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模型10 “等时圆”模型及其应用（解析版）
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1．等时圆模型
(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆环的最低点所用时间相等，如图甲所示；
(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示；
(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦从上端由静止开始滑到下端
所用时间相等，如图丙所示。
2.等时性的证明
设某一条弦与水平方向的夹角为
，圆的直径为
（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀
加速直线运动，加速度为
，位移为s=d sinα ，所以运动时间为
t0=√
2s
a =√
2dsinα
gsinα =√
2d
g
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
1. 等时圆基本应用
【典型题1】如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上，沿三个不同的光滑弦1、2、3 上端由静止开始
01 模型概述
02 典题攻破
1
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滑到环的最低点，所用的时间分别为
、
、
；乙图中质点从竖直面内的圆环上最高点，沿三个不同
的光滑弦4、5、6 由静止开始滑到下端所用的时间分别为
、
、
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，由牛顿第
二定律可知加速度为
位移为
由匀变速直线运动规律有
联立解得下滑时间
相当于沿竖直直径自由下落的时间，有
故选A。
【典型题2】（2024·湖北黄石·三模）如图所示，
是一个倾角为
的传送带，上方离传送带表面距离为
的
处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在
与
传送带间建立一直线光滑管道，使原料无初速度
地从
处以最短的时间到达传送带上，则最理想管道做好后，原料从
处到达传送带的时间为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图所示
以
处为圆的最高点作圆
与传送带相切于
点，设圆
的半径为
，从
处建立一管道到圆周上，管
道与竖直方向的夹角为
，原料下滑的加速度为
管道长度为
由运动学公式可得
解得
可知从
处建立任一管道到圆周上，原料下滑的时间相等，故在
与
传送带间建立一管道
，原
料从
处到传送带上所用时间最短；根据图中几何关系可得
可得
3
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联立可得
故选D。
2. 等时圆拓展应用
【典型题3】如图所示有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O 点，O 点恰好是下半圆的顶点，
它们处在同一竖直平面内。现有两条光滑直轨道AOB、COD，轨道与竖直直径的夹角关系为
，
现让一小物块先后从这两条轨道顶端由静止下滑至底端，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】AB．小物块下滑的过程，由动能定理可知
可得
由于从A 到B 下落的高度差大于从C 到D 的高度差，故有
故A 错误，B 正确；
CD．以AOB 轨道的物块为研究对象，根据位移与速度的关系
同理COD 轨道
两式相比且
：
4
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所以
，故D 正确，C 错误。
故选BD。
【典型题4】如图在设计三角形的屋顶时，使雨水尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无
摩擦地流动，试分析：在屋顶宽度（2L） 一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间
是多少？
【答案】45°，
【详解】
5
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如图所示，通过屋顶作直线AC 与水平线BC 相垂直；并以L 为半径、O 为圆心画一个圆与AC、BC 相
切；然后，画倾角不同的屋顶A1B、A2B、A3B……从图可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有A2B 是
圆的弦，而其余均为圆的割线；根据“等时圆”规律，雨水沿A2B 运动的时间最短，且最短时间为
屋顶的倾角满足tan α＝
＝1
可得α＝45°
1．（2024 高一·全国·专题练习）如图所示，ad、bd、cd 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d
位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，三个滑环
分别从a、b、c 处释放（初速度都为0），用t1、t2、t3 依次表示各滑环滑到d 的时间，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设某光滑细杆与竖直方向的夹角为θ，其上一小环受到重力和杆的支持力作用，由牛顿第二定
律得
03 针对训练
6
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据几何关系得细杆长度为
