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专题24 动能定理的应用（二）
28．（2023·江苏）如图所示，滑雪道AB 由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC
与缓冲坡CD 相连。若滑雪者从P 点由静止开始下滑，恰好到达B 点。滑雪者现从A 点由静止开始下滑，
从B 点飞出。已知A、P 间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为
，重力加速度为g，不计空气
阻力。
（1）求滑雪者运动到P 点的时间t；
（2）求滑雪者从B 点飞出的速度大小v；
（3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD 上，求平台BC 的最大长度L。
29．（2023·浙江）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角
的直轨道
、
螺旋圆形轨道
，倾角
的直轨道
、水平直轨道
组成，除
段外各段轨道均光滑，且各
处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道
、
相切于
处．凹槽
底面
水平光滑，上面放有一无
动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁
处，摆渡车上表面与直轨道下
、平台
位于同一水平面。已知螺
旋圆形轨道半径
，B 点高度为
，
长度
，
长度
，摆渡车长度
、
质量
。将一质量也为
的滑块从倾斜轨道
上高度
处静止释放，滑块在
段运动时的
阻力为其重力的0.2 倍。（摆渡车碰到竖直侧壁
立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，
，
）
（1）求滑块过C 点的速度大小
和轨道对滑块的作用力大小
；
（2）摆渡车碰到
前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数
；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G 到J 所用的时间。
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30．（2022·浙江）如图所示，在竖直面内，一质量m 的物块a 静置于悬点O 正下方的A 点，以速度v 逆时
针转动的传送带MN 与直轨道AB、CD、FG 处于同一水平面上，AB、MN、CD 的长度均为l。圆弧形细管
道DE 半径为R，EF 在竖直直径上，E 点高度为H。开始时，与物块a 相同的物块b 悬挂于O 点，并向左
拉开一定的高度h 由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a 发生弹性正碰。已知
，
，
，
，
，物块与MN、CD 之间的动摩擦因数
，轨道AB 和管道DE
均光滑，物块a 落到FG 时不反弹且静止。忽略M、B 和N、C 之间的空隙，CD 与DE 平滑连接，物块可
视为质点，取
。
（1）若
，求a、b 碰撞后瞬时物块a 的速度
的大小；
（2）物块a 在DE 最高点时，求管道对物块的作用力
与h 间满足的关系；
（3）若物块b 释放高度
，求物块a 最终静止的位置x 值的范围（以A 点为坐标原点，水
平向右为正，建立x 轴）。
31．（2022·广东）某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面
上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A 处以初速度
为
向上滑动时，受
到滑杆的摩擦力f 为
，滑块滑到B 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动。
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已知滑块的质量
，滑杆的质量
，A、B 间的距离
，重力加速度g 取
，不
计空气阻力。求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小
和
；
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小v1；
（3）滑杆向上运动的最大高度h。
32．（2022·浙江）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角
=37°的光滑直轨道AB、圆心为O1
的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG 组成，
B、D 和F 为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G 点（与B 点等高），B、O1、D、O2和F 点处于同
一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD 和DEF 的半径R=0.15m，轨道AB 长度
，滑块与轨道FG 间的动摩擦因数
，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，
cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB 上某点静止释放，（
）
（1）若释放点距B 点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C 时轨道对其支持力FN的大小；
（2）设释放点距B 点的长度为
，滑块第一次经F 点时的速度v 与
之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG 的中点，求释放点距B 点长度
的值。
33．（2021·福建）如图（a），一倾角
的固定斜面的
段粗糙，
段光滑。斜面上一轻质弹簧的一
3
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端固定在底端C 处，弹簧的原长与
长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T 作用下，由A 处从静止
开始下滑，当滑块第一次到达B 点时撤去T。T 随滑块沿斜面下滑的位移s 的变化关系如图（b）所示。已
知
段长度为
