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2024 年常德市高三年级模拟考试
数学参考答案
一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C B A B D A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 BC ABC BCD
三、填空题：本题共 3
小题，每小题5分，共
15分．
12． 13． 14． 或
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分13分)
解：(1)由正弦定理
，
...................................................................................................................2分
由余弦定理 .....................................5分
又 ，
.......................................................................................................6分
由 , , 成等差数列， ①...........................................................................7分
(2)
的面积为 ， ，即 ②......................................9分
由(1) ③
由①②③解得： ...................................................................................12分
，故 的周长为15.............................................................................13分
16. (本小题满分15分)
解：(1)每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0,1,2,3......1分
数学参考答案第 1 页 (共 5页)
学科网（北京）股份有限公司， ，
， .......................................................5分
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
.....................................................................7分
(2)设原来数据的样本中心点为 ，去掉第5天的数据后样本中心点为
， ...............................................8分
.....................................10分
故
................................13分
，
∴ ..................................................................................................................15分
17. (本小题满分15分)
解：(1)证明：取AD的中点O， ， ..............................................1分
数学参考答案第 2 页 (共 5页)
学科网（北京）股份有限公司又平面 平面 ，平面 平面 = ， 平面 .....3分
又 平面 ， .....................................................................................4
分
， ，
， ， .................................................5分
又 ， 平面 ， 平面 ......................................6分
(法二： ， ，
， ， .................................................3分
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 ..................................................................................................................6分
阅卷说明：若考生用方法二：第（2）问建系没有证明的 平面 扣2分）
(2) ，
.............................................................................................................................8分
取PB的中点M，又 为 的中点， ，又 ，
平面 即为平面 ，
为平面 与平面 的交线 ........................................................................10分
取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、
OQ两两垂直.如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
， ...........11分
设平面 的法向量为 ，
，
则 ，
取 ，则 ， ..........................................................................13分
设直线 与平面 夹角为 ，
则
故
直线 与平面 夹角的正弦值 .......................................................................15分
数学参考答案第 3 页 (共 5页)
学科网（北京）股份有限公司18. (本小题满分17分)
解：(1)由题易得
设 ，则 ..........................................1分
∵ ，∴ ................................................................3分
①
化简得：
又 在椭圆上， ②
①②得
由
又 ，∴ .........................................................................................................5分
故椭圆C的标准方程 .....................................................................................6分
(2)设直线PA的平行线与椭圆相交于点E、F（E在上方）；直线PB的平行线与椭圆相交
于点G、H（G在上方）.
∴直线EF的方程为 ，直线GH的方程为 .
又 ，∴ ............................8分
联立 ，解得
∴ ..............................................................................................10分
联立 ，解得
∴ ..............................................................................................12分
设直线EF的倾斜角为 ，直线GH的倾斜角为 ，
数学参考答案第 4 页 (共 5页)
学科网（北京）股份有限公司∴
则
..................14分
∴四边形面积为
故该四边形的面积为定值 ............................................................................................17分
19. (本小题满分17分)
解：（1） ，
设 ，又 ....................................................................1分
当 时， 在 上单调递减，
， 在 上无零点................................................................2分
当 时， 在 上单调递增，
， 在 上有唯一零点.............................3分
当 时， 在 上单调递减，
， 在 上有唯一零点........................................4分
综上，函数 在区间 上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数 在区间 内恰有两个极值点..................................................................5分
（2）①由（1）知 在 无极值点；在 有极小值点，即为 ；
在 有极大值点，即为 ，
同理可得，在 有极小值点 ，…，在 有极值点 ，
由 得 ， ，
数学参考答案第 5 页 (共 5页)
学科网（北京）股份有限公司，
.................................................8分
由函数 在 单调递增得 ，
，
由 在 单调递减得
........................................11分
②同理 ，
，
由 在 上单调递减得 ，
，
..............................................................................13分
当 为偶数时， 的相邻两项配对，每组和均为负值，
即 ..............15分
当 为奇数时， 的相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即 ，
综上，对一切 成立，故不存在 使得 ...................................17分
数学参考答案第 6 页 (共 5页)
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