长沙市长郡中学2025届高三下学期4月月考（八）数学解析_12.2026年4月全国各地高考模拟卷_2025届湖南省长郡中学高三下学期月考试卷（八）全科

长郡中学 2025 届高三月考试卷（八）
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
z512i13i
1. 复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
12 5i 12i 5
A.  B.  C.  D. 
13 13 13 13
【答案】D
13i512i
65i156 12 5 12 5 5
【详解】z     i，则z   i，故z的虚部为 .
512i512i 25144 13 13 13 13 13
故选：D.
2. 已知集合A  a a2 2a30  ，Bπ,e,0,e ，则AB的真子集的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【详解】a2 2a30a3a10 a3或a1，∴A,1  3, ，
∴A  Bπ,e ，故AB的真子集个数为3个.
故选：C.
3. 若函数 f xln ex 1mx为偶函数，则实数m（ ）
1
1
A. 1 B. C. －1 D. 
2 2
【答案】D
【详解】由函数 f xln ex 1mx为偶函数，可得 f 1 f 1 ，即ln e11mln e1m，1 1
解之得m ，则 f xln ex 1 xx0，
2 2
1 1 1
f xln ex 1 xln ex 1x xln ex 1 x f x，
2 2 2
1
故 f xln ex 1 x 为偶函数，符合题意.
2
故选：D.
 1   
4. 空间内有五点A，P，Q，S，T，则“ AQ  AP AS  AT ”是“Q为 PST 重心”的（ ）

3
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件
【答案】D
  
【详解】当Q为 PST 重心时，可得QPQSQR0，

          
所以APAQ ASAQ ARAQ0，所以3AQ AP AS  AR，
 1    1   
所以AQ AP AS AT ，∴ AQ  AP AS  AT 成立；
3 3
 1  
设AQ AP AS  AT ，如图所示则Q可不为 PST 重心.

3
 1   
所以“ AQ  AP AS  AT ”是“Q为 PST 重心”的必要不充分条件.

3
故选：D.
3π  7
5. 已知  ,π ，sincos ，则sin3cos3（ ）
 4  2
11 15 11 7
A. B. C.  D.
16 16 16 8
【答案】C
7 7
【详解】由sincos 两边平方，得sin2cos22sincos ，
2 4
3 1
∴sincos
，sincos2
 ，
8 4 π π  5   π 1
而sincos 2sin   ，   π, π ，∴sin    0，∴sincos ，
 4 4  4   4 2
∴sin3cos3sincos sin2sincoscos2   1    1    3     11 .
2   8 16
故选：C.
a
6. 若a ，a ，a ，a ，a 构成等差数列，公差d 0，a 0，且其中三项构成等比数列，设 1 k ，
1 2 3 4 5 1 d
S a a a a a ，则下列说法正确的是（ ）
1 2 3 4 5
A. k一定大于0 B. a ，a ，a 可能构成等比数列
2 3 5
S
C. 若a ，dZ ，则 S 为5的倍数 D. 105k
1 d
【答案】C
【详解】A. 取a 5d ，则a ，a ，a 为等比数列，k 50，故A错误.
1 2 4 5
B. a da 4da 2d2 ad 0，与公差d 0，a 0矛盾，故B错误.
1 1 1 1 1
C. S  5a 10d  5a 2d 为5的倍数，故C正确.
1 1
S 5a 10d
D.  1 5k10，故D错误.
d d
故选：C.
x2 y2 6
7. 双曲线C：  1a0,b0的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为 ，点P在C上，
a2 b2 1 2 2
π
F
1
PF
2

3
，则

F
1
PF
2
的外接圆与内切圆的半径之比为（ ）
A. 2 21 B. 12 2 C. 2 2 D. 22 2
【答案】D
【详解】设

F
1
PF
2
中的外接圆半径为R，内切圆半径为r， PF
1
m， PF
2
n，
不妨设mn，则mn2a，
FF 2c 2c
2R 1 2   R
 F 1 PF 2 中，由正弦定理，得 sinF 1 PF 2 3 3 ，
2π

