哈三中2025-2026学年度下学期高二学年4月月考数学_2024-2027高二（7-7月题库）_2026年04月高二试卷_260413黑龙江省哈尔滨市第三中学2025—2026学年度下学期高二学年4月月考（全科）

哈三中 2025—2026 学年度下学期
高二学年 4 月月考数学试题
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考
试时间120分钟．
第Ⅰ卷
（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 在等比数列{a }中，a a 24，a a 72，则公比q
n 4 6 5 7
A．3 B．3 C． 3 D． 3
f  3x  f  3x 
2. 设lim 6，则 f3
x0 x
A．12 B．3 C．3 D．12
3. 等比数列{a }的前n项和为S ，a a 28，a a 27，则S 
n n 1 4 2 3 4
A．60 B．50 C．40 D．30
4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清
明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其正午日影长依次成等
差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今
年3月20日22时45分为春分时节，其日影长为
A．4.5尺 B．3.5尺 C．2.5尺 D．1.5尺
5. 设等差数列a 的前n项和为S ，若S S S ，则满足S S 0的正整数n的值
n n 7 8 6 n n1
为
A．13 B．14 C．15 D．16
高二数学 第1页 共5页kn1
6. 设数列a 的通项公式为a  ，若数列a 是单调递减数列，则实数k的取值
n n n2 n
范围为
 1  1  1  1 
A．,  B．,  C． , D． ,
 2  2  2  2 
7. 公差与首项相等的等差数列a 的前n项和为S ，且S 15. 记b  log a ，其中
n n 5 n 2 n
 x 表示不超过x的最大整数，如 0.9 0,  log 3 1，则数列b 的前65项和为
2 n
A．21 B．258 C．264 D．270
8. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由
图乙的一连串直角三角形演化而成的. 已知A,A ,A ,A ,为直角顶点，且
1 2 3 4
OA  AA  A A  A A  A A  A A  A A  A A 2，设这些直角三角
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
2
形的周长从小到大组成的数列为{a }，令b  ，S 为数列{b }的前n项和，
n n a 2 n n
n
则S 
120
A．8 B．9 C．10 D．11
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导运算正确的是
A． ln7 0 B． x22  sinx  2xsinx  x22  cosx
 

C．   e x x 2    2x e  x x2 D．log 2 x  ln x 2
高二数学 第2页 共5页10. 已知数列a 的前n项和为S ，则下列结论正确的是
n n
A．若S  n2 2n1，则a 是等差数列
n n
B．若S na ，则a 是等比数列
n 1 n
C．若a 是等差数列，则S 2025a
n 2025 1013
D．若a 是等比数列，且S 2n （,为常数），则0
n n
11. 已知数列a 满足a 1,a a2 a ,nN*，则
n 1 n1 n n
A．a 是递增数列 B．a n
n n
1 1 1
C．a 22025 D．   1
2026 a 1 a 1 a 1
1 2 n
第Ⅱ卷
（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
 1
2a ,0a  ,
12. 数列a 满足a     n n 2 若a  6 ，则a  .
n n1  2a 1, 1 a 1, 1 7 2026
 n 2 n
S 1 S
13. 设等比数列a 的前n项和为S ，若 10  ，则 15 为 .
n n S 2 S
5 10
14. 已知正项数列a 的前n项积为T ，且4T2 an2，则使得 T 2026的最小正整数
n n n n n
n的值为 .
四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）
已知等差数列{a }的前n项和为S ，且3a a 16，S 25.
n n 2 4 5
（1）求数列{a }的通项公式；
n
1
（2）设b  ，求数列{b }的前n项和T .
n a a n n
n n1
高二数学 第3页 共5页16. （15分）
在数列{a }中，a  4，a 18，a  28，且{a a }是等差数列.
n 1 3 4 n1 n
（1）求a ，并求数列{a }的通项公式；
2 n
a
（2）设b  n ，数列{b }的前n项和为S ，求证：S 5.
n n2n n n n
17. （15分）
已知数列{a }的前n项和为S ，a 5且a  2S 4n5.
n n 1 n1 n
（1）求证：数列{a 2}为等比数列；
n
（2）若对一切nN不等式(a 2)n2 3n均成立，求实数的取值范围.
n
18. （17分）
 a 1, n为奇数,
已知数列{a }满足：a 1，a  n
n 1 n1 2a 2, n为偶数.
n
（1）求a ，a 的值；
2 3
 
（2）若b  a 4，证明： b 是等比数列；
n 2n1 n
(a 4)(1n)
（3）若C  2n1 ，数列  C  的前n项和为T ，
n n(n1) n n
求证：(n1)(5T )  2(a 3).
n 2n
高二数学 第4页 共5页19. （17分）
4
平面内动点R到直线y  2x与y  2x的距离的平方和为定值 .
9
（1）求动点R的轨迹E的方程；
1
（2）过点T (0, )做互相垂直的两条直线l ,l ，直线l 交曲线E于点A ,B ，
n 3n1 n 1 n 2 n 1 n n
直线l 交曲线E于点C ,D ，记A B 的中点为M ，C D 中点为N ，其中n
n n n n n n n n n
2
为正整数.
①求证：直线M N 过定点，设该定点为Q (x ,y )，求y ；
n n n n n n
4 n 22
②若R ( ,0)，T Q R 的面积记为S ，求证：S  .
n n n n n n n 27
i1
高二数学 第5页 共5页