文档内容
浙江省金砖联盟 2024 学年第一学期期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合补集的概念即可求解.
【详解】 ， ，
所以 .
故选：D
2. 下列关于 ， 的关系式中，能表示 是 的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义依次判断各个选项.【详解】对于A， ，当 时，得 ，即 ，不满足函数定义，故A错误；
对于B， ，当 时，得 ，即 ，不满足函数定义，故B错误；
对于C， 即 ，满足函数的定义，故C正确；
对于D， ，当 时，得 ，即 ，不满足函数定义，故D错误.
故选：C.
3. 已知幂函数 为偶函数，则实数 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数 的值.
【详解】由题意， ，即 ，解得 或 ，
当 时， 是偶函数，满足题意，
当 时， ， ，没有奇偶性，不合题意，
所以 .
故选：C.
.
4 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.【详解】 ，
因为函数 为增函数，所以 ，
，
所以 .
故选：A.
5. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】将所求式子变形为 ，利用“1”的代换结合基本不等式求解.
【详解】 ， ， ，
则
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为5.
故选：A.
6. 已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为400万台，根据市场调研和发展前景得知各行
各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提
高 20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到 1200 万台（参考数据 :） （ ）
A. 2028 年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年
【答案】B
【解析】
【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案.
【详解】设该工厂经过 年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆．
由题意可得 ，
．
经过6年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆，
即到2029年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆．
故选：B．
7. 已知函数 ，则 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定函数的奇偶性，再利用函数值的正负逐一排除即可.【详解】∵ ，
∴ ，定义域关于原点对称，
故 是偶函数，排除A，
当 时， ，即 ，
当 时，又有 ，因此 ，排除B，C.
故选：D．
8. 已知函数 ，若 ，则（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】先将函数变形为 ，由 得函数 的图象关于直线 对
称，再判断 单调性，因为 ，所以 ，两边平方后化简即可.
【详解】函数 定义域为 ，
，
因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
令 ，则 且 在 上单调递增；函数 在时单调递减，在 时单调递增，
故 当 时等号成立，此时 ；
又 在 上单调递增；
在
由复合函数单调性知， 上单调递减，在 上单调递增；
又因为 ，所以 ，
两边平方得 ，即
若 ，则 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将函数变形为 ，判断出函数 的图象关于直线 对称，
以及 在 上单调递减，在 上单调递增是解决本题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，结合函数单调性的性质、对数函数的单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，因为 是偶函数，不合题意，故A错误；对于B， 是奇函数，且在 上单调递增，故B正确；
对于C，函数 ，当 时， ，而 时， ，
所以 在 上不单调递增，故C错误；
对于D，令 ，因为 ， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又
， ，
所以 是奇函数，故D正确.
故选：BD.
10. 已知 ， 均为正实数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对A，C，利用基本不等式可判断；对B，D，利用作差比较法判断.
【详解】对于A， ， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；对于B， ，
，故B正确；
对于C， ， ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，故C错误；
对于D， ，
，
，即 ，
所以 ，即 ，故D错误.
故选：AB.
11. 指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知 为全集且元素个数有限，
对于 的任意一个子集 ，定义集合 的指示函数 ， ，若 ， ，则（
）
注： 表示 中所有元素 所对应的函数值 之和（其中 是 定义域的子集）.
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD【解析】
【分析】根据 及 的定义，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，若 ，则 ， ， ，满足
，
若 且 ，则 ， ， ，满足 ，
若 且 ，则 ， ， ，满足 ，
若 且 ，则 ， ， ，满足 ，
综上，可得 ，故A正确；
对于B，由于 ，所以 ，
所以 ，故B错误；
对于C，
，
，
，
又 ，
所以 ，所以 ，故C 正确；
对于D，因为 ，
当 时，此时 ， 中至少有一个为1，所以 ，
当 时，此时 ， 均为0，所以 ，
所以
，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是利用 以及 的定义，得到 时，
， 中至少有一个为1， 时，此时 ， 均为0，运算得解.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 定义域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意 ，解得 ，
所以 的定义域为 .
故答案为：
13. 命题 ：“ ， ”为假命题，则 的取值范围是_________．
【答案】【解析】
为
【分析】由“ ， ” 假命题得到“ ， ”为真命题，然后分
类讨论 和 两种情况，列不等式求解即可.
