2024届浙江省Z20名校联盟高三第三次联数学试卷答案_2024年5月_01按日期_20号_2024届浙江省Z20名校联盟高三第三次联考_2024届浙江省Z20名校联盟高三第三次联数学

Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024 届高三第三次联考 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A C D B B 8．设 PF =m, PF =n, 由双曲线的定义知 m−n =2a ①，在 FPF 中，由余弦定理得 1 2 1 2 6 4c2 =m2 +n2 −2mncosFPF ，4c2 =m2 +n2 − mn ②，又 2 ( m2 +n2) =(3a)2 +(2c)2 ， 1 2 7 9a2 +4c2 1 m2 +n2 = ③ ， 由 ① ③ 得 mn= a2 +c2 ④ ， 把 ③ ④ 代 入 ② 得 2 4 9a2 +4c2 6 1 4c2 = − ( a2 +c2)，化简得20c2 =30a2,20a2 +20b2 =30a2a= 2b,渐近线方程 2 7 4 为x 2y=0． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABD 11．A选项当+=1时，点P在线段DB上，且DB//EF，V =V 为定值，A正确． 1 1 D−PEF B−DEF 1 3 B选项当== 时，点P为线段DB的中点，易求正四棱锥P−ABCD的外接球的半径为 ， 2 1 4 9 则表面积是 ，B正确． 4 C选项点P在矩形DBBD及其内部，取线段AD 的中点F ，由对称性知， PF = PF ， 1 1 1 1 1 1 5 5 3  PF + PE = PF + PE  FE =  PF + PE + FE  + ，C错误． 1 1 2 2 2 6 6 D选项AP= ，又点P在矩形DBBD及其内部，点P的轨迹为点A为球心，半径长为 1 1 2 2 的球面被平面 DBBD 截且在矩形 DBBD 及其内部的图形，为圆（部分）， 1 1 1 1 2 2  6  2 1 r=   −  =1，该圆是以BD的中点为圆心，半径为1的圆的一部分（即 圆周），  2   2  4      则轨迹长为 ，D正确． 2 Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考 数学参考答案 第 1 页 共 5 页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．  1 1 12．3； 13．180； 14．  ,  2e 2 14．不等式可化为(2ax−lnx) ( 2ax− ( x2 −x+1 )) 0， 即lnx2axx2 −x+1，数形结合得，k 2ak 1 2 其中k 为过原点且与y=lnx相切的直线，k 为过原点 1 2 1 且与y=x2 −x+1相切的直线，易得k = ,k =1． 1 e 2 1 1 1 故 2a1， a ． e 2e 2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15．（13分）解： （1）由题意a =2a +1a =2a +1d =a +1①…………………………………………2分 2n n 2 1 1 a2 =a a (a +d)2 =a (a +4d)d =2a ②……………………………………………2分 2 1 5 1 1 1 1 由①②可得a =1,d =2…………………………………………………………………2分 1 所以a =1+(n−1)2=2n−1…………………………………………………………………1分 n (a +a )n （2）a +a +a +……+a = 1 2n−1 =na =2n2 −n………………………………………6分 1 3 5 2n−1 2 n 16．（15分）解： （1）取BD的中点M ，连AM ，CM ， 由AB= AD=BC =BD，可得BD⊥ AM ，BD⊥CM ，………………………………2分 又因为 ，AM、CM 平面ACM ， AM CM =M 所以BD⊥平面ACM ，……………………………………………………………………2分 因为AC平面ACM ， 所以AC ⊥BD.……………………………………………2分 （2）方法1： 因为BD=2 3，所以AM =CM =1， 又AC = 3，所以AMC=120 ， 由（1）可得BD⊥平面ACM ，所以平面BCD⊥平面ACM ， 3 作AH ⊥CM 交CM 延长线于点H ，则AH ⊥平面BCD且AH = ，…………………3分 2 设点B到平面ACD的距离为h， V =V ………………………………………………………………………………2分 B−ACD A−BCD 1 1 3 S h= S  3 ACD 3 BCD 2 1 3 2 3 2 2 2 3 h= = ………………………………………2分 1 13 13  3 2 2 设直线AB与平面ACD所成角为 Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考 数学参考答案 第 2 页 共 5 页h 39 sin= = AB 13 39 所以直线AB与平面ACD取成线面角的正弦值为 .………………………………2分 13 方法2： 因为BD=2 3，所以AM =CM =1，又AC = 3， 所以AMC=120 ， 由（1）可得BD⊥平面ACM 所以平面BCD⊥平面ACM ， 作AH ⊥CM 交CM 延长线于点H ， 3 则AH ⊥平面BCD且AH = ， 2 如图，以MB为x轴，MC为y轴，z轴//AH 建立空间直角坐标系 1 3 A(0,− , )，B( 3,0,0)，C(0,1,0)，D(− 3,0,0)………………………………………3分 2 2 3 3 1 3 AC =(0, ,− )，DC=( 3,1,0)，AB=( 3, ,− ) 2 2 2 2 设面ACD的一个法向量为n=(x,y,z)  nAC =0  3y= 3z   令x=1,则y=− 3，z=−3 nDC =0  3x+ y=0 所以 n=(1,− 3,−3)…………………………………………………………………………4分 设直线AB与平面ACD所成角为 |ABn| 2 3 39 sin=|cos AB,n|= = = |AB||n| 132 13 39 所以直线AB与平面ACD取成线面角的正弦值为 .