F
1
PF
2
中，由余弦定理，得4c2 m2 n2 2mncos
3
m2 n2 mn，
∴4c2 m2 n2 mnmn2 mn4a2 mnmn4b2，
4c2 m2 n2 mnmn2 3mnmn2 12b2 mn2 c2 3b2 ，
3
mn
∵ S  1 mnsin π  1 mn2cr r  2 ，
F 1 PF 2 2 3 2 mn2c
2c
 
2 c c2 3b2 c2  2 4 2
R 3 2 c c c
     3 
     
∴ r 3 3b2 3b b b ，
mn  
2
mn2c
6 c 2 R
∵e    3，∴ 22 2 .
2 b r
故选：D.
8. 已知正方体ABCD ABC D ，如图，延长BB至P使BP2BB ，O为BC 的中点，设DP交平面
1 1 1 1 1 1 1 1
ABCD于K，则下列说法正确的是（ ）
6
A. DO与AB异面 B. DK  DK
1 1 2
13
C. KOC的余弦值为 D. 平面DKO与平面ABCD 的夹角的正切值为
1 1 1 1 1
7
29
【答案】D
1
【详解】连接AD ，易知OB AD ，OB AD ，所以四边形ABOD 为直角梯形，AB与DO相交，
1 2 1  1 1 1故A错误；
2
令正方体的棱长为3，由BP2BB 知BK  DB 2 2 ，DK BDBK  2，
1 3 1 1
DK 11 22 22
DK  DD2 DK2  11，所以 1   ，DK  DK ，故B错误；
1 1 DK 2 2 1 2
3 3
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C0,3,0 ，K1,1,0 ，O  ,3, ，
2 2
  1 3   3 3   3 9  1 9 26
OK    ,2, ，OC    ,0, ，OKOC   3， OK  4  ，
 2 2  2 2 4 4 4 4 2
3 2 13
 9 9 3 2 cosKOC  
OC    ，∴ 26 3 2 13 ，故C错误；
4 4 2 
2 2
3 3   3 3
由D 0,0,3 ，K1,1,0 ，O  ,3, ，DK 1,1,3，DO  ,3, ，
1 2 2 1 1 2 2

易知平面ABCD 的法向量u 0,0,1，
1 1 1 1 1

设平面DKO的法向量u x,y,z，
1 2
   
则DKu  DOu 0，
1 2 1 2
x y3z 0

则3 3 ，可得2x5y 0，
x3y z 03x6y3z 0

2 2

取x5，得y 2，z 1，则u 5,2,1，
2
   
∴u u 1， u 1， u  2541 30，
1 2 1 2
  1 30 30   870
∴ cosu ,u     ， sin u ,u  ，
1 2 30 30 30 1 2 30
  870
∴ tan u ,u   29，D正确.
1 2
30故选：D.
二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
 3
A. 若随机变量X B  64, ，则D4X 148
 4
B. 测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布N
 9.9,2
，则越大时，测得的g在
9.8,10.0
间的概率越大
2
C. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为 ，则他做对的题数的期望为2
3
D. 已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1
【答案】CD
3  3
【详解】对于A，DX64 

