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2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
高一（数学）试题
（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1. 已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ）
A. {2，4}
B. {3，5}
C. {5}
D. {2，3，4，5}
【答案】C
【解析】
【分析】图中的阴影部分表示的是属于
不属于
的元素组成的集合，然后可选出答案.
【详解】因为集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，
所以图中的阴影部分表示的是属于
不属于
的元素组成的集合，即
故选：C
2. 设
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由
得
，再根据充分必要条件的概念即可得答案.
【详解】由
得
，
因为
，所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 函数
的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】偶次根式要求被开方数为非负数，便可求得定义域.
【详解】要使函数
有意义，当且仅当
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故选：B
4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利
奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若
，则
下列命题正确的是（ ）
A. 若
且
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
且
，则
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.
【详解】A 中，
有
，错误；
B 中，
时，
，
因为
，所以
，
，所以
，所以
，故B 正确；
C 中，
时，
，
，则
，故C 错误；
D 中，由题设，当
时，
，错误；
故选：B.
5. 已知函数
，若
，实数
（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先求得
，再由
，即可求得答案.
【详解】由题意可得
，故
，
故选：B.
6. 若幂函数
的图像不过原点，则
的取值是（ ）
A.
B.
或
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义列方程，解方程求得
的的可能取值，再根据幂函数图像不过原点，确定
的值.
【详解】由幂函数的定义，可得
，解得
或2.
当
时，
，其图像不过原点；当
时，
，其图像不过原点.故
或2.
故选B.
【点睛】本小题主要考查利用幂函数的定义求幂函数解析式，考查幂函数的图像与性质，属于基础题.
7. 已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】“1”的妙用，基本不等式求解
的最小值.
【详解】由
，
得：
，且
，当且仅当
，即
时等号成
立.
故选：C
8. 已知函数
是定义在R 上的函数，其中f ( x)是奇函数，g( x)是偶函数，且
，若对于任意
，都有
，则实数
的取值范围
是（ ）
A.
B. (0,+∞)
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目比较综合，先要通过
的奇偶性，列出关于
的方程组，用方程组
的方法求出关于g( x)的解析式，
，可以变形为
，是单调性
的定义，说明构造新函数之后，函数在
单调递增，最后根据新函数在区间
的单调性，可以分类
讨论得到函数中参数的范围
【详解】由题得：f ( x)是奇函数，所以
；g( x)是偶函数，所以
将
代入
得：
联立
解得：
，
等价于
，
即：
，令
，则
在
单增
①当
时，函数的对称轴为
，所以
在
单增
②当
时，函数的对称轴为
，若
在
单增，则
，得：
③当
时，
单增，满足题意
综上可得：
故选：C
【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到：
①函数奇偶性的应用
②通过方程组法求解函数
解析式
③构造新函数
④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围
需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
①
，
；
②
；
③
；④
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的定义，通过判断定义域、对应关系是否相同来判断，从而得解.
【详解】对于①，
，因为两个函数的定义域都为
，
且对应关系也一样，所以是同一个函数，故A 正确；
对于②，因为
的对应关系不一样，
所以不是同一个函数，故B 错误；
对于③，
的定义域为
，
的定义域为
，两个函数的定义域不一样，故C 错误；
对于④，
，
所以两个函数的定义域均为
，对应关系也相同，是同一个函数，故D 正确．
故选：AD.
10. 关于x 的一元二次不等式
的解集为
，则下列成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式
的解集为
，得到-1，
为方程
的两个根，然
后利用韦达定理列方程，解方程得到
，代入选项中即可判断.
【详解】不等式
的解集为
，所以-1，
为方程
的两个根，则
，解得
，所以
，
，
，
，故C 错，ABD 正确.
故选：ABD.
11. 已知函数
，则（ ）
A.
B. 若
，则
或
C. 函数
在
上单调递减
D. 函数
在
的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】函数
的图象如左图所示．
，故A 错误；
当
时，
，此时方程无解；当
时，
或
，故B 正确；
由图象可得，
在(0,1)上单调递增，故C 错误；
由图象可知当
时，
，
，故
在
的值域为
，D 正确．
故选：BD．
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，14 题，第一空2 分，第二空3 分，共15 分.
12. 命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】求出原命题的否定，转化为恒成立问题，再利用一元二次不等式恒成立问题即可求解.
【详解】依题意，“
，
”为真命题，
即不等式
在
上恒成立，
当
时，
，显然成立，
当
时，
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
13. 已知
,若
恒成立,则实数k 的最大值为 _____________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据
变形后，利用均值不等式求出
的最小值即可求解.
