西南大学附中高2026届适应性测试（二）数学答案_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷_260601重庆西南大学附中高2026届适应性测试（二）（全科）

高三下适应性测试（二）数学答案
1．B【详解】原命题 p 为x 0,ln(x3)0，则 p 为x 0,ln(x3)0.
2．D【详解】因为i2 1,i3 i,i4 1,i5 i，所以i2026 i45062 i2 1，
4i2 4i2
所以z   12i，所以 z  12 (2)2  5 .
i2026 1 11
3．C【详解】因为(ab)(ab)，则(ab)(ab)0，
则1，10,20，解得1.
 π 3   3 1 3 3
4．B【详解】由题知sin



 sincos cossin   sin cos  3cos
 3 2 3 3 2 2 2 2
1 3 3  π 3
所以 sin cos ，即sin     ，
2 2 2  3 2
2
 2π  π  π  3 1
所以cos  2  cos2    12sin2    12     .
 3   3  3  2  2
故选：B.
5．A【详解】解：已知x 0，y 0，且3x y xy 9，
93x 93x 3(x1)12
则 y  ，3x y 3(x1) 33(x1) 3
x1 x1 x1
12 12 12
3(x1) 62 3(x1) 66，当且仅当3x1 ,x 1时取等号，
x1 x1 x1
故3x y的最小值为 6.
故选：A
3 3
6. C【详解】解：设直线OA方程为 y  kx，联立： y2 3x ；有：x  ， y  ；
A k2 A k
1
同理，设直线OB方程为 y   x，联立： y2 3x ，有：x 3k2 ， y 3k；
B B
k
 3 1
x  ( k2)

 2 k2
设 AB 中点M(x,y)，由中点坐标公式，有：  ，
3 1

y  ( k)
 2 k
3
消k ，有： y2  （x3），故选 C
2
b
4
 b
1 0
 2 b
7
b
1
 b
8
 b
1 2
 3 b
7
2a 3a a a
4  8  4 8
2b 3b b
7 7 7
{a }
n
a
4
 a
8
 2 a
6
2
b
a
7
6
A n4
n 
B 3n1
n
n
A
n
 k n ( n  4 ) B
n
 k n ( 3 n  1 ) k  R k  0
a  A  A 6k645k5460k 45k 15k
6 6 5
2 a
6
 3 0 k b
7
 3 8 k
2
b
a
7
6 
3
3
0
8
k
k

b
7
1
1
5
9
 B
7
 B
6
 7 k   3  7  1   6 k   3  6  1   3 8 k
3
f(x)sinx 1
x3
f ( x ) ( 3 , 1 ) f ( x )  f ( 6  x )  2
F(x)  f (x) 2 f x  
f (x)Z F(x)2 f (x)Z f (x)  k m kZ m（0，1）
F(x)k m2k m
k 1k 1
0.75107.5 18
x=2 y
A,B
PAB PAPB
P  AB   PBPABPBPAPB1PAPB
 
P  AB  1PAPB P  AB  1PAPBPBPAPB
   
PAPB PBP  AB  PAB PAB PAPB A B
P  AB  1PAPB
 
x2 y22 P(x,y) A(0,2)7．C【详解】由等差数列的性质得
p x0,ln(x3)0 p x0,ln(x3)0
i2 1,i3 i,i4 1,i5 i i2026 i45062 i2 1
4i2 4i2
z   12i z  12 (2)2  5
i2026 1 11
(ab)(ab) (ab)(ab)0
1，10,20
1
 π 3   3 1 3 3
sin   sincos cossin   sin cos  3cos
 
 3 2 3 3 2 2 2 2
1 3 3  π 3
sin cos sin    
2 2 2  3 2
2
 2π  π  π  3 1
cos  2  cos2    12sin2    12    
 3   3  3  2  2
x 0，y 0 3x y xy 9
93x 93x 3(x1)12
y  3x y 3(x1) 33(x1) 3
x1 x1 x1
12 12 12
3(x1) 62 3(x1) 66 3x1 ,x1
x1 x1 x1
3x y
3 3
OA y  kx y2 3x x  y 
A k2 A k
1
OB y  x y2 3x x 3k2 y 3k
B B
k
 3 1
x  ( k2)