1

12，D4X 116DX192，故A错误；
4  4
对于B，当为定值时，正态密度曲线的峰值与成反比，越大，峰值越低，测得的g越分散，即在
9.8,10.0
间的概率越低，故B错误；
 2 2
对于C，做对的题数X服从二项分布X  B  3, ，故EX 3 2，故C正确；
 3 3
10S2 772 101.1
对于D，S2  前  1，故D正确.
后 11 11
故选：CD. 1  1
10. 记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b2 2c2 5a2，AE  AC，AF  AB，
3 3
BE 交CF 于点M，AM 交BC于点D，则（ ）
3  2
A. cosBAC  B. BD BC
5 3
C. ADa D. 若VABC的面积为18，BE 3，则CM 8
【答案】ACD
3
 b2 c2
【详解】 b2 c2 a2 5 3，当且仅当bc时取等，选项A正确；
cosBAC   
2bc 2bc 5
uuur uuur FM EM FE 1   3 1  
设ADAM ，由    可得ADAM   AF  AC   AB AC，
MC MB BC 3 4 4  4 4
   1 1
由B，D，C三点共线可得  1，2，即AD AB AC，D是边BC的中点，选项B错
4 4 2 2
误；
因为D是边BC的中点，则  A  D 2  1  2b2 2c2 a2 a2，即ADa，选项C正确；
4
因为  B  E  C  F    A  E    A  B    A  F    A  C   10 bccosBAC 1  b2 c2
9 3
5 1
  b2 c2 a2   b2 c2 0，则BE CF ，
9 3
 1  1 1
由AE  AC，AF  AB可知EF //BC，S  S ，
3 3 AEF 9 △ABC
8 1 1 4
则S  S 16，且S  BECF  3 CM ，则CM 8，选项D正确.
梯形BCEF 9 △ABC 梯形BCEF 2 2 3
故选：ACD.
11. 函数 f x 的定义域为 ,00, ，对x y，x，y 0， f x1恒成立，且
 xy 
f x f y f   1，下列说法正确的是（ ）
 yx
A. f x 的图象关于 0,2 对称
 xy 
B. 若 f x 在 0, 上单调递减，则对x，y 0， f x f y f  1
 2 
 
 1   1   1   1 
C. 若 a 是公差不为零且恒不为零的等差数列，则有 f   f   f   f  
i a a a a
       
2025 104 1921 1D. 若 b 为等比数列，公比为3，则 f b 12f b 7f b 6
i 2 4 3
【答案】BD
 xy   xy 
【详解】对于A， f y f x f    1， f x f y f   1，相加得
 yx  yx
 xy   xy 
f



 f
 
2，
 yx  yx
故 f x f x2，故 f x 的图象关于 0,1 对称，故A错误；
 xy 
对于B， f x f y f x f y2 f   1（*），
 x y
xy xy  xy   xy   xy 
又  ，所以 f   1 f  1即 f x f y f  1，故B正确；
x y 2  x y   2     2  
 1 1 

 
a a  1 
对于C，左边 f  2025 104 1 f
 
1，
 1 1  1921d 

 
a a
 
104 2025
 1 1 

 
a a  1   1 
右边 f  1921 1 1 f
 
1，所以左边－右边 f
 
1，
 1 1  1920d  d 

 
a a
 
1 1921
 1 
又对x y，x，y 0， f x1，所以 f
 
10，
d 
 1   1   1   1 
所以 f   f   f   f  ，故C错误；
a a a a
       
2025 104 1921 1
 xy 
对于D，令b t 0，则b9t，b 3t，由（*）得 f x f y f   1，
2 3  x y
所以 f b 12f b 7f b  f t12f 9t7f 3t
2 4 3
 f t6

