文档文本内容
比较构造思维
知识铺垫
题型辨析：当⼀道题⾥涉及两种分配⽅案，且为固定的总
量分配给固定的对象
快速破题：对象个数=总量差异/个体差异
补充知识：
1、反向变化：当两个量⼀个变多另⼀个变少或⼀个增加⼀
个减少时，此时他们的变化称为反向，⼆者的总差距为各
⾃变化值的绝对值加和。
例：甲⼄原本拥有相同数量的书籍，⼀天甲分了150本书给
⼄，此时甲⽐⼄少｜-150｜+150=300本．
2、同向变化：当两个量同时多或少时，此时他们的变化称
为同向，⼆者的总差距为各⾃变化值做差。
例：甲⼄原本拥有相同数量的书籍，⼀天两⼈去书店买
书。甲购买了10本，⼄购买了5本，此时甲⽐⼄多10-5=5
本．
1
固定对象
↓
↓
固定对象
固定总量
方案②
方案①
（户数）
=64
）
7-5
（
/
）
+120
｜
-8
（｜
个体差异
/
总量差异
=
对象个数
5 120
7 -8
剩余礼包
每户礼包数
20
即甲乙设备价格差为
+|10|=20
｜
-10
｜
=
乙
-
甲
+
+10
台
2
台
3
-10
台
3
台
2
剩余钱
乙
甲
方案②
方案①
固定总量
2
比
150给乙
150给乙7
7
T
包才够分
11-1
即差
固定分配对象
固定总量
2
方案
1
方案
固定分配对象
固定总量
（部门数）
=8
）
11-9
（
/
）
+6
｜
-10
（｜
个体差异
/
总量差异
=
对象个数
11 -10
9 +6
剩余包
每部门包数
=2500+150+150+150=2950
甲原有图书
=5000/2=2500
乙
=
即甲
0
甲比乙多
给乙
150
取
取
取
0
x
2x
3x
多
乙
一开始甲
2:
方法
/2=2050
）
5000-900
（
=
乙
/2=2950
）
5000+900
（
=
甲
解得
=900
乙
-
甲
=5000
乙
+
甲
由题意可得
+150=300
｜
150
｜
X=
1:
方法
3
固定分配对象
25-1)=1320
（
= 55x
即总题数
（计划天数）
=25
）
55-50
（
/
）
+70
｜
-55
（｜
个体差异
/
总量差异
=
对象个数
道题
55
道，即差最后一天
55
若要每天固定完成
题
x2=70
）
85-50
题，则剩（
50
天每天做
2
若最后
2
方案
1
方案
固定分配对象
固定总量
55 -55
50 70
剩余页数
每天完成题数
人才能保证每个作业人员都能被服务到
95
则每个驿站至少要服务
74-4)=7000
（
= 100x
即总人数
（驿站数量）
=74
）
100-80
（
/
）
+1080
｜
-400
（｜
个体差异
/
总量差异
=
对象个数
人才刚好够分配
100x4=400
即差
2
方案
1
方案
100 -400
80 +1080
剩余人数
驿站服务人数
固定总量
4
每栋楼保安人数 剩余人数
5 +65
8 -43
对象个数=总量差异/个体差异
（｜-43｜+65）/（8-5）=36（楼栋数量）
即保安总人数= 36x5+65=245
245/36=6…29
36-29=7
固定总量
固定分配对象
方案1
方案2
固定总量
固定分配对象
方案1
方案2
即每间房间分配3人后人数
多出了2
意思是最后一间房住1-3人，
即人数差3-1人方可够分配
每间房人数 剩余人数
3 +2
4 -（3、2、1）
对象个数=总量差异/个体差异
（｜-a｜+2）/（4-3）=a+2（房间数量）
题于求最多，则a=3
a+2=5
5
固定总量
分配对象不固定
若购买x台国产设备，则有
进口设备 国产设备
购买数量 x x
单价 4a 3a
总价 480 360
即进口价格：国产价格=4:3
即总价=500-20
此时，购买x台国产设备和购买x+3台设备就可看出固定分配对
象
购买数量 剩余金额
x 140
x+3 5
对象个数=总量差异/个体差异
（140-5）/（x+3-x）=45（国产设备单价）
固定分配对象
总量变化
将方案1的消毒液数量增加30%，此时两个方案总量则相同
消毒液数量 剩余数量
6x1.3 12x1.3
8 10
对象个数=总量差异/个体差异
（12x1.3-10）/（8-6x1.3）=28（复工商户总数）
方案1总瓶数=28x6+12=180
方案3:（180x1.8）/（28+10）=8…
总瓶数x1.3=1.3（6+12）
方案1
方案2
方案3
6
4
一、整除思维
知识铺垫
1、整除的含义
即⼀个整数除以另⼀个整数，商为整数并且没有余数。
如果axb=c（abc都为正整数），可表示为a｜c、a｜c。
例：6/3=2 没有余数且尚为整数，可表示为3｜6、2｜6。
2、整除的性质
例：⽼年⼈数/⻘年⼈数=5/6 ，即5｜⽼年⼈数、6｜⻘年⼈数、
（5+6）｜（⽼年+⻘年）总⼈数。
3、整除运⽤的核⼼
通过题⽬所给的信息，判断未知量应具备的整除特性，从⽽解题
4、整除的应⽤环境
①数据：百分数、⼩数、⽐例数
②⽂字：“倍”、“每”、“平均”
5、常⻅数字的整除特性
(1)⼀个数的末⼀位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除
(2)⼀个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除
(3)⼀个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除
(4)⼀个数各数字之和能被3或9整除，则该数⼀定能被3或9整除
7
甲：非专业书/总数=（100-13）/100
即甲非专业书数量为87 的整数倍，排除AD
当甲非专业书=87时，甲总数为100；
当甲非专业书=174时，甲总数为200
乙书总量：8｜260-100 成立
8｜260-200不成立
13/100
1/8
即7｜玉米
代入选项只有A能整除7
当总价为600的整数倍时，每件衣服购买成本最低
600｜500n →6｜5n
只有选项B能整除6
8
7天共用完：（3+2）x5=35桶
剩下燃料数应能整除（1+3）
题干求至少，代入选项
AB不符合，CD符合但C更小，选C
即红：蓝=3:1，4｜红+蓝
不用分开考虑红蓝颜料
3/4
22/25
25｜乙单位人数，所以乙的取值有25、50、75
甲的总人数为99-乙总人数，则可代入
4｜99-25 不成立
4｜99-50不成立
4｜99-75成立
24x（1/4）-75x（3/22）=-3
7:50
甲
乙
丙
57a-3
（50+7）a
50a
总人数=164a-3
当a=1时才能符合题干，164-3=161
9
7｜总人数
9｜总人数
即总人数能整除（7x9）
63x4=252
252-240=12
7｜总人数-13
9｜总人数-13
即总人数-13能整除（7x9）
100< 63x2+13=139 <200
63x3+13 >200 不符合排除
26:100
甲
乙
100a
丙
（100+26）a
100a+3
100a+3
（100+26）a
总人数326a+6，由题干得a=1
设调x人去丙，得2（126-x）<103+x
解得x >49.多 取50
方法1:
方法2:选项代入
求两倍以上，结合数据从大
一点的代入
103+49 不＞2（126-49）排
除，选C
10
1、基本原理
将选项直接代⼊题⼲条件，逐⼀验证是否符合所有要求。若某选项
满⾜所有条件，则为正确答案；若不符合，则排除。
2、代⼊排除本质
从条件直接推出结论⽐较困难，若能将给出的选项将题⼲补完整进
⾏验证，达到简便运算的效果。不易列式、不易求解的题⽬均可以
尝试代⼊排除。
3、 适⽤题型
（1）余数问题：如“平均分组后余数”“缺少/多余⼈数”等。
（2）不定⽅程：未知数个数多于⽅程个数，直接求解困难。
（3）多位数问题：涉及数字位数变化（如对调、进位）。
（4）年龄问题：计算复杂时，代⼊可快速排除不合理选项。
（5）选项为⼀组数或可转化为⼀组数的情况。
4、 代⼊技巧
（1）优先代⼊计算量⼩的选项：如尾数为0、5的选项，便于快速
判断。
（2）最值问题：求“最⼤值”从最⼤选项开始代⼊；求“最⼩值”从最
⼩选项开始代⼊。
（3）结合特性排除：利⽤奇偶性、倍数关系、尾数规律等先排除
部分选项，再代⼊剩余选项。
5、 注意事项
验证完整性：不仅要满⾜部分条件，还需满⾜所有题⼲要求。
单位与范围：注意单位统⼀，年龄、⼈数等需符合实际范围（如
年龄不能为负）。
极端选项慎代：最⼤/最⼩选项可能是⼲扰项，需谨慎验证。
11
代入排除
A：5x3-5x3=0 不成立
B：5x5-3x3=16 成立
当每个志愿者都服务八人时，老人总数最多
10n+5
求最多，从大代到小
D.65=10x6+5 65/8=8…
尾数必为5，排除AC
代入选项
若甲女=18，则甲男=（18/3）x5=30，乙总=12，乙男
=12x（2/3）=8，30+8 ＞32，排除
甲女=12，则甲男=（12/3）x5=20，乙总=18，乙男=18x
（2/3）=12 ，20+12=32，成立
甲营业部女性数量应为3的倍数，排除B选项
12
A
B
C
D
x-6
24
x
最小
求至少，从最小的代起
18
20
21
18-6
20-6
21-6
A
B
C
D
24
24
24
18
14
12
D
C
B
不成立
成立
32
a+4
a
最小
因为94、32、（a+a+4）都为偶数，所以D班人数也应为偶数
排除BD
20
32
20
20+4
不成立
所以答案为A
13
代入选项
剩余奶酪体积为边长x边长x（边长-2）
A4x4x（4-2）=32 排除
B6x6x（6-2）=144 成立
正向做起来特别麻烦
货箱为11的整数
倍，排除不了
6｜总-3
6｜228 成立
6｜426 成立
6｜558 成立
13｜总-2
13｜229 不成立
13｜427 不成立
13｜ 559 成立
14
9
一、比例思维
知识铺垫
1、核⼼思想：份数思想
即利⽤份数代替实际量计算，份数贯穿整个⽐例思
想的始终。
例：
①若已知a：b=3:7、a+b=110
份数思想就是把a、b分别看成3份和7份，总量看成
（3+7）=10份。即a=3x（110/10）=33、b=7x
（110/10）=77。
②若只知a：b=3:7
份数思想就是把a、b分别看成3份和7份，可⽤3’、7’代
替实际量进⾏运算。
⼆、正反⽐关系
在M= AxB形式中，当A或B⼀定时，另外两个量成正⽐
即当A⼀定时，M1/M2=B1/B2
当M⼀定时，A1/Ａ2=Ｂ2/B1
注意：反⽐并不是直接反过来⽐的意思，A1/A2/A3 不
等于B3/B2/B1
15
甲 乙 丙
32% 24% 44%
8%=6
给的是比例，求比例，可设特值，设普通水稻平均产量为1
·
2.5:1=5:2
=2.5
解得超级水稻平均产量
超级水稻平均产量
4.5= 2x1+1x
2 1 3x1.5=4.5
现在
x1
3 0 3
原来
总量
超级水稻种植面积
普通水稻种植面积
100%-32%-24%
16
12%=6/（8%）x12=9
占毕业生总数比例
200ml 500ml
单价 14 25
瓶数 25’ 14’
箱数
=
x
x
=
5
4
6
7
3
2
即 200ml的箱数应为15的整数倍
1.5吨 2吨
甲 a b
乙 b a
=10辆
可得也为10辆
所以甲乙共载的全部货物总重为10x1.5+10x2=35
由题意可得乙载货物重量-甲载货物重量=1
因此乙运货物重量=（35+1）/2=18
设甲调动a辆1.5吨，b辆2吨
则乙为调动b辆1.5吨，a辆2吨
若
甲+乙=a
甲-乙=b
则
甲=（a+b）/2
乙=（a-b）/2
I
I
D
I
I
↑
I
17
老年 中年 青年
人数比 5 2
3 4
15’ 6’ 8’
采摘速度 1’ 2’ 3’
人数总量不变
可通分
3x8=24’=80
15’
12’
总量
方法1:列方程
设全价机票价格为a（不含税费）
90+60=150
解得a=1500
方法2:比例思维
六折 四折
总成本 7’ 5’
不算税费票价 6’ 4’
1’=总成本-票价=交通费+税费=150
即全票价=10’=10x150=1500
即可转换为7:5
-
18
前线人数 总人数
原本 2 x4 3
现在 3 4
总人数不变
进行通分
x4
x3
x3
现在比原来多一份=6
即3/4
即总人数=6x12=72
72x10%=7.2 因为要保留至少10%且人数必为整数，所以取8
72-9x6-8=10
总人数-现在已上前线人数-至少保留人数=还能上前线人数
公司利润 甲个人分配利润
第一年 1 2/3
第二年 1.5 1
第三年 3 2
因为个人分配利润年份比=公司利润年份
比，所以公司第二年：第三年=1:2
1.5份=300万=第二年利润
1/3份=20万
即第二年甲利润=60万
乙投资比例=100%-甲投资比例
=100%-（甲分配利润/公司利润x40%）
T
↑
19
12
二、特值思维
知识铺垫
⼀、含义
遇到复杂的计算问题时，将未知量设为⼀个特殊值（具
体数据）或将未知情况设为⼀种特殊情况。
⼆、特值法常⽤的应⽤环境
①题⽬已知未知量间的⽐例关系，所求为未知量的⽐例
关系
②题⽬中的未知量具有任意性
三、知识补充
赋0法
当出现⼏个未知数且未知数没有具体数值，赋值⼀个未
知数为0
适⽤题型：年龄问题、余数问题、不定⽅程问题、⼯程
问题等
20
增量=增率x基值
第一年 11%
第二年 9%
x900
x1100 因为增量相同，则可设特值
即增长率=增长量/基期量=
大冰块 小冰块
原本 20 2
撞掉 4 1
剩余 20-4 2-1
因为所给量为两个未知数的比例，所求也为比例，
所以可以用特值法减少设两个未知数的计算步骤
21
最小面
最大面
a
b
C
.