 2 k2
AB M(x,y) 
3 1

y  ( k)
 2 k
3
k y2  （x3）
2
b
4
 b
1 0
 2 b
7
， b
1
 b
8
 b
1 2
 3 b
7
，
2a 3a a a
∴原式可化为 4  8  4 8
2b 3b b
7 7 7
∵ {a }为等差数列，∴
n
a
4
 a
8
 2 a
6
，原式进一步化简为 2
b
a
7
6 。
A n4
∵ n  ，∴ 可设
B 3n1
n
A
n
 k n ( n  4 ) ， B
n
 k n ( 3 n  1 ) （ k  R 且 k  0 ）
由等差数列通项与前 n 项和的关系：
a  A  A 6k645k5460k 45k 15k ，
6 6 5
b
7
 B
7
 B
6
 7 k   3  7  1   6 k   3  6  1   3 8 k
将 2 a
6
 3 0 k ， b
7
 3 8 k 代入化简后的原式得
2
b
a
7
6 
3
3
0
8
k
k

1
1
5
9
3
8. B【详解】解： f(x)sinx 1，可知函数
x3
f ( x ) 关于 ( 3 , 1 ) 对称，有： f ( x )  f ( 6  x )  2 ，
F(x)f(x)2 f x  
当 f(x)Z 时，此时F(x)2；当 f(x)Z 时，设 f(x)k m；kZ ，m（0，1）
F(x)k m2k m k1k 1，
故选B
9. ACD【详解】
对于A：上四分位数的位置为0.75107.5，故上四分位数为第8 个数18，因此A 正确；
对于B：线性相关系数为-1
对于C，x=2时 y 的估计值为0，残差为真实值 0.1 减估计值 0 等于 0.1，正确；
对于D，先证必要性：若A,B 相互独立，则PABPAPB，
所以P  AB  PBPABPBPAPB1PAPB，
 
再证充分性：若P  AB  1PAPB，则P  AB  1PAPBPBPAPB，
   
所以PAPBPBP  AB  PAB，即PABPAPB，说明A与B 相互独立，
所以随机事件A,B相互独立的充要条件是P  AB  1PAPB，故 D 正确；
 
10. CD【详解】
解： x2 y22 表示动点P(x,y)到定点A(0,2)的距离，1 3 x 3y
若 0+ 2m0，即m 3，此时 A(0,2)在直线  m=0上，
2 2 2 2
x2 y22  x  3y m 表示的图形是过 A且与直线 x  3y m=0垂直的直线，
2 2 2 2
x 3y
若m 3，则 A(0,2)不在直线  m=0上，图形为抛物线．
2 2
11. BCD【详解】
π
解：对于 A：BC 绕 BD 旋转过程中，BC 与 BA 所成的角最小趋近于 ，
6
1  3
所以，△ABC面积可以趋近于 1 3sin  ，所以 A 错误；
2 6 4
对于 B： AC  5时，AC 与 CD 垂直，且 5 在 AC 范围（1，4+ 3 ）内，B 正确；
3 3 3 3
对于 C：建系， A( ,- ,0),BD=(0, 3,0),设C(cos,0,sin),(0,)，AC=(cos- , ,sin),
2 2 2 2
3
 3 3 1  3 3
2 且cos AC,BD  ，cos AC,BD  , ，又因为  , ，
   
3 43cos 2 7 2 2 2 7 2
   
π
所以 AC 与 BD 可以成 ，C 正确；
3
1 3
对于 D：在直角三角形OMO 和直角三角形OMO 中，OM  MO  且OM  MO  ，
2 1 2 1
2 2
2 所以，OM≥ 3 ，R OM2 MD2  OM2  3  3  3  3  
2 4 2 4
所以，外接球体积最小值为4 3。
12.【答案】8
【详解】在 ABC 中，由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA，
得72 b2 52 2b5cos60，整理得b2 5b240，解得b8或b3（舍去）.所以b8.
ln2 ln3
13.【答案】  , 
 2 3 
lnx lnx ln2 ln3
【详解】由 f x lnx ax0，得a ，结合g(x) 和 y  a 的图像可得a  , 
x x  2 3 
14.【答案】414
【详解】由题得d d  d 14，d 0,1,2
1 2 9 i
d
d
i
i
C 49  1 2 6 d
i
C 19 C 28  2 5 2
C2 36 9
 a
n