f 9t f 9t



f 3t3f 3t3f 3t

 81t2    9t2  
 f t6f  1f 3t3f  3
18t 6t
        9t   3t 
 f t6

f
 
1



f 3t3f
 
3

  2     2  
9t  3t 3t 
 f t6f
 
+9

f 3t f
 
 f
 
4

 2    2   4  
9t 9t  3t 3t 
 f t f
 
 f
 
10

f 3t f
 
 f
 
4

 4   8    2   4  
3t  3t 
 f t f
 
11

f t f
 
5

 4    4  
9t   3t  3t  3t 
 f t f
 
11

f
 
6

 f
 
12

f
 
6

6，故D正确.
12   7    7    7  
1 k
注： f x 1是解之一，全部解为 f x 1，k,00, ，k 0，因为 f x1.
x x
故选：BD.
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12. 已知 lgx  lgy2 ，其中x5,20 ，y0,30 ，则x y的最小值为______.
【答案】20
【详解】由x5,20 知lgx0，由y0,30 知lg y2，故lgx2lg ylgxy 2，
所以xy 100，所以x y2 xy 20，当且仅当x y 10时取等号.
故x y的最小值为20.
故答案为：20.
2π 2
13. 已知AB ，cosAcosB ，则cosAB 的值为______.
3 2
【答案】0
π
【详解】不妨令A B，设A ，
3
2π π
因AB ，则B  ，AB2，
3 3
2
由cosAcosB 可得：
2
π π 1 3 1 3 2
cos( )cos( ) cos sin cos sincos ，
3 3 2 2 2 2 22
故cosABcos22cos212( )2 10.
2
故答案为：0.
14. 一副二色牌共有纸牌22张，其中红、蓝每种颜色各11张，编号分别为0，1，2，…，10，从这副牌
中任取若干张牌，然后按照如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分，若它们的分值之和为
2025，就称这些牌为一个“好”牌组，则“好”牌组的个数为______.
【答案】2026
【详解】因2025210 29 28 27 26 25 23 20，
设x为一个“好”牌组中，未出现的编号的最大值（xN且0 x10），
由20 21 210 20472025知“好”牌组中不可能每种编号的牌都有，知x必然存在，

当x≥5时，由于20252x12x2  210 2x1，则编号为x1，x2，…，10的牌各恰有一张，

此时剩余要取出的分值为20252x12x2  210 2x123，

且此时只能从编号为0，1，2，…，x1的牌中取，
而编号为0，1，2，…，x1的所有牌的分值总和为2  20 21

2x1 2x12，
因此只需从编号为0，1，2，…，x1的牌中去除21分，由于25 3223，则只能从编号为0，1，2，
3，4的牌中取出21分，
又2124 22 20 223 22 20 24 22120
223 22120 23 222 22120，共23 22 22 2122 22种取法，
对x5，6，7，8，9，10进行计数，总共有22  25 24 23 22 2120 1386种取法；
当x4时，则编号为5，6，7，8，9，10的牌各恰有一张，此时剩余要取出的分值为
2025210 29 28 27 26 25 9，
又92320 222 20 22 22120，共22 2122 10种取法，
以上取法均满足x4，那么总共有2610640种取法，
综合x≥5与x4的情况，可得共有64013862026个“好”牌组.
故答案为：2026.
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）2 2a 1
15. 已知数列 a  满足a  ，a  n ，令b  1 .
n 1 3 n1 a 1 n a
n n
（1）证明：数列
b 
为等比数列；
n
（2）在b 与b 之间插入n个数，使这n2个数组成一个公差为d 的等差数列.在数列 d  中是否存在
n n1 n n
3项d ，d ，d （其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明
m k p
理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在，理由见解析
【小问1详解】
2a
法一：∵a  n ，
n1 a 1
n
∴若a 1，则a 1；若a 1，则a 1，
n n1 n1 n
2
∵a  ，
1 3
∴a 1，
n
1 a 1 1a
1 n 1 n
b a 2a 2a 1
∴ n1  n1  n  n  ，
b 1 1 1a 2
n 1 1 n
a a a
n n n
∴
b 
为等比数列.
n
2a 2
法二：∵a  n ，a  ，∴a 0，
n1 a 1 1 3 n
n
1 a 1 1 1 
∴ 1 n 1  1，
a 2a 2 a
 
n1 n n
1 1 1
即b  b ，又b  1 ，
n1 2 n 1 a 2
1
所以
b 
是首项为
1
，公比为
1
的等比数列.
n 2 2
【小问2详解】1  1  1 n1 1 n
由（1）知b  1 1      ，
n a

a

2 2
n 1
n1 n
1 1

由题意知b b n21d ，即  2    2   1 ，
n1 n n d  
n n1 n12n1
假设存在3项d ，d ，d 成等比数列，则d2 d d ，
m k p k m p
2
 1  1 1
∴    ，∵m p 2k ，

k12k1

m12m1 p12p1
∴化简可得k2 mp，
∴k m p，这与已知条件m，k，p互不相等矛盾，
所以不存在3项d ，d ，d （其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
m k p
1
16. 已知抛物线C：x2 4y，直线AB交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，k k  .
OA OB 4
（1）求证：弦AB过定点；
（2）已知弦AB的中点为T，点P0,2 关于直线AB对称的点Q在抛物线C上，求