次大面
最大面/最小面=axc/axb=3/1
即c/b=3/1
次大面=
a/b=cxa/bxc=最大面/次大面=
=cxb
即求中间图形面积
可供享用人数=蛋糕总量/每个人吃的量，虽然题干中蛋糕总
量和人均食用量都没有给，但可将享用人数视同为图形面积
假设长方形长为70，宽为5
70
5
20
2
则右下角图形面积=1/2x（5-2）x（70-20）=75
中间最大图形面积=350-70-50-75=155
22
老张=小张+20
乙平=甲平-1.5
用特值法，令甲平=1.5岁，则乙平为0岁
设老张为a岁
解得a=7.5
即老张-乙平=7.5-0=7.5
设甲村有2人，丙村1人
则两批大米总量=24x2=48斤
=12x乙村人数+4x（1+2+乙村人数）
解得乙村人数=9/4
乙丙两村平均每人分到的大米重量=大米总量/乙丙总人数
-
23
⼀、定义
根据题⽬给出的未知量之间的倍数关系、最简⽐关系、百分
数关系来设未知量，以保证未知数前的系数为“整数”便于解
⽅程。
2、相关技巧
（1）、列出⽅程后，第⼀步不着急化简求解，可先观察题⼲
求什么，看是否有简便运算的情况。
（2）、⼤多等量关系选概念范围内最⼩的设为未知量x。
（3）、当⼀个未知数需要连续x分⺟两个或以上不同的分数
时，可将这个数设为这些分数分⺟的公倍数，确保未知数的
系数为整数，简便计算。
3、适⽤题型
（1）⼯程问题：⼯作总量＝⼯作效率
⼯作时间
（2）⽐赛计分问题
（3）顺逆流（⻛）问题：顺⽔速度 = 船速 + ⽔速、
逆⽔速度 = 船速 - ⽔速、船速 = (顺⽔速度 + 逆⽔速度) ÷ 2、
⽔速 = (顺⽔速度 - 逆⽔速度) ÷ 2
（4）调配问题
（5）利润及打折问题：利润：利润 = 售价 - 成本
利润率：利润率 = （利润 / 成本）× 100%
（6）⽅案选择问题
（7）分配问题
（8）有规律的相邻数问题
24
甲 乙 丙 丁
原来 5a 4a 3a 2a
现在 5a-4 4a+1 3a+4 2a-1
解得a=17
甲-乙=5a-4-（4a+1）=a-5=17-5=12
设甲原来有5a辆
设甲销量为2a，即乙为a，丙为240-3a
由题意可得30x2a+24a+20x（240-3a)=6000 解得a=50
丙销量=240-2x50-50=90
因为一条M型有30灯珠，一条N型有60灯珠
要实现M型总灯珠=2xN型总灯珠，M型条数：N型条数=4:1
设有4a条M型，则有a条N型
20x4a-30xa=30000 → 50a=30000
即4a+a=5a=3000
-
25
第一天 第二天 第三天 第四天
次数 2a 3a 5a-15 4a-5
由a=8得
2a+3a+5a-15=65 解得a=8
16
18
，
25
27
最多-最少=27-16=11
即第二天：第一天=3:2，设第一天为2a
3/5
3/4
2/5
3/4
当一个未知数需要连续x分母两个或以上不同的分数时，可
将这个数设为这些分数分母的公倍数，确保未知数的系数
为整数，简便计算
设甲单位有25a人，乙单位有16b人
由题意可得16bx（3/4）-25ax（3/5）=3
25ax（1-3/5）x（2/5）+16bx（1-3/4）x（3/4）=24
化简得12b-15a=3
4a+3b=24
①
②
4x②-①=16a+12b-12b+15a=96-3
解得a=3 b=4 甲-乙=25a-16b=25x3-16x4=11
因为5与5的公倍数为25，4与4的公倍数为16
26
甲 乙
0-10万元 10万x80%=8万 10万x20%=2万
10-20万元 10万x60%=6万 10万x40%=4万
超过20万部分 ax40% ax60%
（设为a）
解得a=90
此时总利润为 a+10+10=90+20=110
总利润减半为110/2=55
此时甲利洞应为8+6+（55-20）x0.4=28
乙利润为2+4+（55-20）x0.6=27
甲-乙=28-27=1
S
27
⼀、定义
未知数个数⼤于⽅程个数，未知数有⾮唯⼀解
2、常⻅解法
①代⼊选项验证；
②利⽤奇偶、尾数、倍数等数字特性分析；
③特定题型可以采⽤赋“0”法。
3、相关性质
1、奇偶性
偶数+偶数=偶数 偶数-偶数=偶数
奇数+奇数=偶数 奇数-奇数=偶数
偶数+奇数=奇数 偶数-奇数=奇数
偶数x偶数=偶数 奇数x奇数=奇数
偶数x奇数=偶数
2、尾数法
当系数为5或10的倍数时，其尾数为0/5
3、唯⼀的偶质数为2
4、赋0法
当题⼲没有要求未知值⼀定⼤于0时，可⽤特值法设较复杂的
未知量=0
28
则有5a+6b=76
偶数
偶数
必为偶数
由奇偶特性得a必为偶数，又因为a为质数，所以a为质偶数
2为唯一的质偶数，所以a=2，即b=（76-5x2）/6=11
剩下学员人=4x2+3x11=39
意思为每位钢琴教师带相同数量钢琴学生，设为a；每
位拉丁舞教师带相同数量拉丁舞学生，设为b
由题意可得
设签字笔价格为a，圆珠笔价格为b，铅笔价格为c
3a+7b+c=32
4a+10b+c=43
②
①
方法1:适合数字较为敏感的同学
①x3- ②x2=a+b+c=32x3-43x2=10
方法2:特值法
将系数较为复杂的未知数设等于0，即b=0
即3a+c=32
4a+c=43
解得a=11，c=-1
a+b+c=11+0+（-1）=10
②
①
11
29
参加活动总人次数=18+16+15=49
3甲+2乙=49
由奇偶特性得甲必为奇数，排除BD选项
求至多，从大的代起
当甲=13时，乙=（49-3x13）/2=5，乙为整数，假设成立，C
选项正确
奇数
偶数
必为奇数
方法1:
15a+9b+4c+1a=201
a+b+c+a=40
①
②
②
①
② x8- ①=16a+8b+8c-16a-9b-4c=8x40-201
化简得4c-b=119 即4c=119+b
因为b大于等于1
所以4c大于等于119+1，即c大于
等于30，只有D选项符合
方法2:尾数法
由②x9一①得 18a+9b+9c-16a-9b-4c=40x9-201
系数为5或10时使⽤
化简得5c+2a=159
由奇偶性质得c必为奇数，即5c尾数必为5，那2a尾数必为4
当a=2时，c=（159-2x2）/5=31
此时b=40-31-2-2=5 也为大于0的整数，假设正确，
丙=c=31
奇数
偶数
设甲乙丙丁的价格分别为a、b、c、a
30
方法1:
a+b+c=2.3
2a+b-c=2.2
设甲乙丙的价格分别为a、b、c
由题意得
①
②
①
②
设特值a=0，即有b+c=2.3 b-c=2.2
解得b=（2.3+2.2）/2=2.25 c=（2.3-2.2）/2=0.05
a+3b+7c=0+3x2.25+7x0.05=7.1
方法2: ① x5-②x2=5a+5b+5c-4a-2b+2c=2.3x5-2.2x2
化简得a+3b+7c=2.3x5-2.2x2=7.1
主机（n） 显示器（n）
a 6a 4a
b 3b 8b
设用第一种打包方
法装了a箱，用第二
种打包方法装了b箱
化简得n=6a+3b=4a+8b，即2a=5b
n=4a+8=2x2a+8b=2x5b+8b=18b 因为n=18b，选项BC排除
代入A选项，当n=18时，b=1，即a=5/2=2.5，非整数排除，选D
①
②
①
②
设精品、高质、普通三种草莓价格分别为a、b、c
a+b+c=15
45a+30b+20c=400 ②
②
①
①
求精品和普通，所以消掉高质 有30x①-②=10c-15a=50
化简得2c-3a=10 由奇偶特性得a必为偶数
当a=2时，c=（10+2x3）/2=8，
b=15-2-8=5，为大于等于1的整数，符合要求，
a：c=2:8=1:4
-
-
>
V
31
20
一、十字交叉法
知识铺垫
⼀、模型
若有M=A+B
将三者所对应的“⽐值”分别表示为m、a、b
（a ＞m ＞b）
A a m-b
m
B b a-m
最简⽐
分⺟
分⺟
例：
①浓度=质/液，此时a/b=溶液量之⽐
②增率=增量/基期值，此时a/b=基期值之⽐
③班级平均分=总分数/总⼈数，此时a/b=男⼥⽣数量之⽐
⼆、特殊情况
当遇到三种“成分”混合时，可采⽤分步交叉法
先固定两种“成分”⽐例，再与第三种“成分”进⾏⼗字交
叉法
32
A 38 6
30
B 24 8
B 24 8
34
C 42 10
A人数
B人数
=
=B人数
C人数
由十字交叉法得ABC三部门的人数比=3:4:5
三部门平均年龄=三部门总年龄/总人数
由于只能得到人数之比，
没有总数，即没有唯一
解，可用特值法，将三个
部门人数可看出3、4、5人
因为总窗口数=其余窗口数+快捷窗口
且题干给出了三者的平均数，所以考虑用十字交叉法
快捷 41 1
总窗口29
其余 28 12
=
快捷窗口个数
其余窗口个数
所以总窗口个数=1’+12’=13’
选项只有A选项为13的整数倍，当选
33
蜜柚 40% 24%
总销量4%
柠檬 -20% 36%
=
蜜柚上月销量
柠檬上月销量
=
2
3
由于只能得到上月销量之比，且求的是比例，可用特值
法，将蜜柚和柠檬的销量看出2和3
蜜柚上月销量占总销量之比=2/（2+3）x100%=40%
盐 100% 10%
混合浓度50%
盐水 40% 50%
盐的浓度为100%
=
盐克数
盐水克数=
1
5
已知混合后的盐水克数为120，且盐：40%盐水=1:5
即可看出120克被分成（5+1）=6份，且40%盐水占5份
即40%盐水量=120/6x5=100克
酒精 n% 0.6n%
混合浓度0.6n%
水 0% 0.4n%
=
酒精重量
水重量
已知水重量为1kg，n%酒精重量为（1/2）x3=1.5kg ，
0.6n%酒精重量=1+1.5=2.5kg
=
3
2
酒精1 50% 0.3n%
0.9n%
酒精2 0.6n% 50%-0.9n%
酒精1重量1.5kg
酒精2重量2.5kg
=
= 3
5
5x0.3n%=3x（50%-0.9n%）解得n=35…
34
即2020年收入（甲+乙）=丙
即2021年1乙收入：甲收入=1:2。乙占甲乙总收入为1/3，甲2/3
虽然题干给的是甲乙丙三个数的增长率和混合率，但由于
有给出甲+ 乙和丙的关系，则可将其转换成（甲+乙）和
丙两个数的混合率关系，可使用十字交叉法快速破题
丙 30% 20%-n%
总收入20%
甲+乙n% 10%
=
2020丙收入
2020甲+乙收入=
1
1
即解得甲+乙2021收入的增长率为10%
甲+乙2021收入的增量=400+（-100）=300
即甲+乙2020收入=300/10%=3000 2021收入=3000+300=3300
2020年甲收入=3300x2/3-400=1800 乙收入=3300x1/3+100=1200
1800-1200=600
方法1:
甲后a+3 a-？
甲原a
甲4人？ 3
设甲处室12人时平均年龄为a，乙处室20人时平均年龄为b
=人数12-4
人数4
即甲最年轻四人平均年龄为a-6
乙原来b a-b-7
乙后b+1
甲四人a-6 1
人数20
人数4
=
得a-b-7=5，即a-b=12
方法2:特值法 将乙20人时的平均年龄看成0，设甲12人时平均年龄为a
将甲最年轻4人调入乙处室后，
此时乙总年龄=（20+4）x（0+1）=24
即四人总年龄=24-0x20=24
则12a=（a+3）x（12-4）+24 解得a=12
a-b=12-0=12
调出4人后甲处室剩下人的总年龄
解得？=a-6
↑
L
35
1、本质
等差数列本质研究的是项与项之间的关系
⼆、相关公式
1、通项公式：任两项之差为下⻆标之差个公差
2、求和公式
3、中项公式
a1:⾸项
an：第n项
n：项数
d：公差
Sn：n项之和
①
（n为奇数）
②
即中间两项
（n为偶数）
4、提速技巧：a中=Sn的平均数
36
S7=70
由中项公式得
S5=60=5xa3 解得a3=12
S7=70=7xa4 解得a4=10
由通项公式得 d=a4-a3=-2
即S9=9xa5=9x（a4+d）=9x8=72
S5=60
n=9
/2 x 16=50/2 x16=400
）
a1+a16
（
S16=
代入求和公式得
a1=a16-15d=40-15x2=10
由通项公式得
a16=40
d=2
n=16
S13=13x a7=12x13=156
由中项公式得
a7=12
即
a11-a10=d
a3-a4=-d
37
d=x
a11=900
a9=a1+8d=2a1 即a1=8d a9=16d
a11=a9+2d=16d+2d=18d=900 解得d=50
由求和公式得
S12=（a1+a12）/2 x12=（8d+8d+11d）/2 x12
=27x50/2 x12
=8100
选取从1开始连续19个自然数，此时S19=（1+19）/2 x19=190
191-190=1
若要使这19个正整数各不相同，则这余下的1需要加在19上
19+1=20
总销售额=平均单价x销量总进货成本=进价x进货量
刚好卖完则销量=进货量，设销量为10n，则天数为10n/10=n
由题意得平均单价x10n=（12x10n ）x2 解得平均单价=24=a中
a1 a中=24 an=6
18
18
即a1==24+18=42 n=（42-6）/2+1=19 19x10=190
要保存成本最低则采摘天数应该尽可能少，75/10=7.5
一天最多采摘10斤，所以需要至少8天才能完成且第一天需要尽可
能采摘少斤数水果，即第一天采摘5斤，保存成本=5x10x7=350
第二天采摘水果保存成本为10x10x6=600，第三天为10x10x5=500，
以此类推。因此后七天的水果保存成本刚好构成一个等差数列，
S7=（600+0）/2 x7=2100 2100+350=2450
38
25
一、普通工程
知识铺垫
1、核⼼公式
⼯作量=⼯作效率 x ⼯作时间
2、巧⽤正反⽐关系简便运算
①W相同时，P与t成反⽐
例：如果P1:P2=2:3
则t1:t2=3:2
② t（P）相同，W与P（t）成正⽐
例：如果W1:W2=2:3
则P1:P2=2:3
3、巧⽤赋值法简便计算
①题⽬中只给定⼯作时间时，赋⼯作总量为时间的公倍
数。
②当题⽬中不仅给定⼯作时间，还给出与效率相关的某个
逻辑关系时，优先寻找效率之间的⽐例关系进⾏赋值。
③多项主体时，要先统⼀⽐例，例如：已知a：b=1:2；
b：c=3:4则统⼀a：b：c=3:6:8
W
P
t
39
调整工作前已完成的工作任务=200x1/2=100
调整工作后需完成的工作任务=200x1/2+300=400
t不变，则W与P成正比
调整前 调整后
W 100 400
p 1 4
=5人
即4对应的为5x4=20
增加的人数=20-5=15
12-16点三台机器共收割了（16-12）x3x2=24亩
即12点前三台机器收割了50-24=26亩
将12:00时甲已收割的亩数设为3a，则乙已收割2a亩，
丙已收割3a-6亩
由题意3a+2a+3a-6=26 解得a=4
乙12点前收割2x4=8亩
工作时间=8/2=4小时
12-4=8
40
暂停生产时剩余工作任务=480/2=240
提高效率后提前的时间=20+40=60分钟即一小时
剩余240个 调整前 调整后
P 3 4
t 4 3
可得调整前后的工作效率=3:4
调整前比调整后的用时多（4-3）份，为1小时，
则调整后的用时t3份对应3小时240/3=80
即由20个人和五个机器共同工作（5个机器需要5个人操作）
即由17个人和八个机器共同工作（8个机器需要8个人操作）
W不变 20人+5机器 17人+8机器
t 7.5 6
P 6 7.5
4
5
因为已知两者关系为比例，求两者比例，可用特值法
令人的效率为1，设机器人的效率为a
解得a=32/7 （32/7）/1=32/7
41
1、定义
多个主体通过⼀定的⽅式合作完成某项⼯作。核⼼公式为
总效率往往等于多个主体的效率之和、总⼯作量等于多个
主体的⼯作量之和。
2、解题核⼼
合作⼯程问题，研究的本质为分析⼯作⽅式，推出⼯作量
之间的关系。
3、本质
合作过程中，也是各⼲各的，只不过⼯作时间相同。
4、解题步骤
①通过条件，推出效率间的最简⽐；
②设效率为⽐例数（特值法）；
③题⽬问啥求啥。
5、特值法
(1)当给出多个主体各⾃的完⼯时间时，则可特值⼯作总
量为完⼯时间的公倍数。
(2)当(直接或间接)给出多个主体的效率关系时，则可特值
多个主体各⾃效率为效率最简⽐的数值。
42
得甲乙丙效率为6:3:2
特值法：甲乙丙每小时分别完成6、3、2个工作量
时间/ 完成量 甲 乙 丙
8:00-9:00 6 1
9:00-10:00 6 3
8:00-10:00 12 4 1
丙工作时长=1/2=0.5h
到十点时丙工作半小时则说明丙是从9:30开始工作
3/4
方法1:设甲效率为a，乙效率为b
解得a=2b
总工程量=8x2b=16b
剩余工程量=16b-4x（2b+b）=4b 4b/b=4
方法2:
8甲=100%
4甲+4乙=75%
因为8甲=100%，所以4甲对应50%，
则4乙=75%-50%=25%
而剩余工作量恰好为25%，即还需要乙工作4天
43
方法1:设甲效率为a，乙效率为b，丙效率为c
由题意得8a+6b+4c=6x（a+b）+5c
解得c=2a
且a=1.5b 所以c=3b
利用特值法，令c=6，则a=3，b=2
丙效率
方法2:比较构造
8甲 6乙 4丙
=6甲 6乙 5丙
-2甲
丙
甲少2天=丙多一天
6甲 6乙 5丙
3丙
5丙
3/1.5=2丙
3+2+5=10
所以
方法1:设甲效率为a，乙效率为b
解得a=3/2b
总工程量
方法2:
12甲+12乙=100%
8甲+8乙+7乙=90%
23x100%约67%
对应90%-67% =23%
乙生产100%则需要四个多23%，即四个多7，D当选
44
设张师傅效率为a，李师傅效率为b
粽子订单总量=8x（a+b）
3a+b=5/16x8（a+b）
解得a=3b
a对应3份 b对应1份
2份对应14 即4份对应28 28x8=224
0
30
50
60
甲
（甲+乙）x5/4
因为每天机器工作效率相同，可将其工作效率看成1
（甲+乙+丙）x3/2
60/2=30
30/3=10
I
45
方法1:设甲效率为a，乙效率为b，丙效率为c
由题意得乙单独完成的工作量为1-1/4-1/2=1/4
即总工程量为11b/（1/4）=44b
因为乙跟人合作时效率会提高10%所以合作时乙效率=1.1b
令1.1b=y 则44b=40y
联立6（a+y）=40yx 1/4
15x（y+c）=40y x 1/2
解得a=2/3y c=1/3y
利用特值法，令y=3，则a=2，c=1
任务总量
（1-1/4）x2/3=1/2.
