文档内容
德阳市高中2020级第一次诊断考试
数学试卷(理工农医类)
说明：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束
后，将答题卡交回.
2.本试卷满分150分,120分钟完卷.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合P={x∈ N |x²≤9},Q={1,3},则P∩Q=
A.Q B.{-3,-2,-1,0,1,3}
C.P D.{-3,-2,-1,2}
2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是
A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9
B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精
度较高
D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排入数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法
5
3.复数 的共轭复数为
i−2
A.2+i B.-2+ i C.-2-i D.2-i
4.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₅=5,S₁₀=30, 则 S₁₅=
A.90 B.125 C.155 D.180
{
x+2y≤1
y
5.已知x、y满足约束条件 2x+ y+1≥0 则 的最小值为
x+2
x−y≤0
1 1 1
A.1 B. C.− D.−
7 3 5
6.已知 ⃗OA=a,⃗OB=b, 点M关于A的对称点为S，点S关于B的对称点为N，那么⃗MN=
A.2a-2b B.2a+2b C.-2a-2b D.-2a+2b
7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石
凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得
到的(如图2)，则下列对石凳的两条边AB与CD所在直
线的描述中正确的是
①直线AB.与CD是异面直线
②直线AB与CD是相交直线
数学一诊(理工农医类) 第六页(共4页)③直线AB与CD.成60°角
④直线AB与CD垂直
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
x2 y2
8.已知某曲线方程为 − =1,则下列描述中不正确的是
m+3 2m−1
(1 )
A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则m∈ ,+∞
2
B.若该曲线为圆，则m=4
C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上
D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3)
9.函数f(x)=[ln(π-x)+lnx]cosx的大致图象为
10.·A如.2图.5是米旌 湖 边 上 常 见 的 设 施 ，B从.2两.6个米高 为 1. 米 的 悬 柱 上 放(-置2.：8一米根 均 匀 铁 链 ， 让 其 自D.2.9米
x2 x3 x4 x2n
1然1下.已垂知轻函触数地面f ((x视)=为1相+切x)−形成的+曲线−称为悬+链⋯线+(又称最速,x降∈线)R.建,则立f恰(当x)的在直R角上坐的标零系点个数为
2 3 4 2023
1
后，其方程可以是y= (ex+e−x+t),那么两悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据
A.0 2 B.1 C.2 D.2023
1e21..2已5≈知3.a4、9,be、1.c35是≈正3.8实6数) ,且e²ᵃ−2eᵃ⁺ᵇ+eᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为
A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考
生根据要求作答，
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
13.已知二项式
( √x+ 2 ) n (n∈N∗)
的展开式中最后三项的二项式系数和为79，则n = .
√x
数学一诊(理工农医类) 第2页(共4页)14.已知 a,b 是单位向量,且 a·b=0,若 c=λa+(1-λ)b,那么当 c⊥(a-b)
时,λ= .
π
15.已知函数f (x)=sin(ωx+)(ω⟩0,||< ) 的部分图象如图所示,则f(x)=
2
。
1
已
6.
知
如
等
图
差
,
数
矩
列
形
{
A
a
B
，
C
}
D
的
中
首
,A
项
C
为
是对
1，
角
公
线
差
,设
d≠
∠
0，
BA
前
C=α
n项
,已
和
知
为
正
Sₙ
方
,
形
且
S₁ S正
n 为
方
常
形
数
S
.
的周长.和
正方形S1的周长S
正方形 S₂ 分别内接于 Rt△ACD 和 Rt△ABC,则 2n的取值范围为
正方形S2的周长
(1)求数列{aₙ}的通项公式;
.
(2)若bₙ =2ⁿ⁻¹⋅aₙ , 求数列{bₙ }的前n项和Tₙ.
三、解答题：解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分12分)
17.(本题满分12分)
b cosB+1
在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且 = .
a √3sin A
(1)求角B的大小;
(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高.
√3
条件① :cosA= ,b=1;
3
条件②:b=2,c=2√3;
条件③:a=3,c=2.
注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.
19.(本题满分12分)
买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视
作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店 2022
年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：
月份／月 1 2 3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 10 11 13
月销售量／百个
4.1 4.6 4.9 5.7 6.7 8.0 8.4 9.6
月利润／千元
(1)求出月利润y(千元).关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)；
数学一诊(理工农医类) 第3页 共高页签字号(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款
盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，
求ξ的分布列和数学期望.
参考公式：回归方程 ^y=â+b^x⋅中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：
∑❑ n (x −x)(y −y) ∑❑ n x y −nx y
b^= i=1 i i = i=1 i i ,â= y−b^x.
∑❑ n (x −x) 2 ∑❑ n x2−nx2
i=1 i i=1 i
参考数据： ∑❑ 8 x2=580,∑❑ 8 x y =459.5.
i=1 i i=1 i i
20.(本题满分12分)
1 1
已知函数 f (x)= x3+ (a−1)x2−ax(a⟩0).
3 2
(1)求函数f(x)的极值;
(1 2)
(2)当a>1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m∈ , . 设f(x)的三个零点为
3 3
x₁,x₂,x₃,求 f( x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁)的取值范围.
21.(本题满分12分)
已知函数f (x)=eˣ,g(x)=tsinx+1,设 b(x) =f(x)-g(x).
( π π)
(1)若h(x)在 − , 上单调递增，求实数t的取值范围；
2 2
(2)求证:∃t∈(0,+∞);对∀x∈R,∃a∈[0,+∞),使得xh(x)=a总成立.
请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答
时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(本题满分10分)
{x=3t2
在平面直角坐标系中，曲线C₁的方程为(x−1) 2+(y−√3) 2=1,曲线C₂的参数方程为 (t为参数)，直
y=√3t
线l过原点O且与曲线C₁交于A、B两点，点P在曲线C₂上且·OP⊥AB.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线C₁的极坐标方程并证明|OA|·|OB|为常数；
(2)若直线l平分曲线C₁,求△PAB的面积.
23.(本题满分10分)
已知函数f(x)=|x|.
(1)画出y=f(x-1)-f(x+5)的图象,并根据图象写出不等式f(x--1)-f(x+5)≤-4的解集;
(2)若f(x-1)-f(x+5)+kf(x+2)≥0恒成立，求实数k的取值范围.
数学一诊(理工农医类) 第4页(共4页)