，滑块质量为
，滑块与斜面
段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重
力加速度大小取
，
。求：
（1）当拉力为
时，滑块的加速度大小；
（2）滑块第一次到达B 点时的动能；
（3）滑块第一次在B 点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
34．（2021·北京）秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的
质量为m，人蹲在踏板上时摆长为，人站立时摆长为
。不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）如果摆长为，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T 的大小。
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a.人蹲在踏板上从最大摆角
开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角
为
。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明
。
b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角
后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，
求在最低点“摆球”增加的动能
应满足的条件。
35．（2021·山东）如图所示，三个质量均为m 的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A 紧靠竖直墙壁，
一劲度系数为k 的轻弹簧将A、B 连接，C 紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C 均静止。现给C 施加
一水平向左、大小为F 的恒力，使B、C 一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A 离
开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C 与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑
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动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：
，k 为弹簧的劲度系数，x 为
弹簧的形变量）
（1）求B、C 向左移动的最大距离
和B、C 分离时B 的动能
；
（2）为保证A 能离开墙壁，求恒力的最小值
；
（3）若三物块都停止时B、C 间的距离为
，从B、C 分离到B 停止运动的整个过程，B 克服弹簧弹力
做的功为W，通过推导比较W 与
的大小；
（4）若
，请在所给坐标系中，画出C 向右运动过程中加速度a 随位移x 变化的图像，并在坐标轴
上标出开始运动和停止运动时的a、x 值（用f、k、m 表示），不要求推导过程。以撤去F 时C 的位置为坐
标原点，水平向右为正方向。
36．（2020·浙江）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道
和倾角
的斜轨道
平滑连接而成。质量
的小滑块从弧形轨道离地高
处静止
释放。已知
，
，滑块与轨道
和
间的动摩擦因数均为
，弧形轨道和
圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
(1)求滑块运动到与圆心O 等高的D 点时对轨道的压力；
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C 点；
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A 点x 处的质量为
的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因
数仍为0.25，求它们在轨道
上到达的高度h 与x 之间的关系。（碰撞时间不计，
，
）
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37．（2020·全国）如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m 的小球。
圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖
直。已知M =4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg, g 为重力加速度的大小，不计空气阻力。
（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；
（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。
38．（2020·浙江）如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道（在最低点
E 分别与水平轨道
和
相连）、高度h 可调的斜轨道
组成。游戏时滑块从O 点弹出，经过圆轨道
并滑上斜轨道。全程不脱离轨道且恰好停在B 端则视为游戏成功。已知圆轨道半径
，
长
，
长
，圆轨道和
光滑，滑块与
、
之间的动摩擦因数
。滑块质量
m=2g 且可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能。忽略空气阻力，各部分
平滑连接。求
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点F 时的速度
大小；
（2）当
且游戏成功时，滑块经过E 点对圆轨道的压力
大小及弹簧的弹性势能
；
（3）要使游戏成功，弹簧的弹性势能
与高度h 之间满足的关系。
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39．（2019·天津）完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功．航母上
的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1 所示．为了便于研究舰载