方法2:
甲乙合作完工时间：6x4=24天
乙丙合作完工时间：15x2=30天
乙用合作效率单独工作完工时间：（4x11）/1.1=40天
②
①
③
联立 ①③式可发现，乙用（40-24）天完成的工作量需要
甲花费24天，即效率甲：乙=16:24=2:3
联立 ② ③式可发现，乙用（40-30）天完成的工作量需要
丙花费30天，即效率丙：乙=10:30=1:3
完工时间 甲乙合作 乙丙合作
t 24 30
P 5 4
W一定时，t与P成反比，有
W=24x5=120 乙合作效率=120/40=3
甲+乙乙+丙乙
46
1、核⼼公式
运动路程=运动速度 x 运动时间
2、巧⽤正反⽐关系简便运算
①S相同时，V与t成反⽐
例：如果V1:V2=2:3
则t1:t2=3:2
② t（V）相同，S与V（t）成正⽐
例：如果S1:S2=2:3
则V1:V2=2:3
3、巧⽤赋值法简便计算
①题⽬中只给定时间时，赋路程总量为时间的公倍数。
②当题⽬中不仅给定时间，还给出与速度相关的某个逻辑
关系时，优先寻找速度之间的⽐例关系进⾏赋值。
③多项主体时，要先统⼀⽐例，例如：已知a：b=1:2；b：
c=3:4则统⼀a：b：c=3:6:8
4、画图辅助
清晰标注运动轨迹、速度、时间等信息，帮助理解题意。
5、注意：
（1）单位统⼀：确保速度、时间、路程的单位⼀致。
（2）分段分析：复杂⾏程可拆分为多个匀速阶段分别计算。
S
V
t
47
设第一天的平均速度为v，则三天全程速度也为v
由题意得总路程=第一天路程+第二天+第三天
=5v+600+5v-200=10v+400
又已知三天共行驶18小时，则总路程=18v
即有18v=10v+400 解得v=50
S=18v=18x50=900
A
B
3h
4h
AB两地距离固定，则上下坡速度
与上下坡时间成反比
下坡 上坡
t 3h ： 4h
V 4’ ： 3’
由题意可得4’-3’=15
则下坡速度4’=15x4=60
Sab=60x3=180
in
-
48
两种行驶速度的总路程相同：都为甲到乙，
因此速度时间成反比
v 10 ： 15
t 3’ ： 2’
由题意可得3’-2’=1.5h
则以速度15/h行驶的那段路程2’=1.5x2=3
出发时间=11-3=8
相差1.5h
方案1
V 24v ：20v
t 5’： 6’
方案2
V 25 ：20
t 4’： 5’
方案1
方案2
由题意可得6’-5’=15分钟
则总路程=15x6x2v=1800v
设原速为20v，
则方案1中车速提高20%后为20x1.2=24v
方案2中车速提高25%后为20x1.25=25v
由题意可得5’-4’=15分钟
则提速后行驶路程=15x5x20v=1500v
总路程=30+1500v
结合两种方案得总路程=1800v=30+1500v
解得v=0.1 即1800v=180
49
32
二、直线相遇追及
知识铺垫
三：货⻋过桥/隧道等需要考虑⻋⻓的情况
1、⻋道过路，运动的路程为：路⻓+⻋⻓
⻋在路内，运动的路程为：路⻓-⻋⻓
2、追及问题：
①追上到完全超越，追及路程（路程差）为⻋⻓之和
②⻋尾到⻋头⻬，追及路程（路程差）为⻋⻓之差
③慢⻋上的⼈看到快⻋经过，追及路程（路程差）为快⻋⻋⻓
3、相遇问题：
①相遇到完全错开，相遇路程（路程和）为⻋⻓之和
②A⻋上的⼈看到B⻋经过，相遇路程（路程和）为B⻋⻋⻓
⼀、直线相遇模型
运动出发时间相同时，相遇距离=速度和x相遇时间（t）
甲
⼄
A
B
C
S甲=AC
S⼄=BC
S总=AC+BC
=V甲 x t+V⼄ x t
=（V甲+V⼄）t
⼆、直线追及模型
运动出发时间相同时，追及距离=速度差x相遇时间
甲
⼄
A
B
C
S甲=AB
S⼄=BC
S差=AB-BC
=V甲 x t-V⼄ x t
=（V甲-V⼄）t
I
I
I
50
已知狗的速度，要求狗跑的路程，则需求出狗运动时间
可得狗运动时间与甲乙相同，利用已知条件可求出甲乙t
因为甲乙相向而行，
得1200-100=S甲+S乙 =（v甲+v乙）t
即1100=（40+60）xt 解得t=11
狗跑的路程和=80x11=880
设甲速度为3v每分钟，乙速度则为2v每分钟
Sbc=V乙x（40+60）=200v
当甲休息10分钟后9:50准备出发向b地出发时
乙走了2vx50=100v
即乙此时在bc的中点
甲乙距离为100v
甲乙相遇时路程=100v =（3v+2v）t 解得t=20分钟
9:50再过20分钟为10:10分
a
b
c
bc中点
100v
100v
bc=200v
1.
1
51
丙
张王相遇点
甲
乙
王走2h
张走1.5h 5千米
王走1h
张走1h
王张同时从甲出发，即相遇时路程所走路程相等，
时间与速度成反比
王 张
t 3h ： 2.5h
V 5’ ： 6’
5’x2h- 6’x1.5h=5
解得1’=5
已知王花两小时到达甲乙两点中点丙，
则王走完甲乙全程需要四小时
5’x5x4=100
隧道
车尾
车头
车头
车尾
车头
车尾
149s
151s
设公共汽车速度为v，车长为L
则有隧道长+车长=151v 即1500+L=151v
隧道长-车长=149v 即1500-L=149v
可联立解方程求解得L=10，v=10
也可直接代入选项
I
1 11.
52
桥长=1440
所求
因为题目给出的动车速度单位为千米每小时，
题目所求单位却为米每秒，因此要统一单位，
288/3.6=80m/s（固定公式）
设车长=L
由图可看出
列车完全在桥上的路长=桥长-车长=1440-L
动车21s所行驶的路长=21x80=桥长+车长=1440+L
解得L=240
则列车完全在桥上的时间=（1440-240）/80=15
21v
53
⼀、环线相遇模型
运动出发、地点时间相同时，
环形周⻓L=速度和x相遇时间（t）
S甲=AC
AB
C
AB为同⼀点，为区分甲⼄路程轨迹
所以将顺时针这段绿⾊轨迹表示为
BC
逆时针这段⻩⾊轨迹表示为AC
S⼄=BC
L=AC+BC
=V甲 x t+V⼄ x t
=（V甲+V⼄）t
⼆、环线追击模型
运动出发、地点时间相同时，
环形周⻓L=速度差x相遇时间（t）
B
C S⼄=BC
AD为甲出发和相遇点、
BC为⼄出发和相遇点
绿⾊轨迹BC为⼄的运动轨迹
整段⻩⾊轨迹AD为甲的运动轨迹
L=AD-BC
=V甲 x t-V⼄ x t
=（V甲-V⼄）t
D
＇
C
A
E
(S
54
因为甲乙同时从同一点往相反方向运动，
则每一次相遇时，出发到相遇这段时间内
两者路程和都为一圈跑道且两者运动时间相等
t相同时，甲乙运动路程与速度成正比。设甲速度为2v，乙为v
第一次相遇 甲 乙
V 2v ： 1v
S 2’ ： 1’ 2’+1’=一圈
第二次相遇 甲 乙
V 1 ： 1
S 1’ ： 1’
也可以用3分钟/（2/3圈）
求出甲走完整一圈的时间为4.5分钟
即甲走半圈的时间为4.5/2=2.25
2’+1’=一圈
从出发到第一次相遇时，甲走了2/（2+1）圈，耗时3分钟
从第一次相遇到第二次相遇时，甲走了1/（1+1）圈
甲v不变，路程与运动时间成正比
第二次：第一次路程比= =t2:t1
已知t1=3分钟，则t2=（3/4 ）x 3=2.25分钟
55
第四次相遇距离第一次相遇时两人路程和应为（4-1）圈
设小王速度为a，小张速度为b
一圈=38b+18x（a+b）=(18+49)a
小张先跑38s
两人同时跑18s
小王跑了18+49又
回到出发点即一圈
解得a：b=8:7，t相同，速度路程成正比，
则可将一圈看出7+8份
即这三圈路程和中小张共跑了
从第一次到第四次相遇过程中，小张的起点为第一次相
遇的距离，当小张运动路程＞ 一圈时，用小张总路程-nL
则可得出他离起点多远，即用560-400=160
如果甲乙同向且同起点运动，
在第一次追及过程中由于两者运动时间不相同，
所以不需要通过多跑一圈来超过对方，
因此第一次相遇时两人运动路程是相同的，两人S差=0
那第二次相遇时，乙本来应该比甲多跑一圈=400米
但由题干得知此时乙只比甲多跑250米，
说明甲乙出发点不同且甲离甲乙第一次相遇点更远一
甲出发点
乙出发点
第一次相遇
第二次相遇
第二次相遇时
甲总运动路程=a+b+c
乙总运动路程=b+c+400
则乙S总-甲S总=400-a=250
即甲乙距离差距a=400-250=150米
a
b
c
↓
N
D
V
·S
56
第二次相遇时，甲比乙多跑一圈=500米
题干给出第一次相遇后甲又跑了1200米第二次追上乙
则这阶段乙跑了1200-500=700米
可得第一次相遇-第二次相遇S甲：S乙=1200:700=12:7
t相同，路程速度成正比，则这个时间段v甲：v乙=12:7
又因为第一次相遇后，甲提速了20%
则出发-第一次相遇v甲：v乙=12/1.2:7=10:7
相同时间内，路程速度成正比
出发-第一次相遇S甲：S乙=10:7
由题意可知出发-第一次相遇S甲=600米，
即S乙=（600/10）x7=420
600-420=180
．
57
36
一、匀变速运动
知识铺垫
1、概念
沿着⼀条直线且加速度（可正可负）不变的运动，叫做匀变
速直线运动
2、相关公式
（1）速度公式
V=Vo+at（初速度Vo、加速度a、时间t、末速度V）
（2）平均速度公式
V平=（V初+V末）/2
3、类型
1、匀加速直线运动：物体的速度随时间均匀增加
2、匀减速直线运动：物体的速度随时间均匀减⼩
4、解题必备能⼒
1、利⽤V初和V末求出V平
2、根据V平倒推出V初或V末
5、⼩技巧
（1）逆向思维法
对于末速度为零的匀减速直线运动，可将其视为初速度为零
的匀加速直线运动反向处理。
（2）图象法
v−t图象：图象的斜率表示加速度，图象与时间轴围成的⾯
积表示位移。
58
得甲乙做追及运动 S差=（V甲-V乙）xt
即200=（V甲-5）x10 解得V甲=25
因为甲做匀变速，所以V甲为平均速度
匀变速运动中，V平=（V初+V末）/2
因为甲从0加速开始加速，则V初=0
即V末=2V平-V初=2x25-0=50
匀变速运动中，V平=（V初+V末）/2
设最大速度为v，
因为该车从0开始匀加速到最大速度，又从最大速度匀减速到0
则这辆车在匀加速和匀减速中平均速度都=（V+0）/2=1/2v
又已知路程为20km，行驶时间为20分钟
则该车在甲乙两地的平均速度=20/（1/3）=60km/h=1/2v
得v=60x2=120
1/3h
59
前半段
后半段
25%
15
21
21km/h
25%
25%
25%
A
B
C
D
E
李某在AB段做匀变速运动，
匀变速运动中，V平=（V初+V末）/2
即V平=（15+21）/2=18
BC与CD段运动时间、S都相同，则这两段运动时间也相同
所以前半段与后半段的时间差由AB与DE这两段产生
S相同，速度和时间成反比
AB DE
V 18 ： 21
t 7’ ： 6’ 7’-6’=3分钟=3/60h
即总路程=4xS（AB）=4x（1/20）x7x18=25.2
V平=18
第一小时： 时间相同，路程速度成正比
S甲：S乙=1:1.5=V甲：V乙平1=2:3 即V乙平1=3v
3v=（2v+V末）/2 即第一小时末乙的速度为4v
第二小时： 时间相同，路程速度成正比
V乙平2=（V初+V末）/2=（4v+v）/2 =2.5v
为乙的平均速度x1h
设甲乙从A地出发时速度为2v
则S（AB）=3vx1+2.5v x1
甲所需时间=5.5v/2v=2.75h 乙到达时，时间已过去2h
（2.75-2）x60=45分钟
I
I
I
-
60
得S1+S3=S1+13.5=S2
即Ｓ2-S1=13.5
S1
S2
S3
设小李在S2中行驶的速度为v ，
则小李在S1中的平均速度=（0+v）/2=0.5v
匀加 匀速
V 0.5v ： 1v
t 10 ： 20
S 1’ ： 4’ 4’-1’=13.5
1/3h
S匀速=4x（13.5/3）=18
即V匀速=S匀速/t=18/（1/3）=54
起点
A
B
C
甲乙接棒处
乙起跑处
乙起跑时甲所在位置
在C点接力时，乙的速度最大只能为8km/h，因为甲最
大速度为8，如果乙超过这个速度，甲将追不上乙
为取得最好成绩，则乙需要在C处速度达到最大值8
可得t=8/2=4（速度/加速度=t）
V乙平=（0+8）/2=4
甲乙运动时间相同，为追及模型
S（AB）=（V甲-V乙平）xt=（8-4）x4=16
此时V甲=8
-
111
I
61
38
二、牛吃草问题
知识铺垫
1、题型辨析
题⼲中具有某个初始量（⼀⽚草场），并受两个因素（⽜与
草）的制约
2、相关模型
（1）⼀个减少原始量（⽜吃草）、⼀个增加原始量（草⽣
⻓），为追及模型：
原始量=（⽜吃草速度-草⽣⻓速度）x时间
（2）都减少减少原始量（⽜吃草、草枯萎），为相遇模型
原始量=（⽜吃草速度+草⽣⻓速度）x时间
（3）维持原始量不变（草吃不完），为极值型（追及模型）
原始量=（⽜吃草速度-草⽣⻓速度）x时间
3、设值技巧：
设恒速变化的量为a（如草⽣⻓速度）、设⼀个变速量的单位
时间消耗为“1”（如⽜的数量不定变速，则设⼀头⽜⼀天吃草
为“1”
62
设每天自然损耗为a
该题两个量都减少原始量，为相遇模型
原始量=（1.5+a）x50=（2+a）x40
解得a=0.5
（1.5+0.5）x50=100
设每分钟排队人数为a，每个窗口每分钟能办理1人
一个量减少原始量，一个量增加原始量，该题为追及模型
原始量=（3-a）x90=（5-a）x45
解得a=1
原始量=（3-1）x90=180
180/（6-1）=36
恒速
恒速
则一头牛吃草量=两只羊吃草量
10头牛+20只羊=30只羊的吃草量
63
设每小时新增市民人数为
一个量减少原始量，一个量增加原始量，该题为追及模型
（8-a）x6=
a=4 即原始量
b个接种台
b-1.25x4）x2=24
恒速
即开采速度小于等于沉积速度
S
a=70 70/1=70
解得
x300
）
80-a
（
x100=
）
100-a
（
=
原始量
一个量减少原始量，一个量增加原始量，该题为追及模型
1
，每人每年消耗
a
设每年资源生成速度为
即消耗速度等于生成速度
恒速
a=30 30/1=30
解得
x10x30
）
60-a
（
x6x30=
）
80-a
（
=
原始量
一个量减少原始量，一个量增加原始量，该题为追及模型
1
，每人每天开采
a
设每天沉积速度为
b=17
解得
（
设需开至少
x6=24
）
8-4
（
=
解得
x3
）
12-a
（
=
原始量
人
1
，每个接种台每小时能办理
a
恒速
64
1、基本计数思维和原理
（1）、分类
是做事时按不同的⽅式去做，且每种⽅式均能完成此
事。在计算结果时，将每⼀类⽅法数相加，即为完成这
件事的⽅法数;
（2）、分步
是做事时分不同步骤去做，所有步骤完成后才能完成此
事。在计算结果时，将每⼀步⽅法数相乘，即为完成这
件事的⽅法数。
⼆、枚举法
（1）、含义
⼜称穷举法，是⼀种通过逐⼀列举问题所有可能的解或
情况来解决问题的⽅法。
（2）、核⼼思想
①有序性：按照⼀定顺序（如从⼩到⼤、从左到右、分
类分层）列举，避免混乱。
②不重不漏：确保每种情况都被覆盖且仅被列举⼀次。
65
15元是由不同维修工时费组合加和的结果
9元 6元 3元
1 1 0
1 0 2
0 1 3
0 2 1
0 0 5
数量
金额
共5种
A B C D
4 3 1 3
A B C D
4 3 2 2
当AC同色时
当AC不同色时
既不跟A同色，也不能跟B同色
既不能跟C同色，也不能跟A同色
4x3x1x3+4x3x2x2=84
不跟A同色
↑
66
小时
分钟
秒钟
正常情况下六位数的可能性
．
0-2
0-4 0-5
0-9
0-5
0-9
因为59分59秒会跳成0:00而不是60:60
由题干可知，小时两位数固定为10
分钟第一位数取值本为0-3，但由于六个数字彼此不相
同，所以只能取2（不能取3是因为取3后三为只能选0才
在10:30:00之间
1
0
：
：
：
：
2
前三位数固定
小时
分钟
秒钟
当第二个分钟位置取0-5时，由于不能重复，只能有345
三个可能性，而此时第一个秒钟位置的取值只能剩两个
当第二个分钟位置取6-9四个可能性时，此时第一个秒
钟位置的取值能取345三个可能性
0-5
0-9
0-5
6-9
无论前面取何值，
都是10-5=5个可能性
即必须为一间餐厅租用并打通两个铺
12（餐厅） 3 （水果） 4（餐厅）5（水果）
1（水果） 23 （餐厅） 4（水果）5（餐厅）
1（餐厅） 2 （水果） 34（餐厅）5（水果）
1（水果） 2 （餐厅） 3（水果）45（餐厅）
共有四种店铺安排方
案，由于任意交换两个
餐厅或水果店之间的顺
序结果不同，用组合
D
②
67
42
二、排列组合
知识铺垫
1、乘法原理和分步计数法
（1）乘法原理
做⼀件事，完成它需要分成n个步骤，做第⼀步有m1种
不同的⽅法，做第⼆步有m2种不同的⽅法，……，做第
n步有． mn种不同的⽅法，那么完成这件事共有
N=m1×m2×m3×…×mn种不同的⽅法。
（2）合理分步的要求
任何⼀步的⼀种⽅法都不能完成此任务，必须且只须连
续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独⽴；只要
有⼀步中所采取的⽅法不同，则对应的完成此事的⽅法
也不同。
2、排列（数）和组合（数）
（1）、排列数：从n个元素中选出m个元素做不同的
事，⽤排列数计算， (n个元素全选为 )；
（2）、组合数：从n个元素中选出m个元素做相同的
事，⽤组合数计算， (①若只选⼀个元素⽤组合数列
式;② )
3、简便理解
n个元素中选出m个元素，不换元素，换⼀下所选元素的
对应位置，结果不同⽤排列、结果相同⽤组合
68
前三位为数字，则每位
都从0-9选（可重复）
后两位为大写英文字母，且排除OI
则第一个字母从26-2=24个字母里面选，
第二个字母从24-1=23个字母里面选（不可
重复）
因此有
共10个数字
可不用计算，答案必有三个零，排除CD
4x3尾数为2，排除B
余26-2=24个字母
假设AB两人通话，无论是A打给B还是B打给A，
都是同一次互通电话，即结果相同用组合。
代入选项
A: 20x19/2=190 排除
B：18x17/2=153 排除
C：16x15/2=120 当选
o
69
即三位数若要构成回文数，百位数要等于个位数
且百位数不能取0
百位数 十位数 个位数
1-9 0-9 跟百位数相等
即要先从ABC社区中选择建设基站的地点，假如B四个地点
分别为abcd，选ab地点和ba的结果相同，所以用组合
再将地点分配给甲乙丙三个施工队建设，由于甲建设A
与甲建设B的结果会改变，所以用排列
注意：
遇到这种题要先将元素全部挑选出来，再去进行排列
70
可将这四名运动员分别看成中1、中2、外1、外2
这个位置必须为中国人，二选一
任意调换两个人的位置会导致结果不同，用排列
先两个10和三个20元中选择符合加和为40的元素，选
第一个20元和第二个20元的结果（都为20元）相同，
所以用组合
再将10块和20块分配给方案内的不同景点，景点不
同、互换元素结果会改变，所以用排列
40
10+10+20
20+20
可能的游览方式由两种方案可能性加和：18+6=24
7
I
71
等
观察图可得，面积相同的区域分别为① ②、③⑤⑥、④⑦
先从三份相同面积的展位中选择三个区域出来分配给甲乙
丙，假如甲选择面积相同的④ ⑦，他选择④和⑦结果（面积
没有变化）都相同，用组合
再将三个不同的面积分配给甲乙丙，假如甲乙互换位置结果
会改变，所以用排列
1、先分配方案：
① 两个国内媒体一个国外媒体且顺序为内外内
②两个国外媒体一个国内媒体且顺序为外内外
2、再分配元素，元素不能重复
①内外内
②外内外
360+120=480
I
72
45
一、常用方法
知识铺垫
1、元素要求相邻，运⽤“捆绑法”
将要求相邻的元素捆绑成⼀个整体，先考虑捆绑的
整体的内部是否考虑顺序，再考虑外部。
2、元素要求不相邻，运⽤“插空法”
先排没要求的其他元素，再将不相邻元素插⼊到其
他元素形成的空当中。
3、反算法
按照题⽬要求正向思考分类较多，解题较复杂，运
⽤“反算法”。所有情况数-不符合要求的情况数
(⼀般情况，题⽬要求“⾄少”“⾄多”“不能....…”都可
以尝试反算法)
4、注意
如果题⽬限定了每个对象分得元素的数量⼤⼩关
系，则通过枚举计数
技巧：从⼩到⼤确定分得的元素个数
73
即相邻用捆绑法
则油画一定放中间
即3幅油画、4幅国画、5幅水彩画分别捆绑成三堆
第一步：先安排内部顺序
油画 国画 水彩画
第二步：再安排元素去到哪个位置
即不能相邻用插空法
其余三部分没要求，先安排
形成四个空位，插进观看视频和阅读文章，更换二者位置
结果会不同，用排列
I1
74
两个大项共选六个项目，情况较多。而题干给出的不符合
条件情况只有两种（滑雪大项选择0和滑冰大项为0），因
此用反算法较快
不考虑分项来源时
从9项中选6项的可
能性
滑冰大项小于0
的时候，即六项
全为滑雪大项
因为滑冰分项小于6，所以
选择六项时不可能没有滑雪
大项
3x3表格共有9个空格，要填入5个0和4个1的情况较多。
而题干给出的不符合条件情况只有一种（灰色方格里都
填1），因此用反算法较快
不考虑灰格填什么
数字时，从9个方
格选取4个填0，则
5个0填入其余方
格，为全部可能性
当三个灰色方
格里都填1，剩
下一个1在剩余
6个方格找一个
位置
I
75
1、插板法
把n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象⾄少⼀
个元素，问有多少种不同分法的问题可以采⽤“隔板模
型”，共有 种。
这类问题模型适⽤前提相当严格，必须同时满⾜以下3
个条件：
（1）、要分配的元素必须相同
（2）、要分给的对象必须完全不同
（3）、每个对象⾄少分到⼀个
2、不同元素分给不同对象的解题步骤
（1）、根据分配对象分类讨论
（2）、每⼀类对象确定具体元素
76
名额为相同元素
不同分配对象
满足隔板模型三个条件，得
先分给甲部门2本、乙部门1本、丙部门3本，则剩下
11-2-1-3=5本，此时条件则转换成每个部门至少发放1
份材料
相同元素
不同对象
满足隔板模型三个条件，得
已知三个学校每个学校各需要多少名教师，则直接从六名
老师中选取对应数量的老师数即可，因为AB与BA去乙学
校结果不变，用组合
77
只知三个学校需要多少名教师，却不知道确定数量对应
的学校是哪一个，此时可分步考虑。
第一步：先将六名老师分成对应数量的三堆，因为AB与
BA去乙学校结果不变，用组合
第二步：因为两名教师与三名教师去乙学校结果变化，
用排列
分步讨论用相乘
虽然已知地每地各送多少箱水果，则直接从六箱水果中分
配对应箱数即可，此时因为甲乙与乙甲去B地结果不变，
用组合
但水果需要由配送员配送，且没有指定好配送员的配送
地，还需再将配送员分配给三地，更换配送员配送的地点
结果变化，用排列
分步讨论用相乘
78
第一步：确认甲乙位置，甲乙一个在上午一个在下午，更
换二者顺序结果变化，用排列
第二步：分配小组其他成员，上午从四人中选取两人则
剩余两人就是下午组，无论丙丁还是丁丙在上午结果不
变，用组合
分步讨论用相乘
方法1:
甲乙和乙甲护理同一病房结果都为两人护理一
个病房，用排列
将分成三堆的护士分配给三个病房，更换位置
结果改变，用组合
分步讨论用相乘=6x6=36
方法2:
第一步：定个数
病房1 病房2 病房3
2 1 1
1 1 2
1 2 1
第二步：定元素
分类讨论用相加：12+12+12=36
79
第一步：定个数
一线1 一线2 二线1 二线2
2 1 1 1
1 2 1 1
第二步：定元素
分类讨论用相加：60+60=120
第一步：每一个部门分配一个不相同的活动，用排列
第二步：将3个活动分成个数为“2、1、0”三堆，活
动12和活动21都为2个活动，结果不变用组合
将三堆不同数量的活动分配给三个部门，结果变化用
排列
．
分类讨论用相加：
英语翻译工作不能安排甲乙丙，嘉宾、物资不能安排丙
所以分配时先考虑他们
第一步：定个数
英语 嘉宾 物资 防疫
3 4 3 3
第二步：定元素
除甲乙丙
外的三人
除丙和给英
语外的四人
剩余三人
除丙和给英语、嘉宾外的三人
-
80
丙 乙 甲
2 1 2
1 1 3
第一步：定个数
第二步：定元素，因为丙科室有限制条
件，先安排丙
在除张王的三人中挑选
分类讨论用相加：9+12=21
则有两大类分配方案
第一大类
!
定个数：将六个消防员分成1人 1 人1人 3人（该人
数排列有四种可能性）
"
定元素：位置已确认好，用组合
第二大类
!
定个数：将六个消防员分成1人 1 人2人 2人（该人数
排列有6种可能性：从四个空中选出两个空给2用组合）
"
定元素：位置已确认好，用组合
分类讨论用相加：480+1080=1560
81
1、含义
若⼀个随机试验满⾜以下两个条件：
（1）有限性：试验的所有可能结果（基本事件）是有限个；
（2）等可能性：每个基本事件发⽣的可能性相同。
则称该试验为古典概型试验，其概率模型称为古典概率模型。
2、计算公式
A事件：通常为问题中提出要求解的事件
3、概率可通俗理解为⽐重
例⼦：
抛掷⼀枚均匀硬币，可能出现“正⾯”或“反⾯”，两个结果
有限且等可能，P(正⾯)=1/2。
掷⼀枚均匀骰⼦，点数1到6是有限且等可能的，P（点数为
偶数）=3/6=1/2。
A事件发⽣的等可能样本数
总的等可能样本数
82
即某70件的订单是由10/20/50凑成，而不会出现5件或其他数量
利用枚举法，可得以下8个70件组成方案（优先从大数开始枚举）
10件 20 件 30件
1 0 2
0 2 1
2 1 1
4 0 1
10件 20 件 30件
1 3 0
3 2 0
5 1 0
7 0 0
即P=4/8=1/2
总样本：从六个月饼选出三个，拿abc跟bca结果都为拿三个
月饼，结果不变用组合
所求样本数：从三个咸蛋黄馅取一个，从剩余三个月饼选
一个，结果不变用组合
即P=9/20
则3人通过的概率分别为（1-1/2）（1-1/3）（1-1/4）
三个人都通过科目一的概率=1/2 x 2/3 x 3/4=1/4
/
83
1、捆绑法
将要求相邻的元素捆绑成⼀个整体，先考虑捆绑的整体的内部
是否考虑顺序，再考虑外部。
2、插空法
先排没要求的其他元素，再将不相邻元素插⼊到其他元素形成
的空当中。
3、反算法
按照题⽬要求正向思考分类较多，解题较复杂，运⽤“反算
法”。所有情况数-不符合要求的情况数
(⼀般情况，题⽬要求“⾄少”“⾄多”“不能....…”都可以尝试反
算法)
4、隔板法
把n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象⾄少⼀个元素，
问有多少种不同分法的问题可以采⽤“隔板模型”，共有
种。
这类问题模型适⽤前提相当严格，必须同时满⾜以下3个条件
（1）、要分配的元素必须相同
（2）、要分给的对象必须完全不同
（3）、每个对象⾄少分到⼀个
5、优限法
当解决排列组合问题时，我们优先考虑有限制条件的元素或者
位置，再去考虑其他没有限制条件的元素或位置的⽅法。
84
_ 丁 _
_ _
三个不同元素放不同
位置，用排列
四个不同元素放不同
位置，用排列
假如两人作答顺序要相同，那必然234题相同（绿色字迹）
丁
即要求车不相邻，
优限法
P=60/210=2/7
即
顺序结果不同，用排列
bca
跟
abc
个插空位置（即给车停的位置），可供车选择，
5
此时产生
_
空
_
空
_
空
_
空
_
车位
停车的空车位，七个车位除去要停的三个车位剩四个为空
先安排其他没有要求的元素即不
（插空法）
：
所求样本数
果不同，用排列
停车顺序结
bca
跟
ab c
个车位选出三个给车停，
7
：从
总样本
用插空法
事件
A
P=
即
（两人答题顺序要相同，所以只有一种可能性）
当小张答题顺序确定下来时，小王答题顺序也自然确定下来
剩下两个不同元素放入小张第一五题不同位置，用排列
甲
乙
小王
小张
乙
_ _
甲
_
第五题
第四题
第三题
第二题
第一题
85
即相同课程学习日期相邻
即七天里学习2x2=4天
且不用对日期进行排序（例如假期是从一号到七
号，那客观世界里日期就是从1-7，不会出现
1235647这样的日期排序）
总样本：正常7天是7个独立的整体，但每门课程要连续学习
2天，所以要将连续的两天捆绑成一个整体。
7天中能捆绑成两天的日期有12、23、34、45、56、67五个
要从五个整体中选出两个给甲乙，甲乙跟乙甲顺序结果不
同，用排列
甲
乙
（假如小王在12号学甲、在45号学艺，那必然是第一个空
对应1、2号；第三空对应45日，第二个空对应3号，这样
才符合客观实际中日期的排序）
所求样本数：要使不学习的三天均不相邻，则只有甲乙在
第2、第4空的情况，甲乙跟乙甲顺序结果不同，用排列
则有只选叶雕、只选皮影、两个都选三种情况，而反面
为两个都不选一种情况，用反算法可减少计算步骤
总样本：从8个展厅选出三个参观 ，a bc跟bca都为参观三
个展厅结果相同，用组合
不符合要求样本数：要使叶雕和皮 影都不选，则需要从
余下6个展厅选三个参观，结果相同用组合
（也可先选两个位置再给甲乙排序=
367
86
即树为相同元素
不同对象
满足隔板模型三个条件，得总样本数
所求样本数：先让小王修剪3-1=2棵，则树剩下6-2=4棵，此
时条件则转换成每名工作人员至少修剪1棵材料（满足隔板模
型三个条件）
P=3/10
由整除特性得优秀人才为175名
得党员人数：非党员人数=（3倍+1倍）：1倍=4:1
即党员人数=175x4/5=140
140x10%=14
14个人数分配给12个基层单位且每个基层至少分配1人
满足隔板模型三个条件，得总样本数
不同对象
相同元素
所求样本数：
1、甲分三个：1
2、甲分两个：还剩12个人数（也可以理解为名额）此时分给
剩下11个单位还剩下1，11个单位都有可能分得，样本数为11
分类用加和：1+11=12
总人数被分为（4+1）=5
份，党员人数占四份
87
1、不同元素分配相关概念
（1）、不均分
是指分完后每⼀份数量不⼀样
例：四个不同颜⾊的⼩球，分作两份，分别为1个和3个。
（2）定个数
是指把元素按照要求分开就⾏
例：把四个不同颜⾊的球分成1个和3个。
（3）定元素
是在定个数的基础上需要将分好的个数再分配给相应的对
象。
例：4个颜⾊不同的⼩球，分给⼩王和⼩李，其中⼀⼈拿3
个，另⼀⼈则拿1个。
2、基本做题思路
（1）定个数：将元素依照题⼲条件分不同个数到若⼲组，
组内元素⽆序。
（2）定元素：将分好的组分配给不同对象，对象有序。
88
将七个一人分成三组且需要人数各不相同，则只能是1、2、
4这个人数组合
总样本数：从七个人中选择一个人去一人组，剩下六个人选
择两个去二人组，剩下四人自动归去四人组，abcd和adcb都
是四人，结果相同用组合
所求样本数：2位博士要在同一小组，则要么在二人组，要
么在四人组
分类1:2位博士在二人组
此时需要在剩余五个硕士中选一个人去一组，剩余四人自动
归在四人组，abcd和adcb都是四人，结果相同用组合
分类2:2位博士在四人组
此时需要在剩余五个硕士中选两个个人去四人组组，剩余三
人选一去一人组，则剩余两人自动归在二人组，ab和ba都是
两人，结果相同用组合
分类用加和：30+5=35
89
第一步：定个数
五人分给四个任务组且每组至少一人，则只有1、1、1、2这
个人数组合
A（非张） B C（一定有李） D（只分配一人）
2 1 1 （李） 1
1 2 1 （李） 1
1 1 1（李）+1 1
第二步：定元素
分类1
分类2
分类3
分类1:从非张非李其余三人选两人给A组，从非李和非A
两人其余两人选一人给B组，其余两人自动分别归在CD
组，王刘和刘王都为两人，结果不变用组合
分类2:从非张非李其余三人选1人给A组，从非李和非A一
人其余三人选两个人给B组，其余两人自动分别归在CD
组，王刘和刘王都为两人，结果不变用组合
分类3:从非张非李其余三人选一人给A组，从非李和非A
两人其余三人选一人给B组，从非AB和非李其余两人选
一个给C组，剩余一人自动归在D组，某刘和刘某都为
两人，结果不变用组合
总样本数：分类⽤加和=6+9+18=33
所求样本数：
张王要分配在同一组只可能是分类2，此时剩余刘陈，分
配去不同的组别AD用排列
90
第一步：定个数
四人分给三个勘探点且每个点至少一人，则只有1、1、2
这个人数组合
勘探点1 勘探点2 勘探点3
2 1 1
1 2 1
1 1 2
第二步：定元素
分类1
分类2
分类3
分类1:从四位专家中选取两人去点1，从余下两人选取一人去
点2，则剩余一人自动归在C组，甲乙和乙甲都为两人，结果
不变用组合
分类2:从四位专家中选取一人去点1，从余下三人选取两人去
点2，则剩余一人自动归在C组，甲乙和乙甲都为两人，结果
不变用组合
分类3:从四位专家中选取一人去点1，从余下三人选取一人去
点2，则剩余两人自动归在C组，甲乙和乙甲都为两人，结果
不变用组合
其实这三类都为一个数字组合互换顺序，元素没有特殊
规定，可直接只计算第一种分类，再乘以分类数即可
总样本数：分类用加和=12+12+12=36
所求样本数：
甲乙要分配在不同勘探点有许多情况，而不符合要求只需要满
足在同一组即可，为了简便计算和不漏数用反算法
当甲乙在三个点中任选同一点时，此时剩余丙丁，分配去不同
的点用排列
I
91
1、题型辨析
当题⽬要求两个元素（如⼩王和⼩李）处于特定相对位
置（如同⼀队、同⼀排、相邻等）时适⽤。
2、基本公式
P（A)=事件包含的等可能样本数/总的等可能样本数
3、解题步骤
固定元素：假设其中⼀个元素的位置已确定
计算分⺟：确定另⼀个元素的可能位置总数
计算分⼦：确定满⾜题⽬要求的位置数
代⼊公式：求出概率
示例：
某单位6⼈随机组成3队，每队2⼈，求⼩王和⼩李在
同⼀队的概率。
解：固定⼩王的位置，⼩李只能在剩余5⼈中选，其中
只有1⼈与⼩王同队。
P= 1/5
定位法通过简化问题，快速计算复杂排列组合问题中的概
率，尤其适⽤于元素位置关系明确的场景。
92
方法1:
总样本数：从30个格子中挑两个位置给两颗不同棋子，用排
列
所求样本数：先从五排中任选一排给两个棋子，用组合
再从该排六个位置挑两个位置给2颗不同的棋子，用排列
分步用相乘
方法2:定位法
假设其中一个棋子的位置已确定在某一排，
另一个棋子总样本数：30-1=29
另一个棋子的可能位置总数：6-1=5
P=5/29
定位法
假设甲的位置已确定在某一趟列车上，
乙购买车票总样本数：15
乙跟甲同车可能的总数：1（甲买哪趟他买哪趟）
P=1/15
分类用加和，从A地到B地共有6+5+4=15趟车次
即一排有30/5=6个格子
93
方法1:反算法
A试验田至少2年种同一种作物有许多情况，而不符合要求只
需要满足三年都种不同作物即可，为了简便计算和不漏数用
反算法
总样本数：第一年从五种作物中挑一作物种，第二年从五种
作物中挑一作物种，第一年从五种作物中挑一作物种，用组
合
不符合所求样本数：第一年从五种作物中挑一作物种，第二
年从剩余四种作物中挑一作物种，第三年从剩余三种作物中
挑一作物种，用组合
方法2:定位法
分类1:两年相同
假设其中两年的种植作物已确定为一种，
三年种植作物可能性总样本数：
两年相同另一年不同的可能位置总数：
分类2:三年相同
假设三年都种植同一种作物，
三年种植作物可能性总样本数：
该种作物可能的总数：5
先从三年中选取两年为种植相同的，再从五种作物中选取一
种作为相同的，则剩余一年从余下四种 作物中选取一种种植
分类用加和，
画粉圈的老师笔
记中没有体现，
因为在计算时可
看出5/5即1，不写
也没关系
假设其中一个大人的位置已确定在某一个木马上，
另一个大人座位总样本数：6-1=5
另一个大人的可能位置总数：5-2=3（不能在第一个大人左右两边）
P=3/5
94
1、定义
如果每⼀个事件发⽣的概率只与构成该事件区域的⻓
度(⾯积或体积)成⽐例，则称这样的概率模型为⼏何概率
模型。
2、特点
① 试验中所有可能出现的基本事件是⽆限个；
② 每个基本事件出现的可能性相等。
3、⼏何概型中事件A发⽣的概率公式：
4、注意
⼏何概型当然不只是可以⽤⻓度的占⽐来计算，⾯积的占
⽐、体积的占⽐等等，都可以计算某个特定事件的⼏何概
率。
5、速解公式
P（A）=
构成事件A的区域⻓度（⾯积或体积）
试验的全部结果构成的区域⻓度（⾯积或体积）
总⻓度
要求⻓度
所求概率= a+（a-1）
a
a
a=
95
a=30/15=2 P=2+（2-1）/（2x2）=3/4
a=30/10=3 P=3+（3-1）/（3x3）=5/9
a=100/25=4 P=4+（4-1）/（4x4）=7/16
30分钟可分成两个15分钟，甲乙到达
时间总样本=2x2
能见面的是前半个15分钟、后半个15
分钟、横跨两个时间段的15分钟
②
①
③
①
②
③
④
⑤
30分钟可分成三个10分钟，两人到
达时间总样本=3x3
能见面的是三个独立的十分钟和两
个横跨两个时间段的十分钟
100米可分成四个25米，两人所在
位置总样本=4x4
能听到呼喊的是四个独立的25米
和三个横跨两个距离段的25米
②
①
③
④
⑤
⑥
⑦
111
11
11
111
96
59
一、基础知识
知识铺垫
1、基本公式
97
2、平⾏线相关性质
（1）两条平⾏线被第三条直线所截，同位⻆相等，如图⼀
（2）两条平⾏线被第三条直线所截，内错⻆相等，如图⼆
（3）两条平⾏线被第三条直线所截，同旁内⻆互补，如图三
图1
图2
图3
两⻆相加=180度
iii
98
A选项：要证明BC=BG，可用角BCA=角BGC即三角形BCG
为等腰三角形 证明
因为
所以
BC=BG成立
B选项：选项没有涉及边长相关数据，先不看
C选项：由题意得
从A选项得
所以
又因为三角形ABC为直角三角形，所以角CBA为直角90度
即
则
D选项：由C选项解析已得
选项ACD都成⽴，即B选项不成⽴，当选
内错角
2
