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2026 年常德市高三年级模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
5 6 7 8
题号 1 2 3 4
答案 B A D D D A C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ACD ABD AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
解：（1）①当 时， ，又 ，解得 .................................2分
②当 时， ，所以 ..............................4
分
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ...........................6分
（2）由 ....................................................................................8分
所以 ，........................................................................10
分
所以 .....................12
分
因为 ，所以 . ..................................................................................13分
16．(本小题满分15分)
法一：
解：（1）连接 与 交于点 ，连接 ，
三棱柱侧面 为平行四边形，所以 为 的中点，
又 为 的中点，所以 ..........................................................................2分
数学参考答案第 1 页 共 5 页又因为 中 ,
由余弦定理可得 .
所以 ，所以 ..........................................................4
分
因为平面 平面 且交线为 ， 平面
所以 平面 ............................................................................................6
分
又 ，所以 平面 ,
又 平面 ，所以平面 平面 ...........................................7
分
（2）由 ， ，得 ，故 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .............10分
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
，
则 ...............................................................13
分
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ....................................................15分
法二：
解：（1）延长 与 交于点 ，连接 .
三棱柱侧面 为平行四边形，又 为 的中点，
所以 为 的中点，所以 ，又 ,
所以四边形 为平行四边形,所以 .....................................................2分
又因为 中 ,
由余弦定理可得 .
数学参考答案第 2 页 共 5 页所以 ，所以 ..........................................................4
分
因为平面 平面 且交线为 ， 平面 ,
所以 平面 ............................................................................................6
分
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ...........................................7
分
z
（2）解法同法一
阅卷评分说明：
如图建立直角坐标系，写点的坐标.....................10分
求得平面 的法向量为 ..............13分
求得直线 与平面 所成角正弦值为 ........15分
H y
x
17．(本小题满分15分)
解：（1）因为当 ，且 时，可近似地认为 ，
即X～N(81,81)，这里 .........................................................2分
所以，
..............................................4分
...........................................................................................5
分
（2）(i)由题知 ，其中 ..............................................7分
...............................................................9分
(ii) ....................... ...... ............................................................................10分
所以 .........................................................................12分
由 解得 ，
所以，当 时， ；当 时， .
即
所以当 或 时， 最大..............................................................15分
18．(本小题满分17分)
数学参考答案第 3 页 共 5 页解：（1）法一：由抛物线的定义有 ，又点 在抛物线上，
所以 .........................................................................................................2分
解得： ， ，
所以抛物线 的标准方程为 ..........................................................................5分
法二：由题可知 ..................................................................................2分
解得： ， .
所以抛物线 的标准方程为 ..........................................................................5分
（2）(i)由题可知直线 的斜率存在，设直线 ： ， ， （
）
因为点 在准线上，且 轴，所以 .
由 、 三点共线，所以 ，即 ，
化简得 ①....................................................................................................7分
联立 ，消 得 ,
由韦达定理得： ....................................................................9分
又 得 代入①得 ②.......................................................11分
将 代入②得 ,
又 ，所以 .
所以直线 ： 过定点 ...........................................................................13分
(ii)因为 的面积与 的面积相等，所以点 与点Q到直线 的距离相等.
①若直线 过 的中点，又 ， ， 的中点为 ,
则直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ..................................................................................15分
②若直线 ，则直线 的斜率 ,
所以直线 的方程为 .
综上，直线 的方程为 或 ..............................................................17
分
19． (本小题满分17分)
解：（1）函数 的定义域为 ............................................................................1
分
， ..............................................2
数学参考答案第 4 页 共 5 页分
所以函数 在 上单调递增，又 ..................................................3
分
所以当 时 ；当 时 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ..................................4
分
（2）法一：
当 时， ...............6分
因为 ，所以 ，且 ,
所以 ,
所以 ，即 .....................................................8分
法二：当 时，设 ，
则 ， ............................................5分
所以函数 在 上单调递增，又 ， ,
由零点存在定理，存在唯一 ，使得 ,
当 时 ；当 时 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增............................................7分
又 ，所以 ，
所以 ..................................................................................................8分
（3）如图，由(1)可知， 在 单调递减，在 单调递增，
y
因为 ， ，
所以 ...........................9分
y=b
易知 在 处的切线为 .........10分
设
o 1 e x
则 ， ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时 ；当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
数学参考答案第 5 页 共 5 页所以 ，即 ..............................................................13分
所以 ，所以 ①................................................14分
由(2)知，当 时， ，所以 ，
所以 ②..................................................................................................16分
由①+②得， ............................................................................17分
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