文档内容
长郡中学 2025 届高三月考试卷（八）
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 复数z满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ， ，则 的真子集的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若函数 为偶函数，则实数 （ ）
A. 1 B. C. －1 D.
4. 空间内有五点A，P，Q，S，T，则“ ”是“Q为 重心”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件
5. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D.
6. 若 ， ， ， ， 构成等差数列，公差 ， ，且其中三项构成等比数列，设 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A. k一定大于0 B. ， ， 可能构成等比数列
C. 若 ， ，则 为5的倍数 D.
7. 双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点P在C上，
，则 的外接圆与内切圆的半径之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体 ，如图，延长 至P使 ，O为 的中点，设 交平面
于K，则下列说法正确的是（ ）
A. 与 异面 B.C. 的余弦值为 D. 平面 与平面A B C D 的夹角的正切值为
1 1 1 1
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量 ，则
B. 测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布 ，则 越大时，测得的g在
间的概率越大
C. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为 ，则他做对的题数的期望为2
D. 已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1
10. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ， ，
交 于点M， 交 于点D，则（ ）
A. B.
C. D. 若 的面积为18， ，则
11. 函数 的定义域为 ，对 ，x， ， 恒成立，且
，下列说法正确的是（ ）A. 的图象关于 对称
B. 若 在 上单调递减，则对x， ，
C. 若 是公差不为零且恒不为零的等差数列，则有
D. 若 为等比数列，公比为3，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 ，其中 ， ，则 的最小值为______.
13. 已知 ， ，则 的值为______.
14. 一副二色牌共有纸牌22张，其中红、蓝每种颜色各11张，编号分别为0，1，2，…，10，从这副牌中
任取若干张牌，然后按照如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为 分，若它们的分值之和为2025，就
称这些牌为一个“好”牌组，则“好”牌组的个数为______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列 满足 ， ，令 .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列.在数列 中是否存在
3项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明
理由.
16. 已知抛物线C： ，直线 交抛物线于A，B两点，O为坐标原点， .
（1）求证：弦 过定点；（2）已知弦 的中点为T，点 关于直线 对称的点Q在抛物线C上，求 的面积.
17. 如图，直三棱柱 中， ， ， .
（1）当 时，证明：平面 平面 ；
（2）当 ，记平面 与平面 ，平面 ，平面 ，平面 所成的角分
别为 ， ， ， ， ，求 的取值范围.
18. 已知函数 .
（1）求 的定义域；
（2）求证：无论a取何值， 都有两个极值点；
（3）设 的极大值点为 ，极小值点为 ，求证： .
19. （1）已知集合 ， ，若集合 ，其中 ， ，满足
，写出所有符合条件的C；
（2）集合 ， ，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，
，求X的数学期望；
（3）若集合 ， ，满足 ， ，考虑以下2500个数（可以相同）： ， ，对 ，设 为k在上面2500个数
中出现的次数，证明： .
（注： 表示 ， ，…， 中最小的数， .）
