2027届浙江Z20名校联盟高三第一次联考数学答案_小初高学习资料合集（每天更新）_浙江省Z20+名校新高考研究联盟2027届高三第一次学情诊断

Z20+名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027 届高三第一次学情诊断
数学参考答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B B C C C D
二、多项选择题
9 10 11
ABD BC BCD
三、填空题

12． 6 13． 14．24
3
四、解答题
15．（1）如图所示，取PA中点
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F ，连结 E F , B F
1
.由题意可知，EF //AD, EF = AD，
2
1
且BC//AD, BC= AD.故BC//EF且BC=EF ，故四边形
2
B C E F 为平行四边形.
 C E / / B F . ………………………………3分
C E / / B F ，CE平面PAB，BF 平面PAB，CE//平面PAB ………………6分
（2）（法一）取AD中点 O ，连结 E O , C O ，AD=2,BC=1， A D / / B C
 C O / / A B 由题意可知，PA⊥平面ABCD，因此 P A ⊥ A B ，
而AD⊥ AB，PA AB= A，AB⊥平面PAD.
故 CO⊥平面PAD ，则  C E O 为直线 C E 与平面 P A D 所成
角 ……………8分
1
即CEO=45，故CO=EO=1，而EO= PA， [顺佳]
2
故PA=2. ……………11分
四棱锥 P − A B C D
1 1 1+2
的体积V = Sh=  12=1 ……………13分
P−ABCD 3 3 2
（法二）由题意可知，PA⊥平面ABCD且AD⊥ AB，以点A
为坐标原点，AB,AD,AP为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标
系.则各点坐标A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
 t 
P(0,0,t)(t 0)，E0,1,

， ……………9分
 2
   t 
平面PAD法向量为n=(1,0,0)，CE=−1,0,

， 设直线CE
 2
与平面PAD所成角为，
 
|nCE| 1 2
则sin=  = = ，解得t=2， ……………11分
|n||CE| t2 2
1+
41 1 1+2
同理V = Sh=  12=1. ……………13分
P−ABCD 3 3 2
16．（1）cos2A+cos2B−cos2C=1−2sin2 A−2sin2B+2sin2C=1−2sinAsinB ……2分
由正弦定理得：
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a 2 + b 2 − c 2 = a b ， ……4分
由余弦定理得：a2 +b2 −c2 =ab=2abcosC，即 = ， =

c o s C
1
2
C
3
. ……6分
a+b
（2）由正弦定理得， =2R，其中R为△ABC外接圆半径.R=2.
sinA+sinB
由正弦定理得，c=2RsinC =2 3 . ……………8分
由余弦定理得： c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b c o s C ，  （ a + b ) 2 − 1 2 = 3 a b ， ……………11分
3
由基本不等式可知：（a+b)2 −12=3ab （a+b)2 ……………13分
4
a+b4 3，当且仅当 a = b 时取等号.此时 △ A B C 的周长为 6 3 . ……………15分
17．（1）记事件A=“甲盒中红球个数不变”，其情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出2个
红球或者甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出1红1黑/1红1白.
C 2 C 2 C1 C1C1 1 2 1 3 1
则P(A)= 3  4 + 3  3 3 =  +  = ……………3分
C 2 C 2 C 2 C 2 2 5 2 5 2
4 6 4 6
（2）记事件B=“甲盒中红球个数不少于乙盒中红球个数”，记事件 C =“黑球仍在甲盒中”.
P(BC)
则P(C|B)= ，事件
P(B)
B 情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出2个红球或者甲
盒中取出1红1黑，乙盒中至少取出一个红球；事件 B C 情况有：甲盒中取出2个红球，
乙盒中取出2个红球或者甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出1红1黑.
C 2 C 2 C1 C1C1 C 2  1 2 1 3 1 3
因此P(B)= 3  4 + 3  3 3 + 3 =  +  + = ……………5分
C 2 C 2 C 2  C 2 C 2  2 5 2 5 5 5
4 6 4 6 6
C 2 C 2 C1 C1 1 2 1 1 3
P(BC)= 3  4 + 3  3 =  +  = ……………7分
C 2 C 2 C 2 C 2 2 5 2 5 10
4 6 4 6
P(BC) 1
故P(C|B)= = ……………8分
P(B) 2
（3）由题意可知 X 可取1,2,3,4 ……………9分
当X =1时，其事件情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出的2个都不是红球.
C 2 C 2 1 1 1
故P(X =1)= 3  2 =  = ； ……………10分
C 2 C 2 2 15 30
4 6
当X =2时，其事件情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出1红1白或者甲盒中取出
1红1黑，乙盒中取出的两个都不是红球.
C 2 C1C1 C1 C 2 1 8 1 1 11
故P(X =2)= 3  4 2 + 3  3 =  +  = ； ……………11分
C 2 C 2 C 2 C 2 2 15 2 5 30
4 6 4 6
1
当X =3时，即为第（1）问，故P(X =3)= ； ……………12分
2
当X =4时，其事件情况有：甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出2个红球.
C1 C 2 1 1 1
故P(X =4)= 3  3 =  = . [顺 佳 ] ……………13分
C 2 C 2 2 5 10
4 6因此
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X 的分布列为
……………14分
1 11 1 1 8
数学期望E(X)=1 +2 +3 +4 = ……………15分
30 30 2 10 3
18．（1）由题意可得 2 a = 4 ， 2 c = a ，故b= 3，因此椭圆方程为
x
4
2
+
y
3
2
= 1 ； ………4分
（2）（ⅰ）若直线 l 斜率为0，此时 l : y = 1 ，解得 M , N 两点坐标为


