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绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知
数的值，即可得出复数 .
【详解】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
3. 已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函数的有界性确定命题 的真假性，由指数函数的知识确定命题 的真假性，由此确定正
确选项.
【详解】由于 ，所以命题 为真命题；
由于 在 上为增函数， ，所以 ，所以命题 为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.
故选：A．
4. 设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
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学科网（北京）股份有限公司对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
5. 在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司，所以 .
故选：D
6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分
配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种
【答案】C
【解析】
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘
法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排
思想求解.
7. 把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单
位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，
即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表
达式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到
的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司8. 在区间 与 中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为
，设事件 表示两数之和大于 ，则构成的区域为
，分别求出 对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即
可解出．
【详解】如图所示：
设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为
，其面积为 ．
设事件 表示两数之和大于 ，则构成的区域为 ，即图中的阴影
部分，其面积为 ，所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件 对应的区
域面积，即可顺利解出．
9. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 ， ，
在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表
距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛的高 （ ）
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知， ，而 ，所以
，而 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ＝ ．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
10. 设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分
类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，a为
函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
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学科网（北京）股份有限公司当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
11. 设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心
率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，
再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由
可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，
显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论
函数的单调性从而确定最值．
12. 设 ， ， ．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，
将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数
分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
的
下面比较 与 大小关系.
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学科网（北京）股份有限公司记 ，则 ， ，
由于
所以当00时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，
即b
