2027届浙江Z20名校联盟高三第一次联考数学试题_小初高学习资料合集（每天更新）_浙江省Z20+名校新高考研究联盟2027届高三第一次学情诊断

绝密★考试结束前
Z20 +名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027 届高三第一次学情诊断
数学试题卷
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸
规定的地方．
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷
纸上答题一律无效．
4．考试结束后，[顺佳]只需上交答 题卷．
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知复数
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z = − 2 − i ，则 | z | 为
A．1 B．2 C． 5 D．5
2．已知A,B,C是同一平面内不同的三点，且
A B  =   C
2 B ，若 A C B C 
   =    
，则 = 
A． − 1 B． − 3 C．1 D．3
3．若以点(sin,cos),(cos,sin),(tan,1)为元素构成的集合M 有4个子集，则可以是
π π
A． B． C．
6 4
π
3
D．
1
5
2
π
4．已知数列a 满足：
n
a
1
= 5
a
 n ,当a 为偶数,
，a = 2 n ，则
n+1

3a +1,当a 为奇数.
n n
a
1 0
=
A．8 B．4 C．2 D．1
5．已知两个线性相关变量 x , y 的统计数据如下表所示，其经验回归方程为yˆ =5x+5，则下列说法正
确的是
A．m=30 B．样本相关系数 r  0
C．经验回归直线必过点(4,25) D．当 x = 5
x 1 2 4 5 8
时，残差为1
6．已知抛物线C:y2 =2px(p0)的焦点为F ，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线
l的垂线，垂足为H ，若HF为线段AB的中垂线，且|AB|=4 2，则p=
A．1 B．2 C．4 D．8
y 11 15 25 m 451 a
7．已知函数 f(x)=x+ −2，g(x)=ex + (aR)，若曲线y= f(x)上存在点
x x
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P ，使得点 P 关于 y 轴
的对称点在曲线 y = g ( x ) 上，则a的最大值为
1
A．− B．
e
− 1
1
C． D．1
e
8．现有红、黄、蓝、白 4 种颜色的颜料可供使用，给四棱锥
P-ABCD（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一
条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为
1 1
A． B．
12 6
1 1
C． D．
4 3
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分[ 顺佳].
n
 1 
9．已知 2x−  的展开式共有6项，则
 x
A．n=5 B．展开式的二项式系数之和为32
C．展开式中存在常数项 D．展开式的各项系数之和为1
10．已知点 P 为圆C：(x−a)2 +(y−a)2 =1上的一个点，点A(1,0),B(4,0)，则
A．过点A一定存在两条直线与圆 C 相切
B．存在实数a，使得|PB|=2
C．存在实数 a ，使得
P A   
 P
B = 
0
D．存在实数 a ，使得|PA|=2|PB|
11．如图，在平面四边形 A B C D 中，AB= AC=CD=1，
ADC=30,DAB=120 ，将 △ A C D 沿对角线 AC 翻折至
△ACP，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得 A P ⊥ B C
B．存在某个位置，使得平面 P B C ⊥ 平面ABC
C．存在某个位置，使得点 B 到直线 P C 的距离为 1
第8题图
第11题图
D．当三棱锥P−ABC体积最大时，该三棱锥的外接球表面积为5π
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．双曲线x2 −2y2 =1的焦距为 ▲ ．
13．已知函数 f (x)=sin2x− 3cos2x，实数x ,x 满足xx 0，f (x )+ f (x )=0.若|x −x |m恒
1 2 1 2 1 2 1 2
成立，则实数m的最大值为 ▲ ．
14．已知数列a ,b 的通项公式分别为a =2n−1,b =2n−1，数列c 满足c =a ,c =b ,(kN*)，
n n n n n 2k−1 k 2k k
S 100
记S 为数列c 前n项和，则使得 n  成立的最小正整数n为 ▲ ．
n n S 101
n+1四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图所示，在四棱锥
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P − A B C D 中，PA⊥平面ABCD， B C / / A D ， A B ⊥ A D ，
AD=2BC=2AB=2， E 是 P D 的中点.
（1）证明：CE//平面PAB；
（2）若直线 C E 与平面 P A D 所成的角为45°，求四棱锥 P − A B C D 的体积.
16．（15分）在△ABC中，角 A , B , C 的对边分别为a,b,c，
已知cos2A+cos2B−cos2C=1−2sinAsinB．
（1）求C；
a+b
（2）若 =4，求
sinA+sinB
△ A B C 周长的最大值．
17．（15分）已知甲盒中有3个红球，1个黑球，乙盒中有2个红球，2个白球（各球除颜色外完全
相同）. 现进行如下操作：先从甲盒中取出两个球放入乙盒中，再从乙盒中取出两个球放入甲
盒中.
（1）求甲盒中红球个数不变的概率；
（2）在“甲盒中红球个数不少于乙盒中红球个数”的条件下，求“黑球仍在甲盒中”的概率；
（3）记 X 为操作后甲盒中红球的个数，求 X
第15题图
的分布列及数学期望.x2 y2
18．（17分）已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为A,B，且|AB|=4，离心率为
a2 b2
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1
2
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于M,N 两点.
①若l过点P(4,1)，求|PM ||PN|的最大值；
②设直线AM,BN的斜率分别为k ,k ，且k =2k .问直线l是否过定点？若是，求出该定
1 2 1 2
点的坐标；若不是，请说明理由．
19．（17分）已知函数 f (x)=log （x a1）与g(x)=tx−2(t 0)的图象相交于点P，O为坐标原点.
a
（1）求函数y= f(x)图象在M（a,1)处的切线方程；
（2）若直线OP与y= f(x)图象相切于点P，求at的值；
（3）若直线OP与y= f(x)图象交于另一点Q，且|OQ|2|OP|，求at的取值范围.