理，得x2＝32＋42＝52，故x＝5，三角
形周长为3＋4＋5＝12，面积为 ×3×4＝6.
2答案：D 点拨：选项A：△ABC不一定是直角三角形；选项B：∠C不一定
是直角；选项C：a是斜边，b2＋c2＝a2；选项D：∠C＝90°，则a2＋b2＝c2.
3答案：4 点拨：已知AC＝3 m，BC＝4 m，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝
32＋42＝25，则AB＝5 m．根据假设可知5 m需要走10步，沿B→A走需要10步．
而沿B→C→A走需要14步，所以仅仅少走了4步路，却踩伤了花草．
4答案：4 点拨：由勾股定理知，AB2＝BC2＋AC2，且BC2＝S ＝4，AC2＝S ＝
1 2
12，所以BC2＋AC2＝4＋12＝16＝42，即AB2＝42.所以AB＝4.
5解：根据勾股定理可得水平长为 ＝12 m，
地毯的总长为12＋5＝17(m)，
则地毯的面积为17×2＝34(m2)．
故铺完这个楼道至少需要花34×18＝612元钱．
6解：能求出．
在△ABC中，∵∠BCA＝90°，
∴BC2＋AC2＝AB2.
∵BC＝9(m)，AC＝12(m)，
∴92＋122＝AB2.
∴AB2＝225＝152，AB＝15(m)．
∴BC＋AB＝24(m)．
∴旗杆折断前的高度是24 m.
点拨：由于旗杆折断前的高度等于AB＋BC＝AB＋9，那么要判断能否求出旗
杆折断前的高度，只需判断能否求出AB的长．根据勾股定理，能求出AB的长．
7答案：解：设水深AB为x cm，则荷花高为(x＋10) cm.
在Rt△ABC中，AC＝x＋10，
由勾股定理，得x2＋302＝(x＋10)2，
解得x＝40.故池水深为40 cm.
8解：由题意，得AB＝30 m，AC＝50 m.
由勾股定理，得BC2＝AC2－AB2＝502－302＝402.于是BC＝40 m.
此时小汽车的速度为40÷2＝20(m/s)．
4 / 6∵20 m/s＝72 km/h＞70 km/h，
∴这辆小汽车超速了．
点拨：利用勾股定理求出小汽车行驶的距离，再求出它的速度，与规定速度比
较即可．
9解：∵在Rt△ABC中，
AC2＝AB2＋BC2＝182＋242＝302，
∴AC＝30 m，AF＝15 m.
又在Rt△AEF中，
AE2＝EF2＋AF2＝82＋152＝172，
∴AE＝17 m，即细绳长17 m.
点拨：△ABC和△AEF都是直角三角形．
10解：设DE＝x，AD＝y，则AB＝y＋0.5，BC＝x－0.5.
在Rt△ADE中，AE＝3，x2－y2＝32.①
在Rt△ABC中，AC＝2，(x－0.5)2－(y＋0.5)2＝22.②
由①－②，得x＋y＝5，即DE＋AD＝5 m.
故标杆的高为5 m.
点拨：要求标杆的高，即求AD＋DE的和，图中存在Rt△ABC和Rt△EDA，利
用勾股定理，结合AB＝AD＋0.5，BC＝DE－0.5来解．
11解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC2＝AC2＋AB2＝32＋42＝25.
在Rt△CBD中，根据勾股定理，得CD2＝BC2＋BD2＝25＋122＝169，所以CD
＝13.
12解：若△ABC是锐角三角形，则有a2＋b2＞c2；若△ABC是钝角三角形，∠C
为钝角，
则有a2＋b2＜c2；
当△ABC是锐角三角形时，证明如下：
如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D.
设CD为x，则有DB＝a－x.
5 / 6由勾股定理，得b2－x2＝c2－(a－x)2，
即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2.
于是a2＋b2＝c2＋2ax.
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.∴a2＋b2＞c2.
当△ABC是钝角三角形时，证明如下：如图②，过点B作BD⊥AC，交AC的延
长线于点D.
设CD为x，则有DB2＝a2－x2.
由勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2，
即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2.
于是a2＋b2＋2bx＝c2.
∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0.
∴a2＋b2＜c2.
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