 a
n
 S
n
n S
3
 1 5
1 2
a
6
3


2
8
5 2  3 6  4 1 4
a
1
d
 32
3a  d 15
1  2
a 2d 8

1
a
1
 2 , d  3  a
n
 a
n
 a
1
  n  1  d  3 n  1
b 
n
b
1
 1 b
n  1
 1
3
b
n
 n  N * 
b 
n
1
3
 b
n

n1 1
b 
  n 3
3n2 n 1  1 
c b b  9
   
n a 3n1 n 3 27
1 1 1 c 
9 
n
27 3 27
 n 1  1 
·1   
c  n T 3  27   9   1  n
n n T   1   
n
1
1 26

27

27
 1  n 9   1  n 9   0 nN* T n  1     27 26  27  26
mn,即m n 0 2acosC (2bc)0
a2 b2 c2
2a (2bc)0 bca2 b2 c2
2ab
b2 c2 a2 bc 1 2π
cosA   A0,π A
2bc 2bc 2 3
1 2π 3 3 3 1 3 3 3
S  bcsinA A sinA S  bc  ,∴bc3
2 3 2 4 2 2 4
bc4
1 a2 b2 c2 2bccosA(bc)2 2bc2bc( )
2
bc4 bc3 a2 166313a 13
abc 1341 3 x 3y
0+ 2m0 m 3 A(0,2)  m=0 ①所有
2 2 2 2
x2 y22  x  3y m A x  3y m=0
2 2 2 2
x 3y
m 3 A(0,2)  m=0
2 2
π
6
1  3
△ABC 1 3sin 
2 6 4
AC  5 5 （1，4+ 3 ）
3 3 3 3
A( ,- ,0),BD=(0, 3,0), C(cos,0,sin),(0,) AC=(cos- , ,sin),
2 2 2 2
3
2  3 3 1  3 3
cos AC,BD  cos AC,BD  ,   ,     
3 43cos 2 7 2  2 2 7 2 
π
3
1 3 OMO OMO OM MO  OM  MO 
2 1 2 1
2 2
2 3 3 3 R OM2 MD2  OM2     3  
4 2 4
4 3
ABC a2 b2 c2 2bccosA
72 b2 52 2b5cos60 b2 5b240 b8 b3 b8
ln2 ln3
,
   2 3 
lnx lnx ln2 ln3
f x lnx ax0 a g(x) y a a  , 
x x  2 3 
d d  d 14 d 0,1,2
1 2 9 i
d
i
中有 0个 0,4个 1,5个 2，共有 C 49  1 2 6 个，②所有 d
i
中有 1个 0,2个 1,6 个2，共有 C 19 C 28  2 5 2 个
③所有 d i 中有 2个 0,7个 2，共有C2 36个，则满足条件的不同数列共有 9 1 2 6  2 5 2  3 6  4 1 4 个
15.【详解】（1）因为数列  a
n
 为等差数列， S
n
是其前 n 项和，且 S
3
 1 5 ， a
3
 8 ．
设数列  a
n
 的首项为a ，公差为
1
d
 32
3a  d 15
，则 1 2 ，
a 2d 8
 1
解得 a
1
 2 , d  3 ，所以数列  a
n
 的通项公式为 a
n
 a
1
  n  1  d  3 n  1 .…………………………3 分
因为数列b 满足：
n
b
1
 1 ， b
n  1
 1
3
b
n
 n  N *  ，
所以数列b 是首项为 1公比为
n
1
3
的等比数列，所以数列  b
n