环在杆上由静止做匀加速运动，由运动学公式有
解得
由计算结果可知，环沿细杆下滑时间与杆的倾斜程度无关，即
故选D。
2．（23-24 高二下·安徽合肥·期中）如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA 杆竖直放置，OB 杆与
OD 杆等长，OC 杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个相同的小滑环（图中未画出），四个环分别
从O 点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD 滑到斜面上，下列说法正确的是（ ）
A．沿OD 下滑过程中弹力的冲量最大
B．沿OA 下滑过程中重力的冲量最大
C．沿OC 下滑过程中重力的冲量最小
D．沿OB 下滑过程中弹力的冲量最小
【答案】A
【详解】BC．以OA 为直径画圆，建立等时圆模型，如图所示
小滑环受重力和弹力，由牛顿第二定律可得
（
为杆与竖直方向的夹角）
若小滑环皆滑到圆上，小滑环的位移为
7
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可得时间为
与
无关，可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到圆上所用时
间都相同，故小滑环沿OA 和OC 滑到斜面上所用的时间相同，OB 不是一条完整的弦，所用的时间最
短，同理可知，小滑环沿OD 滑到斜面上所用的时间最长，即
重力的冲量为
故沿沿OD 下滑过程中重力的冲量最大，沿OB 下滑过程中重力的冲量最小，故BC 错误；
AD．弹力的冲量为
则沿OD 下滑过程中弹力最大，时间最长，弹力的冲量最大，沿OA 下滑过程中弹力的大小为零，弹力
的冲量最小，故A 正确，D 错误。
故选A。
3.（23-24 高一上·山东济宁·阶段练习）如图所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了两个光滑轨道
a、b，其中轨道a 与斜面垂直，两轨道顶点相同，且顶点在C 点的正上方。现分别从两轨道的顶点释放
一物块，它们到达斜面的时间分别为t1、t2.下列说法正确的是（ ）
A．t1<t2
B．t1=t2
C．t1>t2
D．无法确定
【答案】C
【详解】过C 点和两轨道的顶点为直径做圆，设轨道与竖直方向夹角为θ，则下滑的加速度
根据
可得
可知物块沿轨道下滑的时间与轨道的倾角无关，则滑块沿轨道a 下滑的时间等于沿轨道b 下滑到b＇点
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的时间，则两物块到达斜面的时间t1>t2。
故选C。
4．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板
、
、
，其下端都
固定于容器底部
点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度
。若三个滑块同时
从A、B、C 处开始由静止下滑（忽略阻力），则（ ）
A．A 处滑块最先到达
点
B．B 处滑块最先到达
点
C．C 处滑块最先到达
点
D．三个滑块同时到达
点
【答案】D
【详解】令半球形容器的半径为R，滑板的倾角为θ，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有
根据位移公式有
解得
可知时间t 与滑板的倾角
和板的长度均无关，故三个滑块同时到达
点。
故选D。
5．（23-24 高三上·江苏淮安·开学考试）如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O 为球内的最低点，
它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°。三个光滑的小环分别从A、B、C 处由静止沿所在弦下滑，
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运动到最低点所用的时间分别为
、
、
，则三者之间大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设弦与竖直方向夹角为
，球的半径为R，由小环沿弦做匀加速运动有
解得运动时间为
与弦与竖直方向夹角无关，所以小环运动到最低点的时间相等。
故选A。
6．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM 三条光滑固定轨道，其中
B、C 两点处于同一个圆上，C 是圆上任意一点，B、M 分别为此圆与y 轴、x 轴的切点，A 点在y 轴上
且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、b、c 三个小球分别从A、B、C 点同时由静止释放，它们将沿轨道
运动到M 点，所用时间分别为
、
、
，则（ ）
A．
<
<
10
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B．
=
<
C．
>
=
D．由于C 点的位置不确定，故无法比较时间大小关系
【答案】C
【详解】对于BM 段，位移
加速度
根据
得
对于AM 段，位移
加速度
由
得
对于CM 段，设CM 与竖直方向夹角为θ，同理可解得
即
故选
C。
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，有直角三角形光滑轨道框架
，其中AB 竖直。
，光
滑圆弧轨道CB 为
的外接圆上的一部分。小球1、2 分别沿轨道AB、AC 从A 点由静止开始运动，
到B、C 点对应的时间分别为
、
，小球3 沿轨道CB 从C 点由静止开始运动，到B 点的时间为
；
小球4 在圆弧轨道CB 上某一点（对应的圆心角很小）由静止开始运动，到B 点的时间为