【详解】
,
,
,
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
，
即实数k 的最大值为8，
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了均值不等式，“1”的变形应用，不等式的恒成立，属于中档题.
14. 已知函数
，若
，则
的值域是_________；若
的值域是
，则参数
的取值范围是_________.
【答案】 ①.
； ②.
.
【解析】
【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解函数值的范围，取并集可得答案;
第二空，结合二次函数的性质，根据题意得到参数需满足的不等式，求得答案.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
故
的值域是
；
若
的值域是
，
因为
时，
，
因为
时，
，故需满足
，
又因为需满足
，则
，故参数
的取值范围是
，即
，
故答案为：
;
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 设集合
．
（1）
，求
；
（2）若“
”是“
”的充分不必要条件，求m 的取值范围．
【答案】（1）
或
（2）
或
【解析】
【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；
（2）依题意可得
，讨论集合
是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.
【小问1 详解】
当
时，可得
，
故可得
或
，而
，
所以
或
【小问2 详解】
由“
”是“
”的充分不必要条件可得
；
当
时，
，解得
，符合题意；
当
时，需满足
，且
和
中的等号不能同时取得，
解得
；
综上可得，m 的取值范围为
或
.
16. 已知函数
.
（Ⅰ）证明：
是奇函数；
（Ⅱ）判断函数
在区间
上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）函数
在区间
上是减函数，证明见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）先求定义域，再用奇函数的定义
，证明
为奇函数；
（Ⅱ）按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5 个步骤证明.
【详解】（Ⅰ）函数
的定义域为
，
对于任意
，因为
，所以
是奇函数.
（Ⅱ）函数
在区间
上是减函数.
证明：在
上任取
，
，且
，
则
.
由
，得
，
，
，
，
所以
，即
.
所以 函数
在区间
上是减函数.
17.
年，
月
日，华为
在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能
手机.其实在
年
月
日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮
制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在
年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，
生产此款手机全年需投入固定成本
万，每生产
千部
手机，需另投入成本
万元，且
由市场调研知此款手机售价
万元，且每年内生产的手机当年
能全部销售完.
（1）求出
年的利润
万元
关于年产量
千部
的表达式
（2）
年年产量为多少千部
时，企业所获利润最大
最大利润是多少
【答案】（1）
；
（2）
年年产量为
千部
时，企业所获利润最大，最大利润是
万元
【解析】
【分析】（1）通过讨论
范围，得出
的解析式；
（2）分别求出
在
和
上的最大值即可得出结论．
小问1 详解】
当
时，
，
当
时，
，
；
【小问2 详解】
若
，
，
当
时，
万元；
若
，
，
当且仅当
时，即
时，
万元，
因为
，
年年产量为
千部
时，企业所获利润最大，最大利润是
万元．
18. 已知幂函数
（
）是偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增．
（1）求函数
的解析式；
（2）若
，求
的取值范围；
（3）若实数
，
（
，
）满足
，求
的最小值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）2．
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义求得
，由单调性和偶函数求得
得解析式；
（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“
”，然后求解；
（3）由基本不等式求得最小值．
【详解】解析：（1）．
，
，
（
）
即
或
在
上单调递增，
为偶函数
即
（2）
，
，
，
∴
（3）由题可知
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立．
所以
的最小值是2．
19. 函数
是定义在
上的奇函数，已知当
时，
；
（1）求函数
的解析式并画出函数图象，根据图像写出函数
的单调增区间；
（2）若方程
有3 个相异的实数根，求实数
的取值集合；
（3）求不等式
的解集.
【答案】（1）见解析 （2）
或
或
；
（3）
或
；
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解析式，从而可得函数的图象，利用图象即可得单调增区间；
（2）问题转化为函数
与
的图象有3 个交点，结合图象即可求解；
（3）对
分类讨论，求出不等式
解集，再求并集即可
【小问1 详解】
当
时，
，
令
，则
，
则
，
又函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，
所以
，
又
，
所以函数
的解析式为
，
作出函数
的图象如下：
由图象可知：函数
的单调增区间为
和
；
【小问2 详解】
若方程
有3 个相异的实数根，
则函数
与
的图象有3 个交点，
由图象可知
或
或
，
所以实数
的取值集合是
或
或
；
【小问3 详解】
当
时，不等式
即
，
即
，解得
；
当
时，不等式
即为
，显然不成立；
当
时，不等式
即为
，
即
，解得
；
综上，不等式
的解集为
或
；
