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方阵问题（寒假课程） 实心(中实)方阵：如果方阵排满物体，叫实心(中实)方阵。
预备知识
什么是方阵？
让若干人或物体排队，若行数和列数相等，恰好排成一个正方形，所排的图形
就叫方阵。
空心(中空)方阵：若方阵的中间不排物体，叫空心(中空)方阵。
【例1】 (★★) 【铺垫】(★★★)
一群士兵排成了一个单层的空心方阵，每条边上有7个人，那么这个 数青蛙，填空格，找规律
空心方阵中一共包含多少名士兵？
由由内内到到外外 边边上上只只数数 层层上上只只数数
第一层
第二层
第第三层层
1【例2】(★★★) 【拓展】 (★★★)
士兵们天天都是在操练单层方阵，觉得已经没有意思了，于是他们今 一共120名战士排成了一个三层的空心方阵，那么这个方阵的最外层
天排出了一个双层的空心方阵，这个方阵的外层每条边上有10人，那 有多少人？
么这个方阵一共有多少人？
【例3】(★★★) 【例4】(★★★★)
将军又找来了一些士兵，现在排成了一个实心方阵，最外层每条边上 士兵排成一个实心方阵，后来又来了11个士兵排上去，使横竖各增加
有12个人，那么这个实心方阵一共有多少人？ 一排，仍是实心方阵。求原方阵共有多少士兵？
2【铺垫】 (★★★★) 【铺垫】 (★★★★)
阵列介绍 阵列介绍
四边形方列 三角形阵列 五边形方列 三角形阵列
【铺垫】 (★★★★) 【例5】 (★★★★)
阵列介绍 如果现在有一大群青蛙在跳舞，你知道一共有多少只吗？
三角形阵列
圈长＝(边长－1)×3 总总数数＝1＋2＋3＋4＋5
3【例6】 (★★★★★) 本讲总结
方阵
战士们排练阵法，排成一个方阵。中间的实心方阵是步兵，外面三
一一、分分类类
层是弓箭兵，最外圈两层又是步兵。已知方阵中弓箭兵的人数是120
实心(中实)方阵
人。问步兵有多少人？
空空心((中中空空))方方阵阵
二、基本特点：
①方阵任何一层的每边上物体数相等
②相邻两层，边长差2
③相邻两层，圈长差8
三三、基基本本公公式式：：
①每层物体总数＝(该层每边物体数－1)×4
②②实实心心方方阵阵物物体体总总数数＝最最外外层层每每边边物物体体数数××最最外外层层每每边边物物体体数数
③空心方阵物体总数＝实心物体总数－空心部分物体总数
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