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专题05 功与功率功能关系
…………………………………………………………………………………………
........................................1
........................................1
........................................2
考点01 功功率机车启动问题.......................................2
考向一 变力做功的计算........................................2
考向二 平均功率与瞬时功率................................4
考向三 机车启动问题............................................6
考点02 动能定理的理解和应用.................................10
考向一 动能 动能定理的理解及简单应用......10
考向二 应用动能定理解决多过程问题..............14
考点03 功能关系的理解和应用.................................20
考向一 常见力做功与相应能量的转化..............20
考向二 功能关系的应用......................................23
…………………………………………………………………………………………
考点要求
考题统计
功、功率、机车启动问题
考向一变力做功的计算：2023•山西•高考真题、2023•重庆•高考真题、2021•
山东•高考真题、2023•广东•高考真题、
考向二平均功率与瞬时功率：2023•辽宁•高考真题、2023•山东•高考真题、
2021•北京•高考真题、
考向三机车启动问题：2023•天津•高考真题、2021•重庆•高考真题、2023•山
东•高考真题、2022•浙江•高考真题、2023•湖北•高考真题、2021•湖南•高考
真题
1
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动能定理的理解和应用
考向一动能 动能定理的理解及简单应用：2023•江苏•高考真题、2023•湖南•
高考真题、2023•山西•高考真题、2023•江苏•高考真题、2021•全国•高考真
题、2022•全国•高考真题
考向二应用动能定理解决多过程问题：2021•全国•高考真题、2023•福建•统考
高考真题、2021•湖南•高考真题、2021•辽宁•高考真题、2022•浙江•高考真题
功能关系的理解和应用
考向一常见力做功与相应能量的转化：2022•福建•高考真题、2021•浙江•高考
真题、2023•北京•高考真题、2023•浙江•高考真题、2022•广东•高考真题
考向二功能关系的应用：2021•北京•高考真题
1.考频：本专题属于重点、热点、难点内容；
2.考向：①功的考察：各种力（重力（与路径无关）、弹力（变力做功）、摩擦力（涉及能量的转化）的
做功特点及计算②动能定理的考察：a、物体受恒力在单一过程中的初末动能计算；b、利用动能定理计算
变力做功；c、物体在力（恒力、变力、多个力，各力作用不同阶段）作用下经历多个过程的动能变化；
③功能关系：各种力做功与对应能量的转化问题
3.应试策略
本专题在备考物理时，明智的做法是按照以下步骤进行系统的复习：
①夯实基础：确保你对物理学的基础概念有深刻的理解。这包括：
功和功率的概念及其计算方法。
动能、重力势能、弹性势能以及机械能的定义和计算公式。
动能定理的表述和应用。
功能关系的理解和实践应用。
②强化能力：培养分析和解决问题的能力，通过练习提高：
过程分析：理解物理过程中发生的能量转换和功的传递。
受力分析：分析物体在不同情况下的受力情况，以及力对物体状态变化的影响。
能量转化分析：追踪能量在不同形式间的转换，如动能与势能之间的转换。
③提升素养：在复习中不仅要学习物理知识，还要学会如何思考问题：
应用数学方法：利用微元法、函数法、图像法、比较法和极限法等工具来处理物理问题。
连接思想方法：将物理规律与实际问题联系起来，发展科学思维和解决问题的策略。
考点01 功功率机车启动问题
考向一 变力做功的计算
1．（2023·山西·高考真题）无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量
2
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为m 的雨滴在地面附近以速率v 下落高度h 的过程中，克服空气阻力做的功为（重力加速度大小为g）（
）
A．0
B．mgh
C．
D．
【答案】B
【详解】在地面附近雨滴做匀速运动，根据动能定理得
，故雨滴克服空气阻力做功为
。
故选B。
2．（2023·广东·高考真题）（多选）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从
圆弧滑道顶端
点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端
点时速度大小为
。已知货物质量为
，滑
道高度
为
，且过
点的切线水平，重力加速度取
。关于货物从
点运动到
点的过程，下列说
法正确的有（ ）
A．重力做的功为
B．克服阻力做的功为
C．经过
点时向心加速度大小为
D．经过
点时对轨道的压力大小为
【答案】BCD
【详解】A．重力做的功为
，A 错误；B．下滑过程据动能定理可得
，代
入数据解得，克服阻力做的功为
，B 正确；C．经过
点时向心加速度大小为
，C
正确；D．经过
点时，据牛顿第二定律可得
，解得货物受到的支持力大小为
，据
牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为
，D 正确。
故选BCD。
3．（2021·山东·高考真题）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L 的轻质细杆，一端可绕
3
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竖直光滑轴O 转动，另一端与质量为m 的小木块相连。木块以水平初速度
出发，恰好能完成一个完整的
圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理
，
可得摩擦力的大小
。
故选B。