………………………………2分 13 17．（15分）解： （1）依题意，P =1，P =10.4=0.4，P =0.40.4+0.60.6=0.52………………3分 1 2 3 1 3 依题意P =0.4P +0.6(1−P )=− P + ，………………………………………2分 n n−1 n−1 n−1 5 5 1 1 1 整理得P − =− (P − )， n n−1 2 5 2  1 1 1 1 所以P − 是以P − = 为首项，− 为公比的等比数列，………………………2分  n 2 1 2 2 5 1 1 1 1 1 1 即P − = (− )n−1，P = + (− )n−1.…………………………………………………1分 n n 2 2 5 2 2 5 （3）X =200,300………………………………………………………………1分 P(X =300)=0.8P +0.2(1−P )=0.6P +0.2，……………………3分 n n n 则他第n天通过运动锻炼消耗的能量X 的期望为300P(X =300)+200(1−P(X =300)) 1 =200+100P(X =300)=220+60P =250+30(− )n−1. ………………3分 n 5 Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页18．（17分）解： c 3 x2 （1）由题意c= 3， = ，解得：a=2，b=1，所以椭圆C的标准方程为 + y2 =1. a 2 4 ………………………………………………4分 y=x+m （2）折叠前设A(x,y )，B(x ,y )，联立 5x2 +8mx+4(m2 −1)=0 1 1 2 2 x2 +4y2 =4  8m x +x =−   1 2 5 直线y=kx+m与椭圆交于不同两点，所以0，解得m2 5，从而 4(m2 −1)  x x =  1 2 5 因为AB位于x轴两侧，则m2 4，从而−2m2 …………………………………4分 以O为坐标原点，折叠后，分别以原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x， Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考 数学参考答案 第 4 页 共 5 页 y ， z轴建立空间直角坐标系，则折叠后A(0,x,y )，B(−y ,x ,0) …………………1分 1 1 2 2 ①折叠后OA⊥OB，则OAOB=0，即x x =0，所以m2 =1，m=1.…………2分 1 2 4 2 ②折叠前|AB|= 2|x −x |= 2 (x +x )2 −4xx = 5−m2 ……………………2分 1 2 1 2 1 2 5 折叠后 4−x2 4−x2 3 7 |AB|= y2 +(x −x )2 + y2 = 2 + 1 +(x −x )2= 2+ (x +x )2 − xx 2 2 1 1 4 4 2 1 4 1 2 2 1 2 120−22m2 = ……………………………………………………………………2分 5 120−22m2 3 4 2 15 所以 =  5−m2 ，解得m2 = ，此时直线l与椭圆无交点 5 4 5 2 3 故不存在m，使折叠后的AB与折叠前的AB长度之比为 .……………………2分 4 19．（17分）解：  （1）函数y= 3x不是“ 旋转函数”，理由如下： 6  y= 3x逆时针旋转 后与y轴重合， 6 当x=0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾，  因此函数y= 3x不是“ 旋转函数” . ………………………………3分 6 （2）由题意可得函数 f(x)=ln(2x+1)(x0)与函数y=kx+b最多有1个交点，  且k =tan( −) 2 即ln(2x+1)=kx+b(x0)最多有一个根， ln(2x+1)−kx=b(x0) 即函数y=ln(2x+1)−kx(x0)与函数y=b(bR)最多有1个交点， 即函数y=ln(2x+1)−kx在(0,+)上单调， ……………………………………………2分2 y= −k． 2x+1 2 2 2 因为x0， (0,2)，所以y= −k 0，k  ，所以k2，………2分 2x+1 2x+1 2x+1  1 1 即tan( −)2，tan ，即tan的最大值为 . ………………………………2分 2 2 2 x2 （3）由题意可得函数g(x)=m(x−1)ex −xlnx− 与函数y=x+b最多有1个交点， 2 x2 x2 即m(x−1)ex −xlnx− =x+bm(x−1)ex −xlnx− −x=b， 2 2 x2 即函数y=m(x−1)ex −xlnx− −x与函数y=b最多有1个交点， 2 x2 即函数y=m(x−1)ex −xlnx− −x在(0,+)上单调， 2 y=mxex −lnx−x−2，当x→0时，y→+， lnx+x+2 所以y0m( ) ， …………………………………4分 xex max lnx+x+2 (x+1)(−lnx−x−1) 令(x)= ，则(x)= ， xex x2ex 1 因为t=−lnx−x−1在(0,+)上单调减，且t( )0，t(1)0， 4 1 1 所以存在x ( ,1)，使t(x )=0，即lnx +x =−1ln(x ex0)=−1x ex0 = ， 0 4 0 0 0 0 0 e 所以(x)在(0,x ) ，(x ,+) ， 0 0 lnx +x +2 1 所以 (x)=(x )= 0 0 = =e， max 0 x ex0 x ex0 0 0 即me. ……………………………………4 分 Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 5 页