n1 1
的通项公式为b  .…………3分
  n 3
3n2 n 1  1 
（2）证明：因为c b b  9 ，………………………………………7 分
   
n a 3n1 n 3 27
1 1 1
所以数列c 是首项为9  ，公比为 的等比数列，
n 27 3 27
 n 1  1 
·1   
由于数列c 的前n项和为T ，所以 3  27   9   1  n ，…………………………10分
n n T   1   
n 1 1 26 27 
27
 1  n 9   1  n 9 因为   0对于nN*恒成立，所以T n  1    .………………………………13 分 27 26 27  26
16.【详解】（1）由mn,即m n 0，得2acosC (2bc)0，
a2 b2 c2
利用余弦定理，得2a (2bc)0，整理得bca2 b2 c2……………………………3 分
2ab
b2 c2 a2 bc 1 2π
而cosA   ，又A0,π，故A ；………………………………………7分
2bc 2bc 2 3
1 2π 3 3 3 1 3 3 3
（2）由面积公式S  bcsinA， A ，sinA ，S  ， bc  ,∴bc3，
2 3 2 4 2 2 4
结合bc4，………………………………………10分
1 由余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA(bc)2 2bc2bc( )，
2
代入bc4，bc3，则a2 166313a 13，………………………………………13分
故周长为abc 134………………………………………15 分17. 【详解】（1）设事件 A i 1,2,3为第i 次投中，
i
则小溪同学在前 3 次投篮中就通过测试的概率为：P  PA A +P  A A A  ( 2 )2+ 1 ( 2 )2  16 
1 2 1 2 3
3 3 3 27
………………………………………3 分
（2） X 的所有可能取值为：2，3，4，5.
2 4 1 2 4
PX 2( )2= , PX 3 ( )2  ,
3 9 3 3 27
1 2 2 1 2 4 4 4 4 7
PX 4( )2 ( )2   ( )2  , PX 51    .………………………6 分
3 3 3 3 3 27 9 27 27 27
（算错一个扣 1 分，最多扣 2 分）
则 X 的分布列为：
X 2 3 4 5
4 4 4 7
P
9 27 27 27
4 4 4 7 87
EX2 3 4 5  .………………………………………9 分
9 27 27 27 27
（3）设事件 A：小溪同学通过测试，事件B ：小溪同学恰好投篮了三次，
4 1 2 20
因为投篮五次通过概率为P (1 ) ( )2  .，………………………………………11 分
9 3 3 243
4 4 4 20 200 1 2 4
则PA     ，PAB PX 3 ( )2  ,…………………………13 分
9 27 27 243 243 3 3 27
4
  27 9
则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：P B A   .……………………15 分
200 50
243
18. (1) 过O 作OF  PE 于F ，
又 平面POE  平面PBC，平面POE平面PBC=PE，OF  平面POE
OF  平面PBC ，又 BC  平面PBC ，BC  OF
在正四棱锥P ABCD 中，PO  平面ABCD，BC  平面ABCD，BC  PO
又 POOF  O,PO、OF  平面POE BC  平面POE ………………………………3 分
又 OE  平面POE BC  OE 又 OB  OC EB  EC …………………………4 分
O
O
( 0
A
, 0