4．（2023·重庆·高考真题）机械臂广泛应用于机械装配。若某质量为m 的工件（视为质点）被机械臂抓取
后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为a 的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为
θ，提升高度为h，如图所示。求：
（1）提升高度为h 时，工件的速度大小；
（2）在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）根据匀变速直线运动位移与速度关系有
4
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解得
（2）根据速度公式有
解得
根据动能定理有
解得
考向二 平均功率与瞬时功率
5．（2023·辽宁·高考真题）如图（a），从高处M 点到地面N 点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、
乙同时从M 点由静止释放，沿不同轨道滑到N 点，其速率v 与时间t 的关系如图（b）所示。由图可知，两
物块在离开M 点后、到达N 点前的下滑过程中（ ）
A．甲沿I 下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C．乙沿I 下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
【答案】B
【详解】AB．由图乙可知，甲下滑过程中，甲做匀加速直线运动，则甲沿Ⅱ下滑，乙做加速度逐渐减小的
加速运动，乙沿I 下滑，任意时刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一时刻甲的动能比乙的小，A 错误，B
正确；CD．乙沿I 下滑，开始时乙速度为0，到
点时乙竖直方向速度为零，根据瞬时功率公式
可知重力瞬时功率先增大后减小，CD 错误。
故选B。
6．（2023·山东·高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水
5
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过程简化如下：两个半径均为R 的水轮，以角速度ω 匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n
个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m 的水，其中的60%被输送到高出水面H 处灌
入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
A．
B．
C．
D．nmgωRH
【答案】B
【详解】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n 个，且每个水筒离开水面时装有质量为m 的水、
其中的60%被输送到高出水面H 处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为m 总 = 2πRnm × 60%
= 1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W = 1.2πRnmgH，则筒车对灌入稻田的水做功的
功率为
，
，联立有
。
故选B。
考向三 机车启动问题
7．（2023·天津·高考真题）质量为m 的列车匀速v 行驶，突然以F 大小的力制动刹车直到列车停止，过程
中恒受到f 的空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．减速运动加速度大小
B．力F 的冲量为mv
C．刹车距离为
D．匀速行驶时功率为
【答案】C
【详解】A．根据牛顿第二定律有
，可得减速运动加速度大小
，故A 错误；B．根据
运动学公式有
，故力F 的冲量为
，方向与运动方向相反；故B 错误；C．根据
6
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运动学公式
，可得
，故C 正确；D．匀速行驶时牵引力等于空气阻力，则功率为
，故D 错误。
故选C。
8．（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为
和
，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为
和
。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能
达到的最大速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知两节动车分别有
，
，当将它们编组后有
，联立可得
。
故选D。
9．（2021·湖南·高考真题）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为
的
动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为
，若动车组所
受的阻力与其速率成正比（
，
为常量），动车组能达到的最大速度为
。下列说法正确的是（
）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为
，则动车组匀速行驶的速度为
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度
，则这一过
7
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程中该动车组克服阻力做的功为
【答案】C
【详解】A．对动车由牛顿第二定律有
，若动车组在匀加速启动，即加速度恒定，但
随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而变大，故A 错误；B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，
则总功率为4P，由牛顿第二定律有
，故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加
速度逐渐减小，故B 错误；C．若四节动力车厢输出的总功率为
，则动车组匀速行驶时加速度为零，
有
，而以额定功率匀速时，有
，联立解得
，故C 正确；D．若四节动力车厢输
出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度
，由动能定理可知
可得动车组克服阻力做的功为
