一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.D
2.C
3.D
4.A
5.B
6.B
7.C
8.A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.AC
10. ABD
11. BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 15
4 13. 2
2 14. 4
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：(1)an = cn + 1 −cn = [
]
λ(
)
n + 1 + μ ( )
1
2
n + 1
−(
)
λn + μ ( )
1
2
n
=(
)
λ −μ
2
−λ
2 n ( )
1
2
n
= (
)
1 −2n ( )
1
2
n
ì
í
î
ïïï
ïïï
λ −μ
2
= 1
−λ
2 =−2
，解得{
λ = 4
μ = 2 ………………………………………………………… 7分
（2）由（1）知cn = (
)
4n + 2 ( )
1
2
n
且an = cn + 1 −cn
Sn = a1 + a2 + a3 + ...+an=(
)
c2 −c1 + (
)
c3 −c2 + ...+(
)
cn + 1 −cn
= cn + 1 −c1 = [
]
4(
)
n + 1 + 2 ( )
1
2
n + 1
−3 = (
)
2n + 3 ( )
1
2
n
−3 ………………………13分
16.解：
（1）∵
a
sin A =
b
sin B =
c
sin C = 2R，3 a sin B = 2b cos2 A
2
∴3 sin A sin B = sin B(
)
1 + cos A ，又B ∈(
)
0，π ，sin B > 0
∴3 sin A −cos A = 1，得 sin(
)
A −π
6 = 1
2 ，
∵ A ∈(
)
0，π ，
∴ A −π
6 ∈(
)
−π
6，5π
6
∴ A −π
6 = π
6，∴ A = π
3
……………………………………………… 7分
德阳市高中2023级第一次诊断考试
数学参考答案及评分标准
德阳市高中2023级第一次诊断考试数学答案 第1页（共5页）
（2）D
Q
是BC 的中点，
\ ， ，
…………………………………………………9分
又
∴1
2 · 2
3
3
b sin 30° + 1
2 · 2
3
3
c sin30° = 1
2 bc sin 60°
………………………11分
得 ②
由①②联立解得 ……………………………………………13分
………………………………14分
故 …………………………………………………………………15分
17.解：
（1）设M（x0，y0）是 图象上任意一点，则，
又令 关于直线 对称点为 ，则
，解得
代入 得： ，即
由题意， 是函数 图象上的任意一点，∴ g(x) = logax - 1； …………… 7分
（2） ，
①当 时， ， 在 单增，
，不合题意； ……………………………………………9分
②当 时， 在 单增，令 ，解得 ，
当
e
a
x
log
,0
时，
x
h
x
h
,0
单减；当
,
log
e
a
x
时，
x
h
x
h
,0
单增.
7
2
bc
c
b
AC
AB
AD
2
1
4
7
4
1
2
2
2
2
bc
c
b
AD
AD
3
3
2
AE
①
bc
c
b
3
2
3
,2
c
b
bc
3
3
cos
2
2
2
2
2
bc
c
b
A
bc
c
b
a
( )
x
f
1
0
0
x
a
y
M
x
y =
(
)
y
x
N
,
2
2
1
0
0
0
0
x
x
y
y
x
x
y
y
î
í
ì
=
=
x
y
y
x
0
0
1
0
0
x
a
y
1
+
=
y
a
x
1
log
x
a
y
N
( )
x
g
0
log
1
x
x
x
g
x
x
h
x
a
a
x
x
h
ln
1
1
1
0
<
< a
( )
0
>
¢ x
h
( )
x
h
(
)
+¥
,0
2
1
2
1
h
h
1
>
a
( )
x
h¢
(
)
+¥
,0
( )
0
=
¢ x
h
0
log
e
a
x
德阳市高中2023级第一次诊断考试数学答案 第2页（共5页）
3
=
a
故 ，
∴ ， ， ………………………………………12分
令 ，
当
x
r
x
r
e
x
,0
,
,0
单增；当
x
r
x
r
e
x
,0
,
,
单减；
当且仅当
e
x =
时，rmax (x) = r(e) = 1
e ， ………………………………………14分
，则
e
a =
综上，若
x
g
x
x
h
的最小值是2，则
e
a =
. …………………………15分
18.解（1）设小丁同学第2天到B餐厅就餐为事件B2，其概率
………………………………4分
（2）设小丁同学第n天在A 餐厅就餐的概率为an，在B餐厅就餐的概率为bn，在C餐厅就
餐的概率为cn，由题意， ………………………………5分
，将 代入可得， ……6分
令bn + 1 + λ = - 1
10 (bn + λ)，则 ， ，
有 ，由 ， ，
， 是以 为首项， 为公比的等比数列，……9分
\
故小丁第n 天到B餐厅就餐的概率 ………………11分
2
log
1
log
log
log
min
e
a
a
e
a