, 0
O
) ,
O
B
A

( 0
O
, 
C
a ,

0
O
) ,
D
B (

a ,
a
0
,
,
O
O
0
B
P
) ,
、
D

O
b
( 
C
,
a
则
、
, 0
a
,
O
2
0
P

) ,
b
P
2
( 0

, 0
P
,
A
b
2
)
 1
x 轴
6
、 y 轴 、 z 轴
AB  (a,a,0),AP  (0,a,b),AD (a,a,0)
m
m

 A
(
B
x
1
,

y
1
a
,
x
z
1
1

)
a y
1
 0
P A B
mAP  ay bz  0
1 1
m  (b,b,a)
n  ( x
2
, y
2
, z
2
) PAD
n  A D   a x
2
 a y
2
 0 nAP  ay bz  0
2 2
n  (b,b,a)
mn a2 1
cos  m,n     a2 b2
m  n 2b2 a2 3
a2 b2 16 a2 b2 8 b  2 2 PO  2 2
2 2
OQ 2 Q O 2
3 3
OQ 1
PQ ABCD H PQ O sinOPQ 
OP 3
OH 1
tanOPQ   OH 1
OP 2 2
H O 1 H(s,t,0) 0  s2 t2 1
PH (s,t,2 2),BC (2 2,2 2,0) v (x, y,z)
vBC  2 2x2 2y 0,vPH  sxty2 2z 0 v (2 2,2 2,st)
vPB 82 2(st)
PQ BC d d   (st)2  2(s2 t2)  2
v 16(st)2
8(2 2 x)2 8(2 2  x)2
x  st[ 2, 2] d2  f (x) 
16 x2 16 x2
16(2 2 x)(162 2x)
f '(x)  x[ 2, 2] f '(x)  0
 16x22
8  2 2 
f (x) [ 2, 2] d2  f (x)  ,8  d  ,2 2
9  3
 A i1,2,3 i （2）①以 为原点，分别以 所在直线为 建立空间直角坐标系如图，
i
令
P PA A +P  A A A  ( 2 )2+ 1 ( 2 )2  16 
1 2 1 2 3
3 3 3 27 ，
则 ，
X 2，3，4，5
令 为平面 法向量
2 4 1 2 4
PX 2( )2= , PX 3 ( )2  , 则 ， ，
3 9 3 3 27
1 2 2 1 2 4 4 4 4 7 取 ……………………………………6分
PX 4( )2( )2   ( )2  , PX 51    .
3 3 3 3 3 27 9 27 27 27
令 为平面 法向量，
则 ，
X
取 ，………………………………………8分
X
则 ，故
4 4 4 7
P
9 27 27 27 又 ，所以 ，所以 ，即 .…………………………………10 分
4 4 4 7 87
EX2 3 4 5  . ②因为 ，所以点 轨迹为以 为球心， 为半径的球面，
9 27 27 27 27
A B 设 与平面 的交点为 ，当 与球 相切时， ,
4 1 2 20
P(1 ) ( )2  .
9 3 3 243 所以 ,所以 ,
4 4 4 20 200 1 2 4
PA     PAB PX 3 ( )2  ,
9 27 27 243 243 3 3 27 所以点 轨迹为以 为圆心， 为半径的圆及其内部，令 ，则 …………12分
4
  27 9 ,令
P B A   .
200 50
243
且 ，取 ………………14分
O OF  PE F
平面POE  平面PBC，平面POE平面PBC=PE，OF  平面POE 异面直线 与 距离为 ，则 ，又
OF  平面PBC BC  平面PBC BC OF
令 ，则 ，令 ，
P ABCD PO  平面ABCD BC  平面ABCD BC  PO
，当 ， ，…………………………16分
POOF O,PO、OF  平面POE BC  平面POE
所以 在 单调递减，所以 ， 的取值范围是 ……17 分
OE  平面POE BC OE OB OC EB  EC
O
O
( 0
A
, 0

, 0
O
) ,
O
B
A

( 0
O
, 
C
a

, 0
O
) ,
D
B (

a ,
a
0
,
,
O
O
0
B
P
) ,
、
D

O
b
( 
C
则 ,
a
、
, 0
O
2 a
, 0
P

) ,
b
P
2
( 0

, 0
P
,
A
b
2
)
 1
x 轴
6
、 y 轴 、 z 轴
AB (a,a,0),AP (0,a,b),AD (a,a,0)
m
m

 A
(
B
x
1
,

y
1
a
,
x
z
1
1

)
a y
1
 0
P A B
mAP  ay bz 0
1 1
m (b,b,a)
n  ( x
2
, y
2
, z
2
) PAD
n  A D   a x
2
 a y
2
 0 nAP  ay bz  0
2 2
n (b,b,a)
mn a2 1
cos m,n     a2 b2
m  n 2b2 a2 3
a2 b2 16 a2 b2 8 b  2 2 PO  2 2
2 2
OQ 2 Q O 2
3 3
OQ 1
PQ ABCD H PQ O sinOPQ 
OP 3
OH 1
tanOPQ   OH 1
OP 2 2
H O 1 H(s,t,0) 0 s2 t2 1
PH (s,t,2 2),BC (2 2,2 2,0) v (x,y,z)
vBC 2 2x2 2y 0,vPH  sxty2 2z 0 v (2 2,2 2,st)
vPB 82 2(st)
PQ BC d d   (st)2  2(s2 t2) 2
v 16(st)2
8(2 2 x)2 8(2 2  x)2
x  st[ 2, 2] d2  f (x) 
16 x2 16 x2
16(2 2x)(162 2x)
f '(x) x[ 2, 2] f '(x)  0
 16x22
8  2 2 
f (x) [ 2, 2] d2  f (x)  ,8  d  ,2 2
9  3
 cos sin 9  3 5 7 8 6 4 2
19. (1)   …………………………………………………………………3 分  S (sin sin sin sin )2 (cos sin sin sin )2
sin cos  OA 0 A n 18 18 18 18 18 18 18 18
n1
2 2 4 8
说明：记|OP| r ，且x轴逆时针旋转 角度后与射线OP重合，
sin cos cos cos
0
 1 (cos 8 cos 4 cos 2 )2  1 ( 18 18 18 18 )2  1
4 18 18 18 4 2 256
m cosm sinn sin
则P(rcos ,rsin ),Q(rcos( ),rsin( ))，即  2 1 1 . 18
0 0 0 0 n sinm cosn