，故D 错误；
故选C。
10．（2021·北京·高考真题）如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面
abcd，其中ab 段为平直上坡路面，bc 段为水平路面，cd 段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力
和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（ ）
A．在ab 段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab 段的输出功率比bc 段的大
C．在cd 段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd 段的输出功率比bc 段的大
【答案】B
【详解】AB．在ab 段，根据平衡条件可知，牵引力
，所以在ab 段汽车的输出功率
，不变，在bc 段牵引力
，bc 段的输出功率
，故A 错误B 正确；CD．在cd 段牵
引力
，汽车的输出
，在cd 段汽车的输出功率不变，且小于bc 段，故CD 错误。
故选B。
8
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11．（2021·重庆·高考真题）（多选）额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动
机的牵引力随时间的变化曲线如图所示。两车分别从和时刻开始以额定功率行驶，从
和
时刻开始牵
引力均视为不变。若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（ ）
A．甲车的总重比乙车大
B．甲车比乙车先开始运动
C．甲车在
时刻和乙车在时刻的速率相同
D．甲车在
时刻和乙车在
时刻的速率相同
【答案】ABC
【详解】A．根据题述，两车额定功率P 相同，匀速运动后牵引力等于阻力，因此甲车阻力大于乙车阻力，
根据甲车
时刻后和乙车
时刻后两车牵引力不变，甲车牵引力大于乙车可知
，可知甲车的总
重比乙车大，故A 正确；B．如图所示
甲车在A 点所对应的时刻牵引力与阻力瞬间相等，所以甲车从这个时刻开始，做加速运动；乙车在B 点所
对应的时刻牵引力与阻力瞬间相等，乙车从这个时刻开始加速，所以甲车比乙车先开始运动，故B 正确；
C．两车分别从
和时刻开始以额定功率行驶，这两个时刻，两车的牵引力等大，由
可知，甲车在
时刻和乙车在
时刻的速率相同，故C 正确；D．
时刻甲车达到最大速度，
时刻乙车达到最大速度，
根据汽车的额定功率
，可知由于甲车的总重比乙车大，所以甲车在
时刻的速率小于乙车
9
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在
时刻的速率，故D 错误。
故选ABC。
12．（2023·山东·高考真题）质量为M 的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F 和受到的阻力f 均为
恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m 的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶
的位移为
时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为
。
物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设物体与地面间的动摩擦因数为μ，当小车拖动物体行驶的位移为S1 的过程中有F－f－μmg = (m
＋M)a， v2= 2aS1，P0= Fv，轻绳从物体上脱落后a2= μg，v2= 2a2(S2－S1)，联立有
。
故选A。
13．（2022·浙江·高考真题）小明用额定功率为
、最大拉力为
的提升装置，把静置于地面的
质量为
的重物竖直提升到高为
的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过
的匀减
速运动，到达平台的速度刚好为零，
取
，则提升重物的最短时间为（ ）
A．13.2s
B．14.2s
C．15.5s
D．17.0s
【答案】C
【详解】为了以最短时间提升重物，一开始先以最大拉力拉重物做匀加速上升，当功率达到额定功率时，
保持功率不变直到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速度做匀减速上升至平台速度刚好
10
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为零，重物在第一阶段做匀加速上升过程，根据牛顿第二定律可得
，当功率达到额定功率时，设重物的速度为
，则有
，此过程所用时间和上升高度分别为
，
，
重物以最大速度匀速时，有
，重物最后以最大加速度做匀减速运动的时
间和上升高度分别为
，
，设重物从结束匀加速运动到开始做匀
减速运动所用时间为
，该过程根据动能定理可得
，又
，联立解得
，故提升重物的最短时间为
，C 正确，ABD 错误；
故选C。
考点02 动能定理的理解和应用
考向一 动能 动能定理的理解及简单应用
1．（2023·江苏·高考真题）滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最高点B 后返回到底端。利
用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片示意图如图所示。与图乙中相比，图甲中滑块
（ ）
A．受到的合力较小
B．经过A 点的动能较小
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C．在A、B 之间的运动时间较短
D．在A、B 之间克服摩擦力做的功较小
【答案】C
【详解】A．因为频闪照片时间间隔相同，对比图甲和乙可知图甲中滑块加速度大，是上滑阶段；根据牛
顿第二定律可知图甲中滑块收到的合力较大；故A 错误；B．从图甲中的A 点到图乙中的A 点，先上升后
下降，重力做功为0，摩擦力做负功；根据动能定理可知图甲经过A 点的动能较大，故B 错误；C．由于
图甲中滑块加速度大，根据
，可知图甲在A、B 之间的运动时间较短，故C 正确；D．由于无
论上滑或下滑均受到滑动摩擦力大小相等，故图甲和图乙在A、B 之间克服摩擦力做的功相等，故D 错误；
故选C。
2．（2023·湖南·高考真题）（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段BC 组
