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模型10 “等时圆”模型及其应用（原卷版）
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1．等时圆模型
(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆环的最低点所用时间相等，如图甲所示；
(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示；
(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦从上端由静止开始滑到下端
所用时间相等，如图丙所示。
2.等时性的证明
设某一条弦与水平方向的夹角为
，圆的直径为
（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀
加速直线运动，加速度为
，位移为s=d sinα ，所以运动时间为
t0=√
2s
a =√
2dsinα
gsinα =√
2d
g
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
1. 等时圆基本应用
【典型题1】如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上，沿三个不同的光滑弦1、2、3 上端由静止开始
01 模型概述
02 典题攻破
1
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滑到环的最低点，所用的时间分别为
、
、
；乙图中质点从竖直面内的圆环上最高点，沿三个不同
的光滑弦4、5、6 由静止开始滑到下端所用的时间分别为
、
、
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【典型题2】（2024·湖北黄石·三模）如图所示，
是一个倾角为
的传送带，上方离传送带表面距离为
的
处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在
与
传送带间建立一直线光滑管道，使原料无初速度
地从
处以最短的时间到达传送带上，则最理想管道做好后，原料从
处到达传送带的时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 等时圆拓展应用
【典型题3】如图所示有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O 点，O 点恰好是下半圆的顶点，
它们处在同一竖直平面内。现有两条光滑直轨道AOB、COD，轨道与竖直直径的夹角关系为
，
2
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现让一小物块先后从这两条轨道顶端由静止下滑至底端，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典型题4】如图在设计三角形的屋顶时，使雨水尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无
摩擦地流动，试分析：在屋顶宽度（2L） 一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间
是多少？
1．（2024 高一·全国·专题练习）如图所示，ad、bd、cd 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d
位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，三个滑环
分别从a、b、c 处释放（初速度都为0），用t1、t2、t3 依次表示各滑环滑到d 的时间，则（ ）
A．
B．
03 针对训练
3
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C．
D．
2．（23-24 高二下·安徽合肥·期中）如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA 杆竖直放置，OB 杆与
OD 杆等长，OC 杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个相同的小滑环（图中未画出），四个环分别
从O 点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD 滑到斜面上，下列说法正确的是（ ）
A．沿OD 下滑过程中弹力的冲量最大
B．沿OA 下滑过程中重力的冲量最大
C．沿OC 下滑过程中重力的冲量最小
D．沿OB 下滑过程中弹力的冲量最小
3.（23-24 高一上·山东济宁·阶段练习）如图所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了两个光滑轨道
a、b，其中轨道a 与斜面垂直，两轨道顶点相同，且顶点在C 点的正上方。现分别从两轨道的顶点释放
一物块，它们到达斜面的时间分别为t1、t2.下列说法正确的是（ ）
A．t1<t2
B．t1=t2
C．t1>t2
D．无法确定
4．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板
、
、
，其下端都
固定于容器底部
点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度
。若三个滑块同时
从A、B、C 处开始由静止下滑（忽略阻力），则（ ）
4
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A．A 处滑块最先到达
点
B．B 处滑块最先到达
点
C．C 处滑块最先到达
点
D．三个滑块同时到达
点
5．（23-24 高三上·江苏淮安·开学考试）如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O 为球内的最低点，
它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°。三个光滑的小环分别从A、B、C 处由静止沿所在弦下滑，
运动到最低点所用的时间分别为
、
、
，则三者之间大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM 三条光滑固定轨道，其中
B、C 两点处于同一个圆上，C 是圆上任意一点，B、M 分别为此圆与y 轴、x 轴的切点，A 点在y 轴上
且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、b、c 三个小球分别从A、B、C 点同时由静止释放，它们将沿轨道
运动到M 点，所用时间分别为
、
、
，则（ ）
5
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A．
<
<
B．
=
<
C．
>
=
D．由于C 点的位置不确定，故无法比较时间大小关系
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，有直角三角形光滑轨道框架
，其中AB 竖直。
，光
滑圆弧轨道CB 为
的外接圆上的一部分。小球1、2 分别沿轨道AB、AC 从A 点由静止开始运动，
到B、C 点对应的时间分别为
、
，小球3 沿轨道CB 从C 点由静止开始运动，到B 点的时间为
；
小球4 在圆弧轨道CB 上某一点（对应的圆心角很小）由静止开始运动，到B 点的时间为
。则下列时
间的关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在竖直平面内有ac、abc、adc 三个细管道，ac 沿
竖直方向，ab 与bc 垂直，adc 构成等边三角形。将三个小球同时从a 点沿三个不同轨道由静止释放，忽
略一切摩擦，不计拐弯时的机械能损失，当竖直下落的小球运动到c 点时，关于三个小球的位置，下列
示意图中可能正确的是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
9．（23-24 高一下·安徽蚌埠·期中）如图所示，竖直平面内存在半径为R 的大圆和半径为r 的小圆，两个圆
的公切线水平，有两条倾斜的光滑轨道，一条与大圆相交于A、B 两点，A 点为大圆的最高点，另一条
轨道一端交于大圆的C 点.另一端交于小圆的D 点，且过大圆和小圆的公切点。现让一物体分别从两条
轨道的顶端A、C 由静止释放，分别滑到B 点和D 点（假设物体能够无障碍地穿过CD 与圆的交叉点），
物体在两条轨道上的运动时间分别为
、
，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）如图所示，O 点为竖直圆周的圆心，MN 和PQ 是两根光滑细杆，
7
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两细杆的两端均在圆周上，M 为圆周上的最高点，Q 为圆周上的最低点，N、P 两点等高。两个可视为
质点的圆环1、2（图中均未画出）分别套在细杆MN、PQ 上，并从M、P 两点由静止释放，两圆环滑
到N、Q 两点时的速度大小分别为
、
，所用时间分别为
、
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高三上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（多选）如图所示，oa、ob 和ad 是竖直平面内三根
固定的光滑细杆，o、a、b、c、d 位于同一圆周上，c 为圆周的最高点，a 为最低点，
为圆心。每根杆
上都套着一个小滑环，两个滑环从o 点无初速释放，一个滑环从d 点无初速释放，用
，
，
分别表
示滑环沿oa、ob、da 到达a、b 所用的时间，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（23-24 高三上·湖北孝感·阶段练习）（多选）三根光滑绝缘细杆a、b、c 固定于竖直放置的圆环上，
每根杆上各套着一个质量为m，电荷量为
的小滑环（未画出），其中杆b 过圆心O 且与水平方向的
夹角
，空间中存在与圆环平行的匀强电场（未画出）。现将三个小滑环同时从杆的顶部无初速
度释放，滑到杆底所用的时间恰好相等，忽略三个滑环间的相互影响，则匀强电场的电场强度大小可能
是（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
9
