文档内容
长郡中学 2025 届高三月考试卷（八）
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 复数z满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】 ，则 ，故 的虚部为 .
故选：D.
2. 已知集合 ， ，则 的真子集的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【详解】 或 ，∴ ，
∴ ，故 的真子集个数为3个.
故选：C.
3. 若函数 为偶函数，则实数 （ ）A. 1 B. C. －1 D.
【答案】D
【详解】由函数 为偶函数，可得 ，即 ，
解之得 ，则 ，
，
故 为偶函数，符合题意.
故选：D.
4. 空间内有五点A，P，Q，S，T，则“ ”是“Q为 重心”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件
【答案】D
【详解】当Q为 重心时，可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，∴ 成立；
设 ，如图所示则Q可不为 重心.
所以“ ”是“Q为 重心”的必要不充分条件.
故选：D.5. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由 两边平方，得 ，
∴ ， ，
而 ， ，∴ ，∴ ，
∴ .
故选：C.
6. 若 ， ， ， ， 构成等差数列，公差 ， ，且其中三项构成等比数列，设 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A. k一定大于0 B. ， ， 可能构成等比数列
C. 若 ， ，则 为5的倍数 D.
【答案】C【详解】A. 取 ，则 ， ， 为等比数列， ，故A错误.
B. ，与公差 ， 矛盾，故B错误.
C. 为5的倍数，故C正确.
D. ，故D错误.
故选：C.
7. 双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点P在C上，
，则 的外接圆与内切圆的半径之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设 中的外接圆半径为R，内切圆半径为r， ， ，
不妨设 ，则 ，
中，由正弦定理，得 ，
中，由余弦定理，得 ，
∴ ，
，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ .
故选：D.
8. 已知正方体 ，如图，延长 至P使 ，O为 的中点，设 交平面
于K，则下列说法正确的是（ ）
A. 与 异面 B.
C. 的余弦值为 D. 平面 与平面A B C D 的夹角的正切值为
1 1 1 1
【答案】D
【详解】连接 ，易知 ， ，所以四边形 为直角梯形， 与 相交，
故A错误；令正方体的棱长为3，由 知 ， ，
，所以 ， ，故B错误；
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， ， ，
，∴ ，故C错误；
由 ， ， ， ， ，
A B C D
易知平面 1 1 1 1的法向量 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
则 ，可得 ，
取 ，得 ， ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，D正确.故选：D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量 ，则
B. 测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布 ，则 越大时，测得的g在
间的概率越大
C. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为 ，则他做对的题数的期望为2
D. 已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1
【答案】CD
【详解】对于A， ， ，故A错误；
对于B，当 为定值时，正态密度曲线的峰值与 成反比， 越大，峰值越低，测得的g越分散，即在
间的概率越低，故B错误；
对于C，做对的题数X服从二项分布 ，故 ，故C正确；对于D， ，故D正确.
故选：CD.
10. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ， ，
交 于点M， 交 于点D，则（ ）
A. B.
C. D. 若 的面积为18， ，则
【答案】ACD
【详解】 ，当且仅当 时取等，选项A正确；
设 ，由 可得 ，
由B，D，C三点共线可得 ， ，即 ，D是边BC的中点，选项B错误；
因为D是边BC的中点，则 ，即 ，选项C正确；
因为
，则 ，
由 ， 可知 ， ，则 ，且 ，则 ，选项D正确.
故选：ACD.
11. 函数 的定义域为 ，对 ，x， ， 恒成立，且
，下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于 对称
B. 若 在 上单调递减，则对x， ，
C. 若 是公差不为零且恒不为零的等差数列，则有
D. 若 为等比数列，公比为3，则
【答案】BD
【详解】对于A， ， ，相加得
，
故 ，故 的图象关于 对称，故A错误；
对于B， （*），
又 ，所以 即 ，故B正确；对于C，左边 ，
右边 ，所以左边－右边 ，
又对 ，x， ， ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D，令 ，则 ， ，由（*）得 ，
所以，故D正确.
注： 是解之一，全部解为 ， ， ，因为 .
故选：BD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 ，其中 ， ，则 的最小值为______.
【答案】20
【详解】由 知 ，由 知 ，故 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号.
故 的最小值为 .
为
故答案 ：20.
13. 已知 ， ，则 的值为______.
【答案】0
【详解】不妨令 ，设 ，
因 ，则 ， ，
由 可得：
，
故 .故答案为：0.
14. 一副二色牌共有纸牌22张，其中红、蓝每种颜色各11张，编号分别为0，1，2，…，10，从这副牌中
任取若干张牌，然后按照如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为 分，若它们的分值之和为2025，就
称这些牌为一个“好”牌组，则“好”牌组的个数为______.
【答案】2026
【详解】因 ，
设x为一个“好”牌组中，未出现的编号的最大值（ 且 ），
由 知“好”牌组中不可能每种编号的牌都有，知x必然存在，
当 时，由于 ，则编号为 ， ，…，10的牌各恰有一张，
此时剩余要取出的分值为 ，
且此时只能从编号为0，1，2，…， 的牌中取，
而编号为0，1，2，…， 的所有牌的分值总和为 ，
因此只需从编号为0，1，2，…， 的牌中去除21分，由于 ，则只能从编号为0，1，2，
3，4的牌中取出21分，
又
，共 种取法，
对 ，6，7，8，9，10进行计数，总共有 种取法；
当 时，则编号为5，6，7，8，9，10的牌各恰有一张，此时剩余要取出的分值为
，
又 ，共 种取法，以上取法均满足 ，那么总共有 种取法，
综合 与 的情况，可得共有 个“好”牌组.
故答案为：2026.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列 满足 ， ，令 .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列.在数列 中是否存在
3项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明
理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在，理由见解析
【小问1详解】
法一：∵ ，
∴若 ，则 ；若 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等比数列.法二：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
即 ，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知 ，
由题意知 ，即 ，
假设存在3项 ， ， 成等比数列，则 ，
∴ ，∵ ，
∴化简可得 ，
∴ ，这与已知条件m，k，p互不相等矛盾，
所以不存在3项 ， ， （其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
16. 已知抛物线C： ，直线 交抛物线于A，B两点，O为坐标原点， .
（1）求证：弦 过定点；
（2）已知弦 的中点为T，点 关于直线 对称的点Q在抛物线C上，求 的面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）【小问1详解】
设直线 ： ， ， ，
联立 ，
∴ ，
又 ，代入得 ，
∴ ，∴弦 过定点 .
【小问2详解】
由（1）知定点 也为抛物线焦点，又 关于直线 对称，
∴ ，可得 ，即 ，
∴ ，
当 时， 的中点为 ，
则 ， ： ，∴ ，
∴ ，此时 ；
由对称性可知，当 时， .
综上， .
17. 如图，直三棱柱 中， ， ， .
（1）当 时，证明：平面 平面 ；
（2）当 ，记平面 与平面 ，平面 ，平面 ，平面 所成的角分
别为 ， ， ， ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
设 ，
∵ 为直三棱柱，且 ，
当 时，此时P为 的中点，∴在 中， ， ，则 ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又∵ ， ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ，
∵ ， 平面 ，
∴ 平面 .∵ 平面 ，
∴平面 平面 .
【小问2详解】
由（1）知 ， ， 两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
.
设平面 的法向量 ，
则
令 ，则 ，
同理，平面 的法向量 ，
平面 的法向量 ，
平面 的法向量 ，
平面 的法向量 ，∴ ，
同理 ， ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴ 的取值范围为 .
18. 已知函数 .
（1）求 的定义域；
（2）求证：无论a取何值， 都有两个极值点；
（3）设 的极大值点为 ，极小值点为 ，求证： .
【答案】（1）（2）证明见解析 （3）证明见解析
【小问1详解】
函数 中， ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
【小问2详解】
求导得 ，
令 ，由 ， ，得 ， ，
因此方程 有两个不等实根 ，
显然 ，当 或 时， ，
当 或 时， ，则 有两个变号零点，
所以函数 始终有两个极值点.
【小问3详解】
由（2）知， ， ，
，
，由 ，得 ， ，
， ，
，
令 ，则 ，令 ，求导得 ，
函数 在 上单调递增， ，
所以 .
19. （1）已知集合 ， ，若集合 ，其中 ， ，满足
，写出所有符合条件的C；
（2）集合 ， ，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，
，求X的数学期望；
（3）若集合 ， ，满足 ， ，考虑
以下2500个数（可以相同）： ， ，对 ，设 为k在上面2500个数
中出现的次数，证明： .
（注： 表示 ， ，…， 中最小的数， .）
【答案】（1） ， ， ， ；（2） ；（3）证明见解析【详解】（1） ， ， ， .
（2）1出现50次，2、3出现49次，4、5出现48次，…，98、99出现1次，100出现0次.
故
.
（3）不妨设 ，
即满足 的 组数，
刚只需 且 ，这样的组数有 组.
由基本不等式 ，
而 为所有小于11的 ， 的数量，即 ，
.
故 ，即证