TPQ的面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）6 2
【小问1详解】
 x2   x2 
设直线AB：y kxb，Ax , 1 ，Bx , 2 ，
1 4 2 4
   
y kxb,
联立  x2 4kx4b0，
x2 4y
x x 4k
1 2
∴ ，
x x 4b

1 2
x2 x2
1 2 b 1
又 4 4 x x ，代入得k k   ，
k k    1 2 OA OB 4 4
OA OB x x 16
1 2
∴b1，∴弦AB过定点
0,1
.
【小问2详解】由（1）知定点 0,1 也为抛物线焦点，又P,Q关于直线AB对称，
∴ FP  FQ ，可得y 13，即y 2，
Q Q
 
∴Q 2 2,2 ，
   
当Q 2 2,2 时，PQ的中点为 2,0 ，
2
则k  2，AB：y  x1，
PQ
2
x2 4y

∴ 2  x2 2 2x40 x A x B 2 2，
y  x1
 2
  1
∴T  2,2 ，此时S   84 816 6 2；
TPQ 2
 
由对称性可知，当Q 2 2,2 时，S 6 2 .
△TPQ
综上，S 6 2 .
△TPQ
 
17. 如图，直三棱柱ABCABC 中，ABAC，AA 2AB2AC，BPBB .
1 1 1 1 1
1
（1）当 时，证明：平面PAC 平面PAC；
2 1
（2）当0,1 ，记平面PAC 与平面BAC ，平面ABB A ，平面ACC A ，平面BCC B 所成的角分
1 1 1 1 1 1
别为，，，，   ，求cos的取值范围.
1 2 3 4 1 2 3 4【答案】（1）证明见解析
 10 
（2） ,0
 
5
 
【小问1详解】
设AA 2AB2AC 2，
1
∵ABCABC 为直三棱柱，且ABAC，
1 1 1
1
当 时，此时P为BB 的中点，
2 1
∴在

PAA
1
中，PA PA
1
 2，AA
1
2，则PA PA
1
，
∵AA 平面ABC，AC 平面ABC，∴AA  AC，
1 1
又∵ABAC，AA
1
AB A，∴AC 平面ABB
1
A
1
，
又

PA
1
平面ABB
1
A
1
，∴AC  PA
1
，
∵PA

AC  A，PA,AC 平面PAC ，
∴PA 平面PAC .∵PA 平面PAC，
1 1 1
∴平面PAC 平面PAC.
1
【小问2详解】
由（1）知AB，AC，AA两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
1
则A0,0,0 ，C1,0,0 ，A 0,2,0 ，B0,0,1 ，P0,2,1 ，
1
 
AC 1,0,0,CP1,2,1 .

设平面PAC 的法向量n x,y,z，
0
 
 n AC 0, x0,
则 0


 n CP0 x2yz 0,
0

令y 1，则n 0,1,2，
0

同理，平面BAC 的法向量n 0,1,0，
1

平面ABB A 的法向量n 1,0,0，
1 1 2
平面ACC A 的法向量n 0,0,1，
1 1 3

平面BCC B 的法向量n 1,0,1，
1 1 4
 
  n n 1
∴cos
1
 cosn
0
,n
1


0

1  ，
n n 142
0 1
2 2
同理cos 0，cos  ，cos  ，
2 3 142 4 2 142
π π
∴  ，  ，
2 2 1 3 2
2
∴coscos  cos π
1 2 3 4 4
142
2 1  10 
 2  2  ,0
142 1  5 ，
4  
2
 10 
∴cos的取值范围为 ,0.
 
