长沙市长郡中学2025届高三下学期4月月考（八）数学_12.2026年4月全国各地高考模拟卷_2025届湖南省长郡中学高三下学期月考试卷（八）全科

长郡中学 2025 届高三月考试卷（八）
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
z512i13i
1. 复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
12 5i 12i 5
A.  B.  C.  D. 
13 13 13 13
2. 已知集合A  a a2 2a30  ，Bπ,e,0,e ，则AB的真子集的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若函数 f xln ex 1mx为偶函数，则实数m（ ）
1
1
A. 1 B. C. －1 D. 
2 2
 1   
4. 空间内有五点A，P，Q，S，T，则“ AQ  AP AS  AT ”是“Q为 PST 重心”的（ ）

3
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件
3π  7
5. 已知  ,π ，sincos ，则sin3cos3（ ）
 4  211 15 11 7
A. B. C.  D.
16 16 16 8
a
6. 若a ，a ，a ，a ，a 构成等差数列，公差d 0，a 0，且其中三项构成等比数列，设 1 k ，
1 2 3 4 5 1 d
S a a a a a ，则下列说法正确的是（ ）
1 2 3 4 5
A. k一定大于0 B. a ，a ，a 可能构成等比数列
2 3 5
S
C. 若a ，dZ ，则 S 为5的倍数 D. 105k
1 d
x2 y2 6
7. 双曲线C：  1a0,b0的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为 ，点P在C上，
a2 b2 1 2 2
π
F
1
PF
2

3
，则

F
1
PF
2
的外接圆与内切圆的半径之比为（ ）
A. 2 21 B. 12 2 C. 2 2 D. 22 2
8. 已知正方体ABCD ABC D ，如图，延长BB至P使BP2BB ，O为BC 的中点，设DP交平面
1 1 1 1 1 1 1 1
ABCD于K，则下列说法正确的是（ ）
6
A. DO与AB异面 B. DK  DK
1 1 2
13
C. KOC的余弦值为 D. 平面DKO与平面ABCD 的夹角的正切值为
1 1 1 1 1
7
29二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
 3
A. 若随机变量X B  64, ，则D4X 148
 4
B. 测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布N
 9.9,2
，则越大时，测得的g在
9.8,10.0
间的概率越大
2
C. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为 ，则他做对的题数的期望为2
3
D. 已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1
 1  1
10. 记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b2 2c2 5a2，AE  AC，AF  AB，
3 3
BE 交CF 于点M，AM 交BC于点D，则（ ）
3  2
A. cosBAC  B. BD BC
5 3
C. ADa D. 若VABC的面积为18，BE 3，则CM 8
11. 函数 f x 的定义域为 ,00, ，对x y，x，y 0， f x1恒成立，且
 xy 
f x f y f   1，下列说法正确的是（ ）
 yx
A. f x 的图象关于 0,2 对称
 xy 
B. 若 f x 在 0, 上单调递减，则对x，y 0， f x f y f  1
 2 
 
 1   1   1   1 
C. 若 a 是公差不为零且恒不为零的等差数列，则有 f   f   f   f  
i a a a a
       
2025 104 1921 1
D. 若 b 为等比数列，公比为3，则 f b 12f b 7f b 6
i 2 4 3三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12. 已知 lgx  lgy2 ，其中x5,20 ，y0,30 ，则x y的最小值为______.
2π 2
13. 已知AB ，cosAcosB ，则cosAB 的值为______.
3 2
14. 一副二色牌共有纸牌22张，其中红、蓝每种颜色各11张，编号分别为0，1，2，…，10，从这副牌
中任取若干张牌，然后按照如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分，若它们的分值之和为
2025，就称这些牌为一个“好”牌组，则“好”牌组的个数为______.
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
2 2a 1
15. 已知数列 a  满足a  ，a  n ，令b  1 .
n 1 3 n1 a 1 n a
n n
（1）证明：数列
b 
为等比数列；
n
（2）在b 与b 之间插入n个数，使这n2个数组成一个公差为d 的等差数列.在数列 d  中是否存在
n n1 n n
3项d ，d ，d （其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明
m k p
理由.
1
16. 已知抛物线C：x2 4y，直线AB交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，k k  .
OA OB 4
（1）求证：弦AB过定点；
（2）已知弦AB的中点为T，点P0,2 关于直线AB对称的点Q在抛物线C上，求

TPQ的面积.
 
17. 如图，直三棱柱ABCABC 中，ABAC，AA 2AB2AC，BPBB .
1 1 1 1 11
（1）当 时，证明：平面PAC 平面PAC；
2 1
（2）当0,1 ，记平面PAC 与平面BAC ，平面ABB A ，平面ACC A ，平面BCC B 所成的角分
1 1 1 1 1 1
别为，，，，   ，求cos的取值范围.
1 2 3 4 1 2 3 4
xlnx
18. 已知函数 f(x) (0a1).
alnx1
（1）求 f(x)的定义域；
（2）求证：无论a取何值， f(x)都有两个极值点；
（3）设 f(x)的极大值点为x，极小值点为x ，求证： f(x ) f(x )2 e .
1 2 1 2
19. （1）已知集合A1,3,5 ，B2,4,6 ，若集合C a,b ，其中aA，bB，满足
mina,b3，写出所有符合条件的C；
（2）集合M 1,3,5,  ,99 ，N 2,4,  ,100 ，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，
X mina,b ，求X的数学期望；
（3）若集合Pa 1 ,a 2 ,  ,a 50  ，Qb 1 ,b 2 ,  ,b 50  ，满足P  Q ，P  Q1,2,,100 ，考虑
 
以下2500个数（可以相同）：min a ,b ，1i, j 50，对1k 100，设C 为k在上面2500个数
i j k
中出现的次数，证明：C
11
C
12


C
100
2025.
nn12n1
（注：minx 1 ,x 2 ,x 3 ,  ,x n  表示x 1 ，x 2 ，…，x n 中最小的数，12 22   n2  6 .）