3 圆柱与圆锥
一、圆柱的认识
1.生活中有许多物体是圆柱形的,如茶叶桶、蜡烛、罐头 提示:如果沿一条斜线
盒等。 将圆柱的侧面展开,它的侧
面会是一个平行四边形,圆
2.圆柱的特征:圆柱是由3个面围成的。它的上、下两个
柱的底面周长是平行四边形
面叫做底面。圆柱周围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆
的底,圆柱的高是平行四边
柱的两个底面之间的距离叫做高,圆柱有无数条高。 形的高。
3.圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆。圆柱的侧面 注意:圆柱的侧面展开
不可能得到梯形。
是一个曲面,沿高展开后是一个长方形(或正方形),这个长方形
(或正方形)的长(或边长)等于圆柱的底面周长,宽(或边长)等于
圆柱的高。
4.把一张长方形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,长方形
硬纸形成的图形就是圆柱。
二、圆柱的表面积
1.圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示:S =Ch。如果
侧
已知底面直径,底面周长的计算公式是C=πd,圆柱的侧面积公
式就是S =πdh;如果已知底面半径,底面周长的计算公式就是
侧
C=2πr,圆柱的侧面积公式就是S =2πrh。
侧
2.圆柱的表面积=侧面积+底面积×2,用字母表示为S
表
=Ch+2πr2。
三、圆柱的体积
1.圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。
提示:在实际中,不是所
2.圆柱体积的推导过程:把一个圆柱的底面沿半径分成若
有的圆柱形物体都有两个底
干个相等的扇形,按照等分线沿着圆柱的高把它们切开后,可以
面,要具体问题具体分析。
拼成一个近似的长方体。分成的扇形越多,拼成的立体图形就
越接近于长方体。拼成的长方体与圆柱形状不同,体积相等。
例如:求一段排气筒的
长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的
表面积就是求圆柱的侧面
高。长方体的体积=底面积×高,推导出:圆柱的体积=底面积×
积,求一个水桶的表面积就
高。 是求圆柱的侧面积和一个底
面积的和。
3.圆柱的体积公式是V =Sh,如果知道圆柱的底面半径r
圆柱
和高h,圆柱的体积公式就是V =πr2h。
圆柱 提示:把圆柱转化成长
4.在求不规则的物体的体积或容积时,可以利用转化的思
方体来求体积,运用的是转
想,将其转化成规则的图形进行计算。
化的思想方法。
四、圆锥的认识
1.生活中有很多物体的形状是圆锥形的,像尖形的帽子、
要点:圆柱的高不变,底
粮囤的顶部等,还有漏斗、跳棋等物体的形状也接近圆锥形。
面半径、直径或周长扩大到
2.圆锥的特征:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体
原来的n倍,则体积扩大到
图形。圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥
原来的n2倍;若底面半径、
的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。 直径、或周长缩小到原来的
3.圆锥高的测量方法:①把圆锥的底面水平放好;②把一块 1 1
,则体积缩小到原来的
平板水平地放在圆锥的顶点上面;③平板和底面之间的距离就 n n2
是圆锥的高。 。
4.把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,直角三角形转动形成的图形是圆锥,贴在木棒上的直角边是圆锥
的高,另一条直角边是圆锥的底面半径。 注意:从圆锥的顶点到
五、圆锥的体积 圆锥底面圆周上的一点连一
1.圆锥的体积推导过程:准备等底等高的圆柱和圆锥形容 条直线,沿这条直线把圆锥
器。把空的圆锥形容器里装满水或细沙,然后倒入空圆柱形容 的侧面展开,会得到一个扇
器里,倒3次正好将空圆柱装满。如果把空圆柱形容器装满水 形。
或细沙,倒入空圆锥形容器中,每次都倒满,正好也倒了3次。 提示:如果把一个圆锥
通过实验可知,等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥体积 切成大小、形状完全相同的
1 两块,切面是两个以底面直
的3倍,也可以说圆锥的体积是圆柱体积的 。
3 径为底边,以圆锥的高为高
1 的等腰三角形。
2.圆锥的体积公式:V = Sh。已知圆锥的底面半径和
圆锥 3
1
高,可以直接利用公式V = πr2h来计算体积。
圆锥 3
圆柱与圆锥的关系:
(1)等体积等高时,圆柱
1
底面积是圆锥的 ,圆锥底面
3
积是圆柱的3倍;
(2)等体积等底时,圆锥
高是圆柱的3倍,圆柱高是
1
圆锥的 。
3