5
 
xlnx
18. 已知函数 f(x) (0a1).
alnx1
（1）求 f(x)的定义域；
（2）求证：无论a取何值， f(x)都有两个极值点；
（3）设 f(x)的极大值点为x，极小值点为x ，求证： f(x ) f(x )2 e .
1 2 1 2
1 1
【答案】（1）
(0,ea) (ea,)

（2）证明见解析 （3）证明见解析
【小问1详解】xlnx x0
1 1
函数 f(x) (0a1)中， ，解得 或 ，
0 xea xea
alnx1 alnx10
1 1
所以函数 f(x)的定义域为 .
(0,ea) (ea,)

【小问2详解】
a
(xlnx)(alnx1)xlnx
求导得 x a(lnx)2 lnx1，
f(x) 
(alnx1)2 (alnx1)2
令lnxt ，由 f(x)0，0a1，得at2 t10，14a1，
1 14a 1 14a
因此方程at2 t10有两个不等实根t  ,t  ，
1 2a 2 2a
1 14a 1 1 14a
显然 0  ，当tt 或t t 时，at2 t10，
1 2
2a a 2a
1 1
当t t  或 t t 时，at2 t10，则 f(x)有两个变号零点，
1 a a 2
所以函数 f(x)始终有两个极值点.
【小问3详解】
 1
lnx lnx 
  1 2 a 1 x lnx x lnx
由（2）知，
 lnx lnx  1
，
x 1 x 2 ea
， f(x
1
) f(x
2
)
al
1
nx 1 
1
1

al
2
nx 2 
2
1
 1 2 a
a(x x )lnx lnx x lnx x lnx 1
 1 2 1 2 1 1 2 2  [x (lnx 1)x (lnx 1)]，
a2lnx lnx a(lnx lnx )1 a 1 1 2 2
1 2 1 2
1 1
(lnx 1)(lnx 1)lnx lnx lnx lnx 1  11，
1 2 1 2 1 2 a a
1 14a 2 1 14a
由0a1，得lnx   (1,0)，lnx  1，
1 2a 1 14a 2 2a
lnx 1(0,1)，x 0,x 0，
1 1 2
1 2 2 1
f(x ) f(x ) [x (lnx 1)x (lnx 1)] x x (lnx 1)(lnx 1)  e2a ，
1 2 a 1 1 2 2 a 1 2 1 2 a
1 1 2 1 1
令 u  ，则 e2a 4ueu，令h(u)4ueu,u  ，求导得h(u)4(u1)eu 0，
2a 2 a 21 1 1
函数h(u)在( ,)上单调递增，h(u)h( )2e2 2 e，
2 2
所以 f(x ) f(x )2 e .
1 2
19. （1）已知集合A1,3,5 ，B2,4,6 ，若集合C a,b ，其中aA，bB，满足
mina,b3，写出所有符合条件的C；
（2）集合M 1,3,5,  ,99 ，N 2,4,  ,100 ，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，
X mina,b ，求X的数学期望；
（3）若集合Pa 1 ,a 2 ,  ,a 50  ，Qb 1 ,b 2 ,  ,b 50  ，满足P  Q ，P  Q1,2,,100 ，考虑
 
以下2500个数（可以相同）：min a ,b ，1i, j 50，对1k 100，设C 为k在上面2500个数
i j k
中出现的次数，证明：C
11
C
12


C
100
2025.
nn12n1
（注：minx 1 ,x 2 ,x 3 ,  ,x n  表示x 1 ，x 2 ，…，x n 中最小的数，12 22   n2  6 .）
【答案】（1） 3,4 ， 3,6 ， 5,4 ， {5,6} ；（2）E(X)33.83；（3）证明见解析
【详解】（1）
3,4
，
3,6
，
5,4
，
{5,6}
.
（2）1出现50次，2、3出现49次，4、5出现48次，…，98、99出现1次，100出现0次.
1 1
故EX  150249349448548

981991
50 50
1 50 1 50
 i

1012i1002i

  201i4i2
2500 2500
i1 i1
1  5051101


20125514

33.83.
2500 6 
a a  a 11a  a
（3）不妨设
1 2  m m1  50m,nN
，
b b  b 11b  b
 1 2  n n1  50
   
C
11
C
12


C
100
即满足min a
i
,b
j
11的 a
i
,b
j
组数，
刚只需a 11且b 11，这样的组数有 50m50n 组.
i j100mn 2
由基本不等式50m50n  ，
2
 
而mn为所有小于11的a ，a 的数量，即mn 10，
i j
2
10010
故C
11
C
12


C
100

  2  
452 2025，即证
.