-,
99
方法1:令等腰直角三角形的一条直角边边长=2
2
2
2
由题意可知所有等腰三角形和等腰梯形面积均相等，
可得所有三角形和梯形分别都为全等图形，
即图中两条黄线相等，点A为三角形斜边的中点，
所以AB=三角形直角边的一半=2/=1
同理可得CD=1
设BD=a S三角形=2x2x1/2=S梯形=（a+a+1+1）x1x1/2
解得a=1
S小
▪
=（1+1+1）x（1+1+1）=9
4xS三角形=4x2x2x1/2=8
地砖：木地板=8:9
A B
C
D
方法2:在图形内做辅助线
②
①
③④⑤⑥
由题意可知所有等腰三角形和等腰梯
形面积均相等，观察可得S ①=S ④、
S②=S ⑤、S③=S ⑥
令等腰直角三角形的一条直角边边长
=2，即AB=BC=CD=2/2=1
即S小
=（1+1+1）x（1+1+1）=9
4xS△=4x2x2x1/2=8
地砖：木地板=8:9
A
B
C
D
-
100
-
=80+10+10=100
阴影
S
FBC=10
△
FGC=S
△
S
FAD=10
△
FED=1/2S
△
S
所以
中点
BC
、
AD
分别为
G
、
E
且
同高
FGC
△
与
FBG
△
、
同高
FED
△
与
FAE
△
又因为
x1=20
）
1+4+1
（
FCB=120/
△
FAD=S
△
S
x4=80
）
1+4+1
（
DFC=120/
△
S
FB=1:4:1
：
DC
：
= AF
FB C
△
S
：
DFC
△
S
：
FAD
△
S
所以
AF=FB=1/4DC
得
中点
AB
为
AB=1/2CD F
且
同高
FCB
△
、
DFC
△
、
AFD
△
因为
FC
、
FD
分别连接
2:
方法
=120-20=100
白色
-S
梯形
=S
阴影
S
=1/4x80=20
白色
S
ABxH=80
即
xHx1/2=120
）
AB+2AB
（
xHx1/2=
）
AB+CD
（
=
梯形
S
x2=1/4ABxH
）
1/2x1/2ABx1/2H
（
=
x2
）
1/2xAFxh
（
=
白色
S
H=2h AF=FB=1/2AB
中点，所以
AB
、
AD
分别为
F
、
E
因为
AN=h
，
AM=H
，令
N
于点
EG
垂直于
AM
，
M
于点
DC
点做线垂直于
A
，过
EG
连接
1:
方法
101
V铜柱1=
V铜柱2=
一个铜球体积=
3
9
9
12
12
10
10
4
9
102
1、三⻆形的⾯积相关知识
①同底等⾼的两个三⻆形⾯积相等;
②同⾼等底的两个三⻆形⾯积相等;
③底边相等的两个三⻆形，⾯积之⽐等于⾼之⽐;
④⾼相等的两个三⻆形，⾯积之⽐等于底边之⽐;
2、蝴蝶定理
在矩形中，两条对⻆线将矩形分成四个三⻆形。
设这四个三⻆形的⾯积分别为S1、S2、S3、S4，
则有以下结论：
（1）S1=S3
（2）交叉相乘积相等：S1×S3=S2×S4
S1
S3
S2
S4
103
连接A E
则 △FAG 和△EAG为同底等高的三角形
所以S△FAG =S△EAG
S阴影=S△FAG +S△BAD=S△EAG+ S△BAD=S△EAD
=1/2xCDxAD=1/2x100x240=12000
连接BE
则 △COE 和△BOE为同底等高的三角形
所以S △COE =S△BOE
S阴影=S△DOE +S△COE=S△DOE+ S△BOE=S△DBE
=1/2xDExBC=1/2x600x400=120000
ADEF为矩形，所以AF=DE=600；
BCEF为矩形，所以FE=BC=400
ABCD 为矩形，所以AB=CD=100
104
因为△AOD与△COD同高
所以S△AOD ：S△COD
=AO：CO
=9:12=3:4
又因为△AOB与△BOC同高
S△AOB：S△BOC
=AO：CO
=3:4
已知S△AOB=15
则S△BOC=15/3x4=20
题目要求B到CD的距离，
实际是求从B做CD的高h的大小
S △BDC=S△BOC+S△DCO=20+12=1/2xCDxh=1/2x8xh
解得h=8
h
105
因为AD=2AB CD=2DE=2EC
设AD=4，则AB=2、CE=1
S△BCD=1/2xECxBC=2
SADEB=SABCD-S△BCD=2x4-2=6
在ADEB中，AE和DB两条对角线将四边形分成4个三角形
由蝴蝶定理得S乙=S丁
S甲xS丙=S乙xS丁
因为AB//DE，所以甲丙两个三角形为相似三角形
即S甲：S丙=（AB）^2:（DE）^2=1:4
可将S甲S丙看成一份和四份
所以S甲xS丙=1x4=S乙x S丁
则S乙=S丁=2份
SADEB=1+4+2+2=9份
S甲=4/9x6=8/3
S白花/S总=（8/3+2）/8=7/12
M
N
蝴蝶定理演绎
以AM为高，则甲乙为
同高三角形
S甲：S乙=BN：DN
以EO为高，则丁丙为同
高三角形
S丁：S丙=BN：ND
所以S甲xS丙：S乙xS丁
=BNxDN：DNxBN=1:1
O
106
方法1:
设AG=a=DE=CF
因为△ACD为等腰直角三角形，
所以AD=DC
已知DF=80，则DC=80-a
GD=AD-AG=DC-AG=（80-a）-a=80-2a
EC=ED+DC=a+80-a=80
S草皮=S△EGC+S△CFB=1/2xGDxEC+1/2xBCxCF
=1/2x（80-2a）x80+1/2x160xa=3200
a
a
a
方法2:特值法
令AG=DE=CF=0，此时图像如下图所示
B
F（C）
D（E）
A（G）
S草皮=S△ADF=S△EGC
=1/2xADxEC=1/2xADxEF
=1/2x80x80=3200
11111
7
107
65
一、解直角三角形
知识铺垫
1.勾股定理
对于直⻆三⻆形，两直⻆边分别为a，b，斜边为c，
则a² +b²=c²。
2、特殊直⻆三⻆形
3、常⻅直⻆三⻆形的三边之⽐(直⻆边1:直⻆边2:斜边)
①3:4:5
②5:12:13 ③7:24:25
4、⽅位⻆
⽅向⻆是指从正北或正南⽅向到⽬标⽅向所形成的⼩于九⼗
度的⻆，通常表达成北(南)偏东(⻄)xx度，若正好为45度，
则表述为东北(南)、⻄北(南)。
⽅向⻆⼀般与直⻆三⻆形结合考查，解相关问题的关键在于
选取恰当的坐标原点，建⽴直⻆坐标系。
108
5、全等三⻆形判断定理
（1）边边边（SSS）
三边分别相等的两个三⻆形全等。
示例：若△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF，
则△ABC与△DEF全等。
（2）边⻆边（SAS）
两边和它们的夹⻆对应相等的两个三⻆形全等。
示例：若△ABC和△DEF中，AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，
则△ABC与△DEF全等。
（3）⻆边⻆（ASA）
两⻆和它们的夹边对应相等的两个三⻆形全等。
示例：若△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，
则△ABC与△DEF全等。
（4）⻆⻆边（AAS）
两⻆和其中⼀个⻆的对边对应相等的两个三⻆形全等。
示例：若△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，AC = DF，
则△ABC与△DEF全等。
（5）斜边、直⻆边（HL）
斜边和⼀条直⻆边对应相等的两个直⻆三⻆形全等。
示例：若直⻆△ABC和直⻆△DEF中，∠C = ∠F = 90°，AB =
DE，AC = DF，则直⻆△ABC与直⻆△DEF全等。
6、圆与直线相切
直线和圆有且只有⼀个公共点，这时直线与圆的位置关系叫
做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。从⼏何
特征上看，圆⼼到直线的距离等于圆的半径。
109
110
111
M
N
BM=MC= CN=DN=
设CN=a 则MC=60-a
则CN= MC=
BC=
ED=
整段道路长度=AB+BC+CD+DE+AE
=40+ +50+ +60=200+
40
50
60
延长线段AB和ED
作CM垂直AM、
CN垂直DN
已知角B=135度则角MAC
=MCB=45度且C为直角
即∠DCN=180-45=45=∠CDN
所以△BMV 与△CND是直角
等腰三角形
当吸管为长方体立体对
角线即如蓝线AB时最长
AB=27
连接BC、AC AC=高=23
A
B
C
此时ABC构成一个三角形，可利用勾股定理求边长
又因为底面为正方形，所以MBC为等腰直角三角形
解得
112
68
二、相似图形
知识铺垫
1、相似图形的性质
相似图形是指形状相同但⼤⼩不⼀定相同的图形。
性质1:对应⻆相等
例如相似三⻆形的三个⻆分别对应相等，相似多边形的各
个内⻆也分别对应相等。
性质2:对应边成⽐例
相似图形的对应边⻓度之⽐是⼀个定值，这个⽐值称为相
似⽐。例如，相似三⻆形的三边对应成⽐例，相似多边形
的各边对应成⽐例。
性质3:周⻓⽐等于相似⽐
相似图形的周⻓之⽐等于它们的相似⽐。例如，若两个相
似三⻆形的相似⽐为a：b，则它们的周⻓⽐也为a：b。
性质4:⾯积⽐等于相似⽐的平⽅
相似图形的⾯积之⽐等于它们的相似⽐的平⽅。例如，若
两个相似多边形的相似⽐为a：b，则它们的⾯积⽐为
a^2:b^2。
性质5:对应线段的⽐等于相似⽐
相似三⻆形对应⾼、对应中线、对应⻆平分线的⽐都等于
相似⽐。
113
2、圆锥常考察的性质
1、定义与结构
圆锥由⼀个圆形底⾯和⼀个顶点构成，侧⾯为曲⾯。连接顶点
与底⾯圆周上任意⼀点的线段称为⺟线，顶点到底⾯圆⼼的线
段为⾼，⺟线⻓度l、底⾯半径r和⾼h满⾜关系l²=r² +h²。
2、展开图
圆锥侧⾯展开后是⼀个扇形，扇形半径为⺟线l，弧⻓等于底⾯
圆周⻓2πr。扇形圆⼼⻆ 满⾜
3、体积与表⾯积
体积:V=1/3πr²h
侧⾯积:S侧=πrl
全⾯积:S=S侧+S底 = πrl +πr²=πr(l+r)
4.轴截⾯
过圆锥顶点和底⾯直径的截⾯为等腰三⻆形，底边为底⾯直径
2r，两腰为⺟线l，⾼为圆锥⾼h。
5.相似性（重要）
若两个圆锥底⾯半径和⾼成⽐例，则它们相似，对应线段⽐值
相等，体积⽐为相似⽐的⽴⽅。
这些性质在⼯程、建筑、设计等领域⼴泛应⽤，如计算圆锥形
容器容积、设计圆锥形屋顶等。
114
h
h
设大圆锥的高度为2h，
上面细沙下降一半高度后
留下的应为高度为h的小圆锥体积份细沙
V大圆锥：V小圆锥=
如果将大圆锥体积看成8份，则每份流下时间为
则流走的体积份数=大圆锥-小圆锥= 8-1=7
7x7.5=52.5
设倒置圆锥形容器的高度为2h，
倒入一瓶水后水的高度为h
则这瓶水体积等于高度为h的小圆锥的体积
V大圆锥：V小圆锥=
如果将大圆锥体积看成8份，则每一份对应的水体积为一瓶
则还需8-1=7瓶水
Y
115
V大圆锥：V小圆锥=
如果将大圆锥体积看成27份，则小凡那份体积=27-8=19
小安：小凡=8/19
h
2h
设圆锥形冰淇淋的高
度为3h，
则妈妈切开后下面那
块冰淇淋为小圆锥，
高度为2h
设上面小圆锥形的半径为2r，
则小球半径=2r/2=1r
大圆锥半径=6/2=3
2r
r
6
3
因为大圆锥和上面小圆锥为相似圆锥，设小圆锥高为h
解得h=4r
上面圆锥的体积
球体积
3/4
116
1、核⼼公式
①利润=售价-成本
若售价不变，则利润的增（减）量=成本的减（增）量
② 利润率=
③售价=成本x（1+利润率）
④打折率=
⼀件商品，打折后少卖的钱等于少赚的利润
⑤总额（销售额、利润、成本）
=单额（单价、单利、单个成本）x数量
2、巧⽤正反⽐关系简便运算
①总额相同时，单额与数量成反⽐
② 单额（数量）相同，销售额与数量（单额）成正⽐
3、巧⽤特值法简便计算
给⽐例求⽐例时
利润
成本
x100%=售价-成本
成本
x100%
=（
售价
成本-1）x100%
打折后的售价
原来的售价=
成本x（1+后来的利润率）
成本x（1+原来的利润率）
= 1+后来的利润率
1+原来的利润率
117
排除思维
坐标轴中：斜率=收入/销量=售价
依题意得 售价是逐步上升 即斜率逐步增大应该越发陡
横的部分代表销
量增加但收入不
变，即售价=0
效率逐渐平
缓即变小
总利润=单价x销量
总利润不变，单价与销量成反比
去年 今年
单价 5 ： 4
销量 4’ ： 5’
则去年利润：今年利润
=100%：（100%-20%）=5:4
由题干得去年销量=5000，
即今年销量=（5000/4）x5=6250
二次函数图
解法2:去年每件利润=5000/5000=10
今年每件利润=10x（1-20%）=8
今年销量=总利润/单件利润=50000/8=6250
118
售价=成本x（1+利润率）
第一张：150=成本1 x（1+25%） 解得成本1=120
第二张：150=成本2 x（1-25%） 解得成本2=200
利润=销售额-成本=300-（120+200）=-20
即小明亏损20元
销售额=150x2=300
若售价不变，则利润的增（减）量=成本的减（增）量
售价不变，利润的增量=300-（-0.8%x营业额）
成本的减量=税收优惠=2%x营业额
300+0.8%x营业额=2%x营业额
解得营业额=2.5亿
利润率可正可负
相当于减税，即企业成本减少
设在44元的基础上提了a元
总利润=单利润x销量
=（a+4）x（300-10a）
=10（a+4）x（30-a）
a+4+（30-a）=34 为定值
当（a+4）=（30-a）时，差距最小
解得a=13
