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2026 年 高三年级 模拟考试
数学科试题答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D B A B C
题号 9 10 11
答案 BD ABD AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (13分)
（1）证明：由题意，在数列 中， ， -----1分
∴ ， ， -----3分
又 满足 ， -----4分
∴ 是以 为首项， 为公差的等差数列. -----6分
（2）解：在 中，
-----7分
-----10分
∴ ，
∴ -----13分
16. (15分)
解：（1）在平行六面体 中，令 ， ， ，
由正方形ABCD边长为2，得 ，而 ， ，
则 ， ，-----2分因 ，
则 ，则 ，即 ，-----4分
又底面 ABCD是边长为 2的正方形，则 AC⊥DB， ，AC， 平面
，
所以BD⊥平面 ． -----8分
（2）由（1）得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
不妨取z=8，得x=-3，y=15则 ，-----10分
由（1）知平面 的法向量 ，-----11分
又 ，
，
，
故 ，-----14分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．-----15分
17． (15分)
解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为： ，-----1分
甲同学三分球投篮命中的概率为： -----2分
设甲同学累计得分为X，
则P（X≥4）＝P（X＝4）+P（X＝5）＝0.9×0.5×0.5+0.1×0.5+0.1×0.5×0.5＝0.3，
∴甲同学通过测试的概率为0.3．-----7分
（2）同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，
设乙同学累计得分为Y，则P（Y＝4）＝0.8×0.4×0.4＝0.128，-----8分
P（Y＝5）＝0.2×0.4+0.2×0.6×0.4＝0.128，-----9分
设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，
则P（AB）＝P（X＝5） P（X＝4）＝0.075×0.128＝0.0096，-----10分
P（B）＝[P（X＝4）+P（X＝5）]•[P（Y＝4）+P（Y＝5）]＝0.0768，-----12分
由条件概率得：
P（A|B）＝ ．-----15分
18．(17分)
解：（1）由 ，
可得 ，-----1分
整理得 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，-----2分
法一：令 ，则 ，因为 ，所以 ，
-----3分
又由 ，所以 在 上恒成立，即 ，
，-----4分
设 ，则 ， ，
所以 在 上单调递减，只需 ，所以 的取值范围为 .
-----5分
法二：设 ，-----1分由 ，得 ．-----2分
，
因为 ， ，所以 ，-----3分
故当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减．
又因为 ，所以 ，所以 的取值范围为 .
-----5分
（2）当 时， ，令 ，
则 ， . -----6分
（ⅰ）因为 ，且 ，所以当 时， ，
由 得， . -----7分
（ⅱ）令 ，得 ，函数
的图象如图所示，又当 时，
．-----8分
①当 或 时，即 或 时，方程
在 上没有解， 无零点；
-----9分
②当 时，即 时，方程 的解为 ，则 ，方程
的正实数解按从小到大的顺序排列记为 ，如图，则 ， ， ，所以该数列不是等差数列，-----10分
③当 时，即 时，方程 在 内恰有两个解，设方程
的解为 ，且 ， ，作出函数 ， ， 图象如
下，
方程 和 的正实数解按从小到大的顺序排列记为 ，
设数列 为等差数列，设数列的公差为 ，因为 ，所以 ，
，则 ，所以 ，则 ， 与 矛盾，-----11分
④当 时，即 时，方程 在 内只有一个解，设方程
的解为 ，且 ，作出函数 ， ，图象如下，
方程 的正实数解按从小到大的顺序排列记为 ，
设数列 为等差数列，设数列的公差为 ，因为 ，所以 ，
，则 ，所以 ，与 矛盾，-----12分
⑤若 ，即 时，方程 在 内的解为 ，所以 ，
所以 ，所以方程 的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数
列为 ，该数列为等差数列，满足条件；-----14分⑥当 时，即 时，方程 在 内有两个解 ， ，由
，可得 ， ，由 ，可得 或 ，
，
所以方程 的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足 ，
， ，
所以 ，所以该数列为等差数列，-----16分
综上所述，当 或 时，方程 的正实数解即 的正实数零点按从小
到大的顺序排列后所得数列为等差数列. -----17分
19.（1）解：由题意可得 ，-----1分
则 ，抛物线方程为 ，准线方程为 ．-----4分
（2）设 ， ， ，重心 ，令 ， ，则
． -----5分
由于直线 过 ，故直线 方程为 ，代入 ，得
，
故 ，即 ，所以 ．-----7分
又由于 ， ，重心 在
轴上，故 ，
得 ， ．-----9分
，故 ，故 -----10分（3）由（2）设 ， ， ．
所以，直线 方程为 ，得 ．
-----11分
由于 在焦点 的右侧，故 ．从而
．-----14分
令 ，则 ，
．-----16分
当 时， 取得最小值 ，此时 ． -----17分