2
3
6 ， 0

，此时
8 40
|PM ||PN|=42 − = ……………5分
3 3
若直线斜率不为0，不妨设直线l:x=my+t，M(x,y ),N(x ,y )，与椭圆方程联立可得：
1 1 2 2
3x2 +4y2 =12
 ，( 3m2 +4 ) y2 +6mty+3t2 −12=0（※）（其中※式：
x=my+t
  0 ）
−6mt 3t2 −12
y + y = ,y y = ，
1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4
l 过点P(4,1)，故 4 = m + t （*） ……………7分
此时|PM ||PN|= 1+m2 | y −1| 1+m2 | y −1|，其中y −1,y −1正负号一致，
1 2 1 2
40
( 1+m2)
40 40
|PM ||PN|= ( 1+m2)(y y −(y + y )+1)= = 
1 2 1 2 3m2 +4 1 3
3+
m2 +1
综上所述，|PM ||PN|的最大值为
4 0
3
. ……………10分
3 3
（ⅱ）（法一）利用椭圆的第三定义可知，k k =− ，得k k =− . ……12分
AM BM 4 BM BN 8
y y y y 3
此时k k = 1  2 = 1 2 =−
BM BN x −2 x −2 (my +t−2)(my +t−2) 8
1 2 1 2
y y 3
1 2 =− ，代入整理，化简可得：
my y +m(t−2)(y + y )+(t−2)2 8
1 2 1 2
2
3t2 −4t−4=0，解得t=2或− . ……………16分
3
当t=2时，直线l经过点 B
2  2 
，不符合要求，舍去；此时t =− ，即直线l恒过定点 − ，0.
3  3 
 2 
且定点 − ，0 在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，经检验成立. ……………17分
 3 
y y
（法二）k =2k ，由斜率的坐标公式可得： 1 =2 2 ，
1 2 x +2 x −2
1 2
X 1 2 3 4
P
1 11
30 30
1
2
1
1 0y y
即 1 =2 2 ，整理可得：(t−2)y =my y +2(t+2)y ①， ……12分
my +t+2 my +t−2 1 1 2 2
1 2
y y 3t2 −12 2 t 
由韦达定理可知： 1 2 = ，即my y = −  (y + y )， ……………14分
y + y −6mt 1 2 t 2 1 2
1 2
3 2  3 2 
代入①中，化简可得：  t− −2y = t+ +4y ②，
2 t  1 2 t  2
3 2
t− −2=0

2 t
由于动直线与椭圆的交点会变化，若②式恒成立，则 ，
3 2
 t+ +4=0
2 t
2  2 
解得t =− ，即直线l恒过定点 − ，0 ……………17分
3  3 
1 1
19．（1） f '(x)= f '(a)= ……………2分
xlna alna
1 1 1
所以切线方程为y−1= (x−a)即y= x− +1 ……………4分
alna alna lna
1 log x lnx
（2）设P(x,y )，则 = a 1 = 1 ……………6分
1 1 x lna x x lna
1 1 1
lnx =1,x =e ……………8分
1 1
又y =tx−2 =log x t=x2y ,x =ay1 at =(ay1)x1 2 =(x)x1 2 =ee2 ……………10分
1 1 a 1 1 1 1 1
（3）设Q(x ,y )由|OQ|2|OP|得x 2x ， ……………12分
2 2 2 1
x y y lnx lnx
令m= 2 (m2)由 1 = 2 得 1 = 2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
lnx lnm+lnx lnm
 1 = 1 ，即lnx = (m2) ……………14分
x mx 1 m−1
1 1
1
1− −lnm
令h(m)= lnm ，h '(m)= m 0((mm12))
m−1 (m−1)2
ln
所以h(m)在 2，+)上单调递减，lnx ((00，,ln2  ] ……………16分
1 −1
由（2）知at =(x)x1 2 =ex1 2lnx1
1
令(x)=x2lnx, '(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1)0
ln ln 2
所以(x)=x2lnx在x((11,,e2−上1]单调递增 at((11,,1e6−1   −1 ] ……………17分
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