文档内容
德阳市高中2020级第一次诊断考试
数学试卷(文史类)
说明：
1.本试卷分第1卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题
无效.考试结束后，将答题卡交回.
2.本试卷满分150分,120分钟完卷.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合P={x∈N|x²≤9},Q={1,3},则P∩Q=
A.Q B.{-3,-2,-1 ,0,1 ,3}
C.P D.{-3,-2,-1,2}
2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是
A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9
B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回
归模型的拟合精度较高
D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排人数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法
5
3.复数 的共轭复数为
i−2
A.2+ i B.-2 + i C.-2-i D.2-i
4.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₅=5,S₁₀=30,则 S₁₅=
A.90 B.125 C.155 D.180
{
x+2y≤1
5.已知x、y满足约束条件 2x+ y+1≥0, y
的最小值为
x−y≤0 x+2
1 1 1
A.1 B. C.− D.−
7 3 5
6.已知 ⃗OA=a,⃗OB=b, 点 M关于A的对称点为S，点S关于B的对称点为N，那么 ⃗MN=
A.2a-2b B.2a+2b C.-2a-2b D.-2a+2b
7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，
这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一
样的四面体得到的(如图2)，则下列对石凳的两
条边AB与CD所在直线的描述中正确的是
①直线AB与CD是异面直线
②直线AB与CD是相交直线
③直线AB与CD成60°角
数学一诊(文史类) 第1页.(共4页)
④直线AB与CD垂直A.①③. B.①④ C.②③ D.②④
x2 y
8.已知某曲线方程为 − =1,则下列描述中不正确的是
m+3 2m−1
(1 )
A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则 m∈ ,+∞
2
B.若该曲线为圆，则m=4
C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上
D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3)
(x+1) 2+sinx
9.函数 f (x)= 的大致图象为
x2+1
10.如A.图2.是5米旌 湖 边 上 常 见 的 B设.2施.6，米从 两 个 高 为 1 米 C的.2悬.8柱米上 放 置 一 根 均 匀D.铁2.9米
11.已知奇函数f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线.若f(-2)=f(1)≠0，则函数f(x)在区间
链，让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降
1
( 线 -2 ) ， .建 2) 立 内 恰 的 当 零 的 点 直 个数 角 至 坐 少 标 为 系后，其方程可以是y= (ex+e−x+t),那么两
2
A.4 B.3 C.2 D.I
悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据
e1.25≈3.49,e1.35≈3.86)
12.已知a、b、c是正实数,且e²ᵃ−2eᵃ⁺ ᵇ +eᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为
A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为
选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
{1+log (2−x),x−1
13.设函数 f (x)= 2 ,则f[f(0)]=
2x−1,x≥1
数学一诊(文史类) 第2页(共4页)14.已知a,b是单位向量,且a·b=0,若c=λa+(1-λ)b,那么当c⊥(a-b)时,λ=
.
π
15.已知函数f (x)=sin(ωx+)(ω⟩0,||< )的部分图象如图所示,则f(x)=
2
.
16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形S₁和正方形S₂分别内
正方形S1的周长
的取值范围为 .
接于Rt△ACD和Rt△ABC,则
正方形S2的周长
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
Sn
已知等差数列{aₙ}的首项为1，公差d≠0，前n项和为Sₙ，且 为常数.
S2n
(1)求数列{aₙ}的通项公式;
(2)若bₙ =2ⁿ⁻¹⋅aₙ ,求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.
18.(本题满分12分)
b cosB+1
在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且 = .
a √3sin A
(1)求角B的大小;
(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高.
√3
条件① :cosA= ,b=1;
3
条件② :b=2,c=2√3;
条件③:a=3,c=2.
注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分，
19.(本题满分12分)
买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动
漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机
属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8
月份／月
4 5 6 7 8 10 11 13
月销售量／百个
月利润／千元 4.1 4.6 4.9 5.7 6.7 8.0 8.4 9.6
(1)求出月利润y(千元)关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)；
(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全
数学一诊(文史类) 第3页(共4页)解“玩偶的两款盲盒各3个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，求3个盲盒中装有“五年高考三年模
拟“玩偶的个数至少为2个的概率.
参考公式：回归方程 ^y=â+b^x 中斜率租截距最小二乘估计公式分别为：
∑❑ n (x −x)(y −y) ∑❑ n x y −nx y
b^= i=1 i i = i=1 i i â= y−b^x.
∑❑ n (x −x) 2 ∑❑ n x2−nx2 ，，
i=1 i i=1 i
参考数据： ∑x2=580,∑x y =459.5.
i i i
20.(本题满分12分)
1 1
已知函数f (x)= x3+ (a−1)x2−ax(a⟩0).
3 2
(1)求函数f(x)的极值;
(1 2)
(2)当a＞1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m∈ , . 设f(x)的三个零点
3 3
为x₁,x₂,x₃,求f(x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁)的取值范围.
21.(本题满分12分)
x
已知函数 f (x)= ,x∈(0,+∞).
ex−1
(1)判断函数f(x)的单调性;
1
(2)证明:
