德阳市高中2023级第一次诊断考试数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年12月高三试卷_251225四川省德阳市高中2023级第一次诊断考试（德阳一诊）（全科）

德阳市高中2023级第一次诊断考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.C 8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.AC 10. ABD 11. BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 君 12. 15 13. 14. 4 卷 2 2 4 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字试说明、证明过程或演算步骤. ( ) ( ) 1 n+1 1 n 15.解：(1)a = c c = [λ(n + 1) + μ] 中(λn + μ) n n+1 − n 2 − 2 ( )( ) ( ) 高 λ μ λ 1 n 1 n = − n = (1 2n) 2 − 2 2 − ：2 ì ï ïï ï λ − 2 μ = 1 {λ = 4 号 í ，解得 7分 ïï λ μ =众2 ………………………………………………………… ïï = 2 î− 2 − 公( ) 1 n （2）由（1）知c = (4n + 2) 且a = c c n 2 n n+1 − n S = a + a + a + ...+a=(c c ) + (c c ) + ...+(c c ) n 1 2 3 n 2 − 1 3 − 2 n+1 − n ( ) ( ) 1 n+1 1 n = c c =[4(n + 1) + 2] 3 = (2n + 3) 3 13分 n+1 − 1 2 − 2 − ……………………… a b c A 16.解：（1）∵ = = = 2R， 3asinB = 2bcos2 sinA sinB sinC 2 3sinAsinB = sinB(1 + cosA)，又B (0，π)，sinB > 0 ∴ ( ) ∈ π 1 3 sinA cosA = 1，得 sin A = ， ∴ − − 6 2 A (0，π)， ∵ ∈ ( ) π π 5π A ， ∴ − 6∈ − 6 6 π π π A = ， A = 7分 ∴ − 6 6 ∴ 3 ……………………………………………… 德阳市高中 级第一次诊断考试数学答案 第 页（共 页） 2023 1 5（2）QD是BC的中点， 1  2 2 1  7 \ A D  A B  A C ， A D  A D  b 2  c 2  b c  ， 2 4 4   b  c  2  b c  7 …………………………………………………9分 ① 2 3 又 AE  3 1 2 3 b 1 2 3 c 1bc 11分 ∴ · sin30° + · sin30° = sin60° ……………………… 2 3 2 3 2   得 2 b  c  3 b c ② 由 联立解得 b c  2 , b  c  3 ……………………………………………13分 ①② 君  a 2  b 2  c 2  2 b c c o s A   b  c  2  3 b c  3 ………………………………14分 卷 故 a = 3 …………………………试………………………………………15分 中 17.解：（1）设M（x，y）是 f ( x ) 图象上任意一点，则，y ax 0 1 0 0 0 高 又令 M 关于直线 y = x 对称点为 N ( x , y ) ，则 ： y y 号 0 1  x x ìx = y  0 ，解 众 得 í 0 y y 0  x x 0 îy 0 = x  公  2 2 代入 y  a x 0  1 得： x = a y + 1 ，即 y log a x1 0 由题意， N 是函数 g ( x ) 图象上的任意一点， g x x ； …………… 7分 ∴ ( ) = loga - 1 1 （2） h  x   x  g  x   x  1  l o g x  x  0  ，h x  1 a xlna 当 0 < a < 1 时， h ¢ ( x ) > 0 ， h ( x ) 在 ( 0 , + ¥ ) 单增， ① 1  h    h  1   2 ，不合题意； ……………………………………………9分 2 当 a > 1 时， h ¢ ( x ) 在 ( 0 , + ¥ ) 单增，令 h ¢ ( x ) = 0 ，解得 x  l o g e  0 ， ② a     当 x 0,log a e 时， h x  0,h  x  单减；当 x log a e, 时， h x  0,h  x  单增. 德阳市高中 级第一次诊断考试数学答案 第 页（共 页） 2023 2 5    故 h  x   h l o g e  l o g e  1  l o g l o g a e  2 ， min a a a e ∴ l o g a     l o g e a e      1 ， l o g a e  a ， l n a a = 1 e ………………………………………12分 lnx 1lnx 令 r  x    x  0  ，r x    x 0  x x2 x  0,e  ,r x  0,r  x  x  e,  ,r x  0,r  x  当 单增；当 单减； 当且仅当x =e时，r x r e 1， ………………………………………14分 max( ) = ( ) = e lna 1  若  ，则a =e a e 君     综上，若 h x  x g x 的最小值是2，则a =e. 卷 15分 ………………………… 18.解（1）设小丁同学第2天到B餐厅就餐为事件B ，其概率 试2 1 3 1 1 1 3 4   P B 2  3  10  3  5  3  1 0  1 5 中 ………………………………4分 高 （2）设小丁同学第n天在A餐厅就餐的概率为a ，在B餐厅就餐的概率为b ，在C餐厅就 n n ：1 餐的概率为c ，由题意， a  b  c  , a  b  c  1 ………………………………5分 n 1 1 号 1 3 n n n 3 1 众3 1 3 b  a  b  c ，将 c  1  a  b 代入可得， b   b  ……6分 n1 10 n 5 n 10 n n n n n1 10 n 10 公 1 11 11 3 3 令b λ 1 b λ ，则 b   b   ，     ,    ， n +1 + =- ( n + ) n1 10 n 10 10 10 11 10 3 1  3  3 2 3 有 b     b   ，由 b    0 ， b   0 ， n1 11 10 n 11 1 11 33 n 11 3 b   n  1 1 1   1 ，    b  3   是以 2 为首项， - 1 为公比的等比数列，……9分 3 10  n 11 33 10 b  n 11 n1 3 2  1  \ b     n 11 33  10 n1 3 2  1  故小丁第 n 天到B餐厅就餐的概率 b       ………………11分 n 11 33  10 德阳市高中 级第一次诊断考试数学答案 第 页（共 页） 2023 3 5（3）设小丁第i i ，， ，n 天到B餐厅就餐的天数为X，则X的可能取值为0，1；其概 ( = 1 2 … ) i i 率符合两点分布 X i 0 1 ……………………… 13分 P b b 1 - i i     E X 01b 1b b i i i i ……………………………………………………… 14分 n n n E  X   E(X )E  X  b i i i i1 i1 i1 n  1  1   n 3n 2  10 3n 20  1       1   ……………………… 17分 11 33 1 1 11 363  10  君 10 卷 19.解：（1） f   x   x 2  2 m x  3 ， f   x   2 x 试  2 m ，显然 f ¢ ¢ ( x ) 在 ( - ¥ , + ¥ ) 单增， 要使 f ( x ) 在 ( - ¥ ， - 1 ) 是凸函数，在 ( - 1 ， 中+ ¥ ) 是凹函数， 必须且只需 2    1   2 m  0 ，\m高=1 ……………………………………… 2分 1 ：  f  x   x3  x2 3x, f  0  0 3 号 f x   x2 2x3, f 众  0  3 故 f ( x ) 在 ，f 公处的切线方程为 y =-3x …………………………………4分 (0 (0)) 1 （2） g  x   f  x   n e x  x 3  x 2  3 x  n e x ，g x   x2 2x3nex 3 若g x 在R上是凸函数，则g' x 在R单减； ( ) ( ) ……………………………………… 5分 \ g    x   2 x  2  n e x  0 在R上恒成立； n x x x + 1 令p x + 1， Q p ' x ∴- ⩾ ex ( ) = ex ( ) =-ex 2 当 ， ，p' x ，p x 单增；当 x   0 ,    ， p   x   0 , p  x  单减； (-∞ 0) ( ) > 0 ( )     n  p x  p 0  1 ，  1,n2 ……………………………………… 7分 max 2 故所求 n 的取值范围是 (-¥,-2 ] ……………………………………………8分 德阳市高中 级第一次诊断考试数学答案 第 页（共 页） 2023 4 5（3） 由（2） g    x   2 x  2  n e x ， 若 g ( x ) 在 ( - ¥ , x ) 及 ( x , + ¥ ) 是凸函数，在 ( x , x ) 是凹函数， 1 2 1 2 则当 x  ,x  ， g¢¢(x)<0 ； x  x ,x  ， g¢¢(x)>0 ；当 x  x ,  ,g x  0. 1 1 2 2 且 g x   g x  0 ………………………………………………………… 9分 1 2 Q g x  2nex 当n³0时， g¢¢¢(x)>0 ， g¢¢(x) 单增，不存在 g x   g x  0 ，舍去；……… 10分 1 2 ① 当n<0时， g¢¢¢(x) 在R单减， ② 当x®-¥时， g    x   2 ；x®+¥时， g x   ， 令 g ¢ ¢¢ ( x ) = 0 ，解得 x  l n    2   ，当 x,g x   君  n 卷   2  2 要存在 g    x   g   x   0 ，则必须且只需 g   试ln  2ln 0 …… 11分 1 2   n  n 中 解得2n0. 12分 ………………高………………………………………………… \若 g ( x ) 在 ( - ¥ , x ) 及 ( x , + ¥ ) 是凸函数，在 ( x , x ) 是凹函数，则 n  2,0  1 2 1 2 ： 又g 0  2n0,x 0 x 1号2 又 g     1   n  0 ， 众 1 x 0 x …………………………………………… 13分 e 1 2 公 g¢¢(x) g¢(x) (-¥,x ) (x ,x ) (x ,+¥) 又由 知： 在 1 单减，在 1 2 单增，在 2 上单减， n 注意到，g 1  4 0,g x  0 ………………………………………… 14分 e 1 g(x) (-¥,t) (t,+¥) 要使 在 单增，在 单减，则必须 t <-1，且 g x   x 2 2x 3nex 2 0 …………………………………… 15分 2 2 2 又由 g   x   2 x  2  n e x 2  0 ,  n e x 2   2 x  2 ，代入上式， 2 2 2 x 2  5  0 ,  0  x  5 ， 2 2 综上，  1  x  0  x  5 ， 1 2  x  x  1  5 ，得证. 17分 2 1 ………………………………………………… 德阳市高中 级第一次诊断考试数学答案 第 页（共 页） 2023 5 5