文档内容
2023—2024学年下学期
东北师大附中 高三年级（数学）科试卷
第五次模拟考试
满分： 150分 考试时长：120分钟
注意事项：
1．答题前考生需将姓名、班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．回答非选择题时，请使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答
题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试卷上书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）
2 z + z i = 3 + 3 i ，其中 i 是虚数单位， z 是 z 的共轭复数，则复数 z 的对应
点位于
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2．已知直线m ∥ 平面，直线n ⊥平面，则“ m ∥ n ”是“⊥”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知两个向量 a ， b 满足 a b = | b |= 1 ， | a − b |= 3 ，则 | a |=
A．1 B． 2 C． 3 D．2
4． △ A B C 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， a = 3 , b = 1 ，A=2B，则 c =
A．2 B． 3 C． 2 D．1
1
5．已知函数 f(x)=sin(x+)，如图A,B是直线 y = 与曲线y= f(x)的两个交点，
2
A B =
π
6
6．过抛物线
13π 5π
， f( )=−1，则 f( )=
24 6
1
A． 0 B．
2
3 3
C． D．−
2 2
y 2 = 2 p x ( p 0 ) 焦点的直线 l 交抛物线于 A , B 两点，已知| AB|=8，线段 A B
的垂直平分线交 x 轴于点 M ( 6 , 0 ) ，则 p =
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分
别记为 S
1
、 S
2
、 S
3
，则它们的大小关系为
A． S
1
S
2
S
3
B．S S S
3 2 1
C．S S S
3 1 2
D． S
2
S
3
S
1
8．已知 a = e 0 .1 − 1 ， b =
2
2 1
， c = l n 1 . 1 ，则
A． b a c B． c a b C． c b a D． bca
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若集合A B = B C，则一定有
A． C B B．BC C． B A D． A B
2x
10．已知函数 f(x)= ，则下列说法正确的是
2x−1+1
A．函数 f ( x ) 单调递增 B．函数 f ( x ) 值域为 ( 0 , 2 )
C．函数 f(x)的图象关于(0,1)对称 D．函数 f(x)的图象关于 (1 , 1 ) 对称
11．已知 F
1
，F 分别为双曲线的左、右焦点，过
2
F
1
的直线交双曲线左、右两支于 A , B 两点，
若△ABF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为
2
A． 2+1 B． 3 C． 5+2 2 D． 5−2 2
{#{QQABCYSAggggAIAAABhCQQngCEKQkAGAAAoGhAAMsAAAiAFABCA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线
数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）
l : y = k x − 2 k − 1 与圆 C : x 2 + y 2 = 5 相切，则k = ．
13．春暖花开季节，小王、小李、小张、小刘四人计划“五·一”去踏青，现有三个出游的
景点：南湖、净月、莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件
下有人去净月的概率为 ．
14．记max{f(x)}表示 f(x)在区间
x[a,b]
[ a , b ] 上的最大值，则 mx a[0 x,1 {] | x 2 − x + c |} 取得最小值时，
c = ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在正三棱柱 A B C − A
1
B
1
C
1
中， A A
1
= A B = 2 ， M 为 B B
1
中点，点 N 在棱 A
1
B
1
上， A 1 N = 2 N B 1 ．
（1）证明： M C ∥ 平面 N A C 1 ；
（2）求锐二面角M −AC −N 的余弦值．
1
16．（本小题满分15分）
某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，
随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：
（1） 数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀．
（i）完成如下列联表；
（ii）依据 0 . 0 1 =
（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：
表2： 数学成绩 130 110 100 85 75
物理成绩 90 69 67 70 54
如图所示：以横轴表示数学成绩、纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对
样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学
成绩与物理成绩线性相关．
（i）求样本相关系数r；
（ii）建立物理成绩
的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成
绩有关联？
y 关于数学成绩x的一元线性回归模型，求经验回归方程，
并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？(四舍五入取整数)
n
(x −x)(y − y)
i i
参考公式：（1）样本相关系数r = i=1 ．
n n
(x −x)2(y − y)2
i i
i=1 i=1
ˆ （2）经验回归方程yˆ =aˆ+bx: ˆb =
n
i=
1
( x
n
i=
i
1
−
( x
x
i
)
−
( y
x
i
)
−
2
y )
ˆ ，aˆ = y−bx．
n(ad −bc)2
（3）2 = ，其中
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
n = a + b + c + d
A 1 C 1 N
B 1
M
A
C
B
物理成绩 ．
数学成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
不优秀
合计 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
{#{QQABCYSAggggAIAAABhCQQngCEKQkAGAAAoGhAAMsAAAiAFABCA=}#}17．（本小题满分15分）
已知
数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）
a ≥ 1 ，函数 f ( x ) = a x l n x − x a + 1 ．
（1）当a=1时，求 f ( x ) 的最小值；
（2）若 x 1 时， f ( x ) 0 恒成立，求 a 的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆 C :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 ) 过点 M ( 2 , 1 ) ，离心率为
2
3
．不过原点的直线
l:y=kx+m交椭圆C于 A , B 两点，记直线 M A 的斜率为k ，直线
1
M B 的斜率为 k
2
，且
k
1
k
2
=
1
4
．
（1）求椭圆 C
19．（本小题满分17分）
对于数列
的方程；
（2）证明：直线l的斜率k为定值；
（3）求△MAB面积的最大值．
{ a
n
} ，称 { a
n
} 为数列 { a
n
} 的一阶差分数列，其中 a
n
= a
n + 1
− a
n
（ n N ）.
对正整数 k （ k ≥ 2 ），称 { k a
n
} 为数列 { a
n
} 的 k 阶差分数列，其中 k a
n
= ( k − 1 a
n
) =
k−1a −k−1a .
n+1 n
已知数列{a }的首项
n
a
1
= 1 ，且 { a
n + 1
− a
n
− 2 n } 为 { a
n
} 的二阶差分数列．
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设 b
n
=
1
2
( n 2 − n + 2 ) ， { x
n
} 为数列 { b
n
} 的一阶差分数列，对 nN，是否都
n
有xCi =a 成立？并说明理由；（其中
i n n
i=1
C in 为组合数）
（3）对于（2）中的数列 { x
n
} ，令 y
n
=
t x n +
2
t − x n
，其中
1
2
t 2 .
证明：
n
i=
1
y
i
2 n − 2
− n2
．
{#{QQABCYSAggggAIAAABhCQQngCEKQkAGAAAoGhAAMsAAAiAFABCA=}#}
