文档文本内容
湖南省长沙市第一中学 2025-2026 学年高三下学期第十次月考数学试
题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，且 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2. 复数 的值为（ ）
A. B. C. -2 D. 2
3. 已知平面向量 为单位向量，且 ，若 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
4. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ， ，则c为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或
5. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在 上，且满足
，则 的离心率为（ ）
1A. B. C. D.
6. 已知定义在 上的函数 f (x)=cosωx−√3sinωx(ω>0) 有最小值，但无最大值，则ω的取值范
围是（ ）
(2 5] [2 5] 4 5 [4 5]
A. , B. , C. ( , ] D. ,
3 3 3 3 3 3 3 3
7. 已知在正三棱台 中， ，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为
（ ）
A. 1 B. C. D. 2
8. 现有 个相同的袋子，里面均装有 个除颜色外其他无区别的小球，第
(k=1,2,3,⋯,n)个袋中有 个红球， 个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连
续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是 ，则在前两次取出的球是白球
的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符
合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9. 2025 湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创
造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分：
永 常 长 株 娄 衡 郴 岳 益 邵 湘 怀 湘 张
州 德 沙 洲 底 阳 州 阳 阳 阳 潭 化 西 家
州 界
队 队 队 队 队 队 队 队 队 队 队 队 队 队
22 26 35 27 23 20 19 19 18 13 11 6 5 4
则下列说法正确的是（ ）
2A. 积分数据的众数为19
B. 积分数据的第70百分位数为22
C. 积分数据的中位数为19.5
D. 积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小
10. 已知抛物线 ，其焦点为 ，准线为 ，过 的直线与抛物线交于 两点，过 分别作
的垂线，垂足分别记为 ，则（ ）
A. 是定值 B. 以 为直径的圆过点
C. 对于 上的任一点 恒成立 D. 面积的最小值为2
{ 2a ,a <3
11. 已知数列 满足 a n+1 = n n ， 为 的前n项和，则（ ）
a −3,a ≥3
n n
A. 当 时， B. 当 时，
C. ，使得 D. 为等比数列的充要条件是
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 ，则 __________（用数字作答）
13. 在正方形 所在平面内，动点 在以点 为圆心且与直线 相切的圆上，设
⃗AP=x⃗AB+ y⃗AC(x,y∈R)，则 的最大值为________.
14. 已知函数 有三个不同的零点 ，且 ，则
的最小值为_________.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图所示，在四棱锥 中，底面是边长为6的正方形 ， ， 平面 ，
点M是CD的中点，点N是PB的中点．
3（1）求证： ．
（2）求二面角 的余弦值．
16. 已知数列 的前n项和为 ，对任意 n∈N∗， 满足 且 数列 满
1
足 ， b = ， 其前3项和为
3 27
（1）求数列 的通项公式；
（2）将数列 的项按照“当n为奇数时， 放在前面；当n为偶数时， 放在前面”的要求进行
“交叉排列”，得到一个新的数列： a ,b ,b ,a ,a ,b ,b ,a ,⋯， 求这个新数列的前33 项和
1 1 2 2 3 3 4 4
17. 已知直线 与双曲线 有唯一的公共点 .
（1）若点 在直线 上，求满足条件的所有直线 l的方程；
（2）已知直线 的斜率为 ，且 过点 且与 垂直的直线交x轴于 交 轴于
点.是否存在定点 使得当点 在双曲线上运动时，动点 使得 为定
值?若存在，求出点 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
18. 已知函数 （e为自然对数的底数）.
4（1）求证： 时， ；
（2）设 的解为 （ ，2，…）， .
①当 时，求 的取值范围；
②判断是否存在 ，使得 成立，并说明理由.
19. 现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的
正方体骰子，六个面分别以 标号.在棋盘上，以 为原点建立平面直角坐标系，设点 的坐标为 .
棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子 次，用 表示第 次投掷后棋子的位置（ 为坐标原点），规定：
其中向量 为前 次投掷过程中，
掷得偶数的总次数.
（1）求点 所有可能的坐标；
（2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；
（3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为 的概率为 ，求
的表达式，并指出当 为何值时， 取得最大值.
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