2 1 1
1 1
(2)S  |OP ||OP | 1cos2 OP，OP = | x y x y |,……………5 分
OPP 1 2 1 2 p p p p
1 2 2 2 1 2 2 1
1
同理S = | x y  x y |（*）……………………………………………………6 分
OQQ q q q q
1 2 2 1 2 2 1
x ax by x ax by
 q p p  q p p
将  1 1 1 ，  2 2 2 代入（*）可得答案S |ad bc|S .
OQQ OPP
y cx dy y cx dy 1 2 1 2

q p1 p

q p p
1 1 2 2 2
………………………………………………………………………………………………8 分
(3)由题可得曲线C焦距为2 3 ，A ( 2, 2)，考虑将不标准的椭圆通过变换变成圆，对应的l 变为过
0 n
原点的直线，再利用（2）小问结果，用圆上的扇形面积转换所求的复杂面积。
 2 2 
 
 x2 2 2
将C顺时针旋转 后得到标准椭圆C :  y2 1，对应变换为M= ，
4 1 4  2 2 
 
 2 2 
……………………………9 分
2 2 2 2
由  1此时S 值不变.
OA A
2 2 2 2 0 n
1 
0
再对C 作变换 N=  2  得到圆C :x2  y2 1，……………………………10 分
1   2
 
0 1
 
2 2 2 2
设 A (x ,k y )，在经过M,N 的变换后得到 A( x  k x , x  k x )，
n n n n n n n n n n n
4 4 2 2
A ( 2, 2)在经过M,N 的变换后得到 A(1,0)…………………………………12 分
0 0
2 2
 x  k x
n n n
2 2
由  tan 知AOA  ，………………………13 分
n 0 n n
2 2
x  k x
n n n
4 4
故S 2S sin …………………………………………………………15 分
OA A OAA n
0 n 0 ncos sin 9  3 5 7 8 6 4 2
  于是 S (sin sin sin sin )2 (cos sin sin sin )2
sin cos  OA 0 A n 18 18 18 18 18 18 18 18
n1
2 2 4 8
|OP| r x  OP sin cos cos cos
0
 1 (cos 8 cos 4 cos 2 )2  1 ( 18 18 18 18 )2  1 …………17 分
4 18 18 18 4 2 256
m cosm sinn sin
P(rcos ,rsin ),Q(rcos( ),rsin( ))  2 1 1 18
0 0 0 0 n sinm cosn

2 1 1
1 1
S  |OP ||OP | 1cos2 OP，OP = |x y x y |
OPP 1 2 1 2 p p p p
1 2 2 2 1 2 2 1
1
S = |x y x y |
OQQ q q q q
1 2 2 1 2 2 1
x ax by x ax by
 q p p  q p p
 1 1 1  2 2 2 S |ad bc|S
OQQ OPP
 y q cx p1 dy p  y q cx p dy p 1 2 1 2
1 1 2 2 2
C 2 3 A ( 2, 2) l
0 n
 2 2 
 
 x2 2 2
C C :  y2 1 M= 
4 1 4  2 2
 
 2 2 
2 2 2 2
 1 S
OA A
2 2 2 2 0 n
1 
0
C N=  2  C :x2  y2 1
1   2
 
0 1
2 2 2 2
A (x ,k y ) M,N A( x  k x , x  k x )
n n n n n n n n n n n
4 4 2 2
A ( 2, 2) M,N A(1,0)
0 0
2 2
 x  k x
n n n
2 2
 tan AOA 
n 0 n n
2 2
x  k x
n n n
4 4
S 2S sin
OA A OAA n
0 n 0 n