成，两段相切于B 点，AB 段与水平面夹角为θ，BC 段圆心为O，最高点为C、A 与C 的高度差等于圆弧轨
道的直径2R。小球从A 点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A 到C 的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B 点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C 点，则小球在C 点的速度为vC = 0，则小球从C 到B
的过程中，有
，
，联立有FN= 3mgcosα－2mg，则从C 到B 的过
程中α 由0 增大到θ，则cosα 逐渐减小，故FN 逐渐减小，而小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐
增大，A 正确；B．由于A 到B 的过程中小球的速度逐渐减小，则A 到B 的过程中重力的功率为P = －
mgvsinθ
则A 到B 的过程中小球重力的功率始终减小，则B 错误；C．从A 到C 的过程中有
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解得
，C 错误；D．小球在B 点恰好脱离轨道有
，则
，则若小球初速度v0增大，小球在B 点的速度有可能为
，故小球有可能从B 点脱
离轨道，D 正确。
故选AD。
3．（2023·山西·高考真题）（多选）一质量为1kg 的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上
沿x 轴运动，出发点为x 轴零点，拉力做的功W 与物体坐标x 的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩
擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．在x= 1m 时，拉力的功率为6W
B．在x= 4m 时，物体的动能为2J
C．从x= 0 运动到x= 2m，物体克服摩擦力做的功为8J
D．从x= 0 运动到x= 4 的过程中，物体的动量最大为2kg∙m/s
【答案】BC
【详解】由于拉力在水平方向，则拉力做的功为W = Fx，可看出W—x 图像的斜率代表拉力F。AB．在物
体运动的过程中根据动能定理有
，则x = 1m 时物体的速度为v1= 2m/s，x = 1m 时，拉力
为
，则此时拉力的功率P = Fv1= 12W，x = 4m 时物体的动能为Ek= 2J，A 错误、B 正确；
C．从x = 0 运动到x = 2m，物体克服摩擦力做的功为Wf= μmgx = 8J，C 正确；D．根据W—x 图像可知在
0—2m 的过程中F1= 6N，2—4m 的过程中F2= 3N，由于物体受到的摩擦力恒为f = 4N，则物体在x = 2m
处速度最大，且根据选项AB 分析可知此时的速度
，则从x = 0 运动到x = 4 的过程中，物体的
动量最大为
，D 错误。
故选BC。
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4.（2022·全国·高考真题）北京2022 年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a 处由静止
自由滑下，到b 处起跳，c 点为a、b 之间的最低点，a、c 两处的高度差为h。要求运动员经过c 点时对滑
雪板的压力不大于自身所受重力的k 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c 点处这一段
圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】运动员从a 到c 根据动能定理有
，在c 点有
，FNc ≤ kmg，联立有
。
故选D。4．（2023·江苏·高考真题改编）如图所示，滑雪道AB 由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道
倾角均为45°。平台BC 与缓冲坡CD 相连。若滑雪者从P 点由静止开始下滑，恰好到达B 点。滑雪者现从
A 点由静止开始下滑，从B 点飞出。已知A、P 间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为
，重力
加速度为g，不计空气阻力。
（1）求滑雪者运动到P 点的时间t；
【答案】（1）
；
【详解】（1）滑雪者从A 到P 根据动能定理有
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根据动量定理有
联立解得
，
5．（2021·全国·高考真题）一篮球质量为
，一运动员使其从距地面高度为
处由静止自
由落下，反弹高度为
。若使篮球从距地面
的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下
拍球、球落地后反弹的高度也为
。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为
；该
篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取
，不计空气阻力。求：
（1）运动员拍球过程中对篮球所做的功；
（2）运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）第一次篮球下落的过程中由动能定理可得
篮球反弹后向上运动的过程由动能定理可得
第二次从1.5m 的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程中，由动能定理可得
第二次从1.5m 的高度静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，由动能定理可得
因篮球每次和地面撞击的前后动能的比值不变，则有比例关系
代入数据可得
（2）因作用力是恒力，在恒力作用下篮球向下做匀加速直线运动，因此有牛顿第二定律可得
在拍球时间内运动的位移为
做得功为
联立可得
（
舍去）
考向二 应用动能定理解决多过程问题
6．（2021·全国·高考真题）（多选）一质量为m 的物体自倾角为
的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物
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体开始滑动时的动能为