。则下列时
间的关系正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设AB 为2R，小球1 做自由落体运动，则有
解得
设
，根据几何关系可知AC 为2R
，根据牛顿第二定律可知
则有
解得
同理可知小球3 的位移为
，加速度为
则有
解得
小球4 的运动可看作是单摆运动，则时间为
综上分析可知
=
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故选B。
8．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在竖直平面内有ac、abc、adc 三个细管道，ac 沿
竖直方向，ab 与bc 垂直，adc 构成等边三角形。将三个小球同时从a 点沿三个不同轨道由静止释放，忽
略一切摩擦，不计拐弯时的机械能损失，当竖直下落的小球运动到c 点时，关于三个小球的位置，下列
示意图中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】以ac 为直径做圆，设半径为r，则b 点在圆周上，圆周与ad 交于e 点，设ab 与ac 夹角为θ，
则沿ab 运动的加速度
时间
同理小球到达e 点时的时间也为
此时沿ac 运动的小球恰到达c 点，则当竖直下落的小球运动到c 点时，三个小球的位置如图B 所示。
故选B。
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9．（23-24 高一下·安徽蚌埠·期中）如图所示，竖直平面内存在半径为R 的大圆和半径为r 的小圆，两个圆
的公切线水平，有两条倾斜的光滑轨道，一条与大圆相交于A、B 两点，A 点为大圆的最高点，另一条
轨道一端交于大圆的C 点.另一端交于小圆的D 点，且过大圆和小圆的公切点。现让一物体分别从两条
轨道的顶端A、C 由静止释放，分别滑到B 点和D 点（假设物体能够无障碍地穿过CD 与圆的交叉点），
物体在两条轨道上的运动时间分别为
、
，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设轨道
与竖直方向的夹角为
，则物体在轨道
上运动的加速度大小为
根据运动学公式可得
解得
设轨道
与竖直方向的夹角为
，则物体在轨道
上运动的加速度大小为
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根据运动学公式可得
解得
则有
故选D。
10．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）如图所示，O 点为竖直圆周的圆心，MN 和PQ 是两根光滑细杆，
两细杆的两端均在圆周上，M 为圆周上的最高点，Q 为圆周上的最低点，N、P 两点等高。两个可视为
质点的圆环1、2（图中均未画出）分别套在细杆MN、PQ 上，并从M、P 两点由静止释放，两圆环滑
到N、Q 两点时的速度大小分别为
、
，所用时间分别为
、
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】连接NQ、MP，如图所示
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小环1 从M 点静止释放，根据牛顿第二定律可得
所以
，
同理可得
，
故选BD。
11．（23-24 高三上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（多选）如图所示，oa、ob 和ad 是竖直平面内三根
固定的光滑细杆，o、a、b、c、d 位于同一圆周上，c 为圆周的最高点，a 为最低点，
为圆心。每根杆
上都套着一个小滑环，两个滑环从o 点无初速释放，一个滑环从d 点无初速释放，用
，
，
分别表
示滑环沿oa、ob、da 到达a、b 所用的时间，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】设ob 与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得oa 与竖直方向的夹角为
，设da 与竖直方向的夹
角为
，环沿oa 下滑时的加速度大小为
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沿ob 下滑时的加速度大小为
沿da 下滑时的加速度大小为
设ob 长为L，由几何关系得oa 长为
，da 长为
，根据运动学公式有
，
，
解得
，
，
可得
故选BC。
12．（23-24 高三上·湖北孝感·阶段练习）（多选）三根光滑绝缘细杆a、b、c 固定于竖直放置的圆环上，
每根杆上各套着一个质量为m，电荷量为
的小滑环（未画出），其中杆b 过圆心O 且与水平方向的
夹角
，空间中存在与圆环平行的匀强电场（未画出）。现将三个小滑环同时从杆的顶部无初速
度释放，滑到杆底所用的时间恰好相等，忽略三个滑环间的相互影响，则匀强电场的电场强度大小可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】如图
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三根光滑细杆d、e、f 固定于竖直放置的半径为r 的圆环上，每根杆上各套着一个质量为M 的小滑环
（未画出），其中杆e 过圆心且竖直放置，三个小滑环同时从杆的顶部无初速度释放，小滑环滑到杆底，
由
解得三个小滑环所用的时间恰好相等
这就是等时圆模型。由等时圆模型分析可知滑到杆底所用的时间恰好相等，则重力与电场力的合力方向
应与b 在同一直线上，如图
由三角形法则可知电场与b 垂直时电场强度取得最小值，此时有
即电场强度大小应满足
故选CD。
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