文档内容
科目：数学
(试题卷)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在
答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答
题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号，不留痕迹。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
公众号：高考试卷君
3．本试卷共 4 页。如缺页，考生须及时报告监考老
师，否则后果自负。
4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回。
姓 名
准考证号
祝 你 考 试 顺 利 ！2026 年常德市高三年级模拟考试
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
x+1
1．已知集合M ={x| 0}，
x−2
数学试题第 1 页 (共4页)
N = { x |1 x 3 } ，则M N =
A． { x |1 x 2 } B． { x |1 x 2 }
C． { x | − 1 x 3 } D． { x | − 1 x 2 }
2．已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z − 2 z = − 1 + 3 i ，则 z =
A． 1 + i B． 1 − i C． 1 + 2 i D． 1 − 2 i
3．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中依次不放
回地随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为
2
A． B．
3
1
9
2
C． D．
9
1
3
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、
AE的中点，则
A E D F =
A． − 1 B． 1
C． −
1
2
1
D．
2
5．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积
与球的表面积的比值为
A． 1 B．
1
4
3
C．
1
4
5
D．
1
4
7
6．已知圆 C : ( x − 2 ) 2 + y 2 = 1 与双曲线 E :
x
a
2
2
−
y
b
2
2
= 1 ( a 0 , b 0 ) 的渐近线相切，则椭圆
x2 y2
T: + =1的离心率e=
a2 b2
6 3 2
A． B． C． D．
3 3 3
1
3
7．已知实数x，y满足： 5 x = 7 y − 2 y ，则
A． x 1 B． y 1
C．(x−1)(y−1)0 D． ( x − 1 ) ( y − 1 ) 0
D C
公众号：高考试卷君
E
F
A B
1
8．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积S = (b2−ab)tanC，
4
5
角C的平分线交AB于D点，且a=2，CD= ，则BD=
3A．
数学试题第 2 页 (共4页)
3
5
B．
4
3
C．
5
2
D． 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 t a n x = 2 ，则
A．
2
s
s
i
i
n
n
x
x
+
+
c
c
o
o
s
s
x
x
=
5
3
B． s i n 2 x = −
4
5
C． s i n 2 x + s i n x c o s x =
6
5
D． c o s 2 x = −
3
5
10．下列说法正确的是
A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10
B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数 r 的值越大
C．根据分类变量 x 与 y 的成对数据，计算得到 2 2 .9 4 7 ＜
0 .0 5
= x ，依据 0 .0 5 = 的独
立性检验，结论为变量x与 y 不独立
D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平
带状区域内
11．已知a,b,c成等差数列，若关于 x , y
ax+by+c=0
的方程组 恰有2组解，则
ln(x−1)−y−1=0
A．ab0 B．a0 C． a + b 0 D．
a
b
+ 1 0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知曲线 y = e x 在 x = 0 处的切线 l 与圆 C : ( x − 1 ) 2 + y 2 = 4 相交于A、B两点，则
| A B |= ____________.
2
13．已知函数 f(x)=1+ 为奇函数，则实数a=____________.
ex −a
14．函数 y =
5
c
+
o s
4
x
s i n x
的值域为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
已知数列a 的前n项和S =2a −2，nN.
n n n
（1）求数列a 的通项公式；
n
（2）设 b
n
= lo g
a
n
2 ，数列bb 的前n项和为
n n+1
T
n
，求证： T
n
1
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．16．(本小题满分15分)
如图，三棱柱
数学试题第 3 页 (共4页)
A B C − A
1
B
1
C
1
中，平面 B C C
1
B
1
⊥ 平面 A A
1
C
1
C ，BC=AC=2CC =2，
1
1 1 3
B C C = ， M 为AC的中点.
（1）证明：平面 A
1
B M ⊥ 平面 A A
1
C
1
C ；
（2）若
1 3
C A A = ，求直线 A B 与平面 A
1
B M 所成角的正弦值.
17．(本小题满分15分)
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量 X 服从参数为
( ＞ 0 ) 的泊松分布（记作 ( ) X ），则其概率分布为 ( )
!
P X = k =
k
k
e − ， k N ，其
中 e 为自然对数的底数.
（1）当 2 0 时，泊松分布可以用正态分布来近似，当 5 0 时，泊松分布基本上就
等于正态分布，此时可认为 ( ， ) X N .若 ( 8 1 ) X ，求P(90＜X＜99)的值；
（2）设 X B ( n ， p ) ，当 p 0 .0 5 且 n 2 0 时，二项分布可近似看成泊松分布，即
( ) (1 )
!
，
p X = k = C kn p k − p n − k
k
k
e − k N ，其中 ( ) = E X .
某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为产
品中的次品数，按泊松分布近似计算.
（i）这1000件产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得 P ( X = i ) 最大时的X值．
(参考数据：e−3 0.05；若X N(，2)，则有 ( ＜ ＜ ) 0 .6 8 2 7 P − X +
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，
P(−2＜X＜+2)0.9545，P(−3＜X＜+3)0.9973)18．(本小题满分17分)
抛物线C：
数学试题第 4 页 (共4页)
x 2 = 2 p y ( p 0 ) 的焦点为 F ，O为坐标原点，抛物线C上的一点M(2，m)
到焦点 F 的距离为2.
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）已知直线 l 交抛物线 C 于A，B两点，直线 A O 交抛物线的准线于点 P ，且 B P ⊥ x 轴.
（i)）证明：直线 l 过定点；
（ii）点 Q 为抛物线 C 的准线与y轴的交点，若 △ M A B 的面积与 △ Q A B 的面积相等，求
直线 l 的方程.
19．(本小题满分17分)
已知函数 f ( x ) = ( x − 1 ) ln x + e (其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；
1
（2）当x( ,1)时，证明： f(x)−x+e+1；
e
（3）若 f ( x ) = b
1
有两个不同的实数解x,x ，且 x x ，求证：
1 2 e 1 2
x
1
+ ( 2 −
1
e
) x
2
e + 1
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