，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能
为
。已知
，重力加速度大小为g。则（ ）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【详解】AC．物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
，物体从斜面底端到
斜面顶端根据动能定理有
，整理得
；
，A 错误，C 正确；B．
物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
，求解得出
，B 正确；D．物体向上
滑动时的根据牛顿第二定律有
，物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
，由上式可知a 上> a 下，由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为
零，且走过相同的位移，根据公式
，则可得出
，D 错误。
故选BC。
7．（2021·辽宁·高考真题）（多选）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一、某冰滑梯的示意图
如图所示，螺旋滑道的摩擦可忽略：倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ 相同，因滑板不同
μ 满足
。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，且滑行结束时停在水平
滑道上，以下L1、L2的组合符合设计要求的是（ ）
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】CD
【详解】设斜面倾角为
，游客在倾斜滑道上均减速下滑，则需满足
，可得
，即有
，因
，所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，可得
，滑行
结束时停在水平滑道上，即在摩擦因数去最小时能停在滑道上，由全程的动能定理有
，要求进入水平滑道，因此最大的动摩擦因数能够进入水平滑道，
即
，综合需满足
和
。
故选CD。
8．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其电
荷量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空
间存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均
为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在
时刻，A 到达位置S，速度为
，此时弹
簧未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，A
的速度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，
、
、
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均为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等
效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限
度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求
时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）
时间内根据动能定理可知合外力做的功为
（2）由图（b）可知
时刻A 的加速度为0，此时滑块A 所受合外力为0，设此时A 与B 之间的距离为
r0，根据平衡条件有
其中
联立可得
（3）在
时刻，A 的速度达到最大，此时A 所受合力为0，设此时A 和B 的距离为r1，则有
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且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功
（4）过S 后，A、B 的加速度相同，则A、B 速度的变化相同。设弹簧的初始长度为
；A 在S 位置时，
此时刻A、B 的距离为
，A 速度最大时，AB 距离为
，细杆与B 碰撞时，A、B 距离为
。
A 以
过S 时，到B 与杆碰撞时，A 增加的速度为
，则B 同样增加速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左
运动
。设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。对A 根据动能定理有
对B 有
当A 以
过S 时，设B 与杆碰撞时，A 速度为
，则B 速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左运动
。
设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。
对A 根据动能定理有
对B
联立解得
9．（2022·浙江·高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角
=37°的光滑直轨道AB、圆
心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG
组成，B、D 和F 为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G 点（与B 点等高），B、O1、D、O2和F 点
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处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD 和DEF 的半径R=0.15m，轨道AB 长度
，滑块与轨道FG 间的动摩擦因数
，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，
cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB 上某点静止释放，（
）
（1）若释放点距B 点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C 时轨道对其支持力FN的大小；
（2）设释放点距B 点的长度为
