高三模拟卷(一)
数 学
命题人：童继稀 审题人：张鎏 周才凯
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知命题:∀x∈R,x+|x|≥0,则该命题的否定是
A. ∀x∈R,x+|x|<0 B.∀x∈R,x+|x|≤0
C. ∃x∈R,x+|x|≥0 D. ∃x∈R,x+|x|<0
2.已知复数 z=(m+1)+(m2+3m)i在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是
A.(-1,0) B.(-3,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,+∞)
3.已知⃗a=(3,2),⃗b=(0,-1),若(⃗a-2⃗b)⊥(k⃗a-⃗b),则k=
4 1 4
A. − B. − C.0 D.
17 11 17
4.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π，π]的大致图象，则该函数是
A. y=(ex+e−x)sinx B y=(ex−e−x)sinx
C. y=(ex+e−x)cosx D. y=(ex−e−x)cosx
5.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 n mile的圆形区域内.
现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 n mile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船
在暗礁区内航行的路程为
A.0 n mile B.15 n mile C.30 n mile D.40 n mile
学科网（北京）股份有限公司6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第 1名到第5名的名次.甲和乙去询问
成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个
回答分析，这5人名次排列的所有可能情况共有
A.36种 B.42种 C.48种 D.54种
7.已知正项等比数列{a }的公比不为1，T 为其前n项积，若T₇=1,则集合 {T ∣1≤k≤20}中的元
n n k
素个数为
A.13 B.17 C.18 D.20
4
8.已知曲线y=2ˣ上的点A，和曲线
y=2x−1−
上的两点 B，C，满足△ABC是等腰直角三角形，且
3
直角边与坐标轴平行，则|AB|=
4 5
A. B.2 C. D.3
3 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知α,β,γ是三个不同的平面,且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,则三条直线a,b,c的位置关
系可能是
A.三条直线两两平行 B.有且仅有两条直线平行
C.三条直线相交于同一点 D.有且仅有两条直线相交
10.甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙
罐，事件A 表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球事件B表示“由乙罐取
出的球是黑球”，则
5 15
A.P(B∣A)= B.P(B)=
8 28
1
C.事件A 与事件B 相互独立 D. P(A∣B)=
3
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC=3ccosB,则
A. a=4ccos B B. B-C≥30°
b
C. BC边上的中线长为c D. 的取值范围是(1,3)
c
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.将一个圆心角为 120°、半径为3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为
.
13.若存在a∈R且a≠0,对任意的x∈R,均有 f(x+a)<f(x)+f(a)恒成立,则称函数 f(x)具有性质
P.请写出一个满足性质 P 的函数是 .
14.已知以原点为中心的椭圆C₁、双曲线C₂，与抛物线 C :y2=2px(p⟩0)有公共焦点 F，且在第
3
一象限交于同一点 P.若C₂的离心率为2，则 C₁ 的离心率为 .
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分13分)
为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度
y(单位：μm)与腐蚀时间t(单位：s)有关，并收集数据如下表：
腐蚀时间t/s 5 10 15 20 30 40
腐蚀深度 y/μm 5 8 10 13 17 19
(1)根据表中样本数据，计算样本相关系数，并推断它们的线性相关程度；
(2)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)；若腐蚀时间为60s，请估计腐蚀深度.
参考数据： √34≈5.83.
参考公式：相关系数
n
∑(t −t)(y −y)
i i
经验回归方程的斜率 b^= i=1 ,截距 â= y−b^t.
n
∑(t −t) 2
i
i=1
学科网（北京）股份有限公司16.(本题满分15分)
x2 y2
已知双曲线 Γ: − =1(a⟩0,b>0)过点A(-1,0),且焦距为 2√2.
a2 b2
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过定点(2，0)的直线l与双曲线Γ交于B，C两点，若AB=AC,，求直线 l的方程.
17.(本题满分15分)
ωx
已知函数 f (x)=sinωx−2sin2 +1,其中实数ω>0.
2
(1)若f(x)的最小正周期为π,求 f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，求ω的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司18.(本题满分17分)
如图，在三棱台.A'B'C'-ABC中， AB⊥BC,AB=2A'B'=4,BC=4√2,,M,N分别为AC,BC的中
点，且. AN⟂B'N.
(1)证明: A′M‖∓面AB′N;
(2)证明:平面. AB'N⊥平面A'BM;
(3)若 B'B=C'C=√6,求平面AB'N与平面ABC 的夹角的正弦值.
19.(本题满分17分)
已知有穷数列 {x }满足 x =log x −log e,其中a>1,且最后一项 x ≤0(m≥2).
n n+1 a n a m
(1)当a=e,且m=2时，求x₁ 的取值范围；
(2)当 a>ee−2时，如果m足够大，
(i)证明：数列 {x }为单调递减数列；
n
(ii)探究数列 {x }中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说
n
明理由.
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