44+13=57
=10（30-a）
均值不等式
和定，差⼩积⼤
积定，差⼩和⼩
119
成本
销量
总利润=（售价-成本）x销量=25
设在售价10元的基础上降价a元
总利润=（10-5-a）x（5+5a）=25
解得a=4
代入排除最快
⼀件商品，打折后少卖的钱等于少赚的利润
54=一五折x标价=15%x标价
解得标价=360
多一五折
给比例求比例，用特值法
设去年生产成本为特值500
生产 研发 利润 单价
前年 500 100 ① ②
去年 400 127 ③ ④
利润=利润率x成本 售价=成本+利润
①=10%x（500+100）=60
②=500+100+60=660
④= 660x（1-5%）=627
③=627-400-127=100
①／③=60/100=0.6
①
④
⑤
⑤
⑥
⑥
120
总利润
已知比例求比例，特值法，
令改造前总利润、销量都为特值10
总利润=（出厂价-能耗成本-其他）x销量
总利润 出厂价 能耗 其他 销量
改造前 10 ① ② ③ 10
改造后 11 ④ ⑤ ⑥ 9
改造后总利润=10x（1+10%）=11
改造后销量=10x（1-10%）=9
单利
改造前单利为10/10=1
改造后单利=11/9
若售价不变，则利润的增（减）量=成本的减（增）量
（11/9）-1= ②-⑤x（1-50%）
解得②=4/9 ⑤=2/9
因为改造前产品的出厂价是单件利润的3倍
有① = 3x（ ①- ②－③）=3x1=3x（3 -4/9- ③）
解得③=14/9
②/ ③=（4/9） /（14/9）=2/7
即售价不变
7
·
121
容斥问题特征:集合之间有交叉区域(交集)
容斥问题考查本质:明确各个区域所对应的“量”
容斥问题核⼼计算关系:全集(I)为⽂⽒图覆盖的“⾯积”
(交叉区域(交集)保持为“⼀层”)
122
即有20%的人员没有捐赠
30+70%=100% ＞80%
即有的人既捐了物品又捐了款
设小区共有100，既捐物品又捐款
被计算了两次（既包含在捐物品
中，又包含在捐款中）
需要减去一次
100=70+30-a+20 解得a=20
20/100=20%
捐物品30人
捐款70人
什么都没捐20人
既捐物品又捐款
14/100=7/50
60/100=3/5
因为物理化学均不及格占全班人数的最简比为7/50，所以全班人
数是50的整数倍。且全班人数不超过70，所以全班人数为50
化学及格人数=50x60%=30
物理及格人数=30+10=40
化学物理均不及格=50x14%=7
解得物理及格的人中化学也及格的有27人
12/100=3/25
因为两个科目均不及格占全班人数的最简比为3/25，所以全
班人数是25的整数倍。且全班人数为70多人，所以全班人数
为25x3=75
英语及格人数=75x2/3=50
数学及格人数=50+10=60
两个科目均不及格=75x12%=9
解得两个科目都及格的有44人
1
77
> 7
123
(1)A是区域①+ ②
(2)B是区域①+③
(3)既A⼜B是区域①
(4)⾮A⾮B区域④
(5)只（仅）A是区域②
(6)只（仅）B是区域③
(7)⾄少有其中⼀种是区域①+②+③
(8)没A是区域③+④
(9)没B是区域② +④
(10)合集是区域①+②+③ +④
①
②
③
A
B
④
非A非B
当遇到难题，没办法直接⽤公式解答时，应回归到本质即⽂⽒图
有10%的狒狒两者都不吃
①
②
③
④
区域①为两种食物都吃的狒狒数量
区域②只吃香肠的狒狒数量
区域③只吃香蕉的狒狒数量
设区域①为2a 则②=2a/（2/3）=3a
（①+③）=3x（①+②）
解得③=13a
①＋②＋③＝18a=90%
④ = 10% =90%/9=18a/9=2a
④/ ③=2a/13a=2/13
香肠
香蕉
2a
3a
13a
容斥问题中，
设未知数时，
先中间后两边
即先设交叉
-
124
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
A
B
C
⑧
非A非B非C
A：①②③④
只（仅）A: ⑤
A ΩB : ① ②
AΩBΩC：①
只（仅）AΩB：②
只（仅）两者交集：②③④
至少两者交集：①②③④
-
125
即收回的问卷占发出的问卷的比重为90%
A
B
C
AΩBΩC
A B C
AΩB+BΩC+AΩC
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
B
C
由题意可得
179= ①＋②＋③＋⑤
146= ①＋②+④+⑥
246= ①＋③＋④＋⑦
115= ①
24= ②＋③+ ④
52= ⑧
I= ①＋②＋③+ ④+⑤ +⑥+⑦+ ⑧
=179+146+246-2x 115-24+ 52
=369
369/90%=410
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
由题意可得
125= ①＋②＋③＋⑤
126= ①＋②+④+⑥
135= ①＋③＋④＋⑦
57= ① +②
37=①＋③
31= ①
17= ⑧
I=240= ①＋②＋③+ ④+⑤ +⑥+⑦+ ⑧
=125+126+135-57-37-（①+④ ）+31+ 17
解得①+④=64
A
B
C
＇
公式法：I=A+B+C-AΩB-AΩC-BΩC+AΩBΩC+ A B C
即240=125+136+135-57-37-BΩC+31+17
解得BΩC=64
7 77
777
126
冰淇淋
蛋糕
水果
①=6
②
③
④
⑤
⑥
⑦
由题意可得
24= ①＋②＋③＋⑤
30= ①＋②+④+⑥
38= ①＋③＋④＋⑦
6= ①
12=①+② 即②=12-6=6
16=①+③ 即③=16-6=10
18= ①+ ④ 即④=18-6=12
⑤= 24- 12- 10 =2
⑥= 30-12-12=6
⑦=38-16-12=10
只吃一样= ⑤+⑥+⑦=2+6+10=18
先往文氏图里填
6
10
12
也能随之得出结果
2
6
10
公式法：
I=A+B+C-AΩB-AΩC-BΩC+AΩBΩC
I=24+30+38-12-16-18+6=52
只吃一样
至少吃两样
12+16+18-2x6（加多
了两次三样都吃的）
=34
53-34=18
127
即只掌握其中两种= a+b+c=23
编程
绘画
剪辑
3
a
b
c
即既会绘画又会剪辑但不会编程= c=7
x
= a+b +3+x=60
已知c=7，所以a+b=23-7=16
x=60-16-3=41
即至少认证一项的职工=65x80%=52
没有一项认证的职工=65x（1-80%）=13=⑧
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦=3
⑧=13
没有甲认证=④＋⑥+⑦＋⑧
有乙认证= ①+②+ ④+ ⑥
即⑦+ ⑧= ①+②
得②=3+13-6=10
即⑦=3
甲
乙
丙
即①=6S
128
1.题型特征: 总和⼀定的情况下求某量的最值
2.解题原则: 求某个量最⼤(⼩)，让其他量尽可能⼩(⼤)
3.核⼼⽅法:问谁设谁为X，再根据题⽬要求，确定其他量
4.解题技巧：
①问最⼤，从最⼩的其他量开始确定，且结果向下取整;
②问最⼩，从最⼤的其他量开始确定，且结果向上取整；
③题⽬未明确各量互不相同时，各量之间可以取相等；
④题⼲给出部分量之间的倍数关系时，可以根据倍数关系
设未知数
5. 构造数列解题步骤
①排序：将所有量按⼤⼩顺序排列（如从⼤到⼩或从⼩到
⼤）
②构造数列：
若要求某量最⼤，其余量取最⼩可能值，构成递增数列
若要求某量最⼩，其余量取最⼤可能值，构成递减数列
③计算：利⽤等差数列求和公式或直接列⽅程求解⽬标量
129
总和一定
求最多，那就让其他的尽可能少
要求数量各不相等，所以其余三份奖品数量依次取1、2、3
18-1-2-3=12
从最小的数开始想
总和一定
求最多，那就让其他的尽可能少
当第一多城市-第五多城市为公差-1的等差数列时，
前四多的专卖店最少
此时前五多城市专卖店数量=5xa3=5x（12+2）=70
剩余五个城市分配30家专卖店
方法一：六 七 八 九 十
设第十名最多有a家专卖店
要最后一名最多，则六 七 八 九名就取其最小
a+4+a+3+a+2+a+1+a=30
解得a=4
方法2:
要最后一名最多，则六 七 八 九名就取其最小值
因此第六多-第十多城市也构成为公差-1的等差数列
30/5=6=中项 即第五项=6+2x（-1）=4
a
a+1
a+2
a+3
a+4
130
总和一定
求至少，那就让后三名的尽可能击中多次
方法1:设第二名至少为a，此时第一名为a+1 （取最少）
第三名为a-1（取最多）第四名为ａ－2 第五名为a-3
5a-5=88 解得a=18.6
因为a要为正整数且最小为18.6，所以取19
a+1+a=19+1+19=39
方法2:构建数列
设第二名战士的射击目标为a
要前两名最少，则后三名就取其最大值
即这五名战士的成绩要尽可能差不多 又因为要各不相同
因此构成公差为-1、首项为a+1的等差数列
88/5=17余3 17看成等差数列的中项
则五项分别为 19 18 17 16 15
此时余3 要保证各不相同 余3只能往大数加
因为要让前两名尽可能少 给他们各加1
19+1+18+1=39
即数量都为整数
总和一定
设派发口罩数量最少为a，则最多的最大取值为2a
求至少，那就让其他栋的尽可能派发多
则派发口罩数量最多的那栋楼为2a 第二多为2a-1
即前九栋楼构成公差为-1的等差数列
S9+a=9x（2a-4）+a=230
解得a=14
131
AC差为6
AC和为22
即A=（22+6）/2=14 C=（22-6）/2=8
B=14-4=10 总和=14+10+8=32
总和一定
求最多可以分几个部门，则发放给每个部门的数量尽可能少
又因为要各不相同
当第一个部门发放1、第二个部门发放2…时可以发放多个几
个部门
此时构成公差为1的等差数列
S7=7xa4=28 32-28=4<8 不能再分给多一个部门
所以最多可以发放给7个部门
知识回顾：当⼀道题⾥涉及两种分配⽅案，且为固定的总量分配给固
定的对象，此时对象个数=总量差异/个体差异
方案1
方案2
若这两种方案的对象固定即束数相同时
方案1每束8枝用的数量少余下的数量应该较方案2多
但事实却恰恰相反 则说明方案1的束数较多
题目求至少 则当方案1束数比方案2多一束时 玫瑰花总量最少
此时
固定总量
每束花枝数 剩余枝数
8 3+8
9 5
对象个数=总量差异/个体差异（11-5）/（9-8）=6（束数）
玫瑰花枝数=6x8+11=59
求至少，那就让其他两束的花枝尽可能多
设数量最多的那一束有玫瑰花a
其他两束依次为a-1 、a-2
a+a-1+ａ－2=59 解得a=20余2
则五项分别为 20 19 18 要保证各不相同 余2只能往大数加
因为要让数量最多尽可能少 给他加1
20+1=21
132
1.题型特征
(问法出现类似“⾄少.……才能保证(就⼀定)”的表述
2.核⼼⽅法
构建最不利的情况
最不利的情况就是与成功⼀线之差的情况，题⽬所求结
果⼀般为最不利情况数+1
即在不满⾜题⼲要求的前提下，尽可能多地满⾜部分条
件，直到⽆法再满⾜时，再增加⼀个单位即可保证⽬标
达成
3. 解题步骤
①确定最不利情况：找出所有可能阻碍⽬标实现的情
况，假设这些情况都发⽣
②计算最不利情况数：统计在最不利情况下所需的操作
次数或数量
③得出答案：⽤最不利情况数加1，即为所求的最⼩保
证值
V
133
题型特征
当ABC专业都各派出2名学生时，
此时再增加一个学生即可保证有3名学生专业相同
3x2+1=7
当五种颜色都各取出9个小球时，
此时再增加一个小球即可保证有10个小球颜色相同
5x9+1=46
题型特征
当20个不同的数字都各取出2次时，
此时再抽一次即可保证有3个数字相同
20x2+1=41
题型特征
即至少有三人抽中的数字相同
134
因为香蕉数量 <10，所以就算全部取出也达不到10
当从除香蕉三种不同的水果都各取出9个时，
此时再取一个水果即可保证有10个相同种类水果
5+3x9+1=33
题型特征
因为人力资源人数 <50，所以就算全部选出也达不到50
当从除人力三个不同的专业都各选出49个人时，
此时再选一个人即可保证有50个人来自相同专业
20+3x49+1=168
题型特征
题型特征
首先先求出可供职工参加的比赛项目总数
当职工参加一项时
当职工参加两项时
分类用加和：4+6=10
当10个不同的项目都各自有4名员工参加时，
此时再有一个员工参加任一项目即可保证有5名职工参加
的比赛项目完全相同
10x4+1=41
职工参加拔河台球或是台
球拔河，结果都是参加两
项，结果不变用组合
135
基础常识:
1.N年后，⼤家都加N岁;M年前，⼤家都减M岁
2.年龄差永远不变
3.核⼼⽅法:
列表+⽅程
甲
⼄
丙
今年
n年后
a
ａ－2
b
a+n
a+n-2
b+n
-
-
-
-
136
甲 乙
今年 3a-5=22 a-5=4
五年后 3a a
若干（n）年后 22+n 4+n
22+n=2x（4+n）解得n=14
n年后乙的年龄为4+14=18
祖父 父亲 小田
十年前 6a-90 2a-15 a-15
今年 a-5
五年后 2a a
6a-90=2a-15+25
解得a=25
25-5=20
3a-5+a-5=26 解得a=9
设五年后甲的年龄为3a，乙为a
设五年后父亲年龄为2a，小田为a
方法1
方法2:代入排除
代A：
如果小田今年20岁