，滑块第一次经F 点时的速度v 与
之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG 的中点，求释放点距B 点长度
的值。
【答案】（1）7N；（2）
（
）；（3）
，
，
【详解】（1）滑块释放运动到C 点过程，由动能定理
经过C 点时
解得
（2）能过最高点时，则能到F 点，则恰到最高点时
解得
而要保证滑块能到达F 点，必须要保证它能到达DEF 最高点，当小球恰好到达DEF 最高点时，由动能定
理
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可解得
则要保证小球能到F 点，
，带入
可得
（3）设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的n 倍，则n=1,3,5,……
解得
n=1,3,5, ……
又因为
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，满足要求。
即若滑块最终静止在轨道FG 的中点，释放点距B 点长度
的值可能为
，
，
。
10．（2021·湖南·高考真题）如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为
的水平轨道通过一小
段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道
。质量为
的小物块A 与水平轨道间的动摩擦
因数为
。以水平轨道末端
点为坐标原点建立平面直角坐标系
，
轴的正方向水平向右，
轴的正
方向竖直向下，弧形轨道
端坐标为
，
端在
轴上。重力加速度为
。
（1）若A 从倾斜轨道上距
轴高度为
的位置由静止开始下滑，求
经过
点时的速度大小；
（2）若A 从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过
点落在弧形轨道
上的动能均相同，求
的
曲线方程；
（3）将质量为
（
为常数且
）的小物块
置于
点，A 沿倾斜轨道由静止开始下滑，与B 发生弹
性碰撞（碰撞时间极短），要使A 和B 均能落在弧形轨道上，且A 落在B 落点的右侧，求A 下滑的初始
位置距
轴高度的取值范围。
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【答案】（1）
；（2）
（其中，
）；（3）
【详解】（1）物块
从光滑轨道滑至
点，根据动能定理
解得
（2）物块
从
点飞出后做平抛运动，设飞出的初速度为
，落在弧形轨道上的坐标为
，将平抛运
动分别分解到水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，有
，
解得水平初速度为
物块
从
点到落点，根据动能定理可知
解得落点处动能为
因为物块
从
点到弧形轨道上动能均相同，将落点
的坐标代入，可得
化简可得
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即
（其中，
）
（3）物块
在倾斜轨道上从距
轴高处静止滑下，到达
点与
物块碰前，其速度为
，根据动能定理
可知
解得
------- ①
物块
与
发生弹性碰撞，使A 和B 均能落在弧形轨道上，且A 落在B 落点的右侧，则A 与B 碰撞后需
要反弹后再经过水平轨道-倾斜轨道-水平轨道再次到达O 点。规定水平向右为正方向，碰后AB 的速度大
小分别为
和
，在物块
与
碰撞过程中，动量守恒，能量守恒。则
解得
-------②
-------③
设碰后
物块反弹，再次到达
点时速度为
，根据动能定理可知
解得
-------④
据题意， A 落在B 落点的右侧，则
-------⑤
据题意，A 和B 均能落在弧形轨道上，则A 必须落在P 点的左侧，即：
-------⑥
联立以上，可得
的取值范围为
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考点03 功能关系的理解和应用
考向一 常见力做功与相应能量的转化
1．（2023·北京·高考真题）如图所示，一物体在力F 作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量
为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，在物体移动距离为x 的过程
中（ ）
A．摩擦力做功大小与F 方向无关
B．合力做功大小与F 方向有关
C．F 为水平方向时，F 做功为
D．F 做功的最小值为
【答案】D
【详解】A．设力F 与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为
，摩擦力的功
，即摩擦力的功与F 的方向有关，选项A 错误；B．合力功
，可知合
力功与力F 方向无关，选项B 错误；C．当力F 水平时，则
，力F 做功为
，选项C 错误；D．因合外力功为max 大小一定，而合外力的功等于力F 与摩擦力f
做功的代数和，而当
时，摩擦力f=0，则此时摩擦力做功为零，此时力F 做功最小，最小值为
max，选项D 正确。
故选D。
2．(2023·浙江·高考真题)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下．游客从跳台
下落直到最低点过程中( )
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A．弹性势能减小 B．重力势能减小 C．机械能保持不变 D．绳一绷紧动能就开始减小
【答案】B
【解析】游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，游客只受重力作用做匀加速运动，下落到一定高度时
橡皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增
大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值，则橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，
A 错误；游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B 正确；下落阶段橡皮绳对游客做负
功，游客机械能减少，转化为橡皮绳的弹性势能，C 错误；绳刚绷紧开始一段时间内，弹力小于重力，合
力向下做正功，游客动能在增加；当弹力大于重力后，合力向上对游客做负功，游客动能逐渐减小，D 错
误．