【详解】“ ， ”为假命题则“ ， ”为真命题，
①当 时， ，成立；
②当 时， ，解得 ；
综上所述， .
故答案为： .
14. 已知 ，若函数 有5个不同的零点，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，画出f (x)的图象，要使函数 有5个不同的零点，即函数
有两个零点即 ， 或 ， ，再结合二次函数根的分布即
可求解.
【详解】令 ，画出f (x)的图象，如下图，
要使函数 有5个不同的零点，
即函数 有两个零点 ， 或 ， ，
当 ， 时，即 ，所以 有两根 和 ，符合题意；当 ， 时，又因为 ，
所以 ，解得 .
综上所述： 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：根据函数的解析式画出函数，再通过换元法得出令
，再结合函数的图象求出符合题意的 的范围，再利用二次函数根的分布即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算求值：
（1） ；
（2）若 ，求 值.
【答案】（1）
1
（2）
3
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质结合根式的运算性质可得答案.
（2）将已知条件多次平方，整体代入即可求解
【小问1详解】原式
【小问2详解】
由 ，则 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 .
16. 已知集合 ，函数 的定义域为 .
（1）求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数有意义，解不等式从而求出其定义域；
（2）根据条件得出集合 与集合 间的关系，从而求解.
【小问1详解】
由题意， ，即 ，解得 ，
.
【小问2详解】
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以集合 是集合 的真子集，
当 即 ，即 时，合题意；当 时，有 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 .
17. 是定义在区间 上奇函数，且 ，若 ， ， 时，有
.
（1）判断函数 在 上的单调性，并证明你的结论；
（2）若 对 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据定义法即可证明函数单调性；
（2）不等式先对 恒成立得到 ，再由 对
恒成立，可求得实数 的取值范围.
【小问1详解】
取任意 ，且 ；
由 是定义在 上的奇函数，可得 ，
又因为对任意的 且 时，有 成立，所以 ，且 ；
因此可得 ，即 .
所以 在 上单调递增；
【小问2详解】
由（1）可知， 在 上的最小值为 ，
因为 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，即 对 成立，
的对称轴为
所以 或 ，即 或 ，
.
解得 或
所以实数 的取值范围为 .
18. 已知函数 为奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）解不等式 ；（3）设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）(0,1)
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数定义得f (−x)=−f (x)，代入计算即可求 ；
（2）由（1）得出 解析式，结合指数函数性质解不等式即可；
（3）借助（2）中 解析式求出值域 ，利用换元法求出 的值域 ，由题
意得出 ，进而得出 的取值范围.
【小问1详解】
函数 中， ，
因为 为奇函数，
所以f (−x)=−f (x)，即 ，
整理得 ，
所以 .
【小问2详解】由（1）可知 ，其定义域为 ，
由 得 ，即 ，
整理得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为(0,1).
【小问3详解】
由（2）知， ，
当 时， ，故 ，
所以 在 上值域为 ，
又 ， ，
令 ，
则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上值域为 ，
因为对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
19. 对于四个正数 ， ， ， ，若 ，那么称 是 的“不足序列”.
（1）对于3，4，5，7，试求 的“不足序列”；
（2）对于四个正数 ， ， ， ，若 是 的“不足序列”，试判断： ， ， 之间
的大小关系，并说明理由；
（3）设正整数满足条件：对集合 内的每个 ，总存在正整数 ，使得
是 的“不足序列”，且 是 的“不足序列”，求：正整数 的最小值.
【答案】（1）
（2） ，理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接求解；
（2）利用作差法比较大小即可；
（3）根据“不足序列”的定义列出不等式组，再利用恒成立问题求出最小正整数 .
【小问1详解】
根据定义可知，易知 ，则 是 的“不足序列”；
【小问2详解】
因为 是 的“不足序列”，所以 ,，即 ，
，即 ，
所以 ；
【小问3详解】
由已知得 ，
因为 为正整数，所以 ，
所以
所以 ，即 ，
对集合 内的每个 的每一个正整数 都成立，
令 在 且 上单调递增，
所以 ，
所以正整数 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考察了新定义问题，紧扣“不足序列”的定义是求解本题的关键，同时作差
法比较大小和恒成立问题都在本题中有所体现.
