答案第1页，共4页
2025 级高一第一学期期中考试数学科参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
D
C
D
A
B
AB
BC
BCD
12．
5
2
13．
5
5
14．
(2,
)
15．（1）
5
sin
cos
5
两边平方得
2
2
1
sin
2sin
cos
cos
5
，
即
1
1
2sin
cos
5
，
2
sin
cos
5
，
其中
2
2
2
4
9
sin
2sin
cos
cos
1
5
5
sin
cos
，
又0
π
，故sin
0
，
又sin
cos
0
，故cos
0
，则sin
cos
0
，
所以
3 5
sin
cos
5
，
综上，
2
sin
cos
5
，
3 5
sin
cos
5
；
（2）方法一:由（1）知，
5
sin
cos
5
3 5
sin
cos
5
，故
2 5
sin
5
5
cos
5
，
所以
sin
tan
2
cos
，
原式=
2
2
2
cos
sin
cos
cos
sin
sin
2sin
cos
cos
cos
2sin
cos
cos
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
1
4
1
2sin
cos
cos
2tan
1
4 1
；
（2）方法二:由（1）知，
5
sin
cos
5
3 5
sin
cos
5
，故
2 5
sin
5
5
cos
5
原式=
2
2
2
2
cos
sin
cos
cos
sin
sin
1
2sin
cos
cos
cos
2sin
cos
cos
2sin
cos
cos
1
1
2 5
5
1
2
5
5
5
16．（1）由
1
2
,
x x 是方程
2
1
0
x
mx
m
的两个实根，得
1
2
1
2
,
1
x
x
m x x
m
，
且
2
4
4
0
m
m
，解得
2
2 2
m
或
2
2 2
m
，
答案第2页，共4页
由
2
2
1
2
6
x
x
，得
2
1
2
1
2
(
)
2
6
x
x
x x
，即
2
2
8
0
m
m
，
解得
4
m
或
2
m ，又
2
2 2
m
或
2
2 2
m
，
4
m
舍去，
所以
2
m .
（2）由方程两根都大于1，得
Δ
0
1
2
1
1
0
m
m
m
，解得
2
2 2
m
，
所以m 的取值范围是[2
2 2,
)
.
17．(1)在
(
)
( )
( )
f xy
f x
f y
中,令
1
x
y
,可得
(1)
(1)
(1)
f
f
f
,解得
(1)
0
f
.
令
1
x
y
,可得:
(1)
( 1)
( 1)
f
f
f
,解得:
( 1)
0
f
.
(2) 函数
( )
f x
是偶函数，理由如下：
( )
f x 的定义域是
|
0
x x
，关于原点对称
令
1
y ,可得
(
)
( )
( 1)
( )
f
x
f x
f
f x
,
所以函数
( )
f x
是偶函数.
(3)任意
2
1
0
x
x
时,
1
2
0
1
x
x
,由题意得:
1
2
(
)
0
x
f x
1
1
2
2
2
(
)
(
)
(
)
x
f x
f x
f
x
x
2
(
)
f x
1
2
2
2
(
)
(
)
(
)
x
f
f x
f x
x
1
2
(
)
x
f x
0
,
所以
( )
f x 在(0,
)
上是增函数,
又由(2)知
( )
f x 是偶函数,
所以
2
1
(2)
0
2
f
f
x
等价于
2
(2
1)
0
f
x
,等价于
2
(| 2
1|)
(1)
f
x
f
,
又
( )
f x 在(0,
)
上是增函数,所以
2
| 2
1| 1
x
,且
2
| 2
1| 0
x
,
解得: 1
1
x
且
2
2
x
,
所以不等式的解集为
2
2
2
2
1,
,
,1
2
2
2
2
18．解：（1）因为
1
2
a
,则
25
1
log
1
2
2
2
f
x
x
.
当
2
f x
时，
25
1
log
1
0
2
x
,得
1
2
1
25
5
x
，
即
4
x
.所以一天中4 时（早上4 点）该厂的污水污染指数最低.
（2）设
25
log
1
t
x
，则当0
24
x
时，0
1
t
.
设
2
1,
0,1
g t
t
a
a
t
,
答案第3页，共4页
则
3
1,0
{
1,
1
t
a
t
a
g t
t
a
a
t
,
显然
g t 在
0,a 上是减函数，在
,1
a
上是增函数，
则
max
max
0 ,
1
f
x
g
g
,
因为
0
3
1,
1
2
g
a
g
a
,
则有
0
3
1
3
{
1
2
3
g
a
g
a
，解得
2
3
a
，
又
0,1
a
，所以
2
0, 3
a
故调节参数a 应控制在
2
0, 3
内.
19．（1）证明：因为
2
1
1
2
( )
4
1
x
x
f x
，所以
2(1
) 1
2
1
(1
) 1
2
2
(1
)
4
1
4
1
x
x
x
x
f
x
，
2(1
) 1
2
1
(1
) 1
2
2
2
(1
)
4
1
4
1
4
1
x
x
x
x
x
f
x
，
所以
2
1
2
1
2 4
1
2
2
2
2
(1
)
(1
)
2
4
1
4
1
4
1
4
1
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
，
则
( )
f x 的图象关于点(1,1) 成中心对称图形.
（2）解：（解法一）设
1
t
x
，则
2
(
1)
(
1)
1
1
( )
1
t
t
m t
t
t
t
，所以
1
( )
1
m t
t
t
.
易证
1
y
t
t
是奇函数，所以函数
1
y
t
t
的图象关于点(0,0) 中心对称，
所以函数
( )
m t 的图象关于点(0,1)中心对称，
所以
( )
g x 的图象关于点(1,1) 中心对称，即
( )
g x 图象的对称中心为点(1,1) .
（解法二）因为
2
1
( )
1
x
x
g x
x
，所以
2
2
(1
)
(1
)
1
1
(1
)
(1
)
1
x
x
x
x
g
x
x
x
，
2
2
(1
)
(1
)
1
1
(1
)
(1
)
1
x
x
x
x
g
x
x
x
，
所以
2
2
1
1
(1
)
(1
)
2
x
x
x
x
g
x
g
x
x
x
，
则
( )
g x 图象的对称中心为点(1,1) .
（3）解：由（1）（2）可知
( )
f x 和
( )
g x 的图象都关于点(1,1) 成中心对称图形，
h x
f x
g x
，
所以
1
1
1
,
1
1
1
h
x
f
x
g
x
h
x
f
x
g
x
，
答案第4页，共4页
所以
1
1
1
1
1
1
4
h
x
h
x
f
x
f
x
g
x
g
x
所以函数( )
h x 的图象关于点
1,2 成中心对称图形.
因为区间( 2,4)
关于直线
1
x 对称，
所以
1
2
2
2
1
3
2
2
1
4
n
n
n
n
n
h x
h x
h x
h x
h x
h x
h x
h x
，
所以
1
2
3
2
4
n
h x
h x
h x
h x
n
.
因为不等式
2 2
1
2
3
2
2m
m
n
h x
h x
h x
h x
对任意
( 2,1)
m
恒成立，所以
2 2
max
4
2m
m
n
.
因为2
1
m
且
2
2
2
(
1)
1
m
m
m
，
所以
2
1
2
3
m
m
，故
2 2
1
2
8
2
m
m
所以4
8
n
，即整数n 的最小值是2.