3．（2022·广东·高考真题）（多选）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平
段以恒定功率
、速度
匀速行驶，在斜坡
段以恒定功率
、速度
匀速行驶。已知小车总质量为
，
，
段的倾角为
，重力加速度g 取
，不计空气阻力。下列说法正确的
有（ ）
A．从M 到N，小车牵引力大小为
B．从M 到N，小车克服摩擦力做功
C．从P 到Q，小车重力势能增加
D．从P 到Q，小车克服摩擦力做功
【答案】ABD
【详解】A．小车从M 到N，依题意有
，代入数据解得
，故A 正确；B．依题意，
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小车从M 到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为
，则摩擦力做功为
，
则小车克服摩擦力做功为800J，故B 正确；C．依题意，从P 到Q，重力势能增加量为
，故C 错误；D．依题意，小车从P 到Q，摩擦力为f2，有
，摩擦力做功为
，
，联立解得
，则小车克服摩擦力做
功为700J，故D 正确。
故选ABD。
4．（2022·福建·高考真题）福建土楼兼具居住和防御的功能，承启楼是圆形土楼的典型代表，如图（a）
所示。承启楼外楼共四层，各楼层高度如图（b）所示。同一楼层内部通过直径约
的圆形廊道连接。
若将质量为
的防御物资先从二楼仓库搬到四楼楼梯口M 处，再用
沿廊道运送到N 处，如图
（c）所示。重力加速度大小取
，则（ ）
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A．该物资从二楼地面被运送到四楼M 处的过程中，克服重力所做的功为
B．该物资从M 处被运送到N 处的过程中，克服重力所做的功为
C．从M 处沿圆形廊道运动到N 处，位移大小为
D．从M 处沿圆形廊道运动到N 处，平均速率为
【答案】A
【详解】A．该物资从二楼地面被运送到四楼M 处的过程中，克服重力所做的功为
，故A 正确；B．该物资从M 处被运送到N 处的过程中，由于
M、N 高度差为零，所以克服重力做功为零，故B 错误；C．从M 处沿圆形廊道运动到N 处，位移大小为
，故C 错误；D．从M 处沿圆形廊道运动到N 处，平均速率为
，
故D 错误。
故选A。
5．（2021·浙江·高考真题）中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土
密度为
，假设泵车的泵送系统以
的输送量给
高处输送混凝土，则每小时泵送系
统对混凝土做的功至少为（ ）
发动机最大输出功率（
）
332
最大输送高度（m）
63
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整车满载质量（
）
最大输送量（
）
180
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】泵车的泵送系统以
的输送量给
高处输送混凝土，每小时泵送系统对混凝土做的功
。
故选C。
考向二 功能关系的应用
6．（2021·北京·高考真题）秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效
“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为，人站立时摆长为。不计空气阻力，重力加速度大小为
g。
（1）如果摆长为，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T 的大小。
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a.人蹲在踏板上从最大摆角
开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角
为
。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明
。
b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角
后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，
求在最低点“摆球”增加的动能
应满足的条件。
【答案】（1）
；（2）a.见解析；b.
【详解】（1）根据牛顿运动定律
解得
（2）a.设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v1、v2，根据功能关系得
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,
已知v1 = v2，得
因为
，得
所以
b.设“摆球”由最大摆角摆至最低点时动能为
，根据功能关系得
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为
,根据牛顿运动定律得
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得
得
7．（2021·北京·高考真题）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力
（k
为常量）的作用。其速率v 随时间t 的变化规律可用方程
（①式）描述，其中m 为物体质量，
G 为其重力。求物体下落的最大速率
。
（2）情境2：如图1 所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发现
电路中电流I 随时间t 的变化规律与情境1 中物体速率v 随时间t 的变化规律类似。类比①式，写出电流I
随时间t 变化的方程；并在图2 中定性画出I - t 图线。
（3）类比情境1 和情境2 中的能量转化情况，完成下表。
情境1
情境2
物体重力势能的减少量
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物体动能的增加量
电阻R 上消耗的电能
【答案】（1）
；（2）a.
，b.
；（3）见解析
【详解】（1）当物体下落速度达到最大速度
时，加速度为零，有
得
（2）a.由闭合电路的欧姆定理有
b.由自感规律可知，线圈产生的自感电动势阻碍电流，使它逐渐变大，电路稳定后自感现象消失，I - t 图线
如答图2
（3）各种能量转化的规律如图所示
情境1
情境2
电源提供的电能
线圈磁场能的增加量
克服阻力做功消耗的机械
能
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