e
a
h
x
h
1
log
log
e
a
e
a
a
e
e
a
log
e
a
a
1
ln
=
0
ln
x
x
x
x
r
0
ln
1
2
x
x
x
x
r
e
a
a
1
ln
若
15
4
10
3
3
1
5
1
3
1
10
3
3
1
2
B
P
1
,
3
1
1
1
1
n
n
n
c
b
a
c
b
a
n
n
n
n
c
b
a
b
10
3
5
1
10
3
1
n
n
n
b
a
c
1
10
3
10
1
1
n
n
b
b
10
11
10
1
1
n
n
b
b
11
3
,
10
3
10
11
11
3
10
1
11
3
1
n
n
b
b
0
33
2
11
3
1
b
0
11
3
nb
10
1
11
3
11
3
1
n
n
b
b
11
3
nb
33
2
10
1
-
1
10
1
33
2
11
3
n
nb
1
10
1
33
2
11
3
n
nb
德阳市高中2023级第一次诊断考试数学答案 第3页（共5页）
（3）设小丁第i(i = 1，2，…，n) 天到B 餐厅就餐的天数为Xi，则Xi的可能取值为0，1；其概
率符合两点分布
……………………… 13分
i
i
i
i
b
b
b
X
E
1
1
0
……………………………………………………… 14分
n
i
i
n
i
i
n
i
i
b
X
E
X
E
X
E
1
1
1
)
(
n
n
n
n
10
1
1
363
20
11
3
10
1
1
10
1
1
33
2
11
3
19.解：
（1） ， ，显然 在 单增，
要使 在 是凸函数，在 是凹函数，
必须且只需 ，
1
=
\m
0
0
,
3
3
1
2
3
f
x
x
x
x
f
3
0
,3
2
2
f
x
x
x
f
故 在(0，f (0) ) 处的切线方程为
x
y
3
-
=
…………………………………4分
（2） ，
若g(x) 在R上是凸函数，则g'(x) 在R单减；
\ 在R上恒成立；
∴- n
2 ⩾x + 1
ex
令p(x) = x + 1
ex
，
当(-∞，0)，p'(x) > 0，p(x) 单增；当 ， 单减；
，
故所求n 的取值范围是(
]
2
,-
¥
-
……………………………………………8分
Xi
P
0
1 - bi
1
bi
p'(x) = - x
ex
……………………… 17分
3
2
2
mx
x
x
f
m
x
x
f
2
2
( )
x
f ¢¢
(
)
+¥
¥
-
,
( )
x
f
(
)
1
-
¥
-
，
(
)
¥
+
- ，
1
0
2
1
2
m
( )
x
f
x
x
ne
x
x
x
ne
x
f
x
g
3
3
1
2
3
x
ne
x
x
x
g
3
2
2
0
2
2
x
ne
x
x
g
Q
,0
x
x
p
x
p
,0
1
0
max
p
x
p
2
,1
2
n
n
德阳市高中2023级第一次诊断考试数学答案 第4页（共5页）
……………………………………… 2分
……………………………………… 5分
……………………………………… 7分
（3） 由（2） ，
若 在 及 是凸函数，在 是凹函数，
则当
1
, x
x
，( )
0
<
¢¢ x
g
；
2
1, x
x
x
，( )
0
>
¢¢ x
g
；当
0
,
,
2
x
g
x
x
.
且
0
2
1
x
g
x
g
Q
x
ne
x
g
2
①当
0
³
n
时，( )
0
>
¢¢¢ x
g
，( )
x
g ¢¢
单增，不存在
0
2
1
x
g
x
g
，舍去；
②当
0
<
n
时，( )
x
g ¢¢¢
在R 单减，
当
-¥
®
x
时， ；
+¥
®
x
时，
x
g
，
令 ，解得 ，当
要存在 ，则必须且只需
解得
0
2
n
. …………………………………………………………………12分
\若 在 及 是凸函数，在 是凹函数，则
又
又 ，
又由
( )
x
g ¢¢
知：( )
x
g¢
在(
)
1
, x
¥
-
单减，在(
)
2
1, x
x
单增，在(
)
+¥
,
2x
上单减，
注意到，
要使( )
x
g
在(
)t,
¥
-
单增，在(
)
+¥
,t
单减，则必须
1
-
<
t
，且
0
3
2
2
2
2
2
2
x
ne
x
x
x
g
又由 ，代入上式，
，
综上， ，
，得证. …………………………………………………17分
x
ne
x
x
g
2
2
( )
x
g
(
)
1
, x
¥
-
(
)
+¥
,
2x
(
)
2
1, x
x
n
x
2
ln
x
g
x
,
( )
0
=
¢¢¢ x
g
0
2
ln
2
2
ln
n
n
g
0
2
1
x
g
x
g
0,2
n
(
)
2
1, x
x
(
)
+¥
,
2x
(
)
1
, x
¥
-
( )
x
g
2
1
0
,0
2
0
x
x
n
g
0
1
e
n
g
2
1
0
1
x
x
0
,0
4
1
1
x
g
e
n
g
2
2
,0
2
2
2
2
2
2
2
x
ne
ne
x
x
g
x
x
5
1
1
2
x
x
5
0
1
2
1
x
x
5
0
,0
5
2
2
2
x
x
德阳市高中2023级第一次诊断考试数学答案 第5页（共5页）
………………………………………………………… 9分
……… 10分
…… 11分
…………………………………………… 13分
………………………………………… 14分
…………………………………… 15分
2
x
g
