德阳市高中2023级第一次诊断考试数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年12月高三试卷_251225四川省德阳市高中2023级第一次诊断考试（德阳一诊）（全科）

德阳市高中2023级第一次诊断考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.C 8.A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.AC 10. ABD 11. BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
君
12. 15 13. 14. 4 卷
2 2
4
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字试说明、证明过程或演算步骤.
( ) ( )
1 n+1 1 n
15.解：(1)a = c c = [λ(n + 1) + μ] 中(λn + μ)
n n+1 − n 2 − 2
( )( ) ( ) 高
λ μ λ 1 n 1 n
= − n = (1 2n)
2 − 2 2 − ：2
ì ï ïï ï λ − 2 μ = 1 {λ = 4 号
í ，解得 7分
ïï λ μ =众2 …………………………………………………………
ïï = 2
î− 2 −
公( )
1 n
（2）由（1）知c = (4n + 2) 且a = c c
n 2 n n+1 − n
S = a + a + a + ...+a=(c c ) + (c c ) + ...+(c c )
n 1 2 3 n 2 − 1 3 − 2 n+1 − n
( ) ( )
1 n+1 1 n
= c c =[4(n + 1) + 2] 3 = (2n + 3) 3 13分
n+1 − 1 2 − 2 − ………………………
a b c A
16.解：（1）∵ = = = 2R， 3asinB = 2bcos2
sinA sinB sinC 2
3sinAsinB = sinB(1 + cosA)，又B (0，π)，sinB > 0
∴ ( ) ∈
π 1
3 sinA cosA = 1，得 sin A = ，
∴ − − 6 2
A (0，π)，
∵ ∈ ( )
π π 5π
A ，
∴ − 6∈ − 6 6
π π π
A = ， A = 7分
∴ − 6 6 ∴ 3 ………………………………………………
德阳市高中 级第一次诊断考试数学答案 第 页（共 页）
2023 1 5（2）QD是BC的中点，
1  2 2 1  7
\ A D  A B  A C ， A D  A D  b 2  c 2  b c  ，
2 4 4
  b  c  2  b c  7 …………………………………………………9分
①
2 3
又 AE 
3
1 2 3 b 1 2 3 c 1bc 11分
∴ · sin30° + · sin30° = sin60° ………………………
2 3 2 3 2
 
得 2 b  c  3 b c
②
由 联立解得 b c  2 , b  c  3 ……………………………………………13分
①②
君
 a 2  b 2  c 2  2 b c c o s A   b  c  2  3 b c  3 ………………………………14分
卷
故 a = 3 …………………………试………………………………………15分
中
17.解：（1）设M（x，y）是 f ( x ) 图象上任意一点，则，y ax 0 1
0
0 0 高
又令 M 关于直线 y = x 对称点为 N ( x , y ) ，则
：
y y 号
0 1

x x ìx = y
 0 ，解 众 得 í 0
y y
0 
x x
0
îy
0
= x
 公
 2 2
代入 y  a x 0  1 得： x = a y + 1 ，即 y log a x1
0
由题意， N 是函数 g ( x ) 图象上的任意一点， g x x ； …………… 7分
∴ ( ) = loga - 1
1
（2） h  x   x  g  x   x  1  l o g x  x  0  ，h x  1
a xlna
当 0 < a < 1 时， h ¢ ( x ) > 0 ， h ( x ) 在 ( 0 , + ¥ ) 单增，
①
1
 h    h  1   2 ，不合题意； ……………………………………………9分
2
当 a > 1 时， h ¢ ( x ) 在 ( 0 , + ¥ ) 单增，令 h ¢ ( x ) = 0 ，解得 x  l o g e  0 ，
② a
   
当 x 0,log a e 时， h x  0,h  x  单减；当 x log a e, 时， h x  0,h  x  单增.
德阳市高中 级第一次诊断考试数学答案 第 页（共 页）
2023 2 5   
故 h  x   h l o g e  l o g e  1  l o g l o g a e  2 ，
min a a a
e
∴ l o g a     l o g e a e      1 ， l o g a e  a ， l n a a = 1 e ………………………………………12分
lnx 1lnx
令 r

x



x  0
 ，r
x



x 0

x x2
x

0,e
 ,r
x

0,r

x

x

e,
 ,r
x

0,r

x

当 单增；当 单减；
当且仅当x =e时，r x r e 1， ………………………………………14分
max( ) = ( ) = e
lna 1
 若  ，则a =e
a e
君
   
综上，若 h x  x g x 的最小值是2，则a =e. 卷 15分
…………………………
18.解（1）设小丁同学第2天到B餐厅就餐为事件B ，其概率
试2
1 3 1 1 1 3 4
 
P B 2  3  10  3  5  3  1 0  1 5 中 ………………………………4分
高
（2）设小丁同学第n天在A餐厅就餐的概率为a ，在B餐厅就餐的概率为b ，在C餐厅就
n n
：1
餐的概率为c ，由题意， a  b  c  , a  b  c  1 ………………………………5分
n 1 1 号 1 3 n n n
3 1 众3 1 3
b  a  b  c ，将 c  1  a  b 代入可得， b   b  ……6分
n1 10 n 5 n 10 n n n n n1 10 n 10
公
1 11 11 3 3
令b λ 1 b λ ，则 b   b   ，     ,    ，
n +1 + =- ( n + ) n1 10 n 10 10 10 11
10
3 1  3  3 2 3
有 b     b   ，由 b    0 ， b   0 ，
n1 11 10 n 11 1 11 33 n 11
3
b 
 n  1 1 1   1 ，    b  3   是以 2 为首项， - 1 为公比的等比数列，……9分
3 10  n 11 33 10
b 
n 11
n1
3 2  1 
\ b    
n 11 33  10
n1
3 2  1 
故小丁第 n 天到B餐厅就餐的概率 b       ………………11分
n 11 33  10
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2023 3 5（3）设小丁第i i ，， ，n 天到B餐厅就餐的天数为X，则X的可能取值为0，1；其概
( = 1 2 … ) i i
率符合两点分布
X
i 0 1 ……………………… 13分
P b b
1 - i i
   
E X 01b 1b b
i i i i ……………………………………………………… 14分
n n n
E  X   E(X )E  X  b
i i i
i1 i1 i1
n
 1 
1 
 n
3n 2  10 3n 20  1 
     1   ……………………… 17分
11 33 1 1 11 363  10 
君
10
卷
19.解：（1） f   x   x 2  2 m x  3 ， f   x   2 x 试  2 m ，显然 f ¢ ¢ ( x ) 在 ( - ¥ , + ¥ ) 单增，
要使 f ( x ) 在 ( - ¥ ， - 1 ) 是凸函数，在 ( - 1 ， 中+ ¥ ) 是凹函数，
必须且只需 2    1   2 m  0 ，\m高=1 ……………………………………… 2分
1 ：
 f  x   x3  x2 3x, f  0  0
3
号
f x   x2 2x3, f
众
 0  3
故 f ( x ) 在 ，f 公处的切线方程为 y =-3x …………………………………4分
(0 (0))
1
（2） g  x   f  x   n e x  x 3  x 2  3 x  n e x ，g x   x2 2x3nex
3
若g x 在R上是凸函数，则g' x 在R单减；
( ) ( )
……………………………………… 5分
\ g    x   2 x  2  n e x  0 在R上恒成立；
n x x x
+ 1 令p x + 1， Q p ' x
∴- ⩾ ex ( ) = ex ( ) =-ex
2
当 ， ，p' x ，p x 单增；当 x   0 ,    ， p   x   0 , p  x  单减；
(-∞ 0) ( ) > 0 ( )
    n
 p x  p 0  1 ，  1,n2 ……………………………………… 7分
max
2
故所求 n 的取值范围是
(-¥,-2 ]
……………………………………………8分
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2023 4 5（3） 由（2） g    x   2 x  2  n e x ，
若 g ( x ) 在 ( - ¥ , x ) 及 ( x , + ¥ ) 是凸函数，在 ( x , x ) 是凹函数，
1 2 1 2
则当
x  ,x 
，
g¢¢(x)<0
；
x  x ,x 
，
g¢¢(x)>0
；当
x  x ,  ,g x  0.
1 1 2 2
且
g
x


g
x

0 ………………………………………………………… 9分
1 2
Q g x  2nex
当n³0时， g¢¢¢(x)>0 ， g¢¢(x) 单增，不存在 g x   g x  0 ，舍去；……… 10分
1 2
①
当n<0时，
g¢¢¢(x)
在R单减，
②
当x®-¥时， g    x   2 ；x®+¥时，
g
x

 ，
令 g ¢ ¢¢ ( x ) = 0 ，解得 x  l n    2   ，当 x,g x  
君
 n
卷
  2  2
要存在 g    x   g   x   0 ，则必须且只需 g   试ln  2ln 0 …… 11分
1 2   n  n
中
解得2n0. 12分
………………高…………………………………………………
\若 g ( x ) 在 ( - ¥ , x ) 及 ( x , + ¥ ) 是凸函数，在 ( x , x ) 是凹函数，则 n  2,0 
1 2 1 2
：
又g
0

2n0,x 0 x
1号2
又 g     1   n  0 ， 众 1 x 0 x …………………………………………… 13分
e 1 2
公
g¢¢(x) g¢(x) (-¥,x ) (x ,x ) (x ,+¥)
又由 知： 在 1 单减，在 1 2 单增，在 2 上单减，
n
注意到，g
1

4
0,g
x

0 ………………………………………… 14分
e 1
g(x) (-¥,t) (t,+¥)
要使 在 单增，在 单减，则必须
t <-1，且 g x   x 2 2x 3nex 2 0 …………………………………… 15分
2 2 2
又由 g   x   2 x  2  n e x 2  0 ,  n e x 2   2 x  2 ，代入上式，
2 2 2
x 2  5  0 ,  0  x  5 ，
2 2
综上，  1  x  0  x  5 ，
1 2
 x  x  1  5 ，得证. 17分
2 1 …………………………………………………
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