机的起飞过程，假设上翘甲板
是与水平甲板
相切的一段圆弧，示意如图2，
长
，
水平投影
，图中
点切线方向与水平方向的夹角
（
）．若舰载机从
点由静
止开始做匀加速直线运动，经
到达
点进入
．已知飞行员的质量
，
，求
（1）舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功
；
（2）舰载机刚进入
时，飞行员受到竖直向上的压力
多大．
40．（2018·浙江）如图所示，一轨道由半径为2m 的四分之一竖直圆弧轨道AB 和长度可以调节的水平直
轨道BC 在B 点平滑连接而成．现有一质量为0.2kg 的小球从A 点无初速度释放，经过圆弧上的B 点时，传
感器测得轨道所受压力大小为3.6N，小球经过BC 段所受阻力为其重力的0.2 倍，然后从C 点水平飞离轨
道，落到水平面上的P 点，P、C 两点间的高度差为3.2m．小球运动过程中可以视为质点，且不计空气阻
力．
（1）求小球运动至B 点的速度大小以及小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；
（2）为使小球落点P 与B 点的水平距离最大，求BC 段的长度；
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（3）小球落到P 点后弹起，与地面多次碰撞后静止．假设小球每次碰撞机械能损失75%，碰撞前后速度
方向与地面的夹角相等．求小球从C 点飞出后静止所需的时间．
41．（2015·浙江）如图所示，用一块长
的木板在墙和桌面间架设斜面，桌面高H=0.8m，长
．斜面与水平桌面的倾角
可在0~60°间调节后固定．将质量m=0.2kg 的小物块从斜面顶端静止
释放，物块与斜面间的动摩擦因数
，物块与桌面间的动摩擦因数
，忽略物块在斜面与桌面交
接处的能量损失．（重力加速度取
；最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（1）求
角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；（用正切值表示）
（2）当
增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数
；
（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（3）继续增大
角，发现
=53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离
．
42．（2015·上海）质量为m 的小球在竖直向上的恒定拉力作用下，由静止开始从水平地面向上运动，经
一段时间，拉力做功为W，此后撤去拉力，球又经相同时间回到地面，以地面为零势能面，不计空气阻力．
求：
（1）球回到地面时的动能
；
（2）撤去拉力前球的加速度大小a 及拉力的大小F；
（3）球动能为W/5 时的重力势能
．
43．（2015·重庆）同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如图所示的实验装置．图中水平放置
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的底板上竖直地固定有M 板和N 板．M 板上部有一半径为
的
圆弧形的粗糙轨道，P 为最高点，Q 为最
低点，Q 点处的切线水平，距底板高为
.N 板上固定有三个圆环.将质量为
的小球从P 处静止释放，小
球运动至Q 飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距Q 水平距离为
处．不考虑空气阻力，重力加
速度为
.求：
（1）距Q 水平距离为
的圆环中心到底板的高度；
（2）小球运动到Q 点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向；
（3）摩擦力对小球做的功.
44．（2014·全国）如图，O、A、B 为同一竖直平面内的三个点，OB 沿竖直方向，
，
，将一质量为m 的小球以一定的初动能自O 点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A 点。
使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场，场强方向与
所在平面平行，现从O 点以
同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A 点，到达A 点时的动能是初动能的3 倍；若该
小球从O 点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B 点，且到达B 点的动能为初动能的6 倍，重力加
速度大小为g。求
（1）无电场时，小球达到A 点时的动能与初动能的比值；
（2）电场强度的大小和方向。
45．（2019·浙江）如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A 点
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等高．质量m=0.5kg 的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A 点高度h1=1.10m．篮球静止释放，测得第一次
撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x1=0.15m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A 点的高度h2=0.873m，篮
球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x2=0.01m，弹性势能为Ep=0.025J．若篮球运动时受到
的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内．求：
（1）弹簧的劲度系数；
（2）篮球在运动过程中受到的空气阻力；
（3）篮球在整个运动过程中通过的路程；
（4）篮球在整个运动过程中速度最大的位置．
46．（2017·浙江）图中给出一段“ ”形单行盘山公路的示意图，弯道1、弯道2 可看作两个不同水平面
上的圆弧，圆心分别为
，弯道中心线半径分别为
，弯道2 比弯道1 高
，有一
直道与两弯道圆弧相切．质量