那么五年后父亲的年龄=（20+5）x2=50
十年前祖父的年龄=（20-10）x6=60
十年前父亲的年龄=50-15=35
十年前祖父与父亲的年龄差60-35=25 符合题意 当选
137
1 2 3 4 5
某年 5a 4a
两年后 5a+4 4a+4
再过两后 5a+4+4
5a+4+4a+4=125 解得a=13
再过两年年龄最大的2人年龄之和为5a+8=73
求此时年龄排名第三最大年龄，他不能超过第二名，所以最大
就是比第二名小一岁，同理，第二名也比第一名小一岁
此时设第一名年龄为b，则第二名年龄为b-1、第三名为b-2
b+b-1=73 解得b=37 即第三名最大为b-2=37-2=35
张 王 李 赵
a+2 ａ b c
a+2+ａ+b+c=28x4=a+2+a+2ａ－23+52-a
a+2+ａ-b=25 → b=2a-23
b+c-a-2=27 → c=52-a
解得a+2=29，ａ=27，b=31，c=25
b-c=6
张 王 李 赵
28 28 28 28
29 27
张比王大两岁，得
平均年龄为28,可先假没他们都为28岁
56-25（张王比李大25）
31
李赵年龄和也应为28x2=56
25
所以最大一最小=31-25=6
即最大两个年龄和：最小两个年龄和=5:4
设某年这年，年龄最大两个年龄和为5a，年龄最小两个年龄和为4a
设张年龄为a+2，即王年龄为a
方法2
I
138
甲乙效率相同，则相同时间内增长量相等
甲乙生产开启时间不同，则提前生产生产线固定多
另一条生产线提前开工那段时间的生产量
则可将其转换成年龄问题计算
甲 乙
12:00 x y
t1 54 x
t2 y 1.5x
“都经过了相同年龄，年龄差不变”
即有1.5x-y=y-54 ①
x-y=54-x ②
解得x=72 y=90
乙每小时生产量=90/（12-9）=30=甲每小时生产量
剩余量500-72-90=338
338/（30+30）=5又38/60
“n年后，都增长n岁”
“年龄差不变”
“都经过相同年龄”
“年龄差不变”
效率相同
139
1.闰年366天，平年365天
2.闰年、平年判定
（1）⾮100的倍数的年份：能被4整除的是闰年，否则为
平年
（2）是100的倍数的年份：能被400整除的是闰年，否则
为平年
（3）特例：能被400整除的年份中3200年不是闰年
3.⼤、⼩⽉
⼤⽉（⼀个⽉有31天）：1⽉、3⽉、5⽉、7⽉、8⽉、10
⽉、12⽉
⼩⽉（⼀个⽉有30天）：4⽉、6⽉、9⽉、11⽉
平年2⽉有28天，闰年2⽉有29天
4.星期
（1）平年是52个星期余1天，闰年是52个星期余2天
（2）每个⽉都有四个完整的星期（⽆须在意从星期⼏到星
期⼏）
（3）⼤⽉有四个星期余3天、⼩⽉有4个星期余2天、2⽉
有四个星期（余1天）
（4）⽇期数之差为7的倍数，星期数相同
（5）⼤⽉最后三天与前三天星期数相同、⼩⽉最后两天与
前两天星期数相同
140
3月为大月，有四个星期余3天
小王只有在周六才去图书馆，三月他去了图书馆5天
四个完整星期有四个星期六，
则余三天里必有一天为周六才能满足他去五次图书馆
把三月最后三天看成余下三天，才可以跟四月连一起
假设1:当3月最后三天为周六周日周一时，4.1日为周二
假设2:当3月最后三天为周五周六周日时，4.1日为周一
假设3:当3月最后三天为周四周五周六时，4.1日为周日
只有A选项当选
平年是52个星期余1天，闰年是52个星期余2天
若本年为平年，元旦为周二，则余下最后一天也为星期二，
那么本年只有52个星期三，不符题意
因此此年是闰年，二月有29天
跨⽉算⽇期⽅法：把给的已知星期数的这⼀天及之前的天不要
元旦不要，一月剩31-1=30 二月有29 三月到3月27有27天
（30+29+27）/7=12…2
即3月27日是星期二往后推两天 星期四
2024是闰年，有52个星期余2天
已知元旦为周一，则今年最后两天为周一周二
因此只有52个星期三
12个月至少有12x4=48个星期三
剩下52-48=4
每个月天数不超过35天，所以最多只有五个星期三
余下四个星期三要分别发给四个月
141
选做（较难）
即11.14-11.21又完成了一个25%
50%
即11.11为周一，那么11.14为周四、11.21也为周四
那么11.14-11.21有六个工作日
即剩下的工作量（1-50%）/25%=2
需要两个6个工作日完成
11.22为周五，到11.29也为周五，共六个工作日
11.30为周六，12.1为周日
12.2为周一 12.9也为周一，共六个工作日
6+6=12 所以12.9这天完成该工程
即每五天每隔n天=每（n+1）天
七月是大月，有31天，每五天做一次理疗，
小张7.2/7.3去做理疗，则最多做31/5=6次
由题意可知
如果小张7.3去理疗，则7月只有一次理疗在周日，其余在工作日
即小张这个月做六次理疗且不在周六理疗
（每五天做一次理疗，则假如第一次做理疗时间为周一，
则接下来为周六、周四、周二、周日、周五、周三、周一…
可以看出来每七次的星期数为一个周期，且不重复）
所以本月周一做理疗应该放在最后一次，否则会出现周六去做理疗
3+5x5=28
即最后一次做理疗应该为7.28日，为周一
因此7.31为周四
142
⼀、相关公式
溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
浓度= x100%
溶质=溶液x浓度
溶液= =
注意:等量混合，混合后浓度为平均值
2、⼗字交叉法
若将浓度为a%和b%（a%>b%）的两种溶液混合，
得到浓度为c%的混合溶液，设两种溶液的质量m1和
m2，根据溶质守恒可得：
m1 x a%+m2 x b%=（m1+m2）x c%
整理后可得⽐例关系：
⽤⼗字交叉法表示为：
m1:m2=(c−b):(a−c)，即两种溶液的质量⽐等于混
合后浓度与另⼀种溶液浓度差值的反⽐
溶质
溶液
溶质
浓度
1-浓度
溶剂
m1
m2
c-b
a-c
=
a c-b
c
b a-c
=
m1
m2
143
即判断浓度
相当于加了溶质为6g，溶剂为24g的溶液
浓度=
浓度20%的糖水混入浓度为20%的糖水，浓度不变
即一样甜
4%食盐水的溶质质量=250x4%=10g
新获得的食盐水溶质量=10+10=20g
新获得的食盐水溶液量=250-160+10=100g
浓度=
杀虫剂有效成分为溶质
每亩地需要的有效成分量=60x5%=3公斤
每桶杀虫剂的有效成分=5x40%=2公斤
4亩地需要的杀虫剂桶数=
144
即盐质量=120x50%=60g
水质量=120-60=60g
盐和盐水混合成新的盐水，水只能全部来自盐水
溶液=溶剂/（1-浓度）=
十字交叉法
水相当于浓度为0的溶液
等量混合，混合后浓度为平均值
浓度1=80%/2=40%
此时乙瓶中为40克浓度为40%的溶液
甲瓶为60克浓度为40%的溶液溶质=60x40%=24g
新甲瓶溶液浓度=
此时往乙瓶倒入溶液为40克浓度为24%
等量混合，混合后浓度为平均值
145
那么可将74%的酒精溶液看成由68%和（72%与78%混合溶
液）混合而成，此时三种溶液混合又转换成两种混合
72% 2%
混合浓度76%
78% 4%
76% 6%
混合浓度74%
68% 2%
=
1
2
72%溶液质量
78%溶液质量
=
=
3
1
76%溶液质量
68%溶液质量
=
若将72%和76%两种溶液看成一个整体
即该溶液总量被分成（2+1）=3份
72%溶液占1份
已知三种酒精混合后的总质量为240克
且76%酒精：68%酒精=3:1
即可看出240克被分成（3+1）=4份
76%酒精量=（240/4）x3=180克
72%酒精量=（180/3）x1=60克
146
相当于加了溶质为30g，溶剂为20g的溶液
此时浓度恢复成最初浓度，即浓度不变
所以原始甲浓度= =乙浓度
设甲乙溶液最初质量为a
甲
乙
方法1:若要求解a，化简得一个二元一次方程，计算较复杂，
可直接运用选项代入排除
代入选项A，
50%=50%，A选项当选
即
方法2:
混合后的浓度
原来的其一浓度
混合后的浓度与原来其一溶液浓度相同，则代表原来其二
的溶液浓度=其一浓度=混合浓度
解得a=100g
147
在⼀条“路”上等距离植树，计算树的棵数，这类问题称为植
树问题。
⼀、开放空间植树问题公式
①路不封闭且两端都植树:棵数=总路⻓÷间距+1
②路不封闭且⼀端植树:棵数=总路程÷间距
③路不封闭且两端都不植树:棵数=总路⻓÷间距-1
⼆、封闭空间植树问题公式
棵数=总路程÷间距
三、
当求最⼤可能的共同间隔⻓度时，使⽤最⼤公因数
当寻找重复出现的间隔点时，则需要最⼩公倍数
148
即一旁林荫道长度=70x50x30=10500cm=1050米
间距个数=1050/50=21
两旁棵树=2x（21+1）=44（两端种树）
属于“两端不值树”
甲障碍本来应布置个数=（100/4）-1=24
甲乙障碍重合点为甲乙最小公倍数12
重合点个数=100/12=8… 取8（12-96没有树在两端，不
用考虑加减障碍树）
24-8=16
(
149
两端都种树的情况下
间隔树=棵树-1
则两条直角边分别有3、4个间隔
当两条直⻆边（勾、股）分别为3和4时，斜边
（弦）必定是5。这是勾股定理的⼀个特例，也是
满⾜勾股定理的最⼩正整数组合。
即斜边的间隔数为5
封闭空间中棵数=总路程÷间距=间隔数
3+4+5=12
要尽量少装，则间距得尽量大
则间距为750与1350的最大公约数
150
A
B
C
将L型围墙拉直，两端安装摄像头（“两端种树”）
摄像头数量=｛（750+1350）/150｝+1=15
I
150
⼀、本质
出现多个⽅案时，找到最优策略，从⽽实现效率最
⾼、成本最低、耗时最少等⽬标
⼆、多劳⼒合作
题型辨析：已知多个⼯作任务、多个劳动⼒，求最短
⼯作时⻓、求规定时间内最多⼯作成果
核⼼解题思路：让每个劳动⼒分别做⾃⼰最擅⻓的事
（如果某个劳动⼒两项⼯作都擅⻓，则和⾃⼰⽐较）
擅⻓的判断⽅法：完成某项⼯作⽤时相对更短或效率
相对更⾼
151
乙≥2甲
3000＜4000，要让月付工资最少，
则要招尽可能少的乙工人
且甲≤½乙
首先排除D选项
对比ABC，C选项最少乙工人，当选
大货车每吨运费：1200÷8=150
小货车每吨运费：600÷3=200
150＜200 用大货车运输能多运输
15000÷1200=12…600元
此时还剩600元，
秉持着不浪费的原则剩余600元用于雇一辆小货车运输
12×8+3=99
152
积分≥0
当积分为0时,利润为最大
油车 电车
积分 -2 +3 →-2×3+3×2=0
利润 2万 1万 → 3×2+2×1=8
五辆车为一组时，积
分为0，利润为8万
3000÷5×8=4800
3000辆车里有多少组五辆车
每组利润
A B
费用 0.3万 0.4万→0.3+0.4×2=1.1
苯乙烯 0.5万 0.7万→0.5+0.7×2=1.9
废气 0.4吨 0.3吨 →0.4+0.3×2=1 ①
②
③
观察可得尽量用多的B原油即可产生更少的废气会和费
用且能提炼更多的苯乙烯
购买3吨B原油，费用：3×0.4=1.2
苯乙烯：0.7×3=2.1＞1.9
废气：0.3×3=0.9＜1
但此时比最低要求多生产了0.2苯乙烯、少生产了0.1废油
秉持着不浪费的原则，尽可能生产1吨废气量可得①式
代入②式符合要求，得③式
均符合要求
153
给出的是⽐例关系，求的也是⽐例关系，可⽤特值法
看成7元、4元、6元、5元
用最贵/便宜的运输方式
最高值方案：
由题意可知丙地运输到甲地费用最高，
令甲地所需80吨物资都由丙地调来
此时甲地运输费用： 80×7=560
乙地运输费用： （100-80)×4+60×5=380
总运输成本：560+380=940
最低值方案：
由题意可知丙地运输到乙地费用最低，
令乙地所需80吨物资都由丙地调来
此时乙地运输费用： 80×4=320
甲地运输费用： （100-80)×7+60×6=500
总运输成本：500+320=820
（940-820）÷820≈14.6%
判断谁更擅长
方法1：每个人跟自己对比
王：甲/乙=150/75=2
刘：甲/乙=60/24=2.5
2.5＞2 先让刘干甲 王干乙
方法2：每个部件效率对比
甲：王/刘=150/60=2.5
乙：王/刘=75/24=3.125
3.125＞2 先让王干乙 刘干甲
先分析效率低的：小刘：10×60=600件甲
小王完成600件乙的天数：600÷75=8 此时小王还剩两天
已知小王效率甲：乙=2：1 要做相同量的甲乙 则时间成反比
此时甲：2×⅓×150=100 乙：2×75×⅔=100
600+100=700
154
判断谁更擅长
甲：张＜李 乙：张＞李
用时短的效率高 ，先让张师傅干甲 李师傅干乙
先分析完工快的：张师傅6天完成甲工程
此时李师傅完成乙工程：6÷24=¼
乙工程还剩1-¼=¾
将乙工程总量看成1
张师傅效率=1/30 李师傅=1/24
3/4÷（1/30+1/24）=10
6+10=16
也可将乙工程总量看成特值120
张师傅效率=120/30=4
李师傅=120/24=5
120×3/4÷（4+5）=10
6+10=16
甲：A/B=6/3=2
乙：A/B=1/2=0.5
2＞0.5 先让甲干A 乙干B
合作生产40台机械
需要制作A模块：3×40=120 B模块：2x40=80
效率快的完工快
甲车间完成A模块用时：120÷6=20
此时乙车间完成B模块数量：20×2=40
还剩B模块80-40=40需要完成
40÷（3+2)=8
20+8=28
155