的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩
擦力是车重的1.25 倍，行驶时要求汽车不打滑．（sin37°=0.6，sin53°=0.8）
（1）求汽车沿弯道1 中心线行驶时的最大速度
；
（2）汽车以
进入直道，以
的恒定功率直线行驶了
，进入弯道2，此时速度恰为通过弯
道2 中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；
（3）汽车从弯道1 的A 点进入，从同一直径上的B 点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间
匀速安全通过弯道，设路宽
，求此最短时间（A、B 两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质
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点 ）．
47．（2017·浙江）如图1 所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图2 的模型。
倾角为
的直轨道AB、半径R=10m 的光滑竖直圆轨道和倾角为
的直轨道EF，分别通过水平光滑衔
接轨道BC、平滑连接，另有水平减速直轨道FG 与EF 平滑连接，E、G 间的水平距离l=40m。现有质量
m=500kg 的过山车，从高h=40m 的A 点静止下滑，经
最终停在G 点，过山车与轨道AB、EF 的
动摩擦因数均为
，与减速直轨道FG 的动摩擦因数均为
，过山车可视为质点，运动中不脱
离轨道，求
（1）过山车运动至圆轨道最低点C 时的速度大小；
（2）过山车运动至圆轨道最高点D 时对轨道的作用力；
（3）减速直轨道FG 的长度x。（已知
，
）
48．（2018·北京）2022 年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某
滑道示意图如下，长直助滑道AB 与弯曲滑道BC 平滑衔接，滑道BC 高h=10m，C 是半径R=20m 圆弧的最
低点，质量m=60kg 的运动员从A 处由静止开始匀加速下滑，加速度
，到达B 点时速度vB=30
m/s。取重力加速度g=10 m/s2。
(1)求长直助滑道AB 的长度L；
(2)求运动员在AB 段所受合外力的冲量的I 大小；
(3)若不计BC 段的阻力，画出运动员经过C 点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小。
49．（2018·浙江）如图1 所示是游乐园的过山车，其局部可简化为如图2 所示的示意图，倾角
的
两平行倾斜轨道BC、DE 的下端与水平半圆形轨道CD 顺滑连接，倾斜轨道BC 的B 端高度h=24m，倾斜
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轨道DE 与圆弧EF 相切于E 点，圆弧EF 的圆心O1，水平半圆轨道CD 的圆心O2与A 点在同一水平面上，
DO1的距离L=20m，质量
的过山车（包括乘客）从B 点自静止滑下，经过水平半圆轨道后，滑上
另一倾斜轨道，到达圆弧顶端F 时，乘客对座椅的压力为自身重力的0.25 倍．已知过山车在BCDE 段运动
时所受的摩擦力与轨道对过山车的支持力成正比，比例系数
，EF 段摩擦不计，整个运动过程空气
阻力不计．（
，
）
（1）求过山车过F 点时的速度大小；
（2）求从B 到F 整个运动过程中摩擦力对过山车做的功；
（3）如图过D 点时发现圆轨道EF 段有故障，为保证乘客安全，立即触发制动装置，使过山车不能到达
EF 段并保证不再下滑，则过山车受到的摩擦力至少多大？
50．（2016·天津）我国将于2022 年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1所示，
质量m＝60 kg 的运动员从长直助滑道AB 的A 处由静止开始以加速度a＝3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道
末端B 时速度vB＝24 m/s，A 与B 的竖直高度差H＝48 m．为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳
台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C 处附近是一段以O 为圆心的圆弧．助滑道末端B 与滑道最低点
C 的高度差h＝5 m，运动员在B、C 间运动时阻力做功W＝－1530 J，g 取10 m/s2.
(1)求运动员在AB 段下滑时受到阻力Ff 的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6 倍，则C 点所在圆弧的半径R 至少应为多大？
51．（2016·全国）如图，水平地面上有两个静止的小物块a 和b，其连线与墙垂直，a 和b 相距l，b 与墙
之间也相距l；a 的质量为m，b 的质量为
，两物块与地面间的动摩擦因数均相同，现使a 以初速度v0
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向右滑动，此后a 与b 发生弹性碰撞，但b 没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g，求物块与地面间的动
摩擦因数满足的条件．
52．（2014·广东）如图的水平轨道中，AC 段的中点B 的正上方有一探测器，C 处有一竖直挡板，物体P1
沿轨道向右以速度v1与静止在A 点的物体P2碰撞，并接合成复合体P，以此碰撞时刻为计时零点，探测器
只在t1=2 s 至t2=4 s 内工作，已知P1、P2的质量都为m=1 kg，P 与AC 间的动摩擦因数为μ=0.1，AB 段长
L=4 m，g 取10 m/s2，P1、P2和P 均视为质点，P 与挡板的碰撞为弹性碰撞。
(1)若v1=6 m/s，求P1、P2碰后瞬间的速度大小v 和碰撞损失的动能ΔE；
(2)若P 与挡板碰后，能在探测器的工作时间内通过B 点，求v1的取值范围和P 向左经过A 点时的最大动能
E。
四、填空题
53．（2016·上海）地面上物体在变力F 作用下由静止开始竖直向上运动，力F 随高度x 的变化关系如图所
示，物体能上升的最大高度为h，h<H．当物体加速度最大时其高度为_____，加速度